Esforços Elementares em Peças Lineares

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INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA 
 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA 
 
 
CAPÍTULO III 
 
Esforços Elementares em Peças Lineares 
 
 
 
 
 
 
SEMESTRE VERÃO 2004/2005 
 
 
 
 
Manuela Gonçalves 
Maria Idália Gomes 1/13 
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Capitulo III – Esforços Elementares em Peças Lineares 
3.1 Definição dos esforços elementares 
 
Uma estrutura sujeita a um sistema de cargas mantém-se em equilíbrio devido à correcta 
distribuição dos apoios. 
As forças reactivas dependem das forças activas e todas em conjunto determinam as forças de 
ligação entre as diversas partículas que constituem a estrutura. 
O corpo representado na figura está em equilíbrio submetido a um conjunto de forças, activas e 
reactivas. 
 
 
 Figura 1 
S 
A B 
P
G
 
 
Considerando uma qualquer secção S que separa o corpo em duas partes A e B, as acções 
moleculares exercidas pela parte A sobre a parte B equilibram as forças externas que actuam na 
parte B. 
Fazendo-se a redução deste sistema de forças interiores ao centro de gravidade G da secção S 
por intermédio das forças externas que actuam na parte B obtém-se R
G
 e RM
G
. 
 
 
 Figura 2 Ry Mt 
Rz 
B 
My 
Mz 
Rx 
z 
y 
 
x 
 
 
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Apenas com sentidos opostos obtinha-se a redução do sistema de forças interiores sobre a outra 
parte. Assim, a força R
G
 que actua na parte esquerda é a resultante das forças exteriores que 
fcam à direita e reciprocamente. O momento M
G
 que actua na parte esquerda é o momento 
resultante das forças exteriores que ficam à direita, e reciprocamente. 
 
O conjunto de forças estaticamente equivalente à acção de uma parte do corpo sobre a outra, 
através da secção qua as separa, é o esforço na secção. 
 
Decompondo as resultantes R e –R e os momentos MR e –MR em componentes normais e 
tangenciais ao plano da secção considerada, obtêm-se os esforços elementares ou também 
designados por esforços simples. 
 
 x y z y zR R i R j R k R Ni V j V k= + + ⇔ = + +
JG G G G JG G G G
 
sendo: 
N ⇒ Esforço normal ou axial 
Vy ⇒ Esforço transverso segundo y 
Vz ⇒ Esforço transverso segundo z 
 
e x y z t y zM M i M j M k M M i M j M k= + + ⇔ = + +
JJG G G G JJG G G G
 
sendo: 
Mt ⇒ Momento torsor ou momento de torsão 
My ⇒ Momento flector segundo y 
Mz ⇒ Momento flector segundo z 
 
 
 
 
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Quando as estruturas admitem um plano de simetria e as forças estão todas nesse plano a 
análise dos esforços elementares ou simples é feita nesse plano (Figura 3 e 4). 
 
 
 Figura 3 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4 
 
 
 
 
 
 
 
Se o plano de simetria for o plano xy obtém-se: 
 
 zR Ni Vj e M M k= + =
GG GG G
 
 
 
Na figura 5 estão indicados os esforços elementares convencionais para positivos. 
 
 
Figura 5 
 
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3.1.1 Esforço Normal (N) 
 
A componente N é designada por esforço normal ou esforço axial e o seu efeito é de 
aproximar, esforço de compressão, ou afastar, esforço de tracção, secções imediatamente 
próximas. 
 
Compressão 
Ocorre quando há duas forças, na mesma 
direcção, empurrando em sentidos opostos. 
 
Exemplo: 
 
pisar uma bola 
 
 
Tracção 
Ocorre quando há duas forças, na mesma 
direcção, e estas estão em sentidos opostos. 
Exemplo: 
 
O jogo da corda 
 Sinal ( + ) 
Sinal ( - ) 
 
Esforço normal é a soma algébrica das projecções sobre a
situadas de um mesmo lado da secção. 
 
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 normal à secção das forças exteriores 
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3.1.2 Esforço Transverso ou Cortante (V) 
 
A componente V é designada por esforço transverso e tende a fazer com que a secção deslize 
sobre a secção imediatamente a seguir. 
 
