06-FlexaoSimples

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PUC - Campinas 
CEATEC 
61395 – Estruturas Metálicas 
Barras Submetidas à Flexão 
Simples 
Prof. Dr. Rodrigo Cuberos Vieira 
Flexão Simples 
2 
- Barras submetidas à flexão simples estão sujeitas somente à esforços 
de flexão em relação a um dos eixos principais de inércia do perfil; 
- Normalmente a flexão simples ocorre em vigas com cargas aplicadas 
no plano da alma do perfil, tendendo a curvar o eixo longitudinal da 
peça: 
- Os perfis mais utilizados para barras submetidas à flexão são: 
Flexão Simples 
3 
- Nas vigas submetidas à flexão simples, quando a mesa superior é 
comprimida, a inferior é tracionada, e vice-versa; 
- Como parte da seção transversal do perfil está comprimida, existe 
a possibilidade de ocorrência de flambagem, que deve ser levada em 
conta na determinação do momento resistente de cálculo (MRd) do 
perfil submetido à flexão simples; 
- O momento resistente de cálculo (MRd) depende de: 
- Momento de plastificação; 
- Flambagem lateral com torção (instabilidade lateral); 
- Flambagem local de alma; 
- Flambagem local de mesa; 
- Tensões residuais; 
Momento de Plastificação 
4 
- A seguir temos o comportamento de uma viga de aço bi-apoiada 
sob carga distribuída (relação momento X curvatura da seção mais 
solicitada), admitindo-se que não há flambagem local ou flambagem 
lateral da viga: 
- O comportamento é linear enquanto a máxima tensão é menor que 
a tensão de escoamento do aço, até ser atingido o momento My: 
Mpl 
Início da 
plastificação 
Momento de Plastificação 
5 
Onde: ymáx = distância do centro de gravidade até a borda do perfil; 
 I = momento de inércia em torno do eixo de flexão; 
 W = módulo elástico da seção; 
- Porém, o momento My de início da plastificação não representa a 
capacidade resistente da viga. É possível continuar aumentando a 
carga, só que, a partir de My, o comportamento passa a ser não 
linear, pois as fibras mais internas da seção começam a atingir a 
plastificação progressivamente; 
- Quando a plastificação total da seção é atingida, temos o momento 
de plastificação total da seção (Mpl), que corresponde ao momento 
resistente da viga quando não há flambagem local ou lateral; 
Momento de Plastificação 
6 
fy 
yypl fWZfM 5,1
s s s s 
yy fWM  ypl
fZM 
fy s<fy fy 
Onde: Z = módulo plástico da seção; 
Exemplos 
h 
b 
4
6
2
2
bh
Z
bh
W


I 305 (60,7 kg/m) 
W = 743 cm3 
Z = Wpl = 870 cm
3 
Z = 1,17 W 
Z=1,50 W 
Instabilidade Lateral da Viga 
7 
- Envolve flexão do perfil, torção e empenamento da seção; 
- Em uma viga fletida, cuja mesa superior está comprimida e sua 
mesa inferior está tracionada, a parte comprimida do perfil (mesa 
superior e um trecho da alma) tende a sofrer flambagem por flexão, 
semelhante a um perfil totalmente comprimido; 
- Porém, a mesa tracionada é estabilizada 
pelas tensões de tração, dificultando a 
flambagem da mesa comprimida. Desse 
modo, o fenômeno se processa com 
torção da viga (flambagem lateral com 
torção): 
P 
P 
Instabilidade Lateral da Viga 
8 
- Modelo físico: viga bi-apoiada com carga concentrada no meio do 
vão 
Instabilidade Lateral da Viga 
9 
- Viga bi-apoiada: apenas extremidades com giro e deslocamento 
lateral impedidos 
Instabilidade Lateral da Viga 
10 
- Viga bi-apoiada: impedimento de giro e deslocamento lateral 
também em uma seção ao longo da viga 
Instabilidade Lateral da Viga 
11 
- De maneira semelhante ao observado nas barras comprimidas, na 
flambagem lateral com torção (FLT), o momento resistente de 
cálculo (MRd) depende do seguinte índice de esbeltez: 
y
b
r
L

