notas fisica 2

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Notas de Aula de F´ısica 2
Da´fni Fernanda Zenedin Marchioro
Setembro de 2014
i
O que e´ F´ısica?∗
Como todas as outras cieˆncias, a f´ısica e´ baseada em observac¸o˜es experimentais e
medidas quantitativas. O principal objetivo da f´ısica e´ encontrar o nu´mero limitado de
leis fundamentais que governam os fenoˆmenos naturais, e usa´-las para desenvolver teorias
que podem prever os resultados de experimentos futuros. As leis fundamentais usadas
nas teorias desenvolvidas sa˜o expressas na linguagem da matema´tica, a ferramenta que
fornece a ponte entre teoria e experimento.
Quando uma discrepaˆncia entre teoria e experimento surge, novas teorias devem ser
formuladas para remover a discrepaˆncia. Muitas vezes uma teoria e´ satisfato´ria apenas
sob certas condic¸o˜es limitadas; uma teoria mais geral deve ser satisfato´ria sem tais li-
mitac¸o˜es. Por exemplo, as leis de movimento descobertas por Isaac Newton (1642 - 1727)
no se´culo 17 descrevem acuradamente o movimento de corpos a velocidades normais, mas
na˜o se aplicam a objetos se movendo a velocidades compara´veis com a velocidade da luz.
Em contraste, a teoria especial da relatividade desenvolvida por Albert Einstein (1879
- 1955) no in´ıcio dos anos 1900 fornece os mesmos resultados que as leis de Newton a
baixas velocidades, mas tambe´m descreve corretamente movimento a velocidades que se
aproximam da velocidade da luz. Assim, a teoria de Einstein e´ uma teoria mais geral do
movimento.
F´ısica Cla´ssica, o que significa toda a f´ısica desenvolvida antes de 1900, inclui as teorias,
conceitos, leis e experimentos em mecaˆnica cla´ssica, termodinaˆmica e eletromagnetismo.
Contribuic¸o˜es importantes a` f´ısica cla´ssica foram fornecidas por Newton, que desen-
volveu a mecaˆnica cla´ssica como uma teoria sistema´tica e foi um dos pioneiros no uso
do ca´lculo como uma ferramenta matema´tica. Grandes desenvolvimentos em mecaˆnica
∗traduc¸a˜o das primeiras pa´ginas do livro Fundamentals of Physics, autor Halliday.
i
ii
continuaram no se´culo 18, mas os campos da termodinaˆmica e eletricidade e magnetismo
na˜o foram desenvolvidos ate´ a parte final do se´culo 19, principalmente porque antes deste
tempo, o aparato para experimentos controlados era ou muito cru ou indispon´ıvel.
Uma nova era na f´ısica, geralmente chamada de f´ısica moderna, comec¸ou perto do
final do se´culo 19. A f´ısica moderna se desenvolveu principalmente pela descoberta de
que muitos fenoˆmenos f´ısicos na˜o poderiam ser explicados pela f´ısica cla´ssica. Os dois
mais importantes desenvolvimentos em f´ısica moderna sa˜o as teorias da relatividade e
da mecaˆnica quaˆntica. A teoria da relatividade de Einstein revolucionou os tradicio-
nais conceitos de espac¸o, tempo e energia; a mecaˆnica quaˆntica, que se aplica ao mundo
macrosco´pico e microsco´pico, foi originalmente formulada por um nu´mero de distintos
cientistas para fornecer descric¸o˜es de fenoˆmenos f´ısicos a n´ıvel atoˆmico.
Cientistas constantemente trabalham na melhora de nosso entendimento dos fenoˆmenos
e leis fundamentais, e novas descobertas sa˜o feitas todos os dias. Em muitas a´reas de pes-
quisa, uma grande quantidade de superposic¸a˜o existe entre f´ısica, qu´ımica, geologia e
biologia, assim como com a engenharia. Alguns dos mais nota´veis desenvolvimentos sa˜o
(1) va´rias misso˜es espaciais e a aterrissagem de astronautas na Lua, (2) microcircuitos e
computadores de alta velocidade, e (3) te´cnicas sofisticadas de imagem usadas em pes-
quisa cient´ıfica e medicina. O impacto que tais desenvolvimentos e descobertas tem tido
em nossa sociedade tem sido de fato grande, e e´ muito prova´vel que descobertas e de-
senvolvimentos futuros sera˜o tambe´m ta˜o excitantes e desafiadores e de grande benef´ıcio
para a humanidade.
ii
iii
Passos para resolver problemas †
Ale´m do que voceˆ poderia esperar aprender sobre conceitos de f´ısica, uma habilidade
muito valiosa que voceˆ deve esperar adquirir no seu curso de f´ısica e´ a capacidade de
resolver problemas complicados. A forma como os f´ısicos abordam situac¸o˜es complexas e
as quebram em partes gerencia´veis e´ extremamente u´til.
Reu´na a informac¸a˜o
A primeira coisa a fazer ao abordar um problema e´ entender a situac¸a˜o. Leia cuida-
dosamente o enunciado do problema, procurando por frases-chave como “em repouso” ou
“cai livremente”. Que informac¸a˜o e´ dada? Qual e´ exatamente a questa˜o pedida? Na˜o
esquec¸a de juntar informac¸a˜o de suas pro´prias experieˆncias e senso comum. Como uma
resposta razoa´vel deveria se parecer? Voceˆ na˜o esperaria calcular a velocidade de um
automo´vel como sendo 5 × 106 m/s. Voceˆ sabe que unidades esperar? Ha´ casos limites
que voceˆ pode considerar? O que acontece quando um aˆngulo se aproxima de 0o ou 90o
ou quando uma massa se torna grande ou tende a zero? Certifique-se tambe´m de estudar
cuidadosamente quaisquer desenhos que acompanham o problema.
Organize sua abordagem
Uma vez que voceˆ tenha realmente uma boa ideia do que se trata o problema, voceˆ pre-
cisa pensar no que fazer a seguir. Voceˆ ja´ tinha visto este tipo de questa˜o anteriormente?
Ser capaz de classificar um problema pode tornar muito mais fa´cil estabelecer um plano
para resolveˆ-lo. Quase sempre voceˆ deve fazer um desenho ra´pido da situac¸a˜o. Classifique
†traduc¸a˜o da pa´gina 47 do livro Fundamentals of Physics, autor Halliday.
iii
iv
eventos importantes com letras circuladas. Indique quaisquer valores conhecidos, talvez
numa tabela ou diretamente no esboc¸o do desenho.
Analise o problema
Porque voceˆ ja´ caracterizou o problema, na˜o deveria ser muito dif´ıcil selecionar equac¸o˜es
relevantes que se aplicam a este tipo de situac¸a˜o. Use a´lgebra (e ca´lculo, se necessa´rio)
para resolver para a varia´vel desconhecida em termos do que e´ dado. Substitua os nu´meros
apropriados, calcule o resultado, e arredonde-o para o nu´mero apropriado de algarismos
significativos.
Aprenda a partir de seus esforc¸os
Esta e´ a parte mais importante. Examine sua resposta nume´rica. Ela corresponde a`s
suas expectativas do primeiro passo? E quanto a` forma alge´brica do resultado - antes de
voceˆ substituir os valores nume´ricos? Faz sentido? (Tente olhar para as varia´veis nela
para ver se a resposta mudaria de forma relevante fisicamente se elas fossem drasticamente
aumentadas ou diminu´ıdas ou ainda se tornassem zero). Pense em como este problema
se compara com outros que voceˆ tenha feito. Como foi similar? De que maneira cr´ıtica
eles diferem? Por que este problema foi proposto? Voceˆ deve ter aprendido alguma coisa
ao fazeˆ-lo. Voceˆ consegue entender o queˆ?
Quando for resolver problemas complexos, voceˆ pode precisar identificar uma se´rie
de sub-problemas e aplicar os passos acima a cada um. Para problemas muito simples,
provavelmente voceˆ na˜o precisara´ dos passos acima. Mas quando voceˆ olhar para um
problema e na˜o souber o que fazer a seguir, lembre-se dos passos acima e use-os como
guia.
iv
Conteu´do
1 Movimento Oscilato´rio 1
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Revisa˜o ra´pida de trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Movimento Harmoˆnico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Acelerac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Condic¸o˜es iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Energia do oscilador harmoˆnico simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 O peˆndulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Movimentocircular uniforme e MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Oscilac¸o˜es amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Oscilac¸o˜es forc¸adas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9.1 Nı´vel “coloque na fo´rmula” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9.2 Nı´vel “pense, enta˜o coloque na fo´rmula” . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.9.3 Elaboradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Ondas: parte 1 30
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
i
ii Conteu´do
2.2 Ondas progressivas em uma dimensa˜o: propagac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Func¸a˜o de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Trem de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.3 Velocidade de ondas em cordas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.4 Reflexa˜o e transmissa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Energia e poteˆncia de uma onda progressiva numa corda . . . . . . . . . . 47
2.4 Superposic¸a˜o de ondas mecaˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.1 Ondas estaciona´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.2 Ondas estaciona´rias numa corda fixa em ambas as extremidades . . 60
2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.1 Nı´vel “coloque na fo´rmula” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.2 Nı´vel “pense, enta˜o coloque na fo´rmula” . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.3 Elaboradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Ondas: parte 2 65
3.1 Ondas em duas e treˆs dimenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.1 Intensidade de ondas sonoras e n´ıvel sonoro . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.2 Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.3 Ondas estaciona´rias em colunas de ar . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.4 Propriedades musicais e quantidades f´ısicas . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.1 Nı´vel “coloque na fo´rmula” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.2 Nı´vel “pense, enta˜o coloque na fo´rmula” . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.3 Elaboradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4 Gravitac¸a˜o 83
4.1 As treˆs leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
ii
Conteu´do iii
4.2 Lei da Gravitac¸a˜o Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.1 Acelerac¸a˜o de queda livre e a forc¸a gravitacional . . . . . . . . . . . 85
4.3 Campo gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4 Energia Potencial Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5 Considerac¸o˜es de energia no movimento planeta´rio e de sate´lite . . . . . . . 91
4.5.1 Revendo a Terceira Lei de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5.2 Velocidade de escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.6 Forc¸a gravitacional entre um objeto extenso e uma part´ıcula . . . . . . . . 96
4.6.1 Forc¸a gravitacional entre uma part´ıcula e uma massa esfe´rica . . . . 98
4.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5 Mecaˆnica dos Fluidos 103
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2 Pressa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.1 Variac¸a˜o da pressa˜o com a profundidade e lei de Pascal . . . . . . . 105
5.2.2 Medic¸a˜o de pressa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3 Forc¸a de Empuxo e Princ´ıpio de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4 Dinaˆmica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4.1 Definic¸o˜es que caracterizam um fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4.2 Modelo de fluido ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.3 Linhas de fluxo e a equac¸a˜o da continuidade . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.4 Equac¸a˜o de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6 Termodinaˆmica - Parte 1 125
6.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2 Equil´ıbrio te´rmico e Lei Zero da Termodinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.2.1 Aplicac¸a˜o da Lei Zero da Termodinaˆmica: termoˆmetros . . . . . . . 128
iii
iv Conteu´do
6.2.2 Escalas de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.2.3 Expansa˜o te´rmica de so´lidos e l´ıquidos . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.3 Calor, capacidade te´rmica e calor espec´ıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3.1 Calor e energia interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3.2 Capacidade te´rmica, calor espec´ıfico e calor latente . . . . . . . . . 137
6.3.3 Transfereˆncia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.4 Primeira Lei da Termodinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.4.1 Trabalho e Calor em Processos Termodinaˆmicos . . . . . . . . . . . 143
6.4.2 A Primeira Lei da Termodinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.4.3 Aplicac¸o˜es da Primeira Lei da Termodinaˆmica . . . . . . . . . . . . 148
6.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
iv
Cap´ıtulo 1
Movimento Oscilato´rio
1.1 Introduc¸a˜o
O movimento oscilato´rio e´ descrito em termos de modelos matema´ticos de func¸o˜es trigo-
nome´tricas, justamente por sua caracter´ıstica perio´dica. Podemos encontrar movimento
oscilato´rio nos seguintes fenoˆmenos e situac¸o˜es f´ısicas:
• Movimento de um peˆndulo;
• Ondas eletromagne´ticas (luz, por exemplo);
• Mole´culas num so´lido;
• Mu´sica (vibrac¸o˜es dos instrumentos de corda e sopro);
• Teoria de cordas.
