AULA 8 - RISCO TAXA JUROS

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VIII- RISCO DA TAXA DE JUROS NA CARTEIRA DE TÍTULOS DE RENDA FIXA 
Inicialmente vamos definir o que é risco, financeiramente, seria ganhar abaixo do esperado. O risco da 
taxa de juros para os Investidores que tem aplicado em papéis, nesse caso, serão deles ganharem 
rendimentos de juros, abaixo do esperado, CASO OS JUROS AUMENTEM. 
O título de renda fixa é o tipo de investimento de maior demanda no mercado, pois os Investidores 
buscam estabilidade, certeza do ganho, decorrente de uma rentabilidade previsível, a correção pode ser, 
por uma taxa de juros, ou por índices como a Selic, ou a taxa do CDI, que é a mais comum. 
Quando temos um título de renda fixa, esse pode ter o rendimento prefixado ou pós-fixado, o perfil desse 
título pode apresentar riscos, por isso é importante o conhecimento do Emitente e da IF, e o objetivo 
dessa captação de recursos, que pode ser pagamento de dívidas ou realização de projetos. 
Os títulos de renda fixa podem ser a poupança, certificados de depósito bancário-CDB, LTN, NTN-F, letra 
de crédito imobiliário-LCI, letra de crédito agrícola-LCA, letra de câmbio. 
Considerando a redução da taxa de juros, e a perspectivas ainda mais da redução da inflação, pois a 
variação das taxas de juros, influencia na oscilação dos preços de um título, e tal mensuração pode ser 
feita. 
Veja no exemplo da figura abaixo, como a volatilidade da taxa de juros tem efeito inverso no preço do 
título de renda fixa. Por isso os Investidores em Carteira de Títulos de Renda Fixa torcem para que a taxa 
de juros reduzam. 
 
 
 
 
 
A Teoria da Segmentação do Mercado propõe que os Agentes Econômicos apresentam preferências com 
relação aos prazos de vencimento dos títulos, sendo as taxas de juros arbitradas livremente pelo 
mecanismo de oferta e procura presentes em cada segmento. 
A presença de Agentes Tomadores e Investidores de recursos com preferências bem definidas em relação 
aos prazos de vencimento das operações promovem um mercado segmentado em função da maturidade 
dos ativos, sendo as taxas de juros definidas para cada segmento. 
A teoria da segmentação admite que cada mercado encontre seu próprio equilíbrio, independentemente 
do comportamento do outro. 
Quando temos uma Carteira ou Portfólio de Títulos de Renda Fixa, significa a junção de vários títulos de 
renda fixa, e conforme a Teoria de Harry Markowitz, chamada de também de Teoria da Carteira ou 
Portfólio, que foi Prêmio Nobel da Economia em 1990, demonstra que a mitigação ou diluição do risco, 
Caso a TJ aumente para 4% o preço do título cai. 
Caso a TJ caia para 2% o preço do título tem alta. 
alsltaalta.ganho 
A remuneração do título paga 3%. 
Preço de mercado do título 
 R$1000 
R$1500 
R$500 
ocorre a partir do grupo de títulos de empresas diferentes, ou seja, diversificar as aplicações é essencial 
para reduzir os custos. 
Existem algumas diretrizes para mitigar os Riscos em Títulos de Renda Fixa: 
a- Precisamos relacionar o preço de mercado, o prazo do título até o resgate/vencimento e a taxa de 
juros do mercado do título de renda fixa, como visto acima. 
b- Aplicação do conceito de Duração, conhecido como Duration de Macaulay. 
c- Avaliação do conceito de Convexidade. 
d- Estudo do conceito de Imunization para mitigação do risco, que é aplicação de Duration e 
Convexidade. 
 