Onde: Lb = comprimento destravado (distância entre seções contraventadas, isto 
é, seções que tenham impedidos deslocamento lateral e giro no plano da seção 
transversal); 
 ry = raio de giração da seção em relação ao eixo principal de inércia 
perpendicular ao eixo de flexão; 
Instabilidade Lateral da Viga 
12 
- Vimos que para uma barra comprimida, em condições ideais, 
existe uma carga crítica (carga crítica de Euler, Ncr) a partir da qual 
ocorre a flambagem da barra; 
- De maneira semelhante, nas barras submetidas à flexão existe um 
momento crítico (Mcr) a partir do qual ocorre a flambagem lateral 
com torção; 
- Suponha uma viga I duplamente simétrica, bi-apoiada com 
contenção lateral e torcional nos extremos e sujeita a um momento 
fletor constante no plano da alma, sem restrição ao empenamento 
nos apoios: 
M 
x 
M 
x 
Lb 
y 
z x 
Instabilidade Lateral da Viga 
13 
- Para um material elástico linear, o momento fletor crítico é dado 
por: 









w
b
y
w
b
y
cr
C
LJ
I
C
L
IE
M
2
2
2
039,01
y
b
r
L










w
b
y
w
b
y
cr
C
LJ
I
C
L
IE
M
2
2
2
039,01
RnM
Onde: Lb = comprimento destravado; 
 Iy = momento de inércia da seção em torno do eixo y; 
 E = módulo de elasticidade longitudinal do aço; 
 G = módulo de elasticidade transversal do aço; 
 J = constante de torção da seção transversal; 
 Cw = constante de empenamento da seção transversal; 
Instabilidade Lateral da Viga 
14 
- Para vigas sujeitas a um momento fletor não uniforme, basta 
multiplicar o valor de Mcr pelo coeficiente Cb: 
0,3
3435,2
5,12
039,01
max
max
2
2
2












m
CBA
b
w
b
y
w
b
bcr
R
MMMM
M
C
C
LJ
I
C
L
IE
CM
Mmax 
MA MB MC 
Lb/4 Lb/4 Lb/4 Lb/4 
Instabilidade Lateral da Viga 
15 
Instabilidade Lateral da Viga 
16 
- Devido a utilização de um material inelástico e a existência das 
tensões residuais, a curva que utilizamos para determinar o 
momento fletor resistente não é exatamente aquela do momento 
crítico (Mcr): 
MRn 
Mpl 
Mr 
λ λr λp 
Mcr 
MRn = Mcr 
Tensões Residuais 
17 
- Efeito das tensões residuais: 
Diagrama de tensões residuais em um perfil laminado tipo I 
 WfM ryr s
yr f30,0s
Flambagem Local 
18 
- Em vigas com contenção lateral contínua, que não estão sujeitas ao 
fenômeno de flambagem lateral com torção, a resistência à flexão 
pode ser reduzida devido ao efeito da flambagem local das chapas 
que constituem o perfil; 
- Como já observado nas barras comprimidas, a flambagem local 
pode ocorrer nos elementos comprimidos do perfil (mesas e alma), 
dependendo da esbeltez do elemento; 
- Nas barras submetidas a flexão simples, a flambagem local pode 
ocorrer na mesa comprimida ou na alma parcialmente comprimida 
do perfil; 
Flambagem Local 
19 
- As seções das vigas podem ser classificadas da seguinte maneira 
conforme a influência da flambagem local no momento resistente: 
- Seção compacta: atinge o momento de plastificação total (Mpl); 
- Seção semicompacta: a flambagem local ocorre após ter 
desenvolvido plastificação parcial; 
- Seção esbelta: a flambagem local impede que seja atingido o 
início da plastificação; 
Mpl Mpl Mpl 
Flambagem Local 
20 
- Para a flambagem local, o momento resistente de cálculo (MRd) 
depende do seguinte índice de esbeltez: 
b/2 
b 
h t w 
t 
flambagem local 
- Para flambagem local de alma (FLA): 
- Para flambagem local de mesa (FLM): 
wt
h

t
b
2

Flambagem Local 
21 
- De maneira semelhante à flambagem lateral com torção (FLT), 
para a flambagem local de mesa ou de alma (FLM ou FLA),obtemos o momento fletor resistente através do seguinte diagrama: 
MRn 
Mpl 
Mr 
λ λr λp 
Mcr 
Obs.: a formulação de Mcr 
para FLM e FLA é 
diferente da formulação de 
Mcr para FLT. 
Flexão Simples 
22 
- O dimensionamento da seção transversal de barras submetidas à 
flexão simples deve seguir as prescrições da NBR 8800:2008 – 
Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e 
concreto de edifícios; 
- Para as barras fletidas, deve-se fazer as seguintes verificações: 
- Flexão; 
- Força Cortante; 
- Deformações: flecha; 
Verificação da Flexão 
23 
- Segundo o item 5.4 da NBR 8800:2008, no dimensionamento à 
flexão deve ser atendida a condição: RdSd MM 
MSd: é o momento fletor solicitante de cálculo; 
MRd: é momento fletor resistente de cálculo; 
Onde: 
Momento Resistente 
24 
- Segundo o item 5.4.2 da NBR 8800:2008, o momento fletor 
resistente de cálculo deve ser determinado conforme os anexos G ou 
H. Devem ser verificados os seguintes estados limites últimos: 
- Flambagem lateral com torção - FLT; 
- Flambagem local de mesa - FLM; 
- Flambagem local de alma - FLA; 
- Deve-se atender a seguinte condição, para assegurar a validade da 
análise elástica: 
1,
5,1
a
y
Rd
Wf
M


