Exercícios GA_AL 2013

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Exercício do livro gaalt0 de Reginaldo J. Santos
4.2.13. Obtenha uma equação geral do plano , que contém a reta





0753
022
:
zyx
zyx
r
e forma com o plano 0:1  zx um ângulo de 600.
Resolução: A equação da reta r, representada pela equação de dois planos concorrentes, 
pode ser escrita na forma paramétrica. 
Fazendo-se z = t, obtém-se tyx 22  . Substituindo x na terceira equação (do segundo 
plano), obtém-se    007566075223 tytytyzyty ty  .
Substituindo-se em x, obtém-se x = -4t.
Portanto, 








tz
ty
tx
r
4
: .
Essas equações paramétricas podem ser escritas na forma simétrica, fazendo-se:


 ztytxt e ,
4
igualando-se os três termos e colocando o vetor diretor da reta no 
denominador, ou 
114
:







zyxr zyx 44  .
Observe-se que existem estas duas igualdades na equação anterior; 
044 e 04  zyyx .
Como ambas somam zero, pode-se somá-las multiplicando uma delas por um número real 
 e ainda manter a igualdade com zero,   0444  zyyx  .
Arranjando-se os valores, convenientemente:   0414  zyx  . 
No entanto, essa equação, além de obedecer à equação da reta contida nele, também tem as 
três componentes do plano , ou seja, x, y e z. Na verdade, de forma análoga ao plano, em 
relação ao feixe de retas que passam por um ponto, essa equação pode ser vista como a de 
um “feixe” planos que passam por uma reta (ou que a contém). Portanto, essa é a equação 
do “feixe” de planos que contém a reta r:
  0414 :  zyx  (1)
O vetor normal ao plano  é    4,14,1 n

 e o vetor normal ao plano 1 é 1n

 1,0,1 . Para encontrar um particular valor de  de que corresponde a um ângulo de 600 
entre os planos  e 1, utilizamos o produto escalar entre os vetores normais:
1
10
2
160cos
nn
nn



 (2), onde
  2101 e 16141 ,41 2221
222
1  nnnn


Trabalhando a expressão (2), obtém-se: 
16
582346464 2   .
Substituindo-se em (1), obtém-se a equação geral do plano  pedido no enunciado:
0
4
5
4
11 :  zyx (3)
Pode-se notar que qualquer ponto que pertence à reta r também está contido nesse plano.
Para desenhar os dois planos e a reta no Matlab, além dos respectivos vetores normais, foi 
utilizado o ponto P = (0,0,0), que é comum a ambos os planos (e também à reta r).
P=[0,0,0] N1=[1,0,1] N=[1,-11/4,5/4]
>> lin(P,[-4,-1,1])
>> plan(P,N1,P,N)
>> rota