1.2 Revisa˜o ra´pida de trigonometria
C´ırculo trigonome´trico - ver figura 1.1. Para transformar de radianos para graus e
vice-versa, usamos o fato de que
pi rad ≡ 180o (1.1)
1
2 1.2. Revisa˜o ra´pida de trigonometria
Figura 1.1: C´ırculo trigonome´trico.
e usamos uma regra de treˆs, como abaixo:
pi rad→ 180o
pi
3
→ x graus (1.2)
Figura 1.2: Gra´fico da func¸a˜o seno.
Func¸a˜o seno - ver figura 1.2. A func¸a˜o seno e´ perio´dica, ou seja, a cada 2pi, seu gra´fico
se repete. Por esta raza˜o,
2
1.3. Movimento Harmoˆnico Simples 3
sen (θ + 2pi) = sen θ (1.3)
Figura 1.3: Gra´fico da func¸a˜o cosseno.
Func¸a˜o cosseno - ver figura 1.3. A func¸a˜o cosseno tambe´m e´ perio´dica, e portanto,
cos (θ + 2pi) = cos θ (1.4)
1.3 Movimento Harmoˆnico Simples
Ver figura 1.4. Na disciplina de F´ısica 1, voceˆs viram que a forc¸a responsa´vel por restaurar
a posic¸a˜o da massa m a` posic¸a˜o de equil´ıbrio e´
F = −kx (1.5)
Esta forc¸a e´ chamada de forc¸a restauradora da mola ou lei de Hooke. Esta equac¸a˜o e´
va´lida para pequenos deslocamentos x da massa m em torno da posic¸a˜o de equil´ıbrio, de
tal forma que a mola na˜o e´ deformada e k (constante da mola) e´ de fatouma constante.
Tambe´m podemos escrever (1.5) como
3
4 1.3. Movimento Harmoˆnico Simples
Figura 1.4: Movimento Harmoˆnico Simples no sistema bloco-mola.
ma = −kx (segunda lei de Newton)
m
d2x
dt2
= −kx
d2x
dt2
= − k
m
x (1.6)
Queremos saber como e´ a func¸a˜o posic¸a˜o x = x(t) de tal forma que a equac¸a˜o (1.6)
seja satisfeita. Primeiro vamos considerar uma equac¸a˜o mais simples:
d2x(t)
dt2
= −x(t) (1.7)
Como deveria ser a func¸a˜o x(t) para que a equac¸a˜o (1.7) seja satisfeita? Precisamos
escolher uma func¸a˜o do tempo tal que, se derivada duas vezes, resulte na mesma func¸a˜o
com sinal negativo.
Primeiro chute:
4
1.3. Movimento Harmoˆnico Simples 5
x = x(t) = cos t (1.8)
Derivando a func¸a˜o (1.8) duas vezes em relac¸a˜o a t, temos
d2(cos t)
dt2
=
d
dt
(−sen t) = − cos t = −x(t) = d
2x(t)
dt2
(1.9)
que e´ a equac¸a˜o (1.7). No entanto, a func¸a˜o
x(t) = A cos t , A = constante (1.10)
tambe´m satisfaz (1.7), pois
d2(A cos t)
dt2
= A
d2(cos t)
dt2
= A
d
dt
(−sen t) = −A cos t = −x(t) = d
2x(t)
dt2
(1.11)
e e´ mais geral que 1.8). No entanto, queremos resolver a equac¸a˜o (1.6), e a equac¸a˜o (1.10)
na˜o a satisfaz:
d2x
dt2
= − k
m
x
−A cos t = − k
m
x
−x = − k
m
x → ERRADO! (1.12)
A func¸a˜o que satisfaz (1.6) e´ a func¸a˜o
x(t) = A cos(ωt) , A = constante , ω = constante (1.13)
pois
d2(A cosωt)
dt2
= A
d2(cosωt)
dt2
= A
d
dt
(−ωsen ωt) = Aω d
dt
(−sen ωt)
= −Aω2 cosωt = −ω2x(t) = d
2x(t)
dt2
, com ω2 =
k
m
(1.14)
5
6 1.3. Movimento Harmoˆnico Simples
No entanto, a func¸a˜o mais geral que satisfaz (1.6) e´ (verifique em casa!)
x(t) = A cos(ωt+ φ) , A = constante , ω = constante , φ = constante (1.15)
sendo que ω2 = k/m, como no caso da equac¸a˜o (1.14).
A equac¸a˜o (1.15) descreve o deslocamento sofrido pelo corpo de massa m preso a` mola
de constante de mola k quando o mesmo recebe um impulso inicial externo e sai de sua
posic¸a˜o de equil´ıbrio. Poder´ıamos chegar a esta mesma conclusa˜o olhando para o gra´fico
x× t do experimento feito no laborato´rio, que tem a forma de uma seno´ide.
Agora, o que sa˜o as quantidades A, ω e φ?
• A → amplitude → ma´ximo deslocamento da part´ıcula, tanto no sentido positivo
como negativo.
Como entender isso? Bom, olhando para a func¸a˜o cosseno, sabemos que o maior
e o menor valor dela e´ ±1. Enta˜o, para a func¸a˜o x = cos t, a amplitude A e´ um
(compare com a equac¸a˜o (1.10)). Agora, para a func¸a˜o x = 2 cos t, se eu quiser
saber seu maior valor, preciso pegar o maior valor do cosseno, que e´ +1, e portanto
A = 2. E para o menor valor do cosseno, ou seja, −1, enta˜o A = −2.
• ω → e´ dado pela equac¸a˜o
ω =
√
k
m
(1.16)
e´ a frequeˆncia angular do movimento. Tem unidade de radianos/segundo.
• φ → e´ chamada de fase constante ou aˆngulo de fase. Determinado pelas condic¸o˜es
iniciais do problema, como veremos a seguir.
A func¸a˜o (1.15), sendo uma “func¸a˜o” cosseno, e´ perio´dica: ela se repete, ou melhor,
volta a` posic¸a˜o inicial, passado um tempo T , que chamamos de per´ıodo. O per´ıodo e´ o
6
1.3. Movimento Harmoˆnico Simples 7
tempo que demora para fazer uma oscilac¸a˜o. Equivale a dizer que o argumento ωt + φ
aumenta de 2pi quando completa uma oscilac¸a˜o completa, ou seja,
ω(t+ T ) + φ = ωt+ φ+ 2pi
ωt+ ωT + φ = ωt+ φ+ 2pi
ωT = 2pi
T =
2pi
ω
(1.17)
O inverso do per´ıodo e´ o que chamamos de frequeˆncia, que representa o nu´mero de
oscilac¸o˜es da part´ıcula por unidade de tempo:
f =
1
T
=
ω
2pi
(1.18)
sua unidade e´ s−1 = Hz (Hertz). A quantidade ωt+ φ e´ chamada de fase do movimento.
1.3.1 Velocidade
Sabemos da disciplina de F´ısica 1 que
v ≡ dx(t)
dt
(1.19)
Portanto, usando a equac¸a˜o acima e a func¸a˜o x(t) que descreve o movimento harmoˆnico
simples (equac¸a˜o (1.15), temos
v(t) =
d
dt
(A cos(ωt+ φ)) = −Aωsen (ωt+ φ) (1.20)
Qual e´ o valor ma´ximo da velocidade? Sera´ quando ωt+φ for tal que o seno e´ ±1, ou
seja,
vmax = ±Aω (1.21)
7
8 1.3. Movimento Harmoˆnico Simples
1.3.2 Acelerac¸a˜o
Da F´ısica 1, a acelerac¸a˜o e´
a ≡ d
2x(t)
dt2
(1.22)
e da mesma forma que fizemos na sec¸a˜o anterior, temos que a acelerac¸a˜o para o movimento
harmoˆnico simples e´
a(t) =
d2
dt2
(A cos(ωt+ φ)) =
d
dt
(−Aωsen (ωt+ φ)) = −Aω2 cos(ωt+ φ) (1.23)
e a acelerac¸a˜o ma´xima e´
amax = ±Aω2 (1.24)
Um caso especial: φ = 0
Figura 1.5: Movimento Harmoˆnico Simples para φ = 0.
Digamos que, em t = 0, a massa m esta´ na posic¸a˜o x = A. Sabemos que a soluc¸a˜o
do movimento harmoˆnico simples, para qualquer t, e´ dada pela equac¸a˜o (1.15). Portanto,
temos, para t = 0,
8
1.3. Movimento Harmoˆnico Simples 9
x(0) = A = A cos(ω · 0 + φ)
A = A cosφ (1.25)
Para satisfazer a equac¸a˜o acima, cosφ = +1, e o menor aˆngulo com este valor para o
cosseno e´ φ = 0. Assim, a soluc¸a˜o neste caso e´ somente
x(t) = A cosωt (1.26)
e a velocidade e acelerac¸a˜o sa˜o
v = −Aωsen ωt
a = −Aω2 cosωt (1.27)
Em t = 0, a velocidade sera´ v = 0 pois sen 0 = 0. A velocidade sera´ ma´xima quando
sen ωt = ±1, ou seja, quando ωt = pi/2, 3pi/2, 5pi/2, . . ., que sa˜o os valores para os quais
x(t) = 0. Veja na figura 5 os gra´ficos de deslocamento e velocidade, sendo xm = A.
Com relac¸a˜o a` acelerac¸a˜o, em t = 0 ela e´ dada por a = −Aω2, ou seja, e´ ma´xima
no sentido negativo. Ela sera´ ma´nima (a = 0) quando cosωt = 0, que e´ quando ωt =
pi/2, 3pi/2, 5pi/2, . . ., ou seja, nos valores onde a velocidade e´ ma´xima. Veja a tabela 1 com
as quantidades posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o para uma oscilac¸a˜o completa.
ωt x v a
0 A 0 −Aω2
pi
2
0 −Aω 0
pi -A 0 +Aω2
3pi
2
0 +Aω 0
2pi A 0 −Aω2
Tabela 1.1: MHS para φ = 0.
9
10 1.3. Movimento Harmoˆnico Simples
1.3.3 Condic¸o˜es iniciais
Figura 1.6: Condic¸o˜es iniciais.
Veremos agora que as quantidades A e φ esta˜o relacionadas com as condic¸o˜es iniciais
do problema. Digamos que, em t = 0, a posic¸a˜o e´ x(0) = xi e a velocidade e´ v(0) = vi.