8.1- Duração de Carteira de Títulos de Renda Fixa – mas conhecido no mercado, como Duration, ou a 
Duration de Macaulay, foi criado em 1930 pelo Economista Canadense Frederick Macaulay, mas passou a 
ser usado no mercado financeiro, a partir de 1970. 
A Duration é um indicador de sensibilidade de um título frente às mudanças nas taxas de juros, uma vez 
que as volatilidades na cotação de um título de renda fixa representam risco para o Investidor. 
Duration é o tempo de vencimento, em que se resgata o pagamento de um investimento, considerando o 
fluxo de pagamento de retorno desse resgate. Ou podemos dizer que é o prazo médio de resgate do fluxo 
de caixa futuro, considerando os pagamentos de cupons, que são as parcelas intermediárias de resgate. 
A Duration de Carteira é o tempo médio de vencimento de todos os títulos desse portfólio, considerando o 
peso dos cupons pagos, ou podemos dizer, que é um modelo que tem o objetivo de estimar o prazo médio 
de um fluxo de caixa de investimentos em renda fixa, considerando o valor do dinheiro no tempo. 
A modelagem de Duration é mandatória na gestão de tesouraria, no mercado financeiro e de riscos de 
ativos de renda fixa, pois além de fazer a mensuração de variações em preços, serve para a Gestão de 
Riscos. 
Yield to Maturity (YTM) é a taxa de juros que iguala o fluxo de caixa do título até o vencimento ao seu 
preço de mercado, isto é, a taxa interna de retorno (TIR) que o investidor conseguiria caso fique com o 
título até o vencimento. 
Exemplos: 
a- Considere um título público, no valor de R$1mil, que terá o vencimento em dois anos (maturidade), 
sendo o resgate ao final. A Duration é igual a 720 (360+360) dias ou 2 anos ou 24 meses. 
 
b- Considere agora outro título público, no valor de R$1mil, com maturidade de dois anos (Yield to 
Maturity – YTM), sendo que R$500 será pago em um ano, e o restante no final de dois anos. A Duration é 
igual a 540 dias = ((360+720)/2) = 1080/2 = 1,5 ano ou 18 meses. 
 
c- Considere a carteira formada por dois títulos públicos citados anteriormente. A Duration Macaulay , 
será a média ponderada, será igual a 630 dias = ((720+540)/2) = 1260/2= 630 dias = 21 meses. 
 
d- Considere que uma carteira terá a seguinte estrutura: título público A será no valor de R$1mil, sendo 
que R$500 será pago em um ano, e o restante no final de dois anos. A Duration do título publico de A já é 
conhecida de 2 anos. O título público B será no valor de R$1mil, com maturidade de dois anos, sendo que 
será pago R$300 no primeiro ano, e o restante no final de dois anos. A Duration do título público de B é 
20,4 meses = ((30%x12meses)+(70%x24meses)) = 3,6+16,8= 20,4. Ponderando os títulos públicos A e B será 
igual 22,2 meses = (24+20,4)/2 = 666 dias. 
 
 e- Título de 1000 vencimento em 3 anos 
 Resgate de 1000 cupom anual de 100 
 
 Anos VP ´= VP ´VP *Anos 
 1 100/1300 0,07692 0,07692 
 2 100/1300 0,07692 0,15385 
 3 1100/1300 0,84615 2,53846 
 Soma 2,76923 
 Duration é igual a 2,77 anos[ 
 
 ou podemos fazer assim 
 
 Anos VP ´= VP ´VP *Anos 
 1 100/1,10 90,9091 90,9091 
 2 100/1,21 82,6446 165,2893 
 3 1100/1,331 826,4463 2479,3388 
 
 Soma 1000,0000 
 
2.735,54 
 
 
f-Título de 1000 vencimento em 6 anos 
Resgate de 1200 Cupon anual de 20% 
 Anos VP ´=VP ´VP*Anos 
1 200/1,2 166,6667 166,6667 
2 200/1,44 138,8889 277,7778 
3 200/1,73 115,6069 346,8208 
4 200/2,07 96,61836 386,4734 
5 200/2,49 80,32129 401,6064 
6 1200/2,99 401,3378 2408,027 
 Soma 999,4399 3987,372 
 
duration = 3,98 anos 
Observe que quanto maior o indicador de Duration maior a sensibilidade da carteira de títulos, ou maior 
tempo de exposição ao risco. 
 
 A duração de Macaulay depende de três fatores: 
a- o prazo restante para resgate do título. 
b- o fluxo de pagamento dos cupons . 
c- a taxa de remuneração do papel, expressando a vida efetiva de um título
 
Por isso, são estabelecidas algumas
Regra a- A Duration de um título que não paga 
enquanto que um título que paga 
um título de mesmo vencimento, e que não pague 
Regra b- Para títulos de um mesmo vencimento, a 
menor. 
Regra c- Para título com a mesma taxa de 
vencimento, ou seja, títulos de longo prazo tendem a ser mais sensíveis a preços, do que títulos de curto 
prazo. 
Regra d- mantidos outros fatores constantes, a 
YTM é menor, ou seja, entãoquando 
forma decrescente. 
8.2- Convexidade da Carteira de Títulos de Renda Fixa
rendimento de uma obrigação. Essa relação entre preço e rendimento não é ex
considerarmos a convexidade podemos substancialmente a acur
mudança do preço em função do preço na mudança do rendimento.
A importância da convexidade do bônus de renda fixa está no fato de qu
é a valorização do bônus diante da redução da taxa de juros e menor é a desvalorização do preço caso 
ocorra a elevação da taxa de juros. Fica claro que o investidor deve pagar um prêmio por adquirir um 
bônus com convexidade elevada. 
Quanto maior a convexidade, melhor
títulos com convexidade maior também são mais procurados e, portanto, poderão ser mais caros. Como 
as posições em opções, o preço da convexidade depe
expectativa for de estabilidade nas taxas, não se atribuirá valor alto à convexidade.
Como já dito, a duração é uma medida bastante utilizada para se medir a
às variações da taxa de juros. Vemos a representação gráfica 
YTM para um título de 10 anos com preço de R$100,00 e taxa de cupom de 15%.
 
