Unidade II 2

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Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL 
Curso: Engenharia Civil 
Disciplina: Fundamentos de Resistência dos Materiais 
Professora: Lucimara A. Schambeck Andrade, Engª. Civil, Msc. 
 
1 
2. TORÇÃO 
 
2.1. Introdução: 
 
Este capítulo vai estudar peças submetidas a efeito de Torção. Especificamente, estudaremos 
as tensões e deformações produzidas em peças de seção transversal circular, sujeitas à ação de 
conjugados que tendem a torcer essas peças. Tais conjugados são chamados de momentos de torção, 
momentos torcionais ou torque, T e T’ (figura). 
Esses conjugados têm a mesma intensidade T e sentidos opostos. São então grandezas 
vetoriais e podem ser representadas de duas maneiras: 
 
Fig. a → setas curvas ou Fig. b → vetores binários 
 
 
 
 
 
 
 
 
O torque atuante na peça representada na figura é definido através do produto entre a 
intensidade da carga aplicada e a distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da seção 
transversal. 
Peças submetidas a torção são encontradas em muitas aplicações na prática de engenharia. O 
caso mais comum de aplicação é o de eixos de transmissão ou eixos motrizes utilizados em veículos 
e máquinas para transmitir potência de um ponto a outro. 
 
 - Máquina para teste de torção: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2. Deformações nos Eixos Circulares: 
 
 Um eixo circular está fixado a um suporte indeslocável, por uma de suas pontas (fig. a). 
Aplicando-se à extremidade livre o momento de torção T, o eixo gira, e a seção transversal de 
extremidade apresenta uma rotação representada pelo ângulo φ, chamado ângulo de torção (fig. b). 
 
 
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A faixa de variação do momento torsor T, o ângulo de 
torção é proporcional a T. Pode se afirmar também que φ é 
proporcional ao comprimento L do eixo. Isto quer dizer que para 
um eixo de mesma seção transversal e mesmo material, mas com 
o dobro de comprimento, o ângulo de torção será duas vezes 
maior, para o mesmo momento T. 
 
Neste ponto devemos mostrar uma propriedade importante 
dos eixos circulares: quando um eixo circular fica submetido à 
torção, todas as seções transversais se mantêm planas e 
conservam sua forma. A fig. a, mostra a deformação de um 
modelo de borracha submetido à torção. 
 
Essa propriedade é característica de eixos circulares, maciços ou vazados; ela não se 
apresenta em peças que têm seção transversal diferente da circular. Como por exemplo, quando uma 
barra de seção quadrada é submetida a momento de torção, suas várias seções transversais não se 
mantêm, perdendo a forma inicial (fig. b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando agora um eixo circular de comprimento L e 
raio c, que foi torcido em um ângulo de torção φ, passamos à 
determinação da distribuição de tensões de cisalhamento na 
seção transversal (fig. a). 
Retiramos do interior do eixo um cilindro de raio ρ, 
marcando na superfície deste um elemento de área formado por 
dois círculos adjacentes e duas geratrizes muito próximas. Antes 
da atuação de qualquer esforço de torção, o elemento se 
apresenta como mostrado (fig. b). Após a aplicação de um 
momento de torção, o elemento se transforma em um losango 
(fig. c). 
Sabemos que a deformação de cisalhamento γ em certo 
elemento é medida pela variação do ângulo formado pelos lados 
do elemento. No problema que analisamos aqui, dois lados do 
elemento são formados por círculos, que permanecem 
inalterados. Assim, a deformação de cisalhamento γ deve ser 
igual ao ângulo formado pelas linhas AB e A’B. 
 
 
 
 
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γ = ρ . φ onde: γ = deformação de cisalhamento (radianos) 
 L ρ = raio qualquer (m) 
 φ = ângulo de torção (radianos) 
 L = comprimento (m) 
 
 Essa equação mostra que deformação de cisalhamento γ em certo ponto do eixo sujeito à 
torção é proporcional ao ângulo de giro φ. Ela mostra também que γ é proporcional à distância ρ do 
centro do eixo circular ao ponto considerado. Dessas observações concluímos que a deformação de 
cisalhamento em uma barra varia linearmente com a distância ao eixo da barra. 
 