Assim, as equac¸o˜es (1.15) e (2.20) em t = 0 sa˜o
x(0) = A cos(ω · 0 + φ)→ xi = A cosφ (1.28)
v(0) = −Aωsen (ω · 0 + φ)→ vi = −Aωsen φ (1.29)
Dividindo (1.29) por (1.28), temos
10
1.3. Movimento Harmoˆnico Simples 11
vi
xi
=
−Aωsen φ
A cosφ
vi
xi
= −ωtg φ
tg φ = − vi
ωxi
φ = arctg
(
− vi
ωxi
)
(1.30)
Ou seja, φ e´ determinado pelas condic¸o˜es iniciais em t = 0.
Agora, vamos elevar ao quadrado as equac¸o˜es (1.28) e (1.29):
x2i = A
2 cos2 φ (1.31)
v2i = A
2ω2sen2φ (1.32)
e dividiremos v2i por ω
2:
v2i
ω2
=
A2ω2sen2φ
ω2
v2i
ω2
= A2sen2φ (1.33)
Somando termo a termo as equac¸o˜es (1.31) e (1.33), temos
x2i +
v2i
ω2
= A2 cos2 φ+ A2sen2φ
x2i +
v2i
ω2
= A2(cos2 φ+ sen2φ)
A2 = x2i +
v2i
ω2
(pois cos2 φ+ sen2φ = 1)
A =
√
x2i +
v2i
ω2
(1.34)
Ou seja, A tambe´m e´ determinado pelas condic¸o˜es iniciais em t = 0. Veja na figura 6
como ficam os gra´ficos de x(t), v(t) e a(t) sendo as condic¸o˜es iniciais em t = 0: x(0) = xi
e v(0) = vi.
11
12 1.4. Energia do oscilador harmoˆnico simples
1.4 Energia do oscilador harmoˆnico simples
Figura 1.7: Sistema bloco-mola.
Veja a figura 1.7. Consideramos que na˜o ha´ atrito entre o bloco e o solo, ou seja, na˜o
ha´ forc¸as dissipativas, e a forc¸a resultante atuando sobre o bloco e´ a forc¸a restauradora
da mola (equac¸a˜o (1.5)). Como a forc¸a restaudarora da mola e´ uma forc¸a conservativa, a
energia mecaˆnica do sistema se conserva, ou seja, e´ constante.
A energia cine´tica e´ dada por
K =
mv2
2
=
m
2
(−Aωsen (ωt+ φ))2 = m
2
A2ω2sen2(ωt+ φ) (1.35)
A energia potencialdo sistema e´ devida a` forc¸a restauradora da mola - e´ a energia
potencial ela´stica, dada por
U =
kx2
2
=
k
2
(A cos(ωt+ φ))2 =
k
2
A2 cos2(ωt+ φ) (1.36)
A energia mecaˆnica e´ a soma da energia cine´tica com a potencial. Portanto, usando
as equac¸o˜es (1.35) e (1.36), temos
E = K + U =
m
2
A2ω2sen2(ωt+ φ) +
k
2
A2 cos2(ωt+ φ) (1.37)
Usando o fato que ω2 = k/m na equac¸a˜o acima, temos
12
1.4. Energia do oscilador harmoˆnico simples 13
E =
m
2
A2 × k
m
sen2(ωt+ φ) +
k
2
A2 cos2(ωt+ φ)
E =
kA2
2
[sen2(ωt+ φ) + cos2(ωt+ φ)]
E =
kA2
2
(1.38)
pois sen2(ωt+ φ) + cos2(ωt+ φ) = 1. Portanto, a energia mecaˆnica total de um oscilador
harmoˆnico simples e´ constante (pois na˜o depende de t) e e´ proporcional ao quadrado da
amplitude.
Figura 1.8: Energia no MHS.
Note que, pelo fato de K depender de seno e U depender de cosseno, K e´ grande
quando U e´ pequeno, e U e´ grande quando K e´ pequeno. No entanto, E sempre sera´
dada pela equac¸a˜o (4.19). Veja na figura 1.8, para o caso em que φ = 0, os gra´ficos de K
e U em relac¸a˜o a t (figura 1.8a) e em relac¸a˜o a` amplitude (figura 1.8b).
13
14 1.4. Energia do oscilador harmoˆnico simples
ωt x v a K U
0 A 0 −Aω2 0 1
2
kA2
pi
2
0 −Aω 0 1
2
kA2 0
pi -A 0 +Aω2 0 1
2
kA2
3pi
2
0 +Aω 0 1
2
kA2 0
2pi A 0 −Aω2 0 1
2
kA2
Tabela 1.2: MHS para φ = 0.
Agora, vejamos a tabela 1.2, que e´ a tabela 1.1 acrescida dos valores para energia em
alguns instantes t, para o caso em que φ = 0. Perceba que, quando x e a sa˜o ma´ximos, U
e´ ma´ximo (pois depende de x), e v e K sa˜o mı´nimos. Por outro lado, quando v e K sa˜o
ma´ximos (pois K depende de v), as quantidades x, a e U sa˜o mı´nimas. No entanto, E e´
sempre kA2/2.
Podemos encontrar a velocidade do oscilador numa posic¸a˜o arbitra´ria x, pois a energia
mecaˆnica se conserva:
E = K + U =
mv2
2
+
kx2
2
=
kA2
2
(1.39)
Isolando v2:
mv2
2
=
kA2
2
− kx
2
2
v2 =
kA2
m
− kx
2
m
v2 =
k
m
(A2 − x2)
v = ±
√
k
m
(A2 − x2) = ±
√
ω2(A2 − x2) = ±ω
√
(A2 − x2) (1.40)
Aplicac¸a˜o: Potencial de Lennard-Jones. Este potencial esta´ relacionado a` forc¸a que
mante´m os a´tomos juntos, formando as mole´culas. Veja figura 1.9. Para pequenos
deslocamentos a partir da posic¸a˜o de equil´ıbrio, a curva da energia potencial pode ser
aproximada por uma para´bola, como na figura 1.8b. Sendo assim, podemos descrever o
14
1.5. O peˆndulo simples 15
Figura 1.9: Modelo para mole´culas.
movimento de a´tomos em mole´culas, considerando-os como aproximac¸a˜o o fato de que
eles sa˜o osciladores harmoˆnicos simples.
Outros sistemas que podem usar as ideias do MHS: bungee jumping, sintonia de uma
estac¸a˜o de TV, luz emitida por um laser.
1.5 O peˆndulo simples
Vejam figura 1.10. O peˆndulo simples exibe comportamento oscilato´rio. Temos um prumo
de massa m suspenso por uma corda leve de comprimento L. O movimento ocorre no
eixo vertical, e e´ executado devido a` forc¸a da gravidade. Vamos mostrar que, se θ < 10o,
o movimento e´ de um oscilador harmoˆnico simples (OHS).
As forc¸as envolvidas:
• ~T - tensa˜o da corda, que se equilibra com a componente ~Fp = mg cos θ da forc¸a da
gravidade.
• ~FT - componente tangente ao movimento da forc¸a gravitacional. E´ responsa´vel pelo
movimento, que sempre e´ na direc¸a˜o de θ = 0, ou seja, contra´ria ao deslocamento.
15
16 1.5. O peˆndulo simples
Figura 1.10: Peˆndulo simples.
Esta e´ uma forc¸a restauradora.
Enta˜o, pela segunda lei de Newton, temos
∑
FT = −mg sen θ = md
2s
dt2
(1.41)
onde s e´ o deslocamento do prumo medido ao longo do arco e o sinal de menos indica que
a forc¸a tangente atua em direc¸a˜o a` posic¸a˜o de equil´ıbrio.
Relac¸a˜o arco - aˆngulo
Figura 1.11: Relac¸a˜o arco-aˆngulo.
16
1.5. O peˆndulo simples 17
Veja figura 1.11. Seja s = AP a medida do segmento de arco definido pelo aˆngulo α,
e r = OP o raio da circunfereˆncia ao qual o arco pertence. Temos que
s = rα (1.42)
relac¸a˜o que vem da regra de treˆs abaixo:
2pir → 2pi rad
s→ α rad (1.43)
Para o nosso caso, ou seja, a figura 10, temos que
s = Lθ (1.44)
e assim, em (1.41), temos
m
d2(Lθ)
dt2
= −mg sen θ (1.45)
Como na equac¸a˜o acima apenas θ = θ(t), ou seja, θ e´ uma func¸a˜o do tempo e L e´ constante
(na˜o muda com o tempo), enta˜o
L
d2θ
dt2
= −g sen θ
d2θ
dt2
= − g
L
sen θ (1.46)
Do lado direito da equac¸a˜o acima aparece sen θ, portanto o movimento esperado na˜o e´ de
um OHS - compare com a equac¸a˜o (1.6). No entanto, se θ e´ pequeno,
sen θ ≈ θ (1.47)
e enta˜o
17
18 1.6. Movimento circular uniforme e MHS
d2θ
dt2
= − g
L
θ , para θ pequeno (1.48)
que e´ ana´logo a` equac¸a˜o (1.6) e, portanto, representa um movimento harmoˆnico simples
(MHS). Assim, podemos escrever a soluc¸a˜o para θ como sendo
θ = θmax cos(ωt+ φ) (1.49)
sendo θmax o ma´ximo deslocamento angular (amplitude) e a velocidade angular dada por
ω =
√
g
L
(1.50)
O per´ıodo do movimento sera´
T =
2pi
ω
= 2pi
√
L
g
(1.51)
mostrando-nos que, neste caso, o per´ıodo do movimento depende apenas do comprimento
da corda e da acelerac¸a˜o da gravidade. Como na˜o depende da massa do prumo, conclu´ımos
enta˜o que todos os peˆndulos simples que tem comprimentos iguais e esta˜o no mesmo local
(com mesmo ~g) oscilam com o mesmo per´ıodo!
Como aplicac¸a˜o, o peˆndulo pode ser usado como um relo´gio - e de fato e´ usado assim,
nos relo´gios antigos.
1.6 Movimento circular uniforme e MHS
Veja figura 1.12. A` medida que a placa roda com velocidade angular constante, a sombra
da bola se move para frente e para tra´s em MHS.
Vamos analisar em detalhes o que esta´ acontecendo. Na figura 1.13a, mostramos uma
part´ıcula localizada no ponto P numa circunfereˆncia de raio A. Chamamos o c´ırculo de
“c´ırculo de refereˆncia” para comparar o Movimento Circular Uniforme (MCU) e o MHS,
18
1.6. Movimento circular uniforme e MHS 19
Figura 1.12: Experimento para mostrar relac¸a˜o entre MHS e MCU.
e a posic¸a˜o de P em t=0, quando o segmento OP faz um aˆngulo φ com o eixo x, e´ a
“posic¸a˜o de refereˆncia”.
Digamos que a part´ıcula se move ao longo do circulo com velocidade angular constante
ω. Na figura 1.13b, para t > 0, a part´ıcula se moveu ao longo do circulo, e o segmento
OP agora forma um aˆngulo θ com o eixo x. Do MCU, temos que
θ = ωt+ φ (1.52)
A` medida que a part´ıcula se move ao longo do circulo, o ponto P projeta uma sombra no
eixo x, representada pelo ponto Q; ele se move para frente e para tra´s ao longo do eixo
x, entre os limites x = ±A. Como P e Q teˆm a mesma coordenada x, temos que, pelo
triaˆngulo OPQ da figura 1.13b,
19
20 1.6. Movimento circular uniforme e MHS
Figura 1.13: C´ırculo de refereˆncia.
cos θ =
x
A
→ x = A cos θ = A cos(ωt+ φ) (1.53)
Ou seja, Q se move de acordo com um MHS ao longo do eixo x. Assim,
MHS ao longo de uma linha reta pode ser representado pela projec¸a˜o do
MCU ao longo do diaˆmetro de um circulo de refereˆncia.