Onde: W = momento resistente elástico; 
 fy = tensão de escoamento do aço; 
 γa1 = 1,1; 
25 
Verificação de flambagem lateral com torção (FLT) segundo a NBR 
8800:2008 (Anexo G): 
1a
Rn
RdSd
M
MM


 WfM ryr s
yyypl fWMfZM 5,15,1 
y
w
y
y
r
y
I
C
Jr
JI
f
E
2
1
1
p
27
11
38,1
 76,1
simétricos duplamente I perfis para






r
a
pl
a
cr
Rd
rp
a
pl
pr
p
rplpl
a
b
Rd
p
a
pl
Rd
para
MM
M
para
M
MMM
C
M
para
M
M






















,
,)(
,
11
11
1







w
b
y
w
b
bcr
C
LJ
I
C
L
IE
CM
2
2
2
039,01

yr
bL
plM
RnM
p
 r
rM







w
b
y
w
b
bcr
C
LJ
I
C
L
IE
CM
2
2
2
039,01

reta: 











pr
p
rplplbRn MMMCM 

)(
 
t
xry
EI
Wf s


1Momento Resistente 
26 
Verificação de flambagem local de mesa (FLM) segundo a NBR 
8800:2008 (Anexo G): 
y
p
f
E
38,0
simétrico duplamente I perfil para

 
b
t
NBR8800/08 da G1Tabela segundo crM
reta: 
pr
p
rplplRn MMMM 



 )(
plM
RnM
p
 r
rM
b 
t 
 WfM ryr s
yyypl fWMfZM 5,15,1 
1a
Rn
RdSd
M
MM


 
 
76,035,0,
4
k onde
 
/
95,0 , W
kE0,90
 
soldados perfis Para
 83,0 , W
E0,69
 
:laminados perfis Para
c
rc2
c
rc2





c
w
cry
cr
ry
cr
ksendo
th
kf
E
M
f
E
M
s


s


r
a
cr
Rd
rp
pr
p
rplpl
a
Rd
p
a
pl
Rd
para
M
M
paraMMMM
para
M
M






















,
,)(
1
,
1
1
1
Wc = Módulo de resistência 
elástico com relação ao lado 
comprimido da seção, relativo ao 
eixo de flexão. 
Wc = Wx para seções I simétricas 
fletidas em torno do eixo x 
Momento Resistente 
27 
Verificação de flambagem local de alma (FLA) segundo a NBR 
8800:2008 (Anexo G): 
yyypl fWMfZM 5,15,1 
y
r
y
p
f
E
f
E
70,5 e 76,3
simétrico duplamente I perfil para
 
 
h
tw
reta: 
M M M Mn pl pl r
p
r p
  


( )
 
 
M Mn pl
Mn
p
 r
M Mn r
O anexo G não se aplica para r 
(ver Anexo H - vigas de alma 
esbelta) 
h tw 
 WfM ryr s
1a
Rn
RdSd
M
MM

 HanexoVerpara
paraMMMM
para
M
M
r
rp
pr
p
rplpl
a
Rd
p
a
pl
Rd





















,)(
1
,
1
1
Momento Resistente 
28 
Tabela G.1 – Parâmetros referentes ao momento fletor resistente 
Momento Resistente 
29 
Tabela G.1 – continuação Momento Resistente 
30 
Momento Resistente 
31 
32 
Momento Resistente 
33 
Força Cortante 
34 
- Em uma viga submetida à flexão simples, o carregamento provoca 
também, além das tensões de flexão, tensões de cisalhamento na 
viga, devido ao esforço cortante, que tendem a fazer uma porção da 
peça em relação à outra porção da mesma peça: 
Cisalhamento 
- A distribuição das 
tensões de cisalhamento 
dependem da seção 
transversal da viga: 
Seção retangular Seção I 
Força Cortante 
35 
- Nota-se que nas seções I, a alma é a principal responsável por 
resistir às tensões de cisalhamento, sendo essas tensões praticamente 
constantes ao longo de toda a alma; 
- Deve-se verificar se a alma sofre flambagem (flambagem local) 
sob ação de tensões de cisalhamento; 
- Almas pouco esbeltas (grossas) têm boa resistência à flambagem, 
de modo que a resistência é determinada pelo escoamento ao 
cisalhamento do material (plastificação). Já as almas esbeltas (finas) 
têm a sua resistência determinada pela flambagem da alma 
- Portanto, a verificação da resistência à força cortante de um perfil I 
se resume à verificar se a sua alma resiste ao esforço cortante; 
Força Cortante 
36 
- Nos perfis de alma esbeltas podem ser empregados enrijecedores 
transversais para aumentar a resistência à flambagem das almas: 
Força Cortante 
37 
- Segundo o item 5.4 da NBR 8800:2008, no dimensionamento de 
barras submetidas à força cortante, deve ser atendida a condição: RdSd VV 
VSd: é a força cortante solicitante de cálculo; 
VRd: é a força cortante resistente de cálculo; 
Onde: 
- A determinação de VRd é feita de acordo com o item 5.4.3 da NBR 
8800:2008, de maneira semelhante à determinação de MRd: 
Força Cortante 
38 
1,11
Rn
a
Rn
Sd
VV
V 

