Pós-Graduação em Engenharia de Produção

Prévia do material em texto

Centro de Pós Graduação 
 Faculdade Machado Sobrinho 
sdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc
vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer
tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf
ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvb
nmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh
jklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnm
qwertyuiopasdfghjk 
lzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq
wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop
asdfghjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvb
nmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh
jklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnm
 
 
 
 
 
Especialização em 
Engenharia de Produção 
 
Pesquisa Operacional 
 
 
 
Prof . Paulo Lobo 
 
2 
 
Sumário 
1.1-Breve História .............................................................................................................. 3 
2-Modelagem com programação linear ............................................ 8 
2.1- Introdução ................................................................................................................... 8 
2.2-A Modelagem ............................................................................................................... 9 
2.3-Exemplos ..................................................................................................................... 11 
2.4-Exercícios ..................................................................................................................... 22 
Adendo .................................................................................................................................. 31 
Método Simplex ................................................................................................................. 31 
3-Programação Inteira e Programação Binária ....................................... 39 
3.1-Introdução ................................................................................................................... 39 
3.2-Métodos de resolução ............................................................................................. 42 
3.3-Exercícios. ................................................................................................................... 45 
4-Introdução a Teoria das Filas ........................................................... 51 
4.1-Introdução ................................................................................................................... 51 
4.2- MODELO DE FILA FIFO M/ M /1/ ∞ ................................................................ 53 
4.3-Exercícios ..................................................................................................................... 55 
5-Revisão de Probabilidade ................................................................. 57 
5.1-Introdução ................................................................................................................... 57 
5.2-Probabilidade condicional ...................................................................................... 59 
5.3-Variáveis aleatórias ................................................................................................. 60 
5.4-Exercícios ..................................................................................................................... 63 
6-Análise de decisão .......................................................................... 66 
6.1-Introdução ................................................................................................................... 66 
6.2-Exemplo Protótipo .................................................................................................... 67 
6.3- Exercícios ................................................................................................................... 76 
Anexo .............................................................................................. 78 
Referências ....................................................................................... 85 
 
 
 
 
 
3 
 
1-Introdução 
1.1-Breve História 
 
Desde o advento da Revolução Industrial, o mundo presencia um 
crescimento extraordinário no tamanho e na complexidade das 
organizações. As pequenas oficinas de artesãos de outrora evoluíram 
para as corporações bilionárias de hoje. Um fator crucial dessa 
mudança revolucionária foi o extraordinário aumento na divisão do 
trabalho e a segmentação das responsabilidades gerenciais nessas 
organizações. Os resultados foram espetaculares. 
Entretanto, juntamente com seus pontos positivos, essa crescente 
especialização criou problemas novos, problemas estes que ainda 
ocorrem em muitas organizações. Um deles é a tendência de as 
diversas unidades de uma organização crescerem em ilhas 
relativamente autônomas com seus próprios objetivos e sistemas de 
valor, perdendo, consequentemente, a visão de como suas atividades 
e objetivos se entremeiam com aquelas da organização como um 
todo. O que pode ser melhor para uma das unidades frequentemente 
é prejudicial a outra, de forma que as unidades podem acabar 
trabalhando em direção a objetivos conflitantes. Um problema 
relativo a isso é aquele no qual, à medida que aumentam a 
complexidade e a especialização em uma organização, toma-se cada 
vez mais difícil alocar os recursos disponíveis para as diversas 
atividades da maneira mais eficiente para a organização como um 
todo. 
Esses tipos de problema e a necessidade de encontrar o melhor 
caminho para solucioná-los criaram condições necessárias para o 
surgimento da pesquisa operacional ( comumente referida como PO). 
As origens da PO podem ser remontadas muitas décadas atrás 
quando foram feitas tentativas iniciais no emprego de uma 
4 
 
abordagem científica na gestão das organizações. Porém, o início da 
atividade, assim denominada pesquisa operacional, geralmente é 
atribuído às atividades militares nos primórdios da Segunda Guerra 
Mundial. Em razão do empreendimento da guerra, havia uma 
necessidade premente de se alocar de forma eficiente os escassos 
recursos para as diversas operações militares e atividades internas 
a cada operação. 
Consequentemente, os comandos militares britânico e norte-
americano convocaram grande número de cientistas para aplicar uma 
abordagem científica para lidar com este e outros problemas táticos e 
estratégicos. Na prática lhes foi solicitado a realização de pesquisas 
sobre operações (militares). Essas equipes de cientistas foram as 
primeiras de PO. Por meio do desenvolvimento de métodos eficientes 
de emprego da nova ferramenta radar, essas equipes se tomaram 
instrumentos na vitória da Batalha Aérea em céus da Grã-Bretanha. 
Por intermédio dessas pesquisas sobre como melhor administrar 
operações de comboio e antisubmarinos, esses cientistas 
desempenharam papel fundamental na vitória da Batalha do Atlântico 
Norte. Esforços semelhantes ajudaram na Campanha Britânica no 
Pacífico. 
Quando a guerra acabou, o sucesso da PO no empreendimento bélico 
despertou interesse na sua aplicação fora do ambiente militar. À 
medida que se ia desenrolando o boom industrial pós-guerra, os 
problemas causados pela crescente complexidade e especialização 
nas organizações foram novamente ganhando o primeiro plano. 
Tomava-se aparente para um número cada vez maior de pessoas, 
entre as quais consultores de negócios que trabalharam nas equipes 
de PO ou em conjunto com elas durante a guerra, que estes foram 
basicamente 
os problemas enfrentados pelos militares, porém, agora, em um 
contexto diferente. No início dos anos 1950, esses indivíduos haviam 
5 
 
introduzido o emprego da PO em uma diversidade de organizações 
nos setores comercial,industrial e governamental. A rápida 
disseminação da PQ veio a seguir. Podem-se identificar pelo menos 
dois fatores que desempenharam papel fundamental no rápido 
crescimento da PO durante esse período. O primeiro foi o progresso 
substancial feito no início em termos de melhoria das técnicas da PO. 
Após a guerra, muitos dos cientistas que haviam participado das 
equipes de PO ou que ouviram falar a esse respeito motivaram-se 
para desenvolver pesquisas relevantes nesse campo resultando em 
avanços importantes no estado da arte. Um exemplo essencial é o 
método simplex para solução de problemas com programação linear, 
desenvolvido por George Dantzig em 1947. Várias ferramentas-
padrão da PO, como programação linear, programação dinâmica, 
teoria das filas e teoria do inventário, atingiram um estado 
relativamente bem desenvolvido antes do final dos anos 1950. 
Um segundo fator que deu grande ímpeto ao crescimento desse 
campo foi a "avalanche" da revolução computacional. Requer-se 
grande volume de processamento de cálculos para o tratamento 
eficiente dos problemas complexos tipicamente considerados pela PO. 
Normalmente, fazer isso à mão seria uma hipótese fora de cogitação. 
Portanto, o desenvolvimento de computadores eletrônicos digitais, 
com a capacidade de realizarem cálculos matemáticos milhares ou 
até mesmo milhões de vezes mais rápido que o ser humano, deu um 
impulso enorme à PO. Outro estímulo veio nos anos 1980 com o 
desenvolvimento de computadores pessoais cada vez mais poderosos 
munidos de excelentes pacotes de software para emprego da PO. 
Isso permitiu que o emprego da PO ficasse ao alcance de um número 
muito maior de pessoas. Hoje em dia, praticamente milhões de 
pessoas têm pronto acesso a software de PO. Por conseguinte, 
enorme gama de computadores, de mainframes a laptops, é, hoje, 
rotineiramente utilizada para solucionar problemas relativos à PO. 
6 
 
 
1.2 - Fundamentos 
Como o próprio nome indica, a pesquisa operacional envolve 
"pesquisa sobre operações". Portanto, a pesquisa operacional é 
aplicada a problemas envolvendo como conduzir e coordenar as 
operações (isto é, as atividades) em uma organização. A natureza 
das organizações é essencialmente secundária e, de fato, a PO tem 
sido largamente aplicada em áreas tão distintas como manufatura, 
transportes, construção, telecomunicações, planejamento financeiro, 
assistência médica, militar e serviços públicos, somente para citar 
algumas. Portanto, a gama de aplicações é excepcionalmente grande. 
Uma forma de se sintetizar as fases usuais (que se sobrepõem) de 
um estudo de PO é a seguinte: 
1. Definir o problema de interesse e coletar dados. 
2. Formular um modelo matemático para representar o problema. 
3. Desenvolver um procedimento computacional a fim de derivar 
soluções para o problema a partir do modelo. 
4. Testar o modelo e aprimorá-lo conforme necessário. 
5. Preparar-se para a aplicação contínua do modelo conforme 
prescrito pela gerência. 
6. Implementar. 
A primeira coisa a ser reconhecida é que uma equipe de PO 
normalmente trabalha na qualidade de consultores. Aos membros da 
equipe não somente é apresentado um problema e solicitado a 
resolvê-lo conforme julguem apropriado. Em vez disso, eles 
aconselham a gerência (geralmente um tomador de decisões 
importante). A equipe realiza uma análise técnica detalhada do 
problema e a seguir apresenta recomendações à gerência. 
7 
 