20
1.6. Movimento circular uniforme e MHS 21
Note que tambe´m podemos fazer estas considerac¸o˜es para a projec¸a˜o de P ao longo do
eixo y, e concluimos que tambe´m esta projec¸a˜o se movimenta de acordo com um MHS.
Podemos concluir, enta˜o, que o MCU e´ uma combinac¸a˜o de dois MHS (um
ao longo do eixo x e outro ao longo do eixo y), com os dois diferindo por uma
fase de pi/2, ou seja, 90o.
A velocidade angular ω de P e´ a frequeˆncia angular ω do MHS ao longo do eixo x, pois
o tempo para uma revoluc¸a˜o completa de P no c´ırculo de refereˆncia e´ igual ao per´ıodo do
movimento T para o MHS entre x = A e x =−A. O aˆngulo inicial φ corresponde a` fase
constante do MHS e o raio A do MCU corresponde a` amplitude do MHS.
Com relac¸a˜o a` velocidade, no MCU a relac¸a˜o da velocidade linear e da angular e´
v = rω (1.54)
sendo r o raio do circulo do MCU. No nosso caso, v = Aω. Veja a figura 14c). Esta
velocidade e´ tangente a` circunfereˆncia, como deveria ser. Sua componente em relac¸a˜o ao
eixo x e´
vx = v cos(90
o − θ)
= ωA[cos 90o cos θ + sen 90o sen θ]
= ωA sen θ
= ωA sen (ωt+ φ) (1.55)
mas como a velocidade tem a direc¸a˜o contra´ria ao movimento,
vx = −ωA sen (ωt+ φ) (1.56)
Da mesma forma, pensando na posic¸a˜o de Q ao longo do eixo x:
vx =
dx
dt
=
d(A cos θ)
dt
=
d(A cos(ωt+ φ))
dt
= −Aωsen (ωt+ φ) (1.57)
21
22 1.7. Oscilac¸o˜es amortecidas
e chegamos a` mesma conclusa˜o.
Pode-se fazer a mesma ana´lise para acelerac¸a˜o, olhando para a figura 14d). Fica
como exerc´ıcio mostrar que a componente x da acelerac¸a˜o linear do MCU
corresponde a` acelerac¸a˜o do MHS!
1.7 Oscilac¸o˜es amortecidas
Observamos oscilac¸o˜es amortecidas na presenc¸a de uma forc¸a dissipativa (ou resistiva,
como atrito e resisteˆncia do ar), que cessa o movimento em algum momento. A energia
mecaˆnica do sistema diminui com o tempo e o movimento e´ chamado de amortecido. Se
considerarmos que a forc¸a e´ proporcional a` velocidade do objeto que se move (este e´ um
modelo poss´ıvel para forc¸a resistiva),
~R = −b~v (1.58)
sendo b o coeficiente de amortecimento, e sabendo que a forc¸a restauradora e´ dada por
~F = −k~x, enta˜o
∑
Fx = −kx− bv = max
−kx− bdx
dt
= m
d2x
dt2
(1.59)
que e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de segunda ordem, cuja soluc¸a˜o, para b pequeno
(forc¸a resistiva menor que a forc¸a restauradora), e´
x = A exp
(
− bt
2m
)
cos(ωt+ φ) (1.60)
sendo
ω =
√
k
m
−
(
b
2m
)2
(1.61)
22
1.7. Oscilac¸o˜es amortecidas 23
que e´ a frequeˆncia angular de oscilac¸a˜o. Agora a amplitude de oscilac¸a˜o e´ dada por
A exp
(− bt
2m
)
, ou seja, ela na˜o e´ constante no tempo, mas diminui exponencialmente a`
medida que o tempo passa, como pode ser visto pelo gra´fico da figura 1.14. Portanto,
quando a forc¸a resistiva e´ menor que a forc¸a restauradora, o cara´ter oscilato´rio do movi-
mento e´ preservado, mas a amplitude diminui com o tempo, ate´ que o movimento cesse
finalmente. Um sistema que se comporta desta forma e´ chamado de oscilador amortecido.
Figura 1.14: Oscilac¸a˜o amortecida.
Chamando de frequeˆncia natural do sistema a quantidade
ωo =
√
k
m
(1.62)
podemos reescrever a equac¸a˜o (1.61) como
ω =
√
ω2o −
(
b
2m
)2
(1.63)
E´ importante destacar que a frequeˆncia natural do sistema e´ a frequeˆncia do MHS na
auseˆncia de forc¸as resistivas atuando no sistema.
Vamos analisar treˆs casos do movimento amortecido:
• 1) Sub-amortecido: o maior valor da magnitude da forc¸a resistiva Rmax e´ menor que
o maior valor da forc¸a restauradora, ou seja
23
24 1.7. Oscilac¸o˜es amortecidas
Rmax = bvmax < kA (1.64)
A` medida que o valor de R se aproxima de kA, as amplitudes de oscilac¸a˜o decrescem
mais e mais rapidamente.
• 2) Amortecido cr´ıtico: quando ω = 0, ou seja,
bc
2m
= ω0 (1.65)
O sistema na˜o oscila: quando o sistema e´ solto de alguma posic¸a˜o de na˜o equil´ıbrio,
ele retorno ao equil´ıbrio e permanece la´.
• 3) Super amortecido: o maior valor da magnitude da forc¸a resistiva Rmax e´ maior
que o maior valor da forc¸a restauradora, ou seja
Rmax = bvmax > kA (1.66)
Aqui tambe´m temos que b/2m > ω0. Neste caso, o sistema tambe´m na˜o oscila:
quando liberado de uma posic¸a˜o de na˜o equil´ıbrio, ele retorna a` posic¸a˜o de equil´ıbrio.
No entanto, a` medida que o amortecimento aumenta, o tempo que o sistema leva
para chegar ao equil´ıbrio tambe´m aumenta.
Vejam na figura 1.15 o gra´fico de x× t, que mostra o comportamento do sistema nos
3 casos acima: a - sub-amortecido, b - amortecido cr´ıtico, c - super amortecido. Nos treˆs
casos, a energia mecaˆnica e´ dissipada, ou seja, na˜o e´ conservada.
Aplicac¸a˜o: amortecedores.
24
1.8. Oscilac¸o˜es forc¸adas 25
Figura 1.15: Oscilac¸a˜o amortecida.
1.8 Oscilac¸o˜es forc¸adas
Resultante da aplicac¸a˜o de uma forc¸a externa no sistema, que faz trabalho positivo,
compensando a perda de energia devido ao movimento amortecido. Exemplo: crianc¸a
no balana˜o do parque.
A amplitude do movimento se mante´m constante se a energia aplicada por ciclo se
iguala a` energia perdida pelo amortecimento. O movimento e´ chamado de oscilac¸a˜o
forc¸ada.
Vamos pensar num oscilador amortecido impulsionado por uma forc¸a externa que varia
periodicamente:
F = Fext cos(ωt) (1.67)
sendo ω a frequeˆncia angular da forc¸a perio´dica e Fext e´ constante. enta˜o, da Segunda Lei
de Newton,
∑
F = ma
Fext cos(ωt)− kx− bdx
dt
= m
d2x
dt2
(1.68)
Apo´s um per´ıodo de tempo suficientemente longo, quando a energia fornecida por ciclo
25
26 1.9. Exerc´Icios
se iguala a` energia perdida por ciclo, o sistema atinge a condic¸a˜o de estado estaciona´rio,
onde as oscilac¸o˜es seguem com amplitude constante. Neste esta´gio, a soluc¸a˜o de (1.68) e´
x = A cos(ωt+ φ) (1.69)
sendo
A =
Fext/m√
(ω2 − ω20)2 +
(
bω
m
)2 (1.70)
e ω0 dada pela equac¸a˜o (1.62). O movimento do oscilador forc¸ado na˜o e´ amortecido neste
caso, pois o agente externo contribui com a energia necessa´ria para compensar a energia
perdida devido a` forc¸a resistiva. O sistema oscila com frequeˆncia angular ω, ou seja, a
frequeˆncia angular da forc¸a externa.
No caso de amortecimento pequeno, a amplitude se torna muito grande quando ω
esta´ perto da frequeˆncia natural ω0. Podemos ver isto olhando para a equac¸a˜o (1.70): o
termo
(
bω
m
)2
pode ser desprezado no denominador por ser pequeno em relac¸a˜o ao termo
(ω2 − ω20)2, e como ω → ω0, enta˜o ω2 − ω20 → 0, e assim A→∞.
O aumento dra´stico da amplitude quando ω → ω0 e´ chamado de ressonaˆncia, e por esta
raza˜o ω0 e´ tambe´m chamada de frequeˆncia de ressonaˆncia do sistema. Ou seja, podemos
relacionar ressonaˆncia → oscilac¸o˜es de amplitudes muito grandes.
Veja a figura 1.16, que e´ o gra´fico da amplitude A em func¸a˜o da frequeˆncia ω. A curva
em preto e´ para amortecimento grande (b grande), a curva em azul para amortecimento
pequeno (b pequeno) e a curva em laranja para amortecimento nulo (b = 0).
1.9 Exerc´ıcios
1.9.1 Nı´vel “coloque na fo´rmula”
1. Para o MHS descrito pela equac¸a˜o x = (2, 0) cos(4pit+pi), sendo x em metros e t em
segundos, encontre: a) amplitude; b) frequeˆncia angular; c) frequeˆncia; d) per´ıodo;
26
1.9. Exerc´Icios 27
Figura 1.16: Oscilac¸a˜o forc¸ada.
e) fase constante.
2. Para o mesmo MHS do exerc´ıcio anterior, calcule: a) velocidade em qualquer ins-
tante de tempo; b) acelerac¸a˜o em qualquer instante de tempo; c) velocidade ma´xima;
d) acelerac¸a˜o ma´xima; e) velocidade em t = 0; f) posic¸a˜o em t = 0.
3. Ainda no mesmo MHS, calcule: a) energia cine´tica em t = 0; b) energia potencial
em t = 0; c) energia mecaˆnica em t = 0. Assuma que na˜o ha´ forc¸as dissipativas
atuando no sistema.
4. Para um peˆndulo que tem comprimento de 1,0 m, encontre a) seu per´ıodo e b) sua
frequeˆncia de oscilac¸a˜o.
1.9.2 Nı´vel “pense, enta˜o coloque na fo´rmula”
1. Um objeto que executa um movimento harmoˆnico simples leva 0,25 s para se deslocar
de um ponto de velocidade nula para o ponto seguinte do mesmo tipo. A distaˆncia
entre esses pontos e´ 36 cm. Calcule a) o per´ıodo, b) a frequeˆncia e c) a amplitude
do movimento.
27
28 1.9. Exerc´Icios
2. Quando o deslocamento em um MHS e´ metade da amplitude A, que frac¸a˜o da
energia total e´ a) energia cine´ticae b) energia potencial? c) Para que deslocamento,
como frac¸a˜o da amplitude, a energia do sistema e´ metade energia cine´tica e metade
energia potencial?
