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Vetores - Prof. Ivan
1. Com base nas figuras e sabendo que | ~F1|=100N, | ~F2|=80N e | ~F3|=125N, determine:
a) Utilizando os vetores unita´rios o vetor resultante,
b) O mo´dulo do vetor resultante,
c) A direc¸a˜o do vetor resultante com o eixo x.
Figure 1: Exerc´ıcio-1.
2. Considere os vetores
~A=2ˆi+7jˆ+3kˆ
~B=-1ˆi+5jˆ-8kˆ
e determine:
a) ~A+ ~B,
b) ~A− ~B,
c) ~A · ~B,
d) ~A× ~B.
3. Dados os vetores
~F1=3ˆi+ 4jˆ + 5kˆ
~F2=aˆi− 8jˆ + bkˆ
~F3=-biˆ+ cjˆ − 6kˆ
determine os valores de a, b e c (escalares) para que ~F1 + ~F2 = ~F3.
4. Encontre os aˆngulo entre os vetores ~u e ~v sabendo que ~u=4ˆi− 3jˆ + 8kˆ e ~v=1ˆi+ 2kˆ.
5. Considere a Fig.(2) e determine:
a) Os vetores ~D1 e ~D2,
b) Usando os vetores determine o aˆngulo entre ~D1 e ~D2.
6. Detemine o valor de a para que os vetores ~u=3ˆi + 2jˆ − 7kˆ e ~v=aˆi + 3jˆ − 2kˆ de modo que ~u
seja perpendicular a ~v.
7. Encontre um vetor ~A que e´ perpendicular aos vetores
~U = 2ˆi+ jˆ − kˆ ~V = iˆ− jˆ + kˆ
1
Figure 2: Exerc´ıcio-5.
8. O campo induc¸a˜o magne´tico ~B e´ definido pela forc¸a de Lorentz pela equac¸a˜o
~F = q(~v × ~B)
onde q e´ um escalar. De treˆs experimentos foram encontrados que,
~v = iˆ,
~F
q
= 2~k − 4jˆ,
~v = jˆ,
~F
q
= 4~k − 4kˆ,
~v = kˆ,
~F
q
= ~j − iˆ.
Determine o campo de induc¸a˜o magne´tica ~B.
9. Dados os vetores ~u=8ˆi− 3jˆ + 2kˆ determine: a) o aˆngulo α entre o vetor ~u e o eixo x,
b) o aˆngulo β entre o vetor ~u e o eixo y,
c) o aˆngulo γ entre o vetor ~u e o eixo z,
d) Verifique que cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ)=1,
e) Considere agora dois vetores quaisquer e prove que o resultado do item (d) e´ sempre
verdadeiro.
10. Prove que ( ~A× ~B).( ~A × ~B)=(A.B)2-( ~A. ~B)2.
11. Considere os vetores ~A, ~B e ~C e suas componentes cartesianas e mostre que
~A× ( ~B × ~C) = ~B( ~A. ~C)− ~C( ~A. ~B)
12. O momento angular de uma part´ıcula e´ dado por ~L = ~r × ~p = m~r × ~v, onde ~p e´ o momento
linear. Sabendo-se que a velocidade e´ dada por ~v=~ω × ~r, mostre que
~L = mr2[~ω − rˆ(rˆ.~ω)]
onde ~r e´ um vetor na direc¸a˜o de r.
13. A energia cine´tica de uma part´ıcula e´ dada por T=1
2
mv2. Em um movimento de rotac¸a˜o a
energia cine´tica fica sendo dada por T=1
2
m(~ω × ~r)2. Mostre que
T =
1
2
m[r2ω2 − (~r.~ω)2]
2
Figure 3: Exerc´ıcio-14.
Figure 4: Exerc´ıcio-15.
14. Considere a Fig.(3) e utilizando a a´lgebra vetorial mostre que,
cos(α− β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β)
sin(α− β) = sin(α) cos(β)− sin(β) cos(α)
15. Utilizando a Fig.(4) e a a´lgebra vetorial mostre que,
sin(α)
| ~A|
=
sin(β)
| ~B|
=
sin(γ)
| ~C|
.
16. Dados os vetores ~P = Pxiˆ + Py jˆ e ~Q = Qxiˆ +Qy jˆ, na˜o paralelos ou antiparalelos, no plano
xy, mostre que ~P × ~Q esta nma direc¸a˜o z.
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