Frequentemente, o relatório à gerência identificará uma série de 
alternativas particularmente atrativas de acordo com diversas 
suposições ou segundo um intervalo de valores diferente de algum 
parâmetro da política adotada que pode ser avaliado somente pela 
gerência (por exemplo, o conflito entre custo e benefícios). A 
gerência avalia o estudo e suas recomendações, leva em 
consideração uma série de fatores intangíveis e toma a decisão final 
baseada em seu melhor julgamento. Consequentemente, é vital para 
a equipe de PO sintonizar-se com a gerência, inclusive identificando o 
problema "correto" segundo o ponto de vista da gerência e obter o 
seu apoio ao longo do projeto. 
Determinar os objetivos apropriados é um aspecto muito importante 
na definição de um problema. Para tanto, é necessário, 
primeiramente, identificar o membro (ou membros) da gerência que 
efetivamente decidirá( ão) no que se refere ao sistema em estudo e, 
depois, sondar o pensamento desse(s) indivíduo(s) no que tange aos 
objetivos pertinentes (envolver o tomador de decisões desde o 
princípio é essencial para obter seu apoio à implementação do 
estudo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
2-Modelagem com programação linear 
2.1- Introdução 
 
Um aspecto importante de problemas envolvendo decisões é o de 
otimização; quando se procura estabelecer quais as maneiras mais 
eficientes de utilizar os recursos disponíveis para atingir certos 
objetivos. Em geral trata-se de recursos limitados e a sua utilização 
criteriosa possibilita melhorar o rendimento ou produtividade do 
processo em estudo. 
A própria continuidade do processo pode mesmo depender de tal 
utilização criteriosa. Na prática tais recursos são usualmente de 
natureza econômica, tais como capital, matéria-prima, mão de obra, 
equipamentos, tempo e outros, mas em geral podem tomar os 
aspectos mais variados. 
A Programação Linear (PL) visa fundamentalmente encontrar a 
melhor solução para problemas que tenham seus modelos 
representados por expressões lineares. A sua grande aplicabilidade e 
simplicidade devem-se a linearidade do modelo. A tarefa da PL 
consiste na maximização ou minimização de uma função linear, 
denominada Função objetivo, respeitando-se um sistema linear de 
igualdades ou desigualdades, que recebem o nome de Restrições do 
Modelo. 
As restrições determinam uma região a qual se dá o nome de 
Conjunto Viável, a melhor das soluções viáveis (soluções que 
pertencem ao Conjunto Viá vel), ou seja, aquela que maximiza ou 
minimiza a função objetivo, denomina-se Solução Ótima. O objetivo 
da Programação Linear é determinar a solução ótima. 
Para a resolução de um Problema de Programação Linear (PPL) dois 
passos são necessários. O primeiro é a Modelagem do problema, 
9 
 
seguindo-se o método de solução do modelo. No caso de um PPL o 
método mais utilizado é o Método Simplex, que será examinado 
adiante. Não existem técnicas precisas capazes de permitir o 
estabelecimento do modelo de um problema, pois a modelagem 
envolve aspectos de arte, ou seja, pode ser melhorada com a prática 
e observação. Para modelar uma situação geral é importante se ter 
experiência e capacidade de análise e síntese. 
2.2-A Modelagem 
 
Para identificar as variáveis de decisão, recomenda-se as seguintes 
regras: 
a) Pergunte “O decisor tem autoridade para escolher o valor 
numérico (quantidade) do item?” Se a resposta for “sim” esta é uma 
variável de decisão; 
b) Seja bem preciso com respeito às unidades (moeda e quantidade, 
por exemplo) de cada variável de decisão (incluindo o fator tempo, 
como horário, diário, semanal, mensal); 
c) Cuidado para não confundir as variáveis de decisão com os 
parâmetros do problema, como número de máquinas na fábrica, 
quantidade de cada recurso usado na fabricação de um produto, 
capacidade de produção da fábrica, custos de produção, custos de 
transporte, demandas pelos produtos e assim por diante. 
Com respeito à função objetivo, a PO busca encontrar o melhor que 
pode ser feito com o que se tem, isto é, procura maximizar algo 
(como lucro ou eficiência) ou minimizar alguma coisa (como custo outempo). 
 Talvez a busca pelo máximo valor do lucro total (= retornos – 
custos) seja a função objetivo mais comum nos modelos 
matemáticos. Na PL, os modelos têm apenas um objetivo, mas é 
10 
 
possível, em outras áreas da PO, tratar modelos com múltiplos 
objetivos. 
Exemplos de restrições típicas incluem a existência de limites sobre 
as quan tidades de recursos disponíveis (colaboradores, máquinas, 
orçamento, matérias-primas, por exemplo) e requisitos contratuais 
para a produção e atendimento de demandas. As restrições também 
podem ser de caráter natural, como ocorre nos casos de estoques, 
onde é razoável considerar que o estoque ao final de um mês é igual 
ao estoque no início daquele mês mais o que foi produzido e menos o 
que foi vendido no mesmo mês, desde que o produto não se 
deteriore ou se perca no período. 
Outro exemplo se refere ao fato de determinadas variáveis de decisão 
(por exemplo, quantidades produzidas) não poderem ter valores 
negativos, ou ainda só poderem assumir valores inteiros nulos ou 
positivos. Essas últimas restrições são conhecidas como restrições de 
não negatividade e restrições de integridade, respectivamente. 
Um procedimento que ajuda na elaboração de restrições é o 
seguinte: 
a) Crie uma restrição com palavras inicialmente, da seguinte forma, 
(A quantidade requerida de um recurso) <Tem alguma relação com> 
(A disponibilidade do recurso), sendo que essas relações podem ser 
expressas por meio de igualdades (=) ou desigualdades (≥ ou ≤); 
b) Assegure-se que a unidade do termo do lado esquerdo da restrição 
usa a mesma unidade do termo do lado direito; 
c) Traduza a restrição em palavras para a notação matemática 
utilizando valores conhecidos ou estimados para os parâmetros e os 
símbolos matemáticos adotados para as variáveis de decisão; 
d) Reescreva a restrição, se necessário, de modo que os termos 
envolvendo as variáveis de decisão fiquem no lado esquerdo da 
11 
 
expressão matemática, enquanto só o valor associado a uma 
constante fique no lado direito . 
2.3-Exemplos 
 
1) “Mix de Produção” – Adaptado de Ravindran, Phillips e Solberg 
(1987) 
Uma Empresa deseja programar a produção de um utensílio de 
cozinha que requer o uso de dois tipos de recursos: mão de obra e 
material. Ela está considerando a fabricação de três modelos e o seu 
Departamento de Engenharia forneceu os dados a seguir (Tabela 1). 
O suprimento de material é de 200 quilos por dia. A disponibilidade 
diária de mão de obra é 150 horas. Formule um modelo de 
programação linear para determinar a produção diária de cada um 
dos modelos de modo a maximizar o lucro total da Empresa. 
 
12 
 
 
 
2)Problema da dieta. 
 O problema consiste em obter uma dieta de mínimo custo que 
satisfaça as necessidades básicas do indivíduo médio, com respeito a 
Calorias (no mínimo 3,0), Cálcio (no mínimo 0,8) e Vitamina B12 (no 
mínimo 2,7). 
A Tabela a seguir relaciona três substâncias exigidas pelo organismo, 
a quantidade existente de cada uma delas de uma relação de seis 
alimentos, juntamente com os respectivos custos unitários desses 
alimentos. 
13 
 
 
 
 
3)Problema de transporte. 
Um dado produto é produzido em diferentes fábricas no país com 
capacidades de produção limitadas e deve ser levado a centros de 
distribuição (depósitos) onde há demandas a serem satisfeitas. 
O custo de transporte de cada fábrica a cada depósito é proporcional 
à quantidade transportada e devem-se achar estas quantidades que 
minimizem o custo total de transporte (CT) do produto em questão. A 
Tabela a seguir fornece os custos unitários de transporte de cada 
14 
 
fábrica para cada depósito, bem como as demandas em cada um dos 
depósitos e as produções de cada fábrica. 
 
 
 
4) “Seleção de mídia para propaganda” – Adaptado de Ravindran, 
Phillips e Solberg (1987) 
Uma companhia de propaganda deseja planejar uma campanha em 
03 diferentes meios: tv, rádio e revistas. Pretende-se alcançar o 
15 
 
maior número de clientes possível. Um estudo de mercado resultou 
nos dados da Tabela 4, sendo os valores válidos para cada veiculação 
da propaganda.A companhia não quer gastar mais de $ 800.000 e 
adicionalmente deseja: 
a) No mínimo 2 milhões de mulheres sejam atingidas; 
b) Gastar no máximo $ 500.000 com TV; 
c) No mínimo 03 veiculações ocorram no horário normal na TV; 
d) No mínimo 02 veiculações ocorram no horário nobre na TV; 
e) Número de veiculações no rádio, e nas revistas, devem ficar entre 
05 e 10, para cada meio de divulgação. 
 
Formular um modelo de PL que trate este problema, determinando o 
número de veiculações a serem feitas em cada meio de comunicação 
16 
 
de modo a atingir o máximo possível de clientes. 
 