a taxa de remuneração do papel, expressando a vida efetiva de um título. 
s regras que devem ser observadas em relação a 
de um título que não paga coupon equivale ao seu tempo, até o vencimento, 
enquanto que um título que paga coupon e tenha vencimento para dois anos, terá 
um título de mesmo vencimento, e que não pague coupons. 
Para títulos de um mesmo vencimento, a Duration será maior quando a taxa do 
Para título com a mesma taxa de coupon, a Duration cresce quanto maior f
vencimento, ou seja, títulos de longo prazo tendem a ser mais sensíveis a preços, do que títulos de curto 
mantidos outros fatores constantes, a Duration de um título que paga coupon
, ou seja, então quando a maturidade (YTM) aumenta, a sensibilidade do preço aumenta de 
Convexidade da Carteira de Títulos de Renda Fixa é a curvatura do relacionamento de preço e 
rendimento de uma obrigação. Essa relação entre preço e rendimento não é exatamente uma reta e se 
considerarmos a convexidade podemos substancialmente a acurácia (acuidade ou 
mudança do preço em função do preço na mudança do rendimento. 
A importância da convexidade do bônus de renda fixa está no fato de quanto maior a convexidade, maior 
é a valorização do bônus diante da redução da taxa de juros e menor é a desvalorização do preço caso 
ocorra a elevação da taxa de juros. Fica claro que o investidor deve pagar um prêmio por adquirir um 
melhor o seu efeito, para uma posição comprada no título. Contudo, os 
títulos com convexidade maior também são mais procurados e, portanto, poderão ser mais caros. Como 
as posições em opções, o preço da convexidade depende da oscilação das taxas de retorno. Se a 
expectativa for de estabilidade nas taxas, não se atribuirá valor alto à convexidade.
Como já dito, a duração é uma medida bastante utilizada para se medir a sensibilidade do preço do título 
emos a representação gráfica abaixo do relacionamento entre o preço e a
YTM para um título de 10 anos com preço de R$100,00 e taxa de cupom de 15%. 
 
em relação a duration e preço: 
equivale ao seu tempo, até o vencimento, 
e tenha vencimento para dois anos, terá Duration menor que 
será maior quando a taxa do coupon for 
cresce quanto maior for o seu tempo até o 
vencimento, ou seja, títulos de longo prazo tendem a ser mais sensíveis a preços, do que títulos de curto 
coupon é maior quando a 
a maturidade (YTM) aumenta, a sensibilidade do preço aumenta de 
é a curvatura do relacionamento de preço e 
atamente uma reta e se 
acuidade ou precisão) do cálculo da 
anto maior a convexidade, maior 
é a valorização do bônus diante da redução da taxa de juros e menor é a desvalorização do preço caso 
ocorra a elevação da taxa de juros. Fica claro que o investidor deve pagar um prêmio por adquirir um 
o seu efeito, para uma posição comprada no título. Contudo, os 
títulos com convexidade maior também são mais procurados e, portanto, poderão ser mais caros. Como 
das taxas de retorno. Se a 
expectativa for de estabilidade nas taxas, não se atribuirá valor alto à convexidade. 
sensibilidade do preço do título 
do relacionamento entre o preço e a 
 