 Segue-se então da equação, que deformação de cisalhamento é máxima na superfície da 
barra circular, onde ρ = c. Temos: 
 
 onde: γmáx = deformação de cisalhamento máxima (radianos) 
γmax = c . φ c = raio (m) 
L φ = ângulo de torção (radianos) 
 L = comprimento (m) 
 
 
2.3. Tensões no Regime Elástico: 
 
 Nesta discussão sobre torção de eixos circulares, não adotamos até agora nenhuma relação 
particular entre tensões e deformações. Vamos considerar agora o caso em que o momento de 
torção T tem um valor tal que as tensões no material se mantêm abaixo da tensão de cisalhamento 
de escoamento τe. Como visto anteriormente que nesse caso, as tensões no material permanecem 
abaixo do limite de proporcionalidade e do limite de elasticidade. Podemos aplicar a Lei de Hooke e 
sabemos que não haverá deformação permanente. 
 
Aplicando a Lei de Hooke para tensões e deformações de cisalhamento, temos: 
 
 
τ = G . γ onde: τ = tensão de cisalhamento (Pa) 
G = módulo de elasticidade transversal do material (Pa) 
 γ = deformação de cisalhamento (radianos) 
 
 
 
 A tensão de cisalhamento na barra circular varia linearmente com a 
distância ρ do eixo da barra. A tensão aumenta à medida que o ponto 
estudado afasta-se do centro e aproxima-se da periferia. A tensão máxima na 
seção ocorrerá na distância máxima entre o centro e a periferia, ou seja, 
quando ρ = c. 
 
A fig. a mostra a distribuição de tensões de cisalhamento na seção 
transversal de um eixo circular maciço. Na fig. b é mostrada a distribuição de 
tensões de cisalhamento em um eixo circular vazado, de raio interno c1, e raio 
externo c2. 
 
 
 
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τmín = c1 τmax onde: τmín = tensão de cisalhamento mínima (Pa) 
 c2 τmáx = tensão de cisalhamento máxima (Pa) 
 c1 = raio interno (m) 
 c2 = raio externo (m) 
τmín = T . c1 T = momento torsor (N.m) 
 J J = momento de inércia polar (m4) 
 
τmax = T . c2 
 J 
 
 A relação da tensão de cisalhamento a uma distância ρ do eixo da barra circular é: 
 
 τ = T . ρ onde: τ = tensão de cisalhamento (Pa) 
 J T = momento torsor (N.m) 
ρ = raio qualquer (m) 
J = momento de inércia polar (m4) 
 
 
⇒⇒⇒⇒ Momento de Inércia Polar (J): 
 
- Eixo maciço de raio c: 
 J = π . c4 
 2 
 
 - Eixo circular de seção vazada, com raio interno c1 e raio externo c2: 
 J = π (c2
4 - c1
4) 
 2 
 
 
 
2.4. Ângulo de Torção no Regime Elástico: 
 
 
Nesta seção desenvolveremos uma relação entre o ângulo de 
torção φ de um eixo circular e o momento torçor T que se aplica ao eixo. 
Vamos admitir que qualquer porção do eixo vai permanecer elástica. 
Consideremos inicialmente o caso de um eixo circular de 
comprimento L que tem seção uniforme de raio c. O eixo está sujeito à 
ação do momento torçor T em uma das suas extremidades, sendo a outra 
extremidade fixa. Sabemos que o ângulo de torção φ e a deformação de 
cisalhamento máxima γmax estão relacionados pela expressão: γmax = c . φ 
 L 
 
Como em regime elástico a tensão de escoamento não é excedida em nenhum ponto do eixo, 
podemos aplicar a Lei de Hooke, escrevendo: 
 
 γmax = τmax τmax = T . c 
 G J 
 
 
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Igualando as equações e resolvendo para φ, escrevemos: 
 
 φ = T . L onde: φ = ângulo de torção (radianos) 
 J . G T = momento torsor (N.m) 
L = comprimento (m) 
J = momento de inércia polar (m4) 
G = módulo de elasticidade transversal do material (Pa) 
 
A relação obtida mostra que, dentro do regime elástico, o ângulo de torção φφφφ é 
proporcional ao momento de torção T aplicado ao eixo circular. 
 