 5) “Um problema de treinamento” – Adaptado de Ravindran, Phillips 
e Solberg (1987) 
Uma empresa de máquinas ferramentas tem um programa de 
treinamento para operadores de máquinas. Alguns operadores já 
treinados podem trabalhar como instrutores neste programa ficando 
responsáveis por 10 traineescada. A empresa pretende aproveitar 
apenas 07 traineesde cada turma de 10. 
Estes operadores treinados também são necessários na linha de 
fabricação, e sabe-se que serão necessários para os próximos meses: 
100 operadores em janeiro, 150 em fevereiro, 200 em março, e 250 
17 
 
em abril. Atualmente há 130 operadores treinados disponíveis na 
empresa. Os custos associados a cada situação são: 
a) Trainee $ 400; 
b) Operador treinado trabalhando $ 700; 
c) Operador treinado ocioso $ 500. Um acordo firmado com o 
sindicato proíbe demissões de operadores treinados no período. 
Encontrar um modelo de PL que forneça um programa de 
treinamento de custo mínimo e satisfaça os requisitos da empresa em 
termos de número de operadores treinados disponíveis a cada mês. 
Modelagem: 
Observe-se que, a cada mês, um operador treinado está operando 
máquina, trabalhando como instrutor, ou está ocioso. Além disto, o 
número de operadores treinados, trabalhando nas máquinas é fixo e 
conhecido: 100 em janeiro, 150 em fevereiro, 200 em março e 250 
em abril. 
Variáveis de decisão: 
x1= operadores trabalhando como instrutores em janeiro 
x2= operadores ociosos em janeiro 
x3= operadores trabalhando como instrutores em fevereiro 
x4= operadores ociosos em fevereiro 
x5= operadores trabalhando como instrutores em março 
x6= operadores ociosos em março 
Função objetivo: Custo Total = custo trainees+ custo instrutores + 
custo ociosos + custo operadores trabalhando em máquinas 
 
18 
 
 
6) “Problema de dimensionamento de equipes de inspeção” –
Adaptado de Ravindran, Phillips e Solberg (1987). 
Uma companhia deseja determinar quantos inspetores alocar a uma 
dada tarefa do controle da qualidade. As informações disponíveis 
são: 
– Há 08 inspetores do nível 1 que podem checar as peças a uma 
taxa de 25 peças por hora, com uma acuracidade de 98%, sendo o 
custo de cada inspetor deste nível $4 por hora; 
– Há 10 inspetores do nível 2 que podem checar as peças a uma 
taxa de 15 peças por hora, com uma acuracidade de 95%, sendo o 
custo de cada inspetor deste nível $3 por hora; 
– A companhia deseja que, no mínimo, 1800 peças sejam 
inspecionadas por dia (= 08 horas); 
19 
 
– Sabe-se, ainda, que cada erro cometido por inspetores no controle 
da qualidade das peças acarreta um prejuízo à companhia de $2 por 
peça mal inspecionada. 
Formular um modelo de PL para possibilitar a designação ótima do 
número de inspetores de cada nível de modo a otimizar o custo da 
inspeção diáriada companhia. 
 
 
7) “Um problema de mistura” 
Deseja-se determinar as misturas de quatro derivados do petróleo, 
que serão os constituintes de três tipos de gasolina (extra, super e 
comum). Na Tabela a seguir estão as informações acerca dos custos 
e disponibilidade dos constituintes. 
20 
 
 
Dados sobre preços e especificações de gasolinas. 
 
A fim de manter a qualidade de cada tipo de gasolina, é preciso 
manter as porcentagens dos diversos constituintes dentro dos limites 
especificados. Os preços de venda de cada tipo de gasolina por barril 
também estão indicados na Tabela acima. O objetivo é maximizar o 
lucro. 
Modelagem: 
Variáveis de decisão: 
xij= quantidade do constituinte i (1,2, 3, 4) na gasolina j (A, B, C). 
21 
 
 
 ∑x1j≤3.000 
 ∑x2j≤2.000 
 ∑x3j≤4.000 
 ∑x4j≤1.000 
 
 
Deve-se, a seguir, substituir as variáveis auxiliares pelas variáveis de 
decisão e o modelo estará completo. 
22 
 
2.4-Exercícios 
 
1) Planejamento de Sessões de Radioterapia 
MARY acaba de receber um diagnóstico de câncer em um estágio 
relativamente avançado. Mais especificamente, ela tem um tumor 
maligno na área da bexiga (uma "lesão integral da bexiga"). Mary 
está por receber o tratamento médico mais avançado disponível 
oferecendo-lhe todas as chances disponíveis de sobrevivência. Esse 
tratamento incluirá radioterapia. 
A radioterapia envolve o uso de uma máquina de tratamento externo 
por fluxo de raios para passar radiação ionizante através do corpo do 
paciente, danificando tanto tecidos cancerígenos quanto saudáveis. 
Normalmente, vários fluxos são administrados precisamente de 
diferentes ângulos em um plano bidimensional. Em virtude da 
atenuação, cada fluxo libera mais radiação para o tecido mais 
próximo do ponto de entrada do que o tecido mais próximo do ponto 
de saída. A dispersão faz que uma parcela de radiação também atinja 
tecidos fora da trajetória direta do fluxo. Pelo fato de as células 
tumorais se posicionarem tipicamente, de forma microscópica, entre 
células saudáveis, a dosagem de radiação pela região do tumor tem 
de ser grande o bastante para matar as células malignas, que são 
ligeiramente um pouco mais sensíveis à radiação e, ao mesmo 
tempo, suficientemente pequena para poupar as células saudáveis. 
Ao mesmo tempo, a dose agregada a tecidos críticos não deve 
exceder os níveis de tolerância admitidos, de modo a impedir 
complicações que podem vir a ser mais sérias que a doença em si. 
Pela mesma razão, a dose total para toda a anatomia saudável deve 
ser minimizada. 
Em virtude da necessidade de se balancear cuidadosamente todos 
esses fatores, as sessões de radioterapia são processos muito 
delicados. O objetivo do planejamento das sessões é selecionar a 
23 
 
combinação de fluxo a serem usados e a intensidade de cada um 
deles, para gerar a melhor distribuição de dosagem possível. A 
potência da dose em qualquer ponto do corpo é medida em unidades 
chamadas kilorads. Uma vez que o planejamento do tratamento 
tenha sido desenvolvido, ele é administrado em várias sessões, 
distribuídas ao longo de várias semanas. 
No caso de Mary, o tamanho e a localização do tumor tomam o 
planejamento de seu tratamento um processo ainda mais complicado 
que o usual. A Figura a seguir mostra um diagrama de um corte 
transversal do tumor visto de cima, bem como tecidos críticos 
vizinhos a serem evitados. Entre esses tecidos temos órgãos críticos 
(por exemplo, o reto) assim como estruturas ósseas (por exemplo, o 
fêmur e a pélvis) que vão atenuar a radiação. Também são indicados 
o ponto de entrada e a direção para os dois únicos fluxos que podem 
ser usados com um mínimo de segurança nesse caso. Na verdade, 
estamos simplificando o exemplo nesse ponto, pois normalmente 
dezenas de possíveis fluxos têm de ser considerados. 
Para qualquer fluxo proposto de uma dada intensidade, a análise de 
qual seria a absorção de radiação resultante por várias partes do 
corpo requer um processo complicado. Em suma, com base em 
cuidadosa análise anatômica, a distribuição de energia dentro da 
secção transversal bidimensional do tecido pode ser plotada em um 
mapa de isodosagem, no qual as linhas de contorno representam a 
potência da dose na forma de uma porcentagem da potência da dose 
no ponto de entrada. Uma fina grade é então colocada sobre o mapa 
de isodosagem. Somando-se a radiação absorvida nas quadrículas 
contendo cada tipo de tecido, a dose média que é absorvida pelo 
tumor, anatomia saudável e tecidos críticos pode ser calculada. Com 
mais de um fluxo (administrado sequencialmente), a absorção da 
radiação é aditiva. 
24 
 
Após ampla análise desse tipo, a equipe médica estimou 
cuidadosamente os dados necessários para planejar o tratamento de 
Mary, conforme sintetizado na Tabela a seguir, A primeira coluna 
enumera as áreas do corpo que precisam ser consideradas e as duas 
colunas seguintes dão a fração da dose de radiação no ponto de 
entrada para cada fluxo que é absorvido pelas respectivas áreas em 
média. Por exemplo, se o nível da dose no ponto de entrada para o 
fluxo 1 for 1 kilorad, então uma média de 0,4 kilorad será absorvida 
por toda a anatomia sã no plano bidimensional; 0,3 kilorad, pelos 
tecidos críticos próximos; 0,5 kilorad, pelas várias partes do tumor; e 
0,6 kilorad, pelo núcleo do tumor. A última coluna apresenta as 
restrições na dosagem total de ambos os fluxos que são absorvidos 
na média pelas respectivas áreas do corpo. Em particular, a absorção 
de dosagem média para a anatomia saudável deve ser a menor 
possível; para os tecidos críticos, não pode exceder a 2,7 kilorads; a 
média por todo o tumor tem de ser igual a 6 kilorads; e para o núcleo 
do tumor deve ser de pelo menos 6 kilorads. 
 
 
25 
 
 
Formule o problema e resolva pelo método gráfico. 
 
 
2) Planejamento regional 
A confederação meridional de Kibutzim é um grupo de três kibutzim 
(comunidades agrícolas coletivas) em Israel. O planejamento geral 
para esses grupos é feito em seu Centro Técnico de Coordenação. 
Esse escritório está planejando atualmente a produção agrícola para 
o próximo ano. 
A produção agrícola de cada kibutz é limitada tanto pela quantidade 
de área irrigável disponível como pela quantidade de água alocada 
para a irrigação pelo Comissariado de Recursos Hídricos (um órgão 
governamental). Esses dados são fornecidos na Tabela a seguir. 
26 
 
Entre as plantações adequadas para essa região encontram-se 
beterraba, algodão e sorgo e são estas que estão sendo consideradas 
para o próximo período. Essas plantações diferem basicamente nos 
respectivos retornos líquidos esperados e consumo de água. Além 
disso, o Ministério de Agricultura tem uma cota máxima para a área 
total que pode ser dedicada a cada uma dessas plantações pela 
Confederação Meridional de Kibutzim, conforme ilustrado na Tabela a 
seguir. 
 
