Torção em Eixos

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Disciplina: Resistência dos Materiais
Engenharia Mecânica
CLEBER GRANATO DE FARIA
Assunto: Torção
 Torque é um momento que tende a torcer um 
elemento em torno de seu eixo longitudinal.
Torque
Deformação
Deformação
 O ângulo de torção é proporcional ao Torque T
aplicado e ao comprimento L.
Deformação
 Um momento torçor aplicado em um elemento
origina tensões cisalhantes nas faces 
pependiculares ao eixo axial. 
 As condições de equilíbrio requerem a 
existência de tensões iguais nas faces dos dois
planos que contém o eixo da peça.
 Em um momento torçor aplicado, o elemento
sofre deformação conforme represetado em (a).
 As extremidades do elemento se mantém
planas, a deformação pode ser expressa:
 A deformação é proporcional ao ângulo de 
torção γ e ao raio ρ.
A fórmula da torção
A fórmula da torção
 Como consequência uma variação linear na deformação por
cisalhamento, resulta em uma variação linear na tensão de 
cisalhamento. máxmáx  G máx )( 


c

 G
 Desta forma podemos escrever:
 Se o material for linear elático, então a lei de Hooke se aplica,
A fórmula da torção
 Aplicando a condição que exige que que o torque produzido pela 
distribuição de tensão por toda a seção transversao seja equivalente ao
torque interno resultante na seção.
o torque produzido por esta força é ) ( dAdT 
Assim para toda seção transversal dA 
A
2máx
 

c
T dA )(dA) ( máxAA

c
T  dAdF 
A fórmula da torção
 Se o eixo tiver uma seção transversal circular maciça,
 Se o eixo tiver uma seção transversal tubular,
4
2
cJ


 44
2
io ccJ 

A fórmula da torção
 Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica. 
 Uma variação linear na deformação por cisalhamento resulta em uma
variação linear na tensão de cisalhamento correspondente ao longo de 
qualquer linha radial na seção transversal.
J
T
J
Tc   ou máx
= tensão de cisalhamento máxima no eixo
= tensão de cisalhamento em um ponto no eixo
= torque interno resultante
= momento polar de inércia da área da seção 
transversal
= raio externo do eixo
= distância intermediária
máx

T
J
c

tVS 
 Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo.
 Visto que onde F é a força e S a distância e , onde
V é a velocidade tangencial.
 Como a unidade de F é N e da V é m/s temos que
A unidade de potência é (watt). Fora do SI temos:
cv (cavalo vapor): cv = 736 W
Hp (horse power): hp = 746 W
 tempoo e trabalhoo é onde t
t
P 
SF 
VFP 
Transmissão de potência   






s
m
VNFP  W
s
J
s
m
N 











tVS 
 Como
 Como , 
 Assim
 Para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico é:
eixo do eangular e velocidada é onde raioorrV 
f 2rad 2ciclo 1  fTP 2
adm
T
c
J

Transmissão de potência
rFP  
rFT  TP
 Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo.
 Para um eixo rotativo com torque, a potência é:
 Visto que , a equação para a potência é
 Para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico é:
dtdTP / é eixo doangular e velocidada onde  
f 2rad 2ciclo 1 
fTP 2
adm
T
c
J

Transmissão de potência
Um eixo deve transmitir 20 hp a 1500 rpm. Determinar o
diâmetro mínimo do eixo se a tensão admissível for 80 Mpa.
Um motor elétrico de 15 hp e 3500 rpm e um redutor, são
usados para acionar uma máquina. Determine o diametro dos
eixos do redutor se a tensão de cisalhamento admissível for de
40 MPa.
7
Ângulo de torção
(1) máx
L
c
 
 máxmáx
G

 
J
Tc
máx )2( máx
JG
Tc
 A relação entre o ângulo de torção e a deformação de cisalhamento máxima.

 No regime elástico a deformação e a tensão de 
cisalhamento são relacionadas pela lei de 
Hooke.
 Substituido da equação
máx
 Igualando à teremos:
JG
TL

(1)(2)
Ângulo de torção
Se os momentos torçores e/ou a seção transversal 
variarem ao longo do comprimento, o ângulo de 
torção será dado por:. ii
ii
i GJ
LT

Logo: 
 
 

L
GxJ
dxxT
0

Convenção de Sinais
Qual o torque que deverá ser aplicado à extremidade do 
eixo da figura abaixo para produzir um ângulo de torção
de 2º? Use o valor de G = 77 GPa para o modulo de 
elasticidade transversal do aço.
Qual ângulo de torção que criará uma tensão de 
cisalhamento de 70 MPa na superfície interna do eixo
vazado de aço da figura abaixo. Use o valor de G = 77 
GPa para o modulo de elasticidade transversal do aço.
 Um eixo carregado com torque pode ser classificado como estaticamente
indeterminado se a equação de equilíbio de momento aplicado em trono
da linha central do eixo não for adequada para determiner os torques 
desconhecidos que agem no eixo.
Elemento estaticamente indeterminados 
carregados com torque
Elemento estaticamente indeterminados 
carregados com torque
Um eixo AB consiste em um cilindro de aço de 240 mm de
comprimento e 22 mm de diâmetro, no qual foi feito um furo
de 120 mm de profundidade e 16 mm de diâmetro na
extremidade B. O eixo está engastado a suportes fixos em
ambas as extremidades, e é aplicado um torque de 120 Nm na
sua seção media. Determine o torque aplicado no eixo por cada
um dos suportes.
Concentração de tensão
Concentração de tensão
 A necessidade da utilização de 
acoplamentos, flanges, engrenagens, 
roldanas, tambores, etc. Ligados aos veios
através de chavetas ou outros processos
que implicam descontinuídades e reduções
de secção podem causar concentrações
de tensão.
 Os fatores de concentração de tensões são
aplicados através da equação: J
Tc
Kmáx
Beer, F. P., Johnston Jr, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. Mecânica dos 
materiais. McGraw Hill Brasil, 2015
HIBBELER, Russell C. Resistência dos materiais. Pearson Prentice Hall, 
2006
Referências