3. O fato de g variar com o local sobre a superf´ıcie da Terra despertou a atenc¸a˜o
quando, em 1672, Jean Richer levou um relo´gio de peˆndulo de Paris para Caiena,
na Guiana Francesa, e constatou um atraso de 2,5 min/dia. Se g = 9, 81 m/s2 em
Paris, calcule seu valor em Caiena.
1.9.3 Elaboradas
1. O gra´fico da figura 1.17 mostra a acelerac¸a˜o a(t) de uma part´ıcula que executa um
MHS. a) Qual dos pontos indicados corresponde a` part´ıcula na posic¸a˜o −A? b) No
ponto 4, a velocidade da part´ıcula e´ positiva, negativa ou nula? c) No ponto 5, a
part´ıcula esta´ em −A, em +A, em zero, entre −A e zero ou entre zero e +A?
IMPRESSO POR: dafni marchioro <dafnizenedin@gmail.com>. A impressão é apenas para uso pessoal e privado. Nenhuma parte deste livro pode ser reproduzida ou 
transmitida sem prévia autorização do editor. Os violadores serão processados.
Figura 1.17: Exerc´ıcio 1.
2. Na figura 1.18, um sistema massa-mola e´ colocado em MHS em dois experimentos.
No primeiro, o bloco e´ puxado ate´ sofrer um deslocamento d1 em relac¸a˜o a` posic¸a˜o
de equil´ıbrio e depois liberado. No segundo, e´ puxado ate´ sofrer um deslocamento
maior d2 e depois liberado. a) A amplitude, b) o per´ıodo, c) a frequeˆncia, d) a
energia cine´tica ma´xima e e) a energia potencial ma´xima do movimento no segundo
experimento e´ maior, menor ou igual a` do primeiro experimento?
28
1.9. Exerc´Icios 29
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Figura 1.18: Exerc´ıcio 2.
3. Um oscilador e´ formado por um bloco preso a uma mola (k = 400 N/m). Em um
certo instante t, a posic¸a˜o (medida a partir da posic¸a˜o de equil´ıbrio do sistema), a
velocidade e a acelerac¸a˜o do bloco sa˜o x = 0, 100 m, v = −13, 6 m/s e a = −123
m/s2. Calcule a) a frequeˆncia de oscilac¸a˜o, b) a massa do bloco e c) a amplitude do
movimento.
29
Cap´ıtulo 2
Ondas: parte 1
2.1 Introduc¸a˜o
Num sentido amplo, uma onda e´ qualquer sinal que se transmite de um ponto a outro de
um meio com velocidade definida. Em geral, fala-se de uma onda quando a transmissa˜o
do sinal entre dois pontos distantes ocorre sem que haja transporte direto de mate´ria de
um desses pontos ao outro.
Figura 2.1: Ondas na superf´ıcie da a´gua.
Exemplo: onda na superf´ıcie da a´gua; veja figura 2.1. O sinal pode ser associado com
uma crista, onde a elevac¸a˜o da a´gua e´ ma´xima. A onda transporta energia e momento,
30
2.1. Introduc¸a˜o 31
pois uma onda provocada por uma lancha deslocando-se sobre a superf´ıcie tranquila de
um lago sacode um barco distante ao atingi-lo. No entanto, na˜o ha´ transporte direto de
uma dada massa de a´gua da lancha ate´ o barco. Um pequeno objeto flutuante mostra
como se move a superf´ıcie da a´gua na passagem da onda: para cima e para baixo, para
frente e para tra´s, mas permanecendo, em me´dia, na mesma posic¸a˜o. E´ a forma da onda
(no caso, a crista) que se propaga de ponto a outro sobre a superf´ıcie.
Ate´ o momento, trabalhamos nas disciplinas ba´sicas de F´ısica com part´ıculas, e e´ u´til
neste momento mostrar as diferenc¸as entre ondas e part´ıculas na F´ısica Cla´ssica:
• part´ıculas sa˜o localizadas no espac¸o, ou seja, teˆm posic¸a˜o definida. Ja´ ondas na˜o
esta˜o localizadas numa posic¸a˜o definida do espac¸o, mas “espalhadas” no espac¸o.
• duas part´ıculas na˜o podem ocupar o mesmo lugar no espac¸o, ja´ duas ondas podem
coexistir na mesma localizac¸a˜o.
• ha´ fenoˆmenos que sa˜o tipicamente ondulato´rios, ou melhor, que caracterizam o com-
portamento de ondas: interfereˆncia e difrac¸a˜o. Part´ıculas na˜o sofrem interfereˆncia
nem difrac¸a˜o.
No entanto, a` luz do que chamamos Mecaˆnica Quaˆntica, estas diferenc¸as na˜o fazem
sentido microscopicamente (ou seja, na escala atoˆmica), pois os objetos quaˆnticos (luz e
ele´trons, por exemplo) apresentam comportamentos de part´ıcula ou de onda dependendo
do experimento.
2.1.1 Tipos de ondas
Podemos classificar as ondas de va´rias maneiras, dependendo da caracter´ıstica que se quer
evidenciar para distingui-las.
1. Meio em que se propagam: de acordo com este crite´rio temos
31
32 2.1. Introduc¸a˜o
(a) ondas mecaˆnicas: precisam de um meio para se propagar. Sa˜o as ondas que
veremos neste curso. Exemplos: ondas sonoras, ondas na a´gua.
(b) ondas eletromagne´ticas: na˜o precisam de um meio para se propagar, ou seja, se
propagam no va´cuo tambe´m. Todas as ondas eletromagne´ticas se propagam no
va´cuo com a mesma velocidade, ou seja, c = 299.792.458 m/s. Sera˜o tratadas
na disciplina de F´ısica 3. Exemplos: luz vis´ıvel, ondas de ra´dio, sinais de TV,
raio X.
2. Direc¸a˜o de movimento das part´ıculas do meio: de acordo com este crite´rio
temos
(a) ondas longitudinais: veja figura 2.2, que mostra a propagac¸a˜o de regio˜es de
compressa˜o ao longo de uma mola. Note que a onda se propaga no sentido
horizontal, e as espiras da mola sa˜o comprimidas e estendidas tambe´m nesta
direc¸a˜o. Uma onda propagante que faz as part´ıculas do meio de propagac¸a˜o
moverem-se paralelamente ao movimento da onda e´ chamada de onda longi-
tudinal. Exemplo: ondas sonoras.
Figura 2.2: Ondas longitudinais.
(b) ondas transversais: Veja a figura 2.3. A onda se propaga pela corda no sentido
horizontal, mas as part´ıculas da corda sa˜o perturbadas na direc¸a˜o perpendicu-
lar ao de propagac¸a˜o da onda. Uma onda propagante que faz as part´ıculas do
meio de propagac¸a˜o moverem-se perpendicularmente ao movimento da onda e´
32
2.1. Introduc¸a˜o 33
chamada de onda transversal. Exemplos: ondas numa corda, ondas eletro-
magne´ticas.
Figura 2.3: Ondas transversais.
Ha´ ondas que exibem uma combinac¸a˜o de deslocamentos transversos e longitudinais.
Exemplo: ondas na a´gua (figura 2.4), ondas s´ısmicas.
3. Nu´mero de dimenso˜es: de acordo com este crite´rio, temos
(a) ondas unidimensionais: se propagam em uma dimensa˜o, como as ondas na
mola da figura 2.2 ou na corda da figura 2.3.
(b) ondas bidimensionais: se propagam em duas dimenso˜es, como as ondas na
superf´ıcie da a´gua da figura 2.1.
33
34 2.1. Introduc¸a˜o
Figura 2.4: Ondas na a´gua: o movimento na˜o e´ somente transversal ou longitudinal.
(c) ondas tridimensionais: se propagam em treˆs dimenso˜es, como a luz (onda eler-
tromagne´tica) e o som (onda sonora).
4. Periodicidade: este crite´rio esta´ relacionado com a forma com a qual as part´ıculas
do meio se movem com o tempo. Na figura 2.3, a corda foi balanc¸ada para cima
e para baixo apenas uma vez, enviando assim apenas um pulso de onda. Se conti-
nuarmos a balanc¸a´-la para cima e para baixo periodicamente, como na figura 2.5,
produziremos um trem de ondas perio´dico.
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Figura 2.5: Trem de ondas numa corda.
5. Perfil da frente de onda: vamos analisar a situac¸a˜o da figura 2.6, que novamente
mostra a formac¸a˜o de ondas na superf´ıcie da a´gua. Percebemos que, de um ponto
espec´ıfico (em geral, onde caiu uma pedra ou um graveto, iniciando enta˜o a per-
turbac¸a˜o na a´gua), partem ondas circulares. Todos os pontos de uma mesma onda
teˆm o mesmo estado de movimento, e definem uma superf´ıcie chamada de frente de
onda. As frentes de onda podem ser de diferentes perfis ou formas. Por exemplo,34
2.1. Introduc¸a˜o 35
a frente de onda relacionada a` figura 2.6 tem a forma circular; ja´ a frente de onda
de uma onda plana (figura 2.7), tem a forma de um plano.
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Figura 2.6: Frentes de onda circulares na superf´ıcie da a´gua.
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Figura 2.7: Uma onda plana: as frentes de onda sa˜o na forma de planos.
2.1.2 Caracter´ısticas
Tomando como base a figura 2.8 e pensando no exemplo das ondas na a´gua, temos as
seguintes definic¸o˜es:
• Crista - e´ o ponto no qual o deslocamento de a´gua a partir do seu n´ıvel normal e´
maior.
• Vale - e´ o ponto no qual o deslocamento de a´gua a partir do seu n´ıvel normal e´
menor.
35
36 2.2. Ondas progressivas em uma dimensa˜o: propagac¸a˜o
Figura 2.8: Caracter´ısticas gerais de uma onda.
• Comprimento de onda (λ) - e´ a distaˆncia de uma crista a` pro´xima crista, ou de um
vale ao pro´ximo vale. Em geral, e´ a distaˆncia mı´nima entre quaisquer dois pontos
ideˆnticos (como as cristas e os vales) de ondas adjacentes.
• Per´ıodo (T) - e´ a contagem do nu´mero de segundos entre as chegadas de duas ondas
adjacentes. Em geral, o per´ıodo e´ o tempo necessa´rio para dois pontos ideˆnticos
(como as cristas e os vales) de ondas adjacentes passarem por um ponto.
• Frequeˆncia (f) - e´ o inverso do per´ıodo. Em geral, a frequeˆncia de uma onda perio´dica
e´ o nu´mero de cristas (ou vales, ou qualquer outro ponto na onda) que passam por
um dado ponto num intervalo de tempo unita´rio.
• Amplitude (A) - e´ o deslocamento ma´ximo de uma part´ıcula do meio por onde a
onda se propaga.
2.2 Ondas progressivas em uma dimensa˜o: propagac¸a˜o
Uma onda progressiva e´ um pulso de onda com velocidade definida. Veja a figura 2.9,
que mostra va´rias “fotografias instantaˆneas” de uma onda progressiva numa corda (meio
de propagac¸a˜o). Note que a forma do pulso permanece praticamente inalterada a` medida
36
2.2. Ondas progressivas em uma dimensa˜o: propagac¸a˜o 37
Figura 2.9: Onda progressiva.
que a onda se propaga pela corda.
Para a descric¸a˜o da onda na figura 2.9, precisamos de uma func¸a˜o que fornec¸a a forma
da onda; e´ o que veremos a seguir.