 
 
 
Em razão da limitada disponibilidade de água para irrigação, a 
Confederação Meridional de Kibutzim não será capaz de usar toda sua 
área irrigável para plantação de culturas na próxima temporada. Para 
garantir equilíbrio entre os três kibutzim, foi acordado que cada um 
deles vai plantar a mesma proporção de sua área irrigável. Por 
exemplo, se o kibutz 1 plantar 200 de seus 400 acres disponíveis, 
27 
 
então o kibutz 2 terá de plantar 300 de seus 600 acres, ao passo que 
o kibutz 3 plantaria 150 de seus 300 acres. Entretanto, qualquer 
combinação das plantações pode ser cultivada no kibutzim. A tarefa 
que o Centro Técnico de Coordenação deve enfrentaré planejar 
quantos acres devem ser dedicados a cada plantação no respectivo 
kibutzim satisfazendo as dadas restrições. O objetivo é maximizar o 
retomo líquido total para a Confederação Meridional do Kibutzim 
como um todo. 
Formule o problema e resolva usando o solver. 
3) Controlando a Poluição do Ar 
A NORI & LEETS CO., um dos maiores produtores de aço em sua 
região, localiza-se na cidade de Steeltown e é o único grande 
empregador nessa localidade. Steeltown cresceu e prosperou 
juntamente com a companhia que agora emprega cerca de 50.000 
residentes. 
Portanto, o pensamento dos habitantes da cidade sempre foi: "Se é 
bom para a Nori & Leets, então é bom para a cidade". Entretanto, 
esse tipo de pensamento está mudando: a poluição descontrolada 
gerada pelos fomos da empresa está destruindo a aparência da 
cidade e colocando em risco a saúde da população. 
Uma revolta recente dos acionistas resultou na eleição de uma nova 
diretoria mais esclarecida para a empresa. Esses novos diretores 
estão dispostos a seguir políticas socialmente corretas e vêm 
discutindo com governantes de Steeltown e representantes da 
sociedade o que fazer em relação ao problema da poluição do ar. 
Juntos, eles chegaram a rigorosos padrões de qualidade do ar para a 
camada atmosférica de Steeltown. 
Os três tipos principais de poluentes nessa camada atmosférica são 
material particulado, óxido de enxofre e hidrocarbonetos. Os novos 
28 
 
padrões requerem que a empresa reduza a emissão anual desses 
poluentes para os volumes especificados na Tabela a seguir. 
 
 
Padrões de ar puro para a Nori & Leets Co. 
 
 
 A diretoria instruiu a gerência para que fizesse que o pessoal da 
engenharia determinasse como atingir essas reduções do modo mais 
econômico possível. 
As siderúrgicas possuem duas fontes primárias de poluição, a saber: 
os alto-fomos para fabricar lingotes de gusa e os fomos Siemens-
Martin para transformar esses lingotes em aço. 
Em ambos os casos os engenheiros decidiram que os tipos mais 
eficientes de métodos para redução de poluição seriam: (1) aumentar 
a altura das chaminés, (2) usar dispositivos filtrantes (inclusive 
retentores de gases) nas chaminés e (3) incluir materiais limpadores 
de alta qualidade entre os combustíveis usados nos fornos. Cada um 
desses métodos possui sua limitação tecnológica na intensidade em 
que pode ser utilizado (por exemplo, um aumento máximo permitido 
na altura das chaminés), mas ainda há uma flexibilidade considerável 
para emprego do método em uma fração de seu limite tecnológico. 
29 
 
A Tabela a seguir ilustra a quantidade de emissão (em milhões de 
libras por ano) que pode ser eliminada de cada tipo de forno usando-
se completamente o limite tecnológico para quaisquer dos métodos 
de redução de poluição. Para fins de análise, parte-se do pressuposto 
de que cada método pode ser utilizado em níveis inferiores ao 
máximo para atingir qualquer fração das reduções de taxas de 
emissão apresentadas nessa tabela. Além disso, as frações podem 
ser diferentes para os alto fornos e para os fornos Siemens-Martin. 
Para cada tipo de forno, a redução de emissão alcançada por método 
não é afetada substancialmente por quaisquer que sejam os outros 
métodos também usados. 
Redução na taxa de emissão de poluentes (em milhões de 
libras por ano) a partir do máximo uso permitido de um 
método de redução para a Nori & leets Co. 
 
Após esses dados terem sido analisados, tornou-se evidente que 
nenhum método por si só seria capaz de alcançar todas as reduções 
exigidas. No entanto, combinar todos os três métodos a plena carga 
em ambos os tipos de fornos (o que teria um custo proibitivo caso os 
produtos da empresa tivessem de permanecer com preços 
competitivos) é muito mais adequado. Portanto, os engenheiros 
chegaram à conclusão que teriam de usar alguma combinação de 
30 
 
métodos, talvez com capacidades parciais, baseados em custos 
relativos. 
 Além disso, em virtudes das diferenças entre os alto fornos e os 
fornos Siemens-Martin, os dois tipos provavelmente não usariam a 
mesma combinação. 
Foi realizado um estudo para estimar o custo anual total que seria 
acarretado em cada um dos métodos de redução de poluição. O custo 
anual de um método inclui despesas operacionais e de manutenção 
crescentes, bem como receitas menores decorrentes de qualquer 
perda de eficiência do processo de produção provocado pelo uso do 
método. Outro custo importante é o custo inicial (o desembolso inicial 
de capital) exigido para instalar o método. Para tomar esse custo que 
ocorre uma única vez comensurável em relação aos custos anuais 
permanentes, o valor temporal do dinheiro foi usado para calcular o 
gasto anual (em relação à vida útil do método) que seria equivalente 
em valor a esse custo inicial. 
Essa análise levou a estimativas do custo anual total (em milhões de 
dólares) dados na Tabela a seguir para emprego dos métodos a plena 
capacidade. 
 Métodos de Redução de poluição 
 
Também foi determinado que o custo de um método sendo usado em 
um nível mais baixo é aproximadamente proporcional à fração da 
capacidade de redução de poluição dada na Tabela anterior que é 
alcançada. Portanto, para qualquer fração atingida, o custo anual 
31 
 
total seria grosseiramente essa fração da quantidade correspondente 
da Tabela de custos. 
Formule o problema e resolva usando o solver. 
Adendo 
Método Simplex 
 
O Método Simplex é uma técnica utilizada para se determinar, 
numericamente, a solução ótima de um modelo de Programação 
Linear. Será desenvolvido inicialmente para Problemas de 
Programação Linear, na forma padrão, mas com as seguintes 
características para o sistema linear de equações: 
 i) Todas as variáveis são não negativas; 
 ii) Todos os bi são não negativos; 
 iii) Todas as equações iniciais do sistema são do tipo “ ≤ “. Assim, na 
forma padrão, só encontra-se variáveis de folga. 
 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
 
Os passos abordados a seguir referem-se a um P.P.L. de 
minimização. 
Para iniciarmos o Método Simplex necessita-se de uma solução 
básica viável inicial, a qual é, um dos pontos extremos. Este 
método verifica se apresente solução é ótima. Se esta não for 
é porque um dos demais pontos extremos adjacentes (vértice) 
fornecem valor menor para a função objetivo quea atual, 
quando o problema considerado é de minimização. Ele então 
faz uma mudança de vértice na direção que mais diminua a função 
objetivo e verifica se este novo vértice é ótimo. 
O processo termina quando estando num ponto extremo, todos os 
outros pontos extremos adjacentes fornecem valores maiores para a 
função objetivo. 
Portanto, a troca de vértice, faz uma variável não básica 
crescer(assumir valor positivo) ao mesmo tempo em que zera 
34 
 
uma variável básica(para possibilitar a troca) conservando a 
factibilidade do Problema de Programação Linear. 
Para isso, escolhemos uma variável, cujo custo relativo é mais 
negativo (não é regra geral), para entrar na base, e as trocas 
de vértices são feitas até que não exista mais nenhum custo 
relativo negativo. 
A variável que sairá da base é aquela que ao se anular 
garante que as demais continuem maiores ou iguais a zero, 
quando aumentamos o valor da variável que entra na base 
(respeitando a factibilidade). 
O Método Simplex compreenderá, portanto, os seguintes passos: 
i) Achar uma soluçãofactível básica inicial; 
ii) Verificar se a solução atual é ótima. Se for, pare. Caso 
contrário, siga para o passo iii). 
iii) Determinar a variável não básica que deve entrar na base; 
iv) Determinar a variável básica que deve sair da base; 
v) Atualizar o sistema à fim de determinar a nova solução 
factível básica, e voltar ao passo ii. 
Exemplo: 
 
35 
 
 
36 
 
 
 
37 
 
 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
3-Programação Inteira e Programação Binária 
3.1-Introdução 
 