 
 
2.5. Projeto de Eixos de Transmissão: 
 
 As principais especificações a serem consideradas no projeto de eixos de transmissão são a 
potência a ser transmitida e a velocidade de rotação do eixo. O projetista deverá escolher materiais e 
dimensões adequadas, de modo que a máxima tensão de cisalhamento admissível não seja excedida 
quando o eixo transmitir a potência requerida na velocidade especificada. 
 Para determinar o torque no eixo de transmissão, recordamos da dinâmica elementar que a 
potência P associada à rotação de um corpo rígido sujeito a um torque T é: 
 
P = T . ω onde: ω = velocidade angular do corpo, expressa em radianos por segundo 
 
 Mas ω = 2.π.f, onde f é a freqüência do movimento de rotação, isto é, o número de 
revoluções por segundo. A unidade de freqüência é 1s-1, chamada hertz (Hz). Substituindo na Eq. 1, 
temos: 
 
 P = 2.π.f.T onde: P = potência (N.m/s = watts) (w) 
 T = torque (N.m) 
 T = P J = momento de inércia polar (m4) 
 2.π.f c = raio externo (m) 
 τmáx = tensão máxima de cisalhamento (Pa) 
 τmax = T . c 
 J 
 Obs.: 1 rpm = 1 s-1 = 1 Hz 
 60 60 
 1 hp (horse power) ≅ 746 w 
 1 cv (cavalo vapor) ≅ 736 w 
 
 
2.6. Torção em Eixos de Seção Não-Circular: 
 
 Vimos no item 2.2. que quando um eixo circular fica submetido à torção, todas as seções 
transversais se mantêm planas e conservam sua forma. E quando uma barra de seção quadrada é 
submetida à torção, suas várias seções transversais não se mantêm, perdendo a forma inicial, 
podendo apresentar empenamentos ou saliências. 
 
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 Entretanto, utilizando-se uma análise matemática baseada na teoria da elasticidade, é 
possível determinar a distribuição das tensões cisalhantes sobre um eixo de seção transversal 
quadrada. 
 Os resultados da análise de uma seção transversal quadrada, juntamente com outros 
resultados da teoria da elasticidade, para eixos com seções transversais triangulares e elípticas são 
mostrados na Tabela 1. Em todos esses casos, a tensão cisalhante máxima ocorre no ponto da 
periferia da seção transversal que esteja mais próximo à linha de centro do eixo. 
Na Tabela 1 esses pontos são indicados com destaque sobre a seção transversal. São também 
fornecidas as fórmulas para o ângulo de torção para cada tipo de seção transversal do eixo. 
 
 
- Barras de eixo reto com seção retangular: 
 
 Tomando a barra da figura, com comprimento L e lados a e b (respectivamente o lado maior 
e o lado menor), que está submetida ao torque T, vemos que as maiores tensões de cisalhamento 
ocorrem ao longo da linha central da face mais larga da barra, e o seu valor é dado por: 
 
 τmáx = T 
 c1ab
2 
 
 
O ângulo de torção, por sua vez, pode ser expresso por: 
 
 φ = TL 
 c2ab
3G 
 
 
 Os coeficientes c1 e c2, dados na Tabela 2, dependem somente da relação a/b. 
 
 
 Tabela 1 Tabela 2 – Coeficientes para a 
 Torção de barras retangulares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a/b c1 c2 
1,0 0,208 0,1406 
1,2 0,219 0,1661 
1,5 0,231 0,1958 
2,0 0,246 0,229 
2,5 0,258 0,249 
3,0 0,267 0,263 
4,0 0,282 0,281 
5,0 0,291 0,291 
10,0 0,312 0,312 
 
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LISTA DE EXERCÍCIOS – TORÇÃO 
 
TENSÕES NO REGIME ELÁSTICO 
 
 
1. Um eixo circular de 10 cm de diâmetro está submetido a T = 28500 N.m. Qual o valor da tensão 
máxima de cisalhamento? 
 
2. Um momento de torção T = 4,60 KN.m é aplicado ao 
cilindro maciço de bronze indicado. Determinar a 
máxima tensão de cisalhamento: 
 
 
 
3. Determinar o momento de torção que pode ser aplicado a um eixo maciço de 80 mm de 
diâmetro sem exceder a tensão de cisalhamento admissível de 60 MPa. 
 