2.2.1 Func¸a˜o de onda
Vamos analisar o movimento de uma onda progressiva em uma corda. Para isto, vejamos
as figuras 2.10. O pulso de onda se move ao longo do eixo x, e o deslocamento das
part´ıculas da corda (deslocamento vertical) e´ medido ao longo do eixo y. As figuras 2.10
retratam dois instantes diferentes de propagac¸a˜o da onda. Na figura 2.10a), temos a forma
do pulso em t = 0; na figura 2.10b), a forma do pulso no instante t.
Concentrando-se primeiramente na figura 2.10a), temos que, em t = 0, a forma do
37
38 2.2. Ondas progressivas em uma dimensa˜o: propagac¸a˜o
Figura 2.10: Onda progressiva numa corda. Em a), temos a fotografia instantaˆnea do
pulso em t = 0; em b), num instante posterior t.
pulso, seja la´ qual for, e´ dada pela func¸a˜o y = f(x), ou seja, y (a posic¸a˜o vertical de
qualquer ponto da corda) e´ alguma func¸a˜o definida de x. O deslocamento y, chamado de
func¸a˜o de onda, e´ uma func¸a˜o de x e de t, ou seja, y = f(x, t).
Considere agora o ponto P assinalado nas figuras 2.10a) e 2.10b). Na figura 2.10a),
vemos que a coordenada y deste ponto e´ zero, pois o pulso de onda na˜o chegou ate´ o ponto
P . A` medida que o pulso de onda se propaga, passando pelo ponto P (como na figura
2.10b)), a coordenada y deste ponto aumenta, alcanc¸a seu valor ma´ximo e enta˜o diminui,
voltando a ser zero. Portanto, a func¸a˜o de onda y representa a coordenada y de
qualquer part´ıcula (ou ponto) do meio de propagac¸a˜o em qualquer instante
de tempo t.
Da figura 2.10, temos que a onda tem velocidade de propagac¸a˜o v, e esta´ se propagando
para a direita. Passados t segundos, a onda se propagou para a direita uma distaˆncia
x = vt. Se a forma do pulso na˜o muda com o tempo, podemos representar a func¸a˜o de
onda y para todos os instantes de tempo apo´s t = 0. Medido a partir de um referencial
estaciona´rio com origem em O, a func¸a˜o de onda e´ dada por
38
2.2. Ondas progressivas em uma dimensa˜o: propagac¸a˜o 39
y = f(x− vt) (2.1)
Se o pulso de onda esta´ se propagando para a esquerda, enta˜o a func¸a˜o de onda sera´
y = f(x+ vt) (2.2)
Para qualquer t, a func¸a˜o de onda y como func¸a˜o de x define uma curva representando
a forma do pulso neste instante de tempo. Esta curva e´ equivalente a uma fotografia
instantaˆnea da onda neste instante de tempo. Para um pulso que se move sem mudar a
forma, a velocidade do pulso e´ a mesma para qualquer caracter´ıstica da onda; por exemplo,
para a crista ou para o vale. Podemos, enta˜o, calcular a velocidade da onda acompanhando
o movimento de uma crista da onda num intervalo de tempo curto, medindo o quanto ela
se moveu na direc¸a˜o x e dividindo, enta˜o, pelo intervalo de tempo. Encontraremos que a
velocidade da crista e´ dada por
v =
dx
dt
(2.3)
que representa, portanto, a velocidade da pro´pria onda.
Ondas propagam-se com velocidade espec´ıfica, e esta velocidade depende das proprie-
dades do meio sendo perturbado (constataremos este fato nas sec¸o˜es seguintes). Exemplo:
no ar a velocidade das ondas sonoras e´ de 343 m/s; na maioria dos so´lidos, a velocidade
de propagac¸a˜o do som e´ maior que 343 m/s.
2.2.2 Trem de onda
Vamos considerar agora as ondas produzidas numa corda estendida que e´ sacudida conti-
nuamente para cima e para baixo por uma fonte que se move verticalmente em Movimento
Harmoˆnico Simples - MHS (veja figura 2.11). Do que vimos no cap´ıtulo sobre MHS, a
posic¸a˜o vertical y da extremidade da corda conectada a` fonte e´ dada por
39
40 2.2. Ondas progressivas em uma dimensa˜o: propagac¸a˜o
Figura 2.11: Produc¸a˜o de um trem de ondas numa corda.
y = A cos(ωt) = A cos(2pift) (2.4)
sendo que f e´ o nu´mero de vezes por segundo que o oscilador repete seu ciclo de oscilac¸a˜o,
ou seja, a frequeˆncia. A posic¸a˜o y = 0 corresponde a` posic¸a˜o de equil´ıbrio do MHS,
e A corresponde ao ma´ximo deslocamento do oscilador a partir da posic¸a˜o y = 0, ou seja,
a amplitude. Escolhemos o momento t = 0 para ser aquele em que y = A (portanto,
φ = 0).
Como a corda esticada se comporta ao ser sacudida pela fonte? Cada sacudida na
corda produz um pulso de onda, e como a fonte esta´ continuamente sacudindo a corda,
ora para cima, ora para baixo, ha´ uma produc¸a˜o de pulsos de onda, cada pulso seguindo
imediatamente o outro. Esta se´rie de pulsos de onda produzidos e que se propagam pela
corda e´ chamada de trem de ondas. As figuras 2.11a), b), c) e d) mostram fotografias
instantaˆneas da corda, cada uma em um instante de tempo particular. Percebemos na
figura 2.11b) que a distaˆncia entre duas cristas da corda e´ chamada de λ, que e´ o que
40
2.2. Ondas progressivas em uma dimensa˜o: propagac¸a˜o 41
chamamos de comprimento de onda; esta e´ a distaˆncia entre dois pontos de mesma
coordenada y 6= 0 da corda, ou seja, de mesma localizac¸a˜o correspondente no trem de
ondas.
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Figura 2.12: Movimento de um ponto de coordenada x da corda ao longodo tempo.
E se observa´ssemos um ponto espec´ıfico da corda, com uma dada coordenada x ao
longo de um per´ıodo de tempo? O que ver´ıamos? Veja a figura 2.12. Agora, estamos
analisando o movimento de apenas um ponto da corda a` medida que o tempo passa. O
gra´fico y × t da figura 2.12 e´ muito parecido com os gra´ficos y × x da figura 2.11, com
a diferenc¸a que agora a distaˆncia entre duas cristas e´ uma medida de tempo, ou seja, e´
chamada de per´ıodo (T ), que e´ o per´ıodo de oscilac¸a˜o da part´ıcula - o tempo que ela
leva para realizar um ciclo completo de deslocamentos y.
E´ importante notar que as figuras 2.11 sa˜o gra´ficos de y × x com tempo fixo (um
“instantaˆneo” do movimento do trem de ondas) e o gra´fico da figura 2.12 e´ y × t com o
deslocamento horizontal fixo (x fixo - acompanhamento do movimento de um dos pontos
da corda). O movimento da onda, portanto, varia tanto no tempo como no
espac¸o - x e t sa˜o varia´veis. Portanto, a func¸a˜o de onda e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis,
x e t.
Neste curso, trabalharemos com as ondas senoidais, que sa˜o as ondas cuja func¸a˜o de
onda e´ dada por uma func¸a˜o seno ou cosseno (a forma da onda parece o gra´fico do seno
ou do cosseno, ou de forma mais geral, de uma seno´ide). A func¸a˜o de onda de um trem
de ondas senoidais e´ dada por
41
42 2.2. Ondas progressivas em uma dimensa˜o: propagac¸a˜o
y(x, t) = A cos
(
2pix
λ
∓ ωt+ φ1
)
(2.5)
ou
y(x, t) = A sen
(
2pix
λ
∓ ωt+ φ2
)
(2.6)
sendo φ1 e φ2 aˆngulos de fase, que dependem do valor de y e x quando comec¸amos a
observar o movimento em t = 0. O sinal de menos e´ usado para ondas que se propagam
no sentido positivo do eixo x, e o sinal de mais para ondas que se propagam no sentido
negativo do eixo x.
Definindo a quantidade
k =
2pi
λ
(2.7)
que e´ chamada de nu´mero de onda, podemos reescrever (2.5) e (2.6) como
y(x, t) = A cos(kx∓ ωt+ φ1) (2.8)
e
y(x, t) = A sen(kx∓ ωt+ φ2) (2.9)
No texto, ora usaremos a forma com o cosseno, ora a forma com o seno, de acordo com a
necessidade.
A velocidade da onda e´ dada por
v = λf (2.10)
42
2.2. Ondas progressivas em uma dimensa˜o: propagac¸a˜o 43
Figura 2.13: Segmento de arco formado pelo pulso que se propaga na corda esticada.
2.2.3 Velocidade de ondas em cordas
Vamos analisar o movimento de um pequeno segmento da corda a` medida que a onda
esta´ passando por ela. Na figura 2.13, o segmento tem comprimento ∆s, e estamos
considerando o referencial que esta´ junto com a onda. Veja que o pequeno segmento
forma, aproximadamente, um arco de c´ırculo de raio R, e que ele esta´ se movendo para
a esquerda com velocidade v e acelerac¸a˜o centr´ıpeta dada por v2/R. Esta acelerac¸a˜o e´
causada pelas componentes verticais da tensa˜o na corda (~T ), que sa˜o tangentes ao arco;
as componentes horizontais se cancelam. Cada componente vertical e´ dada por
Ty = T sen θ (2.11)
e a somato´ria das forc¸as resultantes na direc¸a˜o vertical e´
∑
Fr = 2T sen θ (2.12)
43
44 2.2. Ondas progressivas em uma dimensa˜o: propagac¸a˜o
Considerando que o segmento de arco e´ pequeno e, portanto, o aˆngulo θ e´ pequeno,
podemos fazer a seguinte aproximac¸a˜o:
sen θ ≈ θ (2.13)
e reescrevemos (2.12) como
∑
Fr = 2T sen θ ≈ 2Tθ (2.14)
Por outro lado, aplicando a segunda lei de Newton, temos
∑
Fr = ma = m
v2
R
(2.15)
Sendo µ a massa da corda por unidade de comprimento, enta˜o a massa do segmento de
arco e´
m = µ∆s (2.16)
O comprimento do arco e´ dado por
∆s = R(2θ) (2.17)
e, portanto,
m = µR(2θ) (2.18)
Substituindo (2.18) em (2.15), temos
∑
Fr = µR(2θ)
v2
R
(2.19)
Finalmente, comparando (2.14) e (2.19), temos
44
2.2. Ondas progressivas em uma dimensa˜o: propagac¸a˜o 45
2Tθ = µR(2θ)
v2
R
→ v =
√
T
µ
(2.20)
ou seja, a velocidade da onda depende de uma propriedade “ela´stica” do meio
e de uma propriedade de ine´rcia do meio. Essa forma
v =
√
propriedade ela´stica
propriedade de ine´rcia
(2.21)
se aplica para qualquer onda mecaˆnica.
2.2.4 Reflexa˜o e transmissa˜o
Vamos examinar situac¸o˜es em que um pulso de onda encontra uma “barreira” ou “fron-
teira”, que pode ser representada pela mudanc¸a de meio.
Primeiro, para descrever a situac¸a˜o em que ocorre reflexa˜o de uma onda, vamos
considerar dois casos:
• 1) Uma corda com uma das extremidades fixas na parede, como na figura 2.14.
