calc3a-vs

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Universidade Federal Fluminense 
Departamento de Matemática Aplicada (GMA) 
VS de Cálculo III-A – Turma D1 – 1o Sem. 2015 – Prof. Toscano – 01/07/15 
 
 
1) [3,0 pontos] Calcule a massa m que se distribui com densidade linear ( , , )x y zλ = 
2 ( 1)( 2)x y z+ − − ao longo da curva C na interseção das superfícies dadas por 2z y= 
e 
2
2
5
x
z y= + . 
 
 
2) [2,0 pontos] Calcule a massa m que se distribui com densidade superficial 
( , , ) 4x y z yσ = + na parte S da superfície cilíndrica que é coaxial com o eixo z, tem raio 3 
e jaz entre os planos 0z = e 4z y= − . 
 
 
3) [2,0 pontos] Calcule a integral do campo ( )4( , , ) 2 , ,F x y z xz x y z z= + −G sobre a super-
fície S que consiste na calota esférica dada por 2 2 2 4 ( 1)x y z z+ + = ≥ e que é orientada 
pelas normais exteriores. 
 
 
4) [2,0 pontos] Calcule a integral do campo ( , , )F x y z
G
 
(3 , 3 , )xz xy z yz= + ao longo do caminho triangular C 
ilustrado na figura à direita. 
 
 
 
 
 
5) [1,0 ponto] Calcule a integral do campo 2( , , ) ( , , )F x y z xz yz z=G sobre a superfície S 
da região { }3 2 2 2 2 2 2( , , ) : 0, 1, 4V x y z z x y z x y z= ∈ ≥ + + ≥ + + ≤\ considerando S 
orientada pelas normais exteriores. 
x 
y 
z 
1 
1 
1 
GABARITO 
 
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––– (1) –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 
 
( )22 2 2elimina 2 2/5 2 ( 1) 12 5 5zz x y x xy y yz y⎧⎪ = +⎪ ⇒ + = ⇒ + − = ⇒⎨⎪ =⎪⎩ 
5 cos , 1 sen , 2 2 sen , com [0,2 ), é uma parametrização de .x t y t z t t Cπ= = + = + ∈ 
 
2 2 2 2 2 2[ ( )] [ ( )] [ ( )] ( 5 sen ) (cos ) (2 cos ) 5
C
ds x t y t z t dt t t t dt dt′ ′ ′= + + = − + + =∴ . 
 
( ) ( )
2
2 2
0
22
2 2
0 0
( 1)( 2) ( 5 cos ) (sen )(2 sen ) 5
sen2 sen2
5 (5cos 2 sen ) 5 5 2 7 5
2 4 2 4
C C
m ds x y z ds t t t dt
t t t t
t t dt
π
ππ
λ
π
⎡ ⎤⎡ ⎤= = + − − = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥= + = + + + =⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
∫ ■ 
 
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––– (2) –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 
 
2 4 3 sen
0 0
2 2
2
0 0
2
0
(4 ) (4 3 sen )3
3 (4 3 sen )(4 3 sen ) 3 (16 9 sen )
sen2
3 16 9 3(32 9 ) 69
2 4
S S
m dS y dS dz d
d d
π ϕ
π π
π
σ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕϕ π π π
−
= = + = +
= + − = −
⎡ ⎛ ⎞ ⎤⎟⎜⎢ ⎥= − − = − =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
■
 
 
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––– (3) –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 
 
( )
0
0
2 2 2 2 2
0
2
2 2
0 0
24
4
0
00
4 ( , , )
2 , ,
2
1
(2 4 )
2
(2 sen cos ) (2 cos )2 sen
sen sen2 9
32 8 (sen )
4 2 4 2
S S
S S
x y z
F ndS xz x y z dS
z
x z x y z dS x z dS
d d
π θ
θ π
π
θ ϕ θ θ θ ϕ
θ ϕ ϕ ππ θ
⋅ = + − ⋅
= + + + − =
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
G G
��������	�������
�������	������
■
 
y
z 
 
2 
2 
1 
0 
S
 
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––– (4) –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 
 
 O caminho C está contido no plano 1x y z+ + = . Seja S a porção triangular desse 
plano que é limitada por C. Nesse caso, temos que ( , ,1) (1,1,1)x ydS z z dx dy dx dy= − − =
JJG
. 
Logo, usando o teorema de Stokes, podemos escrever 
 
N
2
1 1
0 0
1 1
12 2
0
0 0
1 3
2 2
0 1
( 1, 3 , 3 ) (1,1,1)
( 1 3 3 ) (2 2 )
2 [ 2 (1 ) (1 ) ]
(2 2 1 2 )
3
xy
xy
C S R
x
R x y
x
y
x
F dr F dS z x y dx dy
z x y dx dy x y dydx
xy y dx x x x dx
x
x x x x dx x
−
− −
−
=
−
⋅ = ∇× ⋅ = − ⋅
= − + + = +
⎡ ⎤= + = − + −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡= − + − + = −
∫ ∫ ∫∫
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
G GJJG JJG
�����������	����������
v
1
0
1 2
1
3 3
⎤⎢ ⎥ = − =⎢ ⎥⎣ ⎦
■
 
 
 
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––– (5) –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 
 
 Pelo teorema de Gauss, temos que, 
 
N
2 2
2 2
0 0 14
22 2
4
1
0
4 cos sen
sen
2 15
2
S V z
F dS F dV r r dr d d
r
ππ
π
θ θ θ ϕ
θ π π
⋅ = ∇ ⋅ = ⋅
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫ ∫G GJJGv
■