 
 
4. Para o eixo representado na figura, determinar o momento de torção 
que pode ser aplicado sendo que a tensão de cisalhamento máxima é 
de 30 MPa. 
 
 
 
 
5. Um eixo de aço vazado usado numa broca tem diâmetro externo 70 mm e diâmetro interno 30 
mm. Para um torque aplicado de 20 kN.m, determine a tensão de cisalhamento na superfície 
externa do eixo e a tensão de cisalhamento na superfície interna. 
 
6. Um eixo circular vazado de aço tem comprimento L = 1,5 m e diâmetros interno e externo 
respectivamente de 40 e 60 mm. 
a) Qual é o maior momento de torção que pode ser aplicado ao eixo, para que as tensões de 
cisalhamento não excedam 120 MPa? 
b) Qual é o valor mínimo da tensão de cisalhamento para esse caso? 
 
7. Considere-se um eixo, de seção circular vazada, com 75 mm de diâmetro interno e 125 mm de 
diâmetro externo. Experimentalmente, determinou-se a tensão de cisalhamento τ = 56 MPa, na 
face interna. Qual a tensão nas fibras externas? 
 
8. O projeto preliminar de um eixo de transmissão levou à 
escolha de uma barra de seção vazada, com diâmetro interno 
de 100 mm e diâmetro externo de 150 mm. Pede-se 
determinar o máximo torque que poderá ser transmitido, 
sendo a tensão admissível do material 83 MPa, nas seguintes 
situações: 
a) do projeto preliminar; 
b) supondo um eixo sólido maciço de mesmo peso daquele 
do anteprojeto. 
 
 
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9 mm 
70 N.m 
ÂNGULO DE TORÇÃO NO REGIME ELÁSTICO 
 
 
1. O eixo-árvore representado na figura possui diâmetro igual a 
40 mm e comprimento L = 0,9 m, movido por um torque de 
200 N.m. Calcular o ângulo de torção sendo G = 80 GPa. 
 
 
 
 
2. Um eixo circular, de 31,25 mm de diâmetro, está submetido a T = 312,5 N.m. Sabendo-se que 
para L = 1,5 m tem-se φ = 3,12°, qual o valor de G? 
 
 
 
3. Determinar o ângulo de torção em A para o eixo de aço 
indicado com G = 70 GPa. 
 
 
 
 
 
4. Que valor de momento de torção deve ser aplicado à 
extremidade do eixo circular, de modo que o ângulo 
de torção produzido seja 2º? Adotar para o módulo 
de elasticidade G o valor 80 GPa. 
 
 
5. Calcular para o eixo de seção vazada do exercício 
anterior, o valor do ângulo de torção que provoca 
uma tensão de cisalhamento mínima de 70 MPa. 
 
 
6. Um eixo de transmissão maciço tem 2 m de comprimento. Quando se aplica um momento torçor 
de 9 kN.m ao eixo, o ângulo de torção não pode exceder 3º. Determinar o diâmetro necessário 
para o eixo, sabendo que ele é feito de bronze com G = 40 GPa. 
 
 
7. Um eixo oco, de aço, tem 3 m de comprimento e transmite o momento de torção T = 25000 
N.m. O valor de φ, correspondente ao comprimento total do eixo, não deve exceder 2,5°. A 
tensão admissível ao cisalhamento é τ = 84 MPa. Sendo G = 84 GPa, quais os diâmetros, 
externo e interno? 
 
 
8. Pede-se determinar: 
a) o torque que causa um ângulo de torção de 3° no eixo cilíndrico 
vazado de aço (G = 77 GPa); 
b) o ângulo de torção causado pelo mesmo torque, num eixo 
cilíndrico maciço de mesma área de seção transversal. 
 
 
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PROJETO DE EIXOS DE TRANSMISSÃO 
 
 
1. Que diâmetro deve ser usado para o eixo do rotor de uma máquina de 5 hp, operando a 3600 
rpm, se a tensão de cisalhamento não pode exceder 59 MPa. 
 
2. Dimensionar uma árvore maciça de aço, para que transmita com segurança uma potência de 10 
CV, girando com uma rotação de 800 rpm. Sabe-se que a tensão admissível do aço a 
cisalhamento na torção é de 50 MPa. 
 