Os problemas de Programação Linear Inteira podem ser entendidos 
como casos específicos da Programação Linear (conjunto solução 
contínuo), onde todas, ou parte, das variáveis de decisão devem ser 
inteiras. Quando se usa esta classe de modelos é importante se ter 
mente o grau de dificuldade associado à sua solução. No entanto, isto 
não quer dizer que problemas que exijam computadores com alta 
capacidade computacional não possam ser resolvidos em um tempo 
aceitável. Mesmo que a solução ótima não seja encontrada, é 
possível obter boas soluções viáveis e mostrar quão próximo da 
solução ótima podem estar. 
 Um problema de programação linear inteira pode apresentar as 
seguintes situações: 
  Todas as varáveis de decisões são inteiras: são problemas 
denominados Problemas de Programação Linear Inteira Pura – PLIP; 
  Parte das varáveis de decisões são inteiras: são problemas 
denominados Problemas de Programação Linear Inteira Mista – PLIM; 
 Todas as varáveis de decisões são binárias: são problemas 
denominados Problemas de Programação Linear Inteira Binária – 
PLIB; 
  Parte das varáveis de decisões são binárias: são problemas 
denominados Problemas de Programação Linear Inteira Binária Mista 
– PLIBM. 
O modelo formal pode ser expresso por: 
40 
 
 
FORMAS PARA RESOLVER PROBLEMAS PLI 
Inicialmente, pode-se propor a solução de problemas de 
programação linear inteira por arredondamento ao final da 
aplicação de um método de programação linear, como por 
exemplo, pelo Simplex. 
Para tanto, deve-se ignorar, temporariamente, a restrição que 
impõe que as variáveis de decisão devam ser inteiras. Caso a 
resposta não seja um número inteiro, deve-se arredondá-la. Uns 
dos maiores problemas desta forma de resolver problemas de 
PLI é que o arredondamento pode não redundar em 
uma solução ótima (ver figura adiante). 
Outra abordagem é o método de enumeração que, pela avaliação das 
soluções viáveis, escolhe-se a melhor, ou seja, para problemas 
de maximização, a maior; para os de minimização, a menor. 
Um dos maiores entraves para a aplicação deste método é de 
ser impraticável para problemas reais que geralmente envolvem 
várias variáveis de decisão (observe o item 2 a seguir). 
Deve-se considerar algumas observações: 
1) O número de soluções em um problema de PLI é finito, 
mas isto não implica que seja fácil de resolver; 
41 
 
2) Num problema de PLIB com n variáveis há 2^n soluções, por 
isso, para alguns problemas, fica impossível enumerar todas as 
soluções; 
3) Os melhores algoritmos não podem garantir a solução de 
todos os problemas, mesmo relativamente pequenos (< 100 
variáveis); 
4) Para os valores que são suficientemente grandes para que o 
arredondamento não introduza erros significativos, pode-se até 
pensar neste artifício matemático; 
 
Para exemplificar, o gráfico a seguir expõe uma situação onde 
as soluções arredondadas não são viáveis. Em destaque a 
Região das Soluções Viáveis (RSV) de um problema de PL. 
 
 
 
 
42 
 
 
 
3.2-Métodos de resolução 
 
Como qualquer problema puro de PLI tem quantidade finita de 
soluções possíveis, deve-se considerar a utilização de um método de 
enumeração para encontrar um valor ótimo. Para esses casos, 
infelizmente a quantidade de possíveis soluções é, geralmente, 
muito grande, sendo então fundamental que o método utilizado 
seja suficientemente estruturado para que apenas uma pequena 
parte das soluções possíveis sejam realmente examinadas. 
O método Branch and Bound (em português, particionar e limitar 
“as partições”) é um algoritmo que apresenta essa qualidade. Como 
os problemas de PLI são “relativamente grandes”, para resolvê-
los diretamente deve-se dividi-lo em sub-problemas cada vez 
menores , até que estes possam ser solucionados. Sendo assim, 
43 
 
a ideia é desenvolver uma enumeração inteligente dos pontos 
candidatos (nós) em busca da solução ótima inteira do problema, 
por meio da partição do espaço e avaliação progressiva das soluções. 
A forma de divisão em problemas menores parte do princípio da 
separação de uma das variáveis de decisão inteiras, em um 
problema relaxado, utilizando-a em restrições contraditórias, 
criando uma espécie de ramificação (a partir de um nó), como 
em uma árvore. 
Uma das formas de relaxação consiste em, temporariamente, 
ignorar as restrições de integralidade do problema de PLI, tornando-
o um problema de PL, ficando, portanto, mais simples de resolver. A 
partir deste, pode-se usar para resolvê-lo o método Simplex. Deve-
se considerar que o conjunto de soluções viáveis do problema 
original (PLI) esteja contido no conjunto de soluções viáveis do 
problema relaxado (PL), como exemplificada na figura adiante, 
implicando em: 
a) Se o problema relaxado não tem solução viável, então o 
problema de PLI também não tem; 
b) O valor mínimo do problema de PLI não é menor que o valor 
máximo do problema relaxado; 
c) Se uma solução ótima do problema relaxado é viável no 
problema de PLI, então ela é uma solução ótima do problema de PLI. 
 
 
 
44 
 
 
A escolha do ponto (nó) para ramificação da árvore pode-se ser 
efetuada, dentre as várias técnicas, nas seguintes: 
a) Jumptracking: implementa uma busca em largura (figura a 
seguir), onde um nó com o mínimo limite inferior é selecionado 
para exame. Nesta estratégia o processo de ramificação salta de um 
ramo para outro na arvore de busca. 
b) Backtracking: implementa a busca em profundidade (figura a 
seguir), onde os nós descendentes de um nó pai são 
examinados em uma ordem arbitrária ou em ordem de limites 
inferiores não decrescentes. Nesta estratégia, primeiramente 
prossegue-se até o nível mais baixo por algum caminho para 
encontrar uma solução tentativa e então refazer aquele caminho 
para cima até o primeiro nível com nós ativos e assim por diante. 
É fácil notar que a estratégia jumptracking tende a construir uma 
grande lista de nós ativos, enquanto backtracking mantém 
relativamente uns poucos nós na lista a qualquer momento. U ma 
vantagem do jumptracking é a qualidade de suas soluções 
45 
 
tentativas, que são geralmente muito mais próximas do ótimo do 
que soluções geradas por backtracking, especialmente nos estágios 
iniciais da busca. 
d) O problema candidato relaxado (PL) não tem solução viável. 
Devido ao item a anterior, o problema candidato (PLI) também 
não tem solução viável; 
e) A solução ótima do problema candidato relaxado é pior do que a 
melhor solução atualmente conhecida. Observar que a solução 
ótima do problema candidato relaxado é sempre melhor ou 
igual à solução do problema candidato e deseus descendentes. 
e.1) Num problema de maximização, o máximo do problema 
relaxado constitui o limite superior para o máximo do problema 
original ; 
e.2) Num problema de minimização, o mínimo do problema 
relaxado constitui limite inferior para o mínimo do problema original . 
f) Uma solução ótima do problema relaxado é viável, também 
é no problema candidato. Devido ao item c anterior, ela também é 
ótima no problema candidato. Como uma solução viável de 
qualquer dos subproblemas é também uma solução viável do 
problema, então a solução é também factível. Caso a solução seja 
melhor que a atual, a solução deste problema ocupará a posição de 
melhor solução atual, descartando a anterior. 
3.3-Exercícios. 
 
1)Problema do carregamento de aviões. 
46 
 
 
De acordo com a figura acima formule um problema de programação 
linear que maximize o lucro do 
transporte , considerando: 
Capacidade volumétrica do compartimento 1: 40m³ 
Capacidade volumétrica do compartimento 2: 40m³ 
Capacidade volumétrica do compartimento 3: 30m³ 
Capacidade volumétrica do compartimento 4: 30m³ 
 
Cargas a serem transportadas(cargas unitizadas e indivisíveis): 
 
Carga tipo 1: 4m³, 300 Kg e R$ 500,00 de margem de contribuição. 
Carga tipo 2: 3m³, 250 Kg e R$ 480,00 de margem de contribuição. 
Carga tipo 3: 6m³, 300 Kg e R$ 500,00 de margem de contribuição. 
Capacidade máxima de carga: 40 toneladas. 
R: 
 
47 
 
 
2)Problema da compra de aviões 
Uma empresa aérea deseja comprar aviões a jato grandes, médios e 
pequenos. O preço de compra é de US$ 33,5 milhões para cada avião 
grande, US$ 25,0 milhões para cada avião médio e US$ 17,5 milhões 
para cada avião pequeno. O conselho diretor autorizou um 
comprometimento máximo de US$ 750 milhões para esta compra. 
Qualquer que seja a compra realizada, espera-se que haja mercado 
para assegurar a utilização dos aviões em sua capacidade máxima. 
Se estima que os lucros anuais líquidos (descontando o custo de 
recuperação do capital aplicado), é de US$ 2,1 milhões para um avião 
grande, US$ 1,5 milhões para um avião médio e US$ 1,15 milhões 
para um avião pequeno. Supõe-se que a empresa poderá dispor de 
pilotos treinados para operar até 30 aviões novos. Se forem 
comprados apenas aviões pequenos, as instalações de manutenção 
poderiam comportar até 40 aviões, porém cada avião médio equivale 
a 1,333 aviões pequenos e cada avião grande equivale a 1,6666 
aviões pequenos, em termos de utilização das mesmas instalações de 
manutenção. 
 Formule um modelo de programação inteira para este problema e 
resolva com o solver. 
3)Problema do menor caminho( distâncias em KM) 
 11 19 
 9 
 15 25 15 
 
 10 17 21 16 
 21 18 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
48 
 
Modele o problema do menor caminho entre 1 e 9, segundo a figura 
acima e resolva no solver. 
4) ) Uma certa indústria decidiu se expandir, construindo uma nova 
fábrica em Los Angeles ou em San Francisco. Também está sendo 
considerada a construção de um novo depósito na cidade que for 
selecionada para a nova fábrica. O valor presente líquido 
(lucraticviadade total considerando o valor do dinheiro no tempo) de 
cada uma destas alternativas está apresentado na tabela abaixo. A 
última coluna dá o capital requerido para os respectivos 
investimentos, onde o capital total disponível é de US$ 
25.000.000,00* . O objetivo é encontrar a combinação viável de 
alternativas que maximize o valor presente líquido total. 
 