Para variações superiores a 10 
assimetria na variação do preço, já que o impacto sobre o preço é diferenciado. Além disso, o 
gráfico revela que a verdadeira medida de 
pela reta tangente. A verdadeira valorização do preço mostrada pela curva de preço é superior a 
valorização estimada pela tangente
A2). O contrário ocorre quando há elevação da
preço ser inferior a sugerida pela reta.
Nota: 1 Ponto de base (ou 1 bp) = 1/10.000
O que pode ser concluído com relação a variação de taxa superior a 10bp é que a tangente 
subestima a valorização do preço, quando há redução de taxa, e superestima a desvalorização, 
quando há elevação de taxa de mercado.
A valorização verdadeira do preço (ponto A’
(ponto A2), para determinada redução da taxa 
A desvalorização verdadeira do preço (ponto B’
tangente (ponto B2), para determinada elevação da taxa (de y
Exemplo 1 de Convexidade: 
Título de 1000 taxa de cupom
Taxa cupom semestral 3% 
1o. Cupom 
2o. Cupom 
 Dias 1o. cupom 
Dias 2o. Cupom 
Dias úteis 
 1o. Passo: Estimar VP = valor cupom/(1+i)^(dias cupom/total dias úteis)
ara variações superiores a 10 pontos base-bp (0,50% por exemplo ou B2),
assimetria na variação do preço, já que o impacto sobre o preço é diferenciado. Além disso, o 
a verdadeira medida de oscilação do preço é dada pela 
pela reta tangente. A verdadeira valorização do preço mostrada pela curva de preço é superior a 
tangente, quando há uma redução da taxa superior a 10bp (0,10
). O contrário ocorre quando há elevação da taxa, no sentido de a desvalorização verdadeira do 
preço ser inferior a sugerida pela reta. 
Nota: 1 Ponto de base (ou 1 bp) = 1/10.000 
O que pode ser concluído com relação a variação de taxa superior a 10bp é que a tangente 
ização do preço, quando há redução de taxa, e superestima a desvalorização, 
há elevação de taxa de mercado. 
valorização verdadeira do preço (ponto A’2) é superior a valorização estimada pela tangente 
), para determinada redução da taxa (de y1 para y2-). 
desvalorização verdadeira do preço (ponto B’2) é inferior à desvalorização estimada pela 
), para determinada elevação da taxa (de y1 para y2+). 
m 6% ao ano 
 
 30 
 1030 
 
 80 
 205 
 252 
 
 1o. Passo: Estimar VP = valor cupom/(1+i)^(dias cupom/total dias úteis) 
Tangente 
ou B2), verificamos a 
assimetria na variação do preço, já que o impacto sobre o preço é diferenciado. Além disso, o 
 curva de preço e não 
pela reta tangente. A verdadeira valorização do preço mostrada pela curva de preço é superior a 
, quando há uma redução da taxa superior a 10bp (0,10% ou -
taxa, no sentido de a desvalorização verdadeira do 
 
O que pode ser concluído com relação a variação de taxa superior a 10bp é que a tangente 
ização do preço, quando há redução de taxa, e superestima a desvalorização, 
) é superior a valorização estimada pela tangente 
) é inferior à desvalorização estimada pela 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2o. Passo: Estimar Duration = ((valor cupom1*dias1)+(valor cupom2xdias2))/VP total 1+2cupons 
3o. Passo: Calcular Taxa Diária Efetiva= ((1+i)^(1/dias úteis))-1 
 4o. Passo: Calcular Convexidade = 1/(1+i diária)^2x(VP1cupom*dias 1cupom^2+dias 1cupom+(VP2...)/VP 
total 
 1o. Passo: Estimar VP 
 VP do 1o. Cupom ´=30/1,08^(80/252) 29,28 
 VP do 2o. Cupom ´=1030/1,08^(205/252) 967,4917 
 Soma VP 1o. e 2o. cupom 996,77 
 
 2o. Passo: Estimar Duration 
 (VP 1 Cupom x dias 1 cupom)+VP2 Cupom x dias 2 cupom)/VP do total (1+2 cupons)´=(29,28*80+967,49*205)/996,77 
 201,3281399 
 
 3o. Passo: Estima Taxa Diária Efetiva 
 ´=((1+0,08)^(1/252))-1 
 0,000305448 0,03055% 
 
 4o. Passo: Calcular Convexidade 
 ´=(1/(1+0,0003055)^2)*(29,28*(80^2+80)+(967,492*(205^2+205))/996,77 
 41154,78333 
 
Exemplo 2: 
 
 
 
 
 
 
 
A fórmula de convexidade padrão envolve uma série de fluxos de caixa, mas que podemos representar também 
da na fórmula: 
Convexidade = ((P +) + (P-) - (2Po)) / (2 x ((Po) (alteração em Y) ²)) ) 
Onde (P +) é o preço da obrigação quando a taxa de juros é diminuída, (P-) é o preço da obrigação quando a taxa 
de juros é incrementada, (Po) é o preço atual das obrigações e a variação em Y é a mudança na taxa de juros e é 
representada em forma decimal. "Mudança em Y" também pode ser descrita como a duração efetiva do vínculo. 
A Imunização ou Imunization é o termo que combina a análise da duração e convexidade para mitigar o risco na 
carteira de títulos de renda fixa. FIM