Neste caso, o pulso de onda, ao ser refletido pela parede, volta “invertido”. Isso
ocorre pelo seguinte motivo: quando o pulso alcanc¸a a extremidade fixa, a corda
exerce uma forc¸a na parede no sentido para cima. Pela terceira lei de Newton,
a parede enta˜o “reage” a esta forc¸a, com igual magnitude mas sentido contra´rio,
produzindo um pulso no sentido contra´rio ao pulso incidente e para baixo.
• 2) Uma corda com uma extremidade presa a um anel na parede, que pode se mover
no sentido vertical, como na figura 2.15.
Neste caso o pulso, ao ser refletido, volta sem ser invertido. Isto ocorre porque o
anel esta´ livre para se mover verticalmente, enta˜o na˜o havera´ forc¸a de reac¸a˜o da
parede. A tensa˜o da corda se encarrega de puxar o anel para baixo e transmitir o
pulso sem inverteˆ-lo.
45
46 2.2. Ondas progressivas em uma dimensa˜o: propagac¸a˜o
Figura 2.14: Reflexa˜o de um pulso de onda ao chegar a` extremidade fixa da corda.
No caso de transmissa˜o, vamos analisar duas situac¸o˜es:
• Duas cordas grudadas, com massas diferentes, e o pulso incidente se propaga da
corda mais leve para a corda mais pesada. Veja a figura 2.16.
Parte do pulso e´ transmitido, ou seja, ultrapassa a fronteira entre as duas cordas,
e parte e´ refletido como na figura 2.14, pois a corda de massa maior age como a
extremidade fixa na parede.
• Duas cordas grudadas, de massas diferentes, e o pulso incidente se propaga da corda
mais pesada para a corda mais leve. Veja a figura 2.17.
Novamente ha´ transmissa˜o de parte da onda e reflexa˜o ocorrendo nos moldes da
46
2.3. Energia e poteˆncia de uma onda progressiva numa corda 47
Figura 2.15: Reflexa˜o de um pulso de onda ao chegar a` extremidade da corda com o anel
mo´vel.
figura 2.15, pois a corda mais leve age como a extremidade mo´vel da corda na
parede.
Note que, nas situac¸o˜es em que ha´ transmissa˜o, a velocidade da onda e´ diferente em
cada corda, pois as cordas leve e pesada de mesmo comprimento teˆm µ diferente (veja a
expressa˜o para a velocidade da onda numa corda, equac¸a˜o (2.20)).
2.3 Energia e poteˆncia de uma onda progressiva numa
corda
Uma propriedade fundamental das ondas e´ que elas transportam energia. Isso pode ser
visto na seguinte situac¸a˜o: quando se deixa cair uma pedra num lago, formam-se ondas
47
48 2.3. Energia e poteˆncia de uma onda progressiva numa corda
Figura 2.16: Transmissa˜o de um pulso de onda de uma corda com menor massa para uma
corda com maior massa.
Figura 2.17: Transmissa˜o de um pulso de onda de uma corda com maior massa para uma
corda com menor massa.
nesse lago que, ao atingir, por exemplo, uma bo´ia que esteja flutuante sobre o lago, faz
com que a bo´ia se movimente - a energia da pedra que caiu no lago foi transportada pela
onda ate´ a bo´ia. Outros exemplos: ondas s´ısmicas, transporte de energia do Sol ate´ a
Terra atrave´s da luz.
Na figura 2.18, energia e´ transportada pela onda para o objeto de massa m pois, para
se mover para cima, e´ necessa´rio que ele receba energia (trabalho e´ feito sobre o objeto).
48
2.3. Energia e poteˆncia de uma onda progressiva numa corda 49
Figura 2.18: O objeto de massa m recebe trabalho para se movimentar para cima.
Nosso objetivo sera´ calcular qual a taxa de transfereˆncia de energia devido a` propagac¸a˜o
de uma onda numacorda.
Figura 2.19: Uma onda se propagando numa corda devido a` oscilac¸a˜o da extremidade em
MHS.
Considere a figura 2.19: temos uma corda pela qual um trem de ondas esta´ sendo
propagado devido a` oscilac¸a˜o da fonte externa numa das extremidades. Portanto, a fonte
externa faz trabalho na corda para produzir o trem de ondas - ha´ uma transfereˆncia de
energia da fonte externa para a corda, que e´ transferida ao longo da corda pela propagac¸a˜o
da onda. A onda transporta energia.
Para deduzir a expressa˜o da taxa de transfereˆncia de energia para a corda devido a`
49
50 2.3. Energia e poteˆncia de uma onda progressiva numa corda
propagac¸a˜o da onda, vamos analisar um segmento da corda de comprimento ∆x e massa
∆m. Cada segmento da corda se move em movimento harmoˆnico simples (MHS) no
sentido vertical; portanto, cada segmento oscilara´ a` mesma frequeˆncia angular ω e tera´
o mesmo deslocamento ma´ximo (ou amplitude) A. Do cap´ıtulo de MHS, temos que a
energia potencial associada a uma part´ıcula oscilando em MHS e´
U =
ky2
2
(2.22)
onde y e´ a direc¸a˜o do movimento, ao redor da posic¸a˜o de equil´ıbrio y = 0, no caso que
estamos analisando. Usando que
ω2 =
k
m
(2.23)
escrevemos U enta˜o como
U =
mω2y2
2
(2.24)
Usando a equac¸a˜o acima apenas para o segmento de massa ∆m, temos
∆U =
(∆m)ω2y2
2
(2.25)
Como µ e´ massa por unidade de comprimento
µ =
∆m
∆x
(2.26)
enta˜o
∆m = µ∆x (2.27)
Substituindo (2.27) em (2.25), temos
∆U =
(µ∆x)ω2y2
2
(2.28)
50
2.3. Energia e poteˆncia de uma onda progressiva numa corda 51
e esta e´ a energia potencial de um segmento da corda devido a` propagac¸a˜o da onda por
ela. Agora, se fizermos este segmento da corda ta˜o pequeno quanto se queira, ou seja,
∆x→ 0, a expressa˜o (2.28) acaba sendo uma relac¸a˜o de diferenciais,
dU =
(µdx)ω2y2
2
(2.29)
e ao substituir a func¸a˜o de onda y para uma onda progressiva (y = A cos(kx−ωt)), temos
a expressa˜o
dU =
µω2A2 cos2(kx− ωt)dx
2
(2.30)
Considerando o movimento da onda pela corda no instante t = 0, temos que a energia
potencial num segmento de tamanho dx e´
dU =
µω2A2 cos2(kx)dx
2
(2.31)
Agora queremos calcular a energia potencial devido a` propagac¸a˜o da onda num segmento
do tamanho de um comprimento de onda (λ) no instante t = 0. Para isso, basta que
integremos a expressa˜o (2.31) de 0 a λ, para levarmos em conta toda a extensa˜o do
segmento:
Uλ =
∫
U =
λ∫
0
µω2A2 cos2(kx)dx
2
=
µω2A2
2
λ∫
0
cos2(kx)dx =
µω2A2
2
[
x
2
+
1
4k
sen (2kx)
]λ
0
=
µω2A2
2
[
λ
2
+
1
4k
sen (2kλ)− 0
2
− 1
4k
sen (2k0)
]
Uλ =
µω2A2
2
λ
2
=
µω2A2λ
4
(2.32)
Ale´m de energia potencial, cada segmento da corda tambe´m tem energia cine´tica,
visto que os segmentos da corda esta˜o se movendo para cima e para baixo em MHS a`
51
52 2.4. Superposic¸a˜o de ondas mecaˆnicas
medida que a onda se propaga por ela. Usando um procedimento ana´logo ao usado aqui
para deduzir a expressa˜o da energia potencial, encontramos que a energia cine´tica de um
segmento da corda de tamanho λ no instante t = 0 e´ igual a` energia potencial do segmento
de mesmo tamanho, ou seja,
Kλ =
µω2A2λ
4
(2.33)
e, portanto, a energia mecaˆnica para o segmento da corda de tamanho λ e no instante de
tempo t = 0 e´
Eλ =
µω2A2λ
2
(2.34)
Esta tambe´m e´ a quantidade de energia que passa por um dado ponto da corda durante
o tempo de uma oscilac¸a˜o (ou seja, um per´ıodo T) a` medida que a onda se propaga pela
corda. Assim, a poteˆncia, que e´ a taxa de transfereˆncia de energia por tempo, e´ dada por
P = Eλ
∆t
=
µω2A2λ
2
T
=
µω2A2
2
(
λ
T
)
P = µω
2A2v
2
(2.35)
Note que a taxa de transfereˆncia de energia (poteˆncia) e´ proporcional ao quadrado da
frequeˆncia angular ω e ao quadrado da amplitude A: esta e´ uma caracter´ıstica de qualquer
onda senoidal.
2.4 Superposic¸a˜o de ondas mecaˆnicas
Duas ou mais ondas podem estar na mesma regia˜o do espac¸o ao mesmo tempo. Este fato
e´ o oposto do que acontece com dois corpos r´ıgidos, por exemplo, que na˜o podem estar na
mesma posic¸a˜o ao mesmo tempo. Vamos estudar que tipos de fenoˆmenos ocorrem quando
duas ou mais ondas esta˜o na mesma regia˜o do espac¸o no mesmo instante de tempo.
52
2.4. Superposic¸a˜o de ondas mecaˆnicas 53
Figura 2.20: Superposic¸a˜o de ondas na superf´ıcie da a´gua.
Podemos pensar neste problema colocando a seguinte situac¸a˜o: seja um lago que
conte´m uma bo´ia flutuando sobre ele. Jogamos uma pedra neste lago, que resulta na
formac¸a˜o de frentes de onda circulares, centradas no ponto onde foi jogada a pedra. Em
seguida jogamos uma segunda pedra no lago, em outro ponto, o que resulta na formac¸a˜o
de frentes de onda centradas naquele ponto. O que acontecera´ com a bo´ia que esta´
flutuando neste lago mediante a influeˆncia combinada dos dois conjuntos de frentes de
onda circulares? Ou, de forma mais geral, o que acontecera´ com qualquer bo´ia localizada
em qualquer lugar do lago quando um nu´mero qualquer de pedras for jogado no mesmo
em instantes arbitra´rios? (veja a figura 2.20)
Em termos matema´ticos, esta pergunta seria a seguinte: qual a forma da func¸a˜o de
onda resultante da superposic¸a˜o de duas ou mais func¸o˜es de onda? A resposta e´ o que
chamamos de princ´ıpio da superposic¸a˜o: a func¸a˜o de onda resultante sera´ a soma
alge´brica das func¸o˜es de onda individuais. Exemplo: se na mesma regia˜o do espac¸o e
do tempo eu tenho treˆs ondas, cada uma representada pelas func¸o˜es de onda individuais
f1(x, t), f2(x, t) e f3(x, t), enta˜o a func¸a˜o de onda resultante f(x, t) da superposic¸a˜o das
treˆs sera´
f(x, t) = f1(x, t) + f2(x, t) + f3(x, t) (2.36)
53
54 2.4. Superposic¸a˜o de ondas mecaˆnicas
Este princ´ıpio e´ va´lido se a amplitude das ondas na˜o e´ muito grande, e a seguinte
hipo´tese seja correta: cada onda individual e´ inalterada pela presenc¸a simultaˆnea das
outras ondas (ou seja, a func¸a˜o de onda individual de cada onda na˜o e´ alterada pela
presenc¸a das outras ondas, representadas cada uma por uma func¸a˜o de onda individual).
