05_16_Lista_4_Alg_Lin

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA´
Disciplina: A´lgebra Linear - prof. Oliver
4a Lista de Exerc´ıcios - 16 / 05 /2019 -
1. Para cada uma das seguintes transformac¸o˜es Ti : R2 7→ R2, encontre uma matriz
A2×2 tal que Ti(x, y) pode ser escrita como Ti(x, y) = A
[
x
y
]
.
a) A transformac¸a˜o identidade T1(x, y) = (x, y) ∀x, y ∈ R.
b) A transformac¸a˜o homotetia, isto e´, T2(x, y) = (αx, αy) ∀x, y ∈ R, com α ∈ R
fixado.
c) A projec¸a˜o sobre o eixo x, isto e´, T3(x, y) = (x, 0) ∀x, y ∈ R.
d) A transformac¸a˜o nula T4(x, y) = (0, 0) ∀x, y ∈ R.
e) A rotac¸a˜o de θ = pi
2
sobre o eixo x, ou seja, a transformac¸a˜o que leva o sis-
tema de eixos coordenados xy no eixo x′y′, ortogonais, com a mesma origem e
rotacionados de θ = pi
2
rad.
2. Considere o espac¸o vetorial (R2,+, ·).
(a) Encontre a matriz de mudanc¸a de base de {(1, 2), (−2, 1)} para a base canoˆnica.
(b) Encontre a matriz de mudanc¸a da base canoˆnica para a base {(1, 2), (−2, 1)}.
(c) Encontre a matriz de mudanc¸a de base de {(1, 2), (,−2, 1)} para {(1, 3), (2, 4)}.
3. Considere as bases α = {(1, 1), (−1, 1)} e e = {(1, 0), (0, 1)} de R2.
a) Encontre a matriz da transformac¸a˜o Ta : R2 7→ R2 de α para e dada por
Ta(x, y) = (−2x+ y, x+ y).
b) Encontre uma transformac¸a˜o de R2 para R2 cuja matriz de transformac¸a˜o de α
para e seja Tb =
[
−1 0
2 2
]
.
c) Encontre a matriz da transformac¸a˜o obtida no item (b) da base α para a base
γ = {(−2, 1), (0, 3)}.
4. Considere as bases α e e do exerc´ıcio anterior de R2 e a base β = {(1, 0, 0), (0, 0, 1), (, 0, 1, 1)}
de R3.
1
a) Encontre a matriz da transformac¸a˜o Sa : R2 7→ R3 de e para β dada por
Sa(x, y) = (x+ 2y, 2x− y, x− y).
b) Encontre uma transformac¸a˜o de R3 para R2 cuja matriz de transformac¸a˜o de β
para e seja Sb =
[
1 −1 0
−1 1 2
]
.
c) Considere a transformac¸a˜o de R2 para R3 dada pela composic¸a˜o Te = (Sa(Ta(x, y)))
(dos itens (a) dos exerc´ıcios 4 e 3 respectivamente). Encontre a matriz de trans-
formac¸a˜o de Te de α para β.
5. Invente um produto interno de Rn que na˜o seja um dos vistos em sala e verifique
que e´ de fato um produto interno.
6. Dados os vetores u = (1, 1, 0), v = (1,−1, 2) e w = (0,−1, 3) obtenha uma base
ortonormal de vetores de R3 usando o processo de Gram-Schmidt.
2