 
 
5) Um jovem casal, Eva e Estêvão, quer dividir suas 
principais tarefas domésticas (compras,cozinhar, lavar pratos e 
lavar roupas) entre si, de modo que cada um tenha duas tarefas, 
mas que o tempo total gasto em tarefas domésticas seja mínimo. 
Suas eficiências nessas tarefas diferem, sendo que o tempo que cada 
um gastaria para desempenhar uma tarefa dado pela seguinte tabela: 
 
49 
 
 
 
6) Problema da evacuação. 
Numa certa região existe uma usina nuclear para geração de 
energia elétrica. Face à possibilidade da ocorrência de 
vazamento de material radioativo, é necessária a preparação 
de um plano de evacuação de emergência para a região 
circumvizinha. O plano deverá prever a retirada segura 
depessoas, animais e patrimônio essencial antes que os 
mesmos possam sofrer os efeitos nocivos da exposição 
radioativa. O modelo proposto para a evacuação idealiza a 
concentração das pessoas, animais e patrimônio em um centro de 
triagem e evacuação. A determinação do número de centros de 
triagem transcende a dimensão econômica. Se por um 
lado, um número excessivo de centros dificulta a coordenação 
da evacuação e aumenta o risco da exposição dos seres humanos, 
por outro, um número pequeno ocasionará certamente 
insuficiência no atendimento. As unidades de discretização 
possuem as seguintes demandas: 
pi =número de pessoas na área i 
vi =número de animais na área i 
oi =número de unidades de patrimônio na área i 
Cada centro de evacuação pode atender g pessoas, k animais e l 
unidades de patrimônio. 
 
50 
 
 
Considerando os limites g = 30, k = 15 e l = 20: 
 Formule o problema de minimizar o número de centros de triagem 
do sistema de evacuação e resolva no solver. 
R: 
7) Um hospital trabalha com um atendimento variável em 
demanda durante as 24 horas do dia. As necessidades distribuem-
se segundo a tabela abaixo: 
 
O horário de trabalho de um enfermeiro é de oito horas quando ele 
entra nos turnos 1, 2, 3, 4, e 6. O enfermeiro que entra no turno 4 
recebe uma gratificação de 50% sobre o salário e o enfermeiro que 
entra no turno 5 trabalha apenas quatro horas. Elabore o modelo de 
programação linear inteira que minimiza o gasto com a mão de obra. 
51 
 
4-Introdução a Teoria das Filas 
4.1-Introdução 
 
As filas (filas de espera) fazem parte do dia-a-dia de nossa vida. 
Todos nós esperamos em uma fila para: comprar o ingresso para 
uma sessão de cinema, fazer um depósito bancário, pagar as 
compras em um supermercado, remeter um pacote no correio, 
comprar um sanduíche em uma lanchonete, brincar em um parque de 
diversões etc. Acabamos nos acostumando a um volume considerável 
de espera, mas ainda assim nos irritamos se tivermos de aguardar 
muito em uma fila. Entretanto, ter de esperar não se limita apenas a 
esses transtornos pessoais de relativa insignificância. O tempo que a 
população de um país perde em filas é um importante fator tanto na 
qualidade de vida nesse país quanto na eficiência da economia dessa 
nação. Por exemplo, antes de sua dissolução, a União Soviética era 
notória por filas enormes que seus cidadãos frequentemente tinham 
de suportar para comprar suas necessidades básicas. Mesmo nos 
Estados Unidos, estima-se que os norte-americanos gastem 
37.000.000.000 horas por ano esperando em filas. Se, no entanto, 
esse tempo fosse gasto produtivamente, resultaria em 
aproximadamente 20 milhões de pessoas-ano de trabalho útil por 
ano! 
Mesmo esse número absurdo não é capaz de representar todo o 
impacto de se causar uma espera excessiva. Grandes ineficiências 
também ocorrem por causa de outrostipos de espera, além daquelas 
de pessoas esperando em uma fila. Por exemplo, deixar máquinas 
esperando para serem reparadas pode resultar em perdas na 
produção. 
Veículos (inclusive navios e caminhões) que precisam aguardar para 
ser descarregados podem atrasar embarques seguintes. Aviões 
aguardando para decolar ou pousar podem afetar horários de vôos 
52 
 
posteriores. Atrasos em transmissões de telecomunicações devido a 
linhas saturadas podem provocar problemas técnicos com os dados. 
Fazer que ordens de produção fiquem esperando para ser realizadas 
pode afetar a produção de lotes seguintes. Realizar serviços após a 
data combinada pode resultar na perda de futuros negócios. 
A teoria das filas é o estudo da espera em todas essas formas 
diversas. Ela usa modelos de filas para representar os diversos tipos 
de sistemas de filas (sistemas que envolvem filas do mesmo tipo) que 
surgem na prática. As fórmulas para cada modelo indicam como o 
sistema de filas correspondente deve funcionar, inclusive o tempo de 
espera médio que ocorrerá, em uma série de circunstâncias. 
Portanto, esses modelos de filas são muito úteis para determinar 
como operar um sistema de filas da forma mais eficiente. Fornecer 
capacidade de atendimento em excesso para operar o sistema 
envolve custos demasiados. Porém, não fornecer capacidade de 
atendimento suficiente resulta em espera excessiva e todas suas 
lamentáveis consequências. Os modelos permitem encontrar um 
equilíbrio apropriado entre custo de serviço e o tempo de espera. 
Nesse Capítulo é usado o modelo de filas com um canal, uma fila e 
população infinita ( FIFO M /M / /1/ ∞ ), uma vez que os pacientes 
são atendidos por um clínico geral. Aqui são utilizadas as seguintes 
notações para os indicadores de desempenho: 
a) tempo médio de permanência no sistema (TS); 
b) número médio de entidades no sistema (NS); 
c) Taxa média de chegada (λ); 
d) intervalo médio entre chegadas (IC); 
Sendo que por definição : 
IC=1/λ; 
e) tempo médio de permanência na fila (TF); 
53 
 
f) número médio de pacientes na fila (NF); 
g) tempo médio de atendimento ou de serviço em cada 
atendente (TA); 
h) capacidade de atendimento ou quantidade de atendentes (c); 
i) número médio de entidades que estão sendo atendidos (NA) e 
j) Taxa média de atendimento : 
µ=1/ TA . 
4.2- MODELO DE FILA FIFO M/ M /1/ ∞ 
 
No modelo FIFO M/ M /1/∞ , o período entre as chegadas 
sucessivas e o tempo de atendimento são markovianos, ou seja, 
as chegadas são processadas segundo uma distribuição de 
Poisson com média λ chegadas/tempo. Já o atendimento segue 
uma distribuição exponencial negativa com média 1/ µ. 
A variável aleatória de Poisson de parâmetro λ apresenta uma 
função de probabilidade representada por: 
 
Destaca-se que P(X=k) representa a probabilidade (ou frequência 
relativa) em que ocorrem k chegadas à unidade de tempo (dias) e λ 
é o ritmo médio de chegadas à unidade de tempo especificada. 
Essa distribuição é classificada como discreta e tende para a 
Distribuição Normal à medida que aumenta o valor de λ . 
Já a distribuição Exponencial Negativa é a correspondente da 
distribuição de Poisson quando se analisa o intervalo entre 
chegadas, quando um fenômeno segue Poisson, ele 
automaticamente tende a Distribuição Exponencial, cuja função de 
densidade é expressa da seguinte maneira: 
54 
 
 
Considerando-se que 0 > n , isto é, existem n entidades na fila de 
espera, pode-se determinar a probabilidade de que o sistema 
esteja ocupado, como: 
 
Também pode-se determinar as seguintes relações: 
Número médio de entidades no sistema: 
L=
�
���
 
Tamanho médio da fila: 
Lq=
�²
���
 
Tempo médio no sistema: 
W=
�
���
 
Tempo médio na fila: 
Wq=
�²
���
 
Probabilidade de haver n entidades no sistema: 
Pn=��(1 − �) 
 
 
55 
 
4.3-Exercícios 
 
Suponha que os sistemas dos exercícios sejam M/M/1 
1) Suponha que todos os proprietários de carros completem seus 
tanques quando o nível atinge exatamente a metade. Normalmente, 
uma média de 7,5 clientes por hora se dirigia a um posto de gasolina 
com uma única bomba. O tempo médio de atendimento é de 4 
minutos. Com a greve dos caminhoneiros, ocorrida a pouco tempo, 
um certo pânico se instalou. Para modelar este fenômeno suponha 
que os proprietários passaram a completar o tanque quando o 
nível está em 3/4 do tanque. Como cada proprietário está colocando 
menos gasolina no tanque, durante uma visita ao posto, assuma que 
o tempo médio de serviço tenha caído para 3 1/2 minutos. Como o 
pânico afeta L e W? 
2) A ocupação média de uma lanchonete de "fast-food" é de 
50 pessoas. Sabe-se que chegam a lanchonete 100 pessoas/hora e 
que em média uma pessoa demora 20' para fazer sua refeição. 
a. Quanto tempo demora um cliente dentro da lanchonete? 
b. Qual a percentagem deste tempo é gasta na fila? 
3) Considere um sistema com um único atendente tendo uma 
distribuição de chegadas Poisson com média = 10 c/h. Atualmente 
o atendente trabalha de acordo com uma distribuição exponencial 
com um tempo médio de serviço de 5 min. A gerência tem a sua 
disposição um curso de treinamento que terá como resultado 
uma melhora (decréscimo) na variância do tempo de serviço, 
porém com um leve aumento da média. Após a execução do 
curso estima-se que o tempo médio de serviço aumentará para 
5,5 min, porém o desvio padrão decrescerá de 5 para 4 min. 
Deve a gerência mandar o atendente fazer este curso? 
56 
 