ywywpl ftd60,0fA60,0V 
 
h
tw
plV
RnV
p
 r
pl
p
Rn VV 


pl
p
Rn VV
2
24,1 








h tw d 
a 
h 
 
 casos outros os para 
5
 + 5 =k
th
260
h
a
 paraou 3>
h
a
 para 
 5=k
 37,1 e 10,1
 
2
2
w
h
a
f
Ek
f
Ek
t
h
v
v
y
v
r
y
v
p
w











para almas sem enrijecedores transversais, 
d = altura total da seção transversal; 
h = altura da alma: distância entre as faces internas das mesas nos perfis 
soldados, esse mesmo valor menos os dois raios de concordância nos 
perfis laminados; 
a = distância entre linhas de centro de dois enrijecedores transversais. 
r
1a
pl
2
p
Rd
rp
1a
plp
Rd
p
1a
pl
Rd
para,
V
24,1V
para,
V
V
para,
V
V

















Verificação da flecha 
39 
- Segundo o item 5.4.1.3 da NBR 
8800:2008, devem ser verificados todos 
os estados limites de serviço aplicáveis; 
- O estado limite de serviço mais 
encontrado em vigas submetidas à 
flexão é a verificação da flecha; 
- A formulação de determinação da 
flecha em vigas depende da vinculação 
e do carregamento aplicado: 
Verificação daflecha 
40 
- Os carregamentos da tabela anterior (p, P, M) devem ser 
determinados através da combinação das ações atuantes na viga; 
- Exceto quando indicado o contrário, a combinação que deve ser 
utilizada para a análise de flechas é a Combinação Quase 
Permanente de Serviço (ELS): 
kQj
n
j
j
m
i
kGiserd FFF ,
2
2
1
,, 


- O anexo C da NBR 8800:2008 apresenta uma tabela de 
deslocamentos máximos, onde podemos encontrar os valores da 
flecha limite (flim): 
- A flecha da viga deve ser menor que um valor de flecha limite: limff 
41 
NBR 8800:2008 
42 
Continuação da tabela C.1 
Resumo de verificações 
43 
- Flexão: 
- Flambagem lateral com torção (FLT); 
- Flambagem local de mesa (FLM); 
- Flambagem local de alma (FLA); 
- Força Cortante 
- Verificação da flecha 
Exercício 
44 
Verificar a viga a seguir (momento, cortante e flecha), constituída por um perfil I soldado 
VS 900 x 124 de aço ASTM A36. A viga possui 16,0 m de vão com uma contenção lateral 
no meio do vão. O carregamento distribuído atuante na viga é de 6,0 kN/m, e já está 
combinado (carregamento de cálculo para ELU). A viga possui enrijecedores transversais 
espaçados a cada 4,0 m. Para a análise da flecha, utilizar um carregamento distribuído de 
5,0 kN/m, já combinado (carregamento de cálculo para ELS). A viga faz parte do piso de 
uma estrutura. 
4 x 400 = 1600 cm = 16 m 
Perfil VS 900 x 124 
d = 900 mm 
t 
w 
= 8 mm 
b 
f 
= 350 mm 
t 
f 
=12,5 mm 
aço ASTM A36: 
 fy = 250 MPa = 25 kN/cm²
 
 E = 200000 MPa = 20000 kN/cm² 
A 
g 
= 157,5 cm2 
I 
x 
= 216973 cm4 
I 
y 
= 8936 cm4 
W 
x 
=4822 cm3 
r 
y 
=7,53 cm 
d 
b f 
qd=6 kN/m 
Z x = 5413 cm
3 
J = 60,72 cm4 
C w = 17596241 cm
6 
x x 
y 
y