Por exemplo, quando estamos ouvindo uma orquestra tocar, o som resultante e´ uma
superposic¸a˜o dos trens de onda de uma se´rie de instrumentos diferentes. No entanto,
podemos captar, com ouvido treinado, o som de um instrumento individualmente - seria
como usar o ouvido e a mente como um filtro para distinguir a func¸a˜o de onda t´ıpica do
instrumento. Isso so´ e´ poss´ıvel porque a func¸a˜o de onda de cada instrumento e´ inalterada
na presenc¸a das outras func¸o˜es de onda.
Interfereˆncia construtiva e destrutiva
Dois fenoˆmenos bastante conhecidos de superposic¸a˜o de ondas sa˜o os chamados inter-
fereˆncia construtiva e interfereˆncia destrutiva. Veremos a seguir quando eles ocor-
rem.
Vamos considerar, por simplicidade, duas ondas de mesma frequeˆncia, mesmo compri-
mento de onda e mesma amplitude, se propagando para a direita, mas diferindo de uma
fase φ. Sejam as func¸o˜es de onda que as representam:
y1(x, t) = A cos(kx− ωt) ,
y2(x, t) = A cos(kx− ωt+ φ) (2.37)
A func¸a˜o de onda resultante y(x, t) da superposic¸a˜o das duas ondas sera´ a soma alge´brica
das func¸o˜es de onda y1(x, t) e y2(x, t), segundo o princ´ıpio da superposic¸a˜o; portanto
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = A cos(kx− ωt) + A cos(kx− ωt+ φ)
= A(cos(kx− ωt) + cos(kx− ωt+ φ)) (2.38)
54
2.4. Superposic¸a˜o de ondas mecaˆnicas 55
Usando a identidade trigonome´trica
cos a+ cos b = 2 cos
(
a+ b
2
)
cos
(
a− b
2
)
(2.39)
na equac¸a˜o (2.38), temos
y(x, t) = 2A cos
(
φ
2
)
cos
(
kx− ωt+ φ
2
)
(2.40)e chamando
A′ = 2A cos
(
φ
2
)
(2.41)
a func¸a˜o de onda resultante e´
y(x, t) == A′ cos
(
kx− ωt+ φ
2
)
(2.42)
ou seja, a nova func¸a˜o de onda tem amplitude A′ e aˆngulo de fase φ/2.
Dependendo do valor de φ, poderemos ter:
• interfereˆncia construtiva - quando a amplitude da onda resultante e´ a ma´xima, ou
seja, |A′| = 2A;
• interfereˆncia destrutiva - quando a amplitude tem valor mı´nimo, ou seja, |A′| = 0;
• superposic¸a˜o com func¸a˜o de onda resultante com amplitude 0 < |A′| < 2A.
Da equac¸a˜o (2.41), vemos que a interfereˆncia sera´ construtiva quando cos(φ/2) = ±1, ou
seja, φ = 0, 2pi, 4pi, . . . e destrutiva quando cos(φ/2) = 0, ou seja, φ = pi, 3pi, 5pi . . . Quando
φ assume outros valores, temos o caso da superposic¸a˜o com amplitude 0 < |A′| < 2A. A
figura 2.21 ilustra os treˆs tipos de superposic¸a˜o mencionados.
55
56 2.4. Superposic¸a˜o de ondas mecaˆnicas
Figura 2.21: (a) Interfereˆncia construtiva. (b) Interfereˆncia destrutiva. (c) Superposic¸a˜o
de duas ondas ideˆnticas com diferenc¸a de fase de φ = 600.
2.4.1 Ondas estaciona´rias
De forma geral, as ondas estaciona´rias sa˜o formadas pela superposic¸a˜o de duas ondas
iguais que se propagam em sentidos opostos num meio. Veremos a seguir as caracter´ısticas
deste tipo de ondas e suas implicac¸o˜es.
56
2.4. Superposic¸a˜o de ondas mecaˆnicas 57
IMPRESSO POR: dafni marchioro <dafnizenedin@gmail.com>. A impressão é apenas para uso pessoal e privado. Nenhuma parte deste livro pode ser reproduzida ou 
transmitida sem prévia autorização do editor. Os violadores serão processados.
Figura 2.22: Produc¸a˜o de ondas estaciona´rias. (a) Onda senoidal que se propaga para a
esquerda. (b) Onda senoidal que se propaga para a direita. (c) Superposic¸a˜o das duas
ondas, formando ondas estaciona´rias.
Seja um trem de ondas propagando-se numa corda com ambas as extremidades fixas,
produzido por uma fonte oscilando em MHS com frequeˆncia angular ω, localizada na
extremidade esquerda (veja figura 2.22). Quando o trem de ondas chega a` extremidade
direita, ele e´ refletido, mudando-se a orientac¸a˜o do pulso, como vimos no caso da reflexa˜o
de uma onda numa corda com a extremidade fixa a` parede. Enquanto esta onda refletida
propaga-se pela corda no sentido contra´rio ao que foi emitida, a fonte oscilato´ria continua
a produzir ondas que se propagam da esquerda para a direita. As ondas produzidas pela
fonte e refletidas pela extremidade direita enta˜o se sobrepo˜em, produzindo uma onda
estaciona´ria.
Como e´ a func¸a˜o de onda de uma onda estaciona´ria? Digamos que a onda produzida
pela fonte oscilato´ria possa ser descrita pela func¸a˜o de onda
y1(x, t) = Asen (kx− ωt) (2.43)
A onda refletida tem as mesmas caracter´ısticas que a onda produzida pela fonte, ou
seja, mesma amplitude, frequeˆncia e comprimento de onda, mas se propaga no sentido
57
58 2.4. Superposic¸a˜o de ondas mecaˆnicas
contra´rio. Portanto, sua func¸a˜o de onda e´
y2(x, t) = Asen (kx+ ωt) (2.44)
Pelo princ´ıpio de superposic¸a˜o, a func¸a˜o de onda resultante sera´
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = Asen (kx− ωt) + Asen (kx+ ωt)
= A[sen (kx− ωt) + sen (kx+ ωt)] (2.45)
Usando a identidade trigonome´trica
sen (a± b) = sen a cos b± sen b cos a (2.46)
enta˜o
sen (kx− ωt) = sen (kx) cos(ωt)− sen (ωt) cos(kx)
sen (kx+ ωt) = sen (kx) cos(ωt) + sen (ωt) cos(kx) (2.47)
e substituindo em (2.45), teremos
y(x, t) = A[sen (kx) cos(ωt)− sen (ωt) cos(kx) + sen (kx) cos(ωt) + sen (ωt) cos(kx)
= 2Asen (kx) cos(ωt) (2.48)
A equac¸a˜o acima representa a func¸a˜o de onda de uma onda estaciona´ria. Perceba que,
pelo fato de na˜o conter nos argumentos das func¸o˜es seno e cosseno o fator kx − ωt, ela
na˜o e´ uma onda progressiva. Na verdade, ela se move de acordo com um tipo especial
de MHS: cada part´ıcula do meio oscila em MHS com a mesma frequeˆncia ω (por causa
do termo cos(ωt)), mas a amplitude do MHS de uma dada part´ıcula do meio depende da
58
2.4. Superposic¸a˜o de ondas mecaˆnicas 59
Figura 2.23: Ondas estaciona´rias em va´rios instantes de tempo.
posic¸a˜o x em que se encontra (por causa do fator 2Asen (kx)). Veja a figura 2.23, que
mostra o movimento da onda estaciona´ria em va´rios instantes de tempo.
Na figura 2.23 tambe´m vemos pontos especiais chamados de no´s e anti-no´s. Os no´s
sa˜o pontos na corda com posic¸a˜o definida que na˜o sa˜o deslocados pela onda estaciona´ria,
ou seja, sua amplitude e´ sempre zero - na˜o varia com a passagem do tempo. As posic¸o˜es
em que ocorrem os no´s sa˜o aquelas em que
2Asen (kx) = 0 → sen (kx) = 0 → kx = 0, pi, 2pi, 3pi, . . . (2.49)
Lembrando que k = 2pi/λ, enta˜o
59
60 2.4. Superposic¸a˜o de ondas mecaˆnicas
2pix
λ
= 0, pi, 2pi, 3pi, . . .
x = 0,
λ
2
, λ,
3λ
2
, . . . =
nλ
2
, com n = 0, 1, 2, 3, . . . (2.50)
Ja´ os anti-no´s sa˜o aqueles pontos que tera˜o deslocamento ma´ximo |2A| em algum
instante do tempo. Para que isso acontec¸a e´ necessa´rio que
2Asen (kx) = ±1 → sen (kx) = ±1 → kx = pi
2
,
3pi
2
,
5pi
2
. . . (2.51)
e, portanto,
x =
λ
4
,
3λ
4
,
5λ
4
, . . . =
(2n+ 1)λ
4
, com n = 0, 1, 2, 3, . . . (2.52)
2.4.2 Ondas estaciona´rias numa corda fixa em ambas as extre-
midades
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Figura 2.24: Fotografias estrobosco´picas de ondas estaciona´rias em uma corda excitada
por um oscilador na extremidade esquerda.
Neste caso, temos que se as extremidades sa˜o fixas, elas na˜o se movem e, portanto,
sa˜o no´s. Isto restringe quais sa˜o as configurac¸o˜es poss´ıveis de onda estaciona´ria; veja a
figura 2.25. Estes sa˜o os padro˜es de oscilac¸a˜o poss´ıveis para a corda fixa em ambas as
extremidades, e cada padra˜o de oscilac¸a˜o tem uma frequeˆncia caracter´ıstica. Chamamos
estes padro˜es de oscilac¸a˜o de modos normais.
De acordo com a figura 2.25, podemos escrever uma expressa˜o geral do comprimento
de onda dos modos normais para uma corda de comprimento fixo L como
60
2.4. Superposic¸a˜o de ondas mecaˆnicas 61
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Figura 2.25: Padro˜es de ondas estaciona´rias numa corda fixa em ambas as extremidades.
(a) Primeiro harmoˆnico (n = 1). (b) Segundo harmoˆnico (n = 2). (c) Terceiro harmoˆnico
(n = 3).
λn =
2L
n
, com n = 1, 2, 3, . . . (2.53)
sendo que n representa o modo normal ao qual estamos nos referindo. Da relac¸a˜o
v = λf , temos que as frequeˆncias associadas aos modos normais, as quais chamamos
de frequeˆncias naturais, tambe´m podem ser escritas de forma geral como
fn =
v
2L
n
=
nv
2L
, com n = 1, 2, 3, . . . (2.54)
A velocidade e´ a mesma para todos os modos normais visto que o meio e´ o mesmo (a
corda), e e´ dada pela equac¸a˜o (2.20). Substituindo (2.20) na equac¸a˜o acima, temos
fn =
n
2L
√
T
µ
, com n = 1, 2, 3, . . . (2.55)
O modo de frequeˆncia mais baixa (n=1) e´ dado por
f1 =
1
2L
√
T
µ
(2.56)
e e´ chamado de frequeˆncia fundamental, visto que as frequeˆncias de todos os outros
modos sa˜o mu´ltiplos inteiros dela. Quando os modos normais exibem uma relac¸a˜o de
mu´ltiplo inteiro com a frequeˆncia fundamental (f2 = 2f1, f3 = 3f1, f4 = 4f1, . . .) formam
o que chamamos de se´rie harmoˆnica, e os modos normais sa˜o chamados de harmoˆnicos.
61
62 2.5. Exerc´Icios
Para produzir um harmoˆnico particular numa corda