 
4) Uma fábrica possui um depósito de ferramentas onde os operários 
vão receber as ferramentas especiais para a realização de uma 
determinada tarefa. Verificou-se que o ritmo de chegada (λ) é de 
uma chegada por minuto e o ritmo de atendimento (μ) é de 1,2 
atendimentos por minuto (seguem o modelo marcoviano M/M/1). A 
fábrica paga $9,00 por hora ao atendente e $18,00 por hora ao 
operário. 
 Determine: 
a) O custo horário do sistema. 
(Resposta: $99,00 por hora) 
b) A fração do dia em que o atendente não trabalha. 
(Resposta: 16%) 
5) Uma cooperativa agrícola prevê um crescimento na chegada de 
caminhões a seu terminal de descarga. O pátio de estacionamento, 
onde os caminhões permanecem, comporta seis caminhões. A 
cooperativa acha aceitável que um caminhão aguarde na fila sua vez 
de descarregar no máximo 0,75h. Como a equipe de descarga tem 
condições de descarregar quatro caminhões por hora em média, 
deseja-se saber: 
a) Qual a taxa média de chegada que faz com que o tempo médio de 
espera seja igual ao máximo admissível? 
 (Resposta: 3 caminhões por hora) 
b) Para essa taxa de chegadas, qual a probabilidade de que o pátio 
não seja suficiente? 
(Resposta:0,10) 
6) Em um sistema de uma fila e um canal, foram medidos a taxa de 
ocupação (0,8) e o tempo médio gasto na fila (15 min). Determine as 
seguintes probabilidades: 
a) De ocorrer 10 chegadas por hora; 
(0,0898) 
b) De que ocorram 12 atendimentos por hora e 
 (0,066) 
c) De formar uma fila com 10 clientes. 
(0,0215) 
57 
 
 
5-Revisão de Probabilidade 
5.1-Introdução 
 
Proponentes da definição da probabilidade por meio da frequência 
relativa usualmente respondem a essa objeção dizendo que a 
convergência de n(E)/n para um valor limite constante é uma 
suposição, ou um axioma, do sistema. Entretanto, supor que n(E)/n 
necessariamente convergirá para algum valorconstante parece ser 
uma suposição extraordinariamente complicada. Pois, embora 
realmente esperemos que tal frequência limite exista, não parece, a 
priori, de forma alguma evidente que este seja necessariamente o 
caso. De fato, não seria mais razoável supor um conjunto de axiomas 
simples e autoevidentes para a probabilidade e então provar que tal 
frequência limite constante existe de alguma maneira? 
 Esta é a abordagem axiomática moderna da teoria da probabilidade 
que adotamos neste texto. Em particular, vamos assumir que, para 
cada evento E no espaço amostral S, existe um valor P(E) chamado 
de probabilidade de E. Vamos então supor que todas as 
probabilidades satisfazem certo conjunto de axiomas, os quais, 
esperamos que o leitor concorde, estão de acordo com nossa noção 
intuitiva de probabilidade. Considere um experimento cujo espaço 
amostral é S. 
 
 Para cada evento E do espaço amostral S, assumimos que um 
número P(E) seja definido e satisfaça os três axiomas a seguir: 
58 
 
 
Referimo-nos a P(E) como a probabilidade do evento E. 
Assim, o Axioma 1 diz que a probabilidade de o resultado do 
experimento ser o resultado de E é igual a algum número entre O e 
1. O Axioma 2 diz, com probabilidade 1, que o resultado será um 
ponto contido no espaço amostral S. O Axioma 3 diz que, para 
qualquer sequência de eventos mutuamente exclusivos, a 
probabilidade de pelo menos um desses eventos ocorrer é justamente 
a soma de suas respectivas probabilidades. 
A próxima proposição fornece a relação entre a probabilidade da 
união de dois eventos, expressa em termos das probabilidades 
individuais e da probabilidade de interseção dos eventos. 
P(E U F) = P(E) + P(F) - P(EF) 
Para deduzir uma fórmula para P(E U F), primeiro notamos que E U F 
pode ser escrito como a união dos dois eventos disjuntos E e E'F 
ou, de outra forma: 
P(E U F) = P(E) + P(F) - P(II) 
de acordo com o diagrama a seguir. 
59 
 
 
 Diagrama de Venn 
5.2-Probabilidade condicional 
 
Se E e F representarem, respectivamente, o evento em que a soma 
dos dados é igual a 8 e o evento em que o primeiro dado é um 3, 
então a probabilidade que acabamos de obter é chamada de 
probabilidade condicional de que E ocorra dado que F ocorreu e é 
representada por Uma fórmula geral para P(E/F) que seja válida para 
todos os eventos E e F, é deduzida da mesma maneira: se o evento F 
ocorrer, então, para que E ocorra, é necessário que a ocorrência real 
seja um ponto tanto em E quanto em F; isto é, ela deve estar em EF. 
Agora, como sabemos que F ocorreu, tem-se que F se torna nosso 
novo, ou reduzido, espaço amostral; com isso, a probabilidade de que 
o evento EF ocorra será igual à probabilidade de EF relativa à 
probabilidade de F. Isto é, temos a seguinte definição. 
 
 
 
 
60 
 
5.3-Variáveis aleatórias 
 
Frequentemente, quando realizamos um experimento, estamos 
interessados principalmente em alguma função do resultado e não no 
resultado em si. Por exemplo, ao jogarmos dados, estamos muitas 
vezes interessados na soma dos dois dados, e não em seus valores 
individuais. Isto é, podemos estar interessados em saber se a soma 
dos dados é igual 7, mas podemos não estar preocupados em saber 
se o resultado real foi (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) ou (6,l). 
Também, ao jogarmos uma moeda, podemos estar interessados no 
número de caras que vão aparecer, e não na sequência de caras e 
coroas que teremos como resultado. Essas grandezas de interesse, 
ou, mais formalmente, essas funções reais definidas no espaço 
amostral, são conhecidas como variáveis aleatórias. 
Como o valor da variável aleatória é determinado pelo resultado do 
experimento, podemos atribuir probabilidades aos possíveis valores 
da variável aleatória. 
Exemplo: 
Suponha que nosso experimento consista em jogar 3 moedas 
honestas, com H simbolizando cara e T simbolizando coroa. Se Y 
representar o número de caras que aparecerem, então Y é uma 
variável aleatória que pode ter um dos valores 0,1,2 e 3 com 
respectivas probabilidades. 
 
61 
 
Valor Esperado. 
Um dos conceitos mais importantes na teoria da probabilidade é 
aquele do valor esperado de uma variável aleatória. Se X é uma 
variável aleatória com função de probabilidade p(x), então a 
esperança, ou o valor esperado, de X, representada por E[X], é 
definida por: 
 
Colocando em palavras, o valor esperado de X é uma média 
ponderada dos possíveis valores que X pode receber, com cada valor 
sendo ponderado pela probabilidade de que X seja igual a esse valor. 
Exemplo: 
Determine E[q], onde X é o resultado que obtemos quando rolamos 
um dado honesto. 
 
Variância 
Dada uma variável aleatória Xe sua função distribuição F, seria 
extremamente útil se pudéssemos resumir as propriedades essenciais 
de F em certas medidas convenientemente definidas. Uma dessas 
medidas seria E[X], o valor esperado de X. Entretanto, embora E[A 
forneça a média ponderada dos valores possíveis de X, ela não nos 
diz nada sobre a variação, ou dispersão, desses valores. 
Por exemplo, embora as variáveis aleatórias W, Y e Z com funções 
discretas de probabilidade determinadas por: 
62 
 
 
tenham todas a mesma esperança -que é igual a O - existe uma 
dispersão muito maior nos valores possíveis de Y do que naqueles de 
W (que é uma constante) e nos valores possíveis de Z do que 
naqueles de Y. Como esperamos que X assuma valores em torno de 
sua média E[q], parece razoável que uma maneira de medir a 
possível variação de X seja ver, em média, quão distante X estaria de 
sua média. Uma possível maneira de se medir essa variação seria 
considerar a grandeza E[IX- pl], onde p = E[X]. Entretanto, a 
manipulação dessa grandeza seria matematicamente inconveniente. 
Por esse motivo, uma grandeza mais tratável é usualmente 
considerada, esta é a esperança do quadrado da diferença entre X e 
sua média. Temos assim a definição a seguir. 
 