3. A tensão máxima de cisalhamento que atua em um eixo árvore de uma transmissão é 40 MPa, o 
seu diâmetro é 48 mm, e a sua frequência é de 2 Hz. Determinar a potência transmitida. 
 
 
4. Uma vez que o eixo vazado de aço mostrado gira a 
180 rpm, uma luz estroboscópica para medições 
indica que o ângulo de torção do eixo é 3º. Sabendo-
se que G = 77 GPa, determinar: 
a) a potência que está sendo transmitida; 
b) a máxima tensão de cisalhamento no eixo. 
 
 
 
5. Um eixo de aço de 38 mm de diâmetro, será usado para transmitir 50 hp entre um motor e uma 
bomba de água. Determinar a menor frequência, de maneira que a tensão de cisalhamento não 
exceda a 60 MPa. 
 
 
6. O eixo da figura é feito de bronze e tem 3 m de comprimento. Requer que 
transmita 3 kW de potência. Determinar a frequência de rotação que o 
eixo pode ter se o máximo ângulo de torção é de 2˚. Adotar o módulo de 
elasticidade transversal igual a 40 GPa. 
 
 
7. Um motor transmite 500 hp ao eixo de aço AB, que é tubular e tem um 
diâmetro externo de 50,8 mm. Considerando que ele gire a 1910 rpm, 
determine seu diâmetro interno se a tensão cisalhante admissível para 
o material é 172,37 MPa. 
 
 
8. Um eixo é constituído por um tubo de aço de 50 mm de diâmetro externo, e deve transmitir 100 
KW de potência a uma frequência de 20 Hz. Determinar a espessura do tubo para que a tensão 
máxima de cisalhamento não exceda a 60 MPa. 
 
9. Dimensionar o eixo árvore vazado que será utilizado na transmissão 
para o diferencial de um caminhão. A potência é de 320 CV e a rotação 
1600 rpm (para ser atingido o torque máximo). A tensão admissível de 
cisalhamento é 50 MPa e a relação entre os diâmetros externo e interno é 
1,25. (D = 1,25 d) 
 
 
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TORÇÃO EM EIXOS DE SEÇÃO NÃO-CIRCULAR 
 
 
1. Se a = 25 mm e b = 15 mm, determine a tensão cisalhante máxima no 
eixo elíptico quando sujeito ao torque T = 80 N.m. 
 
 
 
 
 
 
2. Cada uma das duas barras de alumínio mostradas está 
sujeita a um torque de intensidade 1800 N.m. Sabendo-se 
que G = 26 GPa, determinar para cada barra a máxima 
tensão de cisalhamento e o ângulo de torção em B. 
 
 
3. Determinar o maior torque que pode ser aplicado a cada 
uma das duas barras de alumínio mostradas, e o 
correspondente ângulo de torção em B, sabendo-se que 
τadm = 50 MPa e G = 26 GPa. 
 
 
 
 
 
4. A extremidade B da barra de aço inoxidável indicada gira 
de 2° pela ação do torque T. Sabendo-se que G = 80 GPa, 
determinar a máxima tensão de cisalhamento da barra. 
 
 
 
 
 
5. Uma barra de aço tem seção transversal de 9,5 x 19 mm, e a tensão de cisalhamento na barra 
não pode exceder 100 MPa, quando o ângulo de torção é de 15°. Determinar o menor 
comprimento admissível para a barra, sendo G = 79,3 GPa. 
 
 
 
6. O eixo de alumínio mostrado na figura tem área de 
seção transversal na forma de um triângulo equilátero. 
Determine: 
a) o maior torque T que pode ser aplicado ao eixo se a 
tensão de cisalhamento máxima é de 56 MPa; 
b) o ângulo de torção na extremidade, sendo G = 26 
GPa. 
 
 
 
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a 
a 
 
 
7. Determinar, para a barra de alumínio indicada, a 
dimensão “a” adequada e o ângulo de torção. 
Sendo τmáx = 38 MPa, T = 145 N.m e G = 28 GPa. 
 
 
 
 
 
 
 
8. Cada uma das três barras de aço mostradas está sujeita a um torque de intensidade 275 N.m. 
Sabendo-se que a tensão de cisalhamento admissível é 50 MPa, determinar a dimensão b 
necessária para cada barra.