Covariância 
A covariância ou variância conjunta é um momento conjunto de 
primeira ordem das variáveis aleatórias X e Y,centrados nas 
respectivas médias. É a média do grau de interdependência ou 
interrelação numérica entre elas. 
Se X e Y são independentes, então a sua covariância é zero. Isto 
acontece porque sob independência: 
63 
 
 
Se X e Y são variáveis aleatórias de valor real e a, b, c e d constantes 
("constante", neste contexto significa não aleatória), então os 
seguintes fatos são uma consequência da definição da covariância: 
 
 
Variância da soma 
Var(ax + by) = a²Var(x)+b²Var(y)+2abcov(x,y) 
5.4-Exercícios 
 
1) O número de chamadas telefônicas recebidas por uma central 
e suas respectivas probabilidades para um intervalo de um minuto 
são: 
 
Qual é o número esperado de chamadas em um minuto? 
64 
 
2) Uma variável aleatória discreta pode assumir cinco valores, 
conforme a distribuição de probabilidade: 
 
a) Encontre o valor de P(3). 
b) Calcule a média da distribuição. 
c) Calcule a variância e o desvio padrão de X. 
3) considere um jogo no qual se lançam três moedas não viciadas e 
se recebe R$ 2,00 caso apareça 1 cara, R$ 4,00 se aparecerem 2 
caras e R$ 8,00 caso apareçam 3 caras. Se nenhuma cara ocorrem, 
nada se recebe. Quanto se esperaria ganhar caso fizesse esse jogo 
uma vez? 
4) em uma caixa há 5 peças boas e 3 defeituosas. Duas peças 
são retiradas ao acaso e sem reposição. Definindo a variável aleatória 
X como sendo o número de peças boas retiradas, obtenha a 
distribuição de probabilidades, o valor esperado, a variânciae o 
desvio padrão. 
5) Uma companhia de seguros acredita que pessoas possam ser 
divididas em duas classes: aquelas que são propensas a acidentes e 
aquelas que não são. A estatística da companhia mostra que uma 
pessoa propensa a acidentes tem probabilidade de 0,4 de sofrer um 
acidente dentro de um período fixo de l ano, enquanto essa 
probabilidade cai para 0,2 no caso de uma pessoa não propensa a 
acidentes. Se supomos que 30% da população é propensa a 
acidentes, qual é a probabilidade de que um novo segurado sofra um 
acidente no período de um ano posterior a compra de sua apólice? 
 
 
65 
 
6)De acordo com o enunciado do exercício 5, suponha que um novo 
segurado sofra um acidente em menos de um ano após a compra da 
apólice. Qual é a probabilidade de que ele seja propenso a acidentes? 
7) Considere o seguinte jogo de cartas jogado com um baralho 
comum de 52 cartas: as cartas são embaralhadas e então viradas 
uma de cada vez. Em qualquer momento, o jogador pode dizer que a 
próxima carta a ser virada será o ás de espadas; se ela o for, então o 
jogador vence. Além disso, o jogador é considera- do vencedor se o 
ás de espadas não tiver aparecido e restar apenas uma carta, desde 
que nenhuma tentativa de adivinhá-lo tenha sido feita. Qual seria 
uma boa estratégia? Qual seria uma estratégia ruim? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
6-Análise de decisão 
6.1-Introdução 
 
Os capítulos anteriores se concentraram principalmente na tomada de 
decisão quando as consequências de decisões alternativas eram 
conhecidas com um razoável grau de certeza. Esse ambiente de 
tomada de decisão permitiu a formulação de modelos matemáticos 
úteis (programação linear, programação inteira, programação não 
linear etc.) com funções objetivo que especificam as consequências 
estimadas de qualquer combinação de decisões. 
Embora essas consequências normalmente não possam ser previstas 
com absoluta certeza, elas poderiam ao menos ser estimadas com 
precisão suficiente para justificar o emprego de tais modelos 
juntamente com a análise de sensibilidade etc.). 
Entretanto, as decisões muitas vezes têm de ser tomadas em 
ambientes que estão muito mais propensos a estar cheios de 
incertezas. Eis alguns exemplos. 
1. Um fabricante lançando um novo produto no mercado. Qual será a 
reação de prováveis clientes? Quanto deve ser produzido? O produto 
deve ser comercializado de forma experimental em uma pequena 
região antes de decidir pela distribuição plena? Qual é o nível de 
propaganda necessário para que o lançamento do produto seja bem-
sucedido? 
2. Uma financeira investindo em títulos. Quais são os segmentos de 
mercado e títulos individuais com melhores perspectivas? Para quais 
caminhos a economia está se dirigindo? E as taxas de juros? Como 
esses fatores afetam as decisões de investimentos? 
3. Uma empreiteira participando de uma concorrência pública. Quais 
serão os custos efetivos do projeto? Quais seriam as demaisempresas 
participantes da concorrência? Quais seriam suas prováveis ofertas? 
67 
 
4. Uma empresa do setor agrícola selecionando o mix de plantações e 
de animais de cria para a próxima temporada. Quais serão as 
condições climáticas? Quais serão os preços? Quais serão os custos? 
5. Uma empresa petrolífera decidindo se deve ou não perfurar um 
poço em determinado local. Qual a probabilidade de existir petróleo 
aí? Em que volumes? Qual é a profundidade necessária para 
perfuração? Os geólogos devem investigar mais o local antes de 
perfurar? 
Esses são tipos de tomada de decisão que enfrentam um grande grau 
de incerteza para os quais a análise de decisão foi desenvolvida. A 
análise de decisão fornece uma estrutura e metodologia para tomada 
de decisão racional quando os resultados são incertos. 
6.2-Exemplo Protótipo 
 
A GOFERBROKE COMPANY é proprietária de uma área de terra que 
pode conter petróleo. Um geólogo consultor relatou à direção que ele 
acredita que haja 1 chance em 4 de encontrar petróleo. 
Em virtude dessa possibilidade, outra companhia petrolífera ofereceu 
US$ 90.000 para compra do terreno. Entretanto, a Goferbroke está 
considerando a possibilidade de permanecer com o terreno de modo 
a ela própria perfurá-lo em busca de petróleo. O custo de perfuração 
é de US$ 100.000. Se for encontrado petróleo, a receita esperada 
resultante será de US$ 800.000. 
 Tabela Prêmio 
 
68 
 
Qual a decisão que a companhia GoferBroke deve tomar: 
 1) vender a terra e ganhar $90.000,00 sem riscos ou 
2) perfurar o poço a um custo de $100.000,00 e obter um retorno de 
$800.000,00, resultando em lucro de $700.000,00 com um risco 
estimado em 75% (3 em 4) ? 
TOMADA DE DECISÃO SEM EXPERIMENTAÇÃO 
Como se percebe no exemplo protótipo, existe uma informação 
referente à chance que existe em achar petróleo ou não. Esta 
informação pode ser convertida em uma medida de probabilidade. 
Com isso, pode-se dizer que existe uma probabilidade de 0.25 de 
encontrar petróleo e consequentemente, uma probabilidade de 0.75 
de não encontrar petróleo. A estas probabilidades dá-se o nome de 
Probabilidades a Priori. Na terminologia de Análise de Decisão, os 
valores $700.000,00, $-100.000,00, $90.000,00 e $90.000,00 da 
tabela 1 são denominados Payoffs e os nomes “Poço com Petróleo” e 
“Poço Seco” são denominados Estados da Natureza. Por Tomada de 
Decisão Sem Experimentação, entende-se que é de conhecimento 
apenas as Probabilidades a Priori e os Estados da Natureza. Neste 
tipo de tomada de decisão pode-se utilizar, entre outros, três 
critérios: 
 1. Critério de Maximin Payoff, 
 2. Critério de Máxima Verossimilhança, e 
3. Critério da Regra de Bayes. 
Critério de Maximin Payoff 
Neste critério, o problema de tomar uma decisão é vista como um 
Jogo (Teoria dos Jogos) entre o Tomador de Decisão (jogador A) e a 
Natureza (jogador B). 
69 
 
Como a matriz de Payoff é geralmente formada para o Tomador de 
Decisão (os valores da matriz são os payoff para o jogador A), a 
decisão pode ser tomada baseada no Critério de Maximin Payoff. 
Critério de Maximin Payoff: para cada ação (estratégia), encontrar o 
mínimo payoff entre todos os Estados da Natureza e então encontrar 
o máximo destes payoff mínimos. Escolher a ação cujo mínimo payoff 
resultou neste máximo. 
 No exemplo protótipo o Maximin é: 
 Tabela Prêmio 
 
Com isso, a decisão a ser tomada é vender a terra. 
Critério de Máxima Verossimilhança 
 Este critério assume como decisão a ser tomada a que for mais 
provável. Critério de Máxima Verossimilhança: identificar o Estado da 
Natureza mais provável (o com maior probabilidade). Para este 
Estado da Natureza, encontrar a ação com máximo payoff. Escolher 
esta ação. Aplicando este critério para o exemplo protótipo, indica 
que o Estado Poço Seco possui a maior probabilidade. Na coluna 
"Poço Seco", a alternativa "Vender a terra" possui o maior payoff. 
70 
 
 
Com isso, a ação a ser tomada, segundo este critério é vender a 
terra. O maior problema deste critério é que este ignora 
completamente muita informação relevante. Nenhum outro Estado da 
Natureza é considerado, a não ser o mais provável. 
Regra de Decisão de Bayes: 
 Usando a melhor estimativa das probabilidades dos respectivos 
Estados da Natureza (as Probabilidades à Priori), calcular o valor 
esperado de payoff para cada alternativa possível. 
 Escolher a alternativa com máximo payoff esperado. 
Para o exemplo protótipo, os payoff esperados E são calculados 
diretamente a partir da primeira tabela