Corte 
Ocorre quando há o deslizamento entre secções 
paralelas devido à forças paralelas. 
 
 
 
Exemplo: 
acontece quando uma tesoura corta um pedaço de 
papel 
 
Sinal ( - ) 
Sinal ( + ) 
 
 
Esforço transverso é a soma algébrica das projecções sobre o plano da secção das forças 
exteriores situadas de um mesmo lado da secção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.1.3 Momento Flector (M) 
 
A componente M é designada por momento flector e tende a fazer com que a secção gire em 
torno de um eixo localizado no seu próprio plano. 
 
Flexão 
Ocorre quando há carregamento transversal 
entre os apoios 
 
 
 
 
Exemplo: 
acontece quando algumas pessoas se põe no meio 
de um banco (antes deste quebrar) 
Sinal ( + ) 
Sinal ( - ) 
 
 
 
Momento flector é a soma vectorial das projecções
forças, situadas de um mesmo lado da secção, em r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 sobre o plano da secção dos momentos das 
elação ao seu centro de gravidade. 
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3.1.4 Momento Torsor (T) 
 
A componente T é designada por momento torsor oumomento de torsão e o seu efeito é o de 
torcer a secção em torno da normal. 
 
 
Torção 
Ocorre quando há rotação das extremidades 
em direcções opostas. 
 
 
 
Exemplo: 
 
acontece quando se torce a roupa molhada para 
deixá-la mais enxuta 
 
 
 
 
 
 
Momento torsor é a soma algébrica dos momentos, em relação a um eixo perpendicular ao 
plano da secção e passando pelo seu centro de gravidade, das forças exteriores situadas de um 
mesmo lado da secção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.2 Diagramas de Esforços Elementares 
 
Podem-se conhecer os valores dos esforços elementares em qualquer secção de uma peça 
linear, pela via analítica – leis dos esforços elementares – ou pela via gráfica – diagrama dos 
esforços elementares. 
Para tal, adoptam-se para eixos de referência o eixo da peça (x) e o que lhe é perpendicular (y), 
sendo xy o plano das cargas. Define-se a posição da secção genérica pela sua abcissa x e 
exprime-se cada esforço elementar em função dessa abcissa. 
 
 
3.2.1 Regras básicas para o traçado dos diagramas de esforços elementares 
O diagrama dos momentos flectores é sempre representado do lado das fibras traccionadas, 
pelo que, de acordo com a convenção de sinais adoptada, os valores positivos ficam marcados 
do lado de baixo do eixo da peça e os negativos do lado de cima desse mesmo eixo. 
Os restantes esforços elementares são marcados do lado de acima do eixo os valores positivos e 
do lado abaixo do eixo da peça os valores negativos. 
Para se fazer o traçado dos diagramas é conveniente conhecer as relações que existem entre a 
carga, esforço transverso e momento flector. 
Vamos supor que uma carga distribuída de ordenada p actua uma dada secção S sujeita ao 
esforço transverso V e ao momento flector M, ambos positivos. 
 
p 
V + dV M + dM 
 S dx 
VM 
 
 
 
 
 
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Para a secção infinitamente próxima verifica-se uma variação infinitésimal daqueles esforços 
de 
 dV q dx e dM Vdx= − = 
 
A partir da equação diferencial dVp
dx
− = pode concluir-se: 9 
 
 - a ordenada de carga p numa secção, mede a tangente à curva que define o 
diagrama dos esforços transversos , V. Se na vizinhança de uma secção p=0, a tangente 
à curva dos V nessa secção é zero, isto é, é horizontal; 
 
 - entre as secções A e B não existem cargas concentradas aplicadas e a lei das cargas 
distribuídas (equação da curva que limita o diagrama de cargas ) é p(x), então, se entre as 
secções A e B: 
 p(x) > 0, o esforço transverso decresce; 
 p(x) < 0, o esforço transverso cresce; 
 p(x) = 0, o esforço transverso é constante; 
 
 - e porque se 
caminha no eixo x de A para B no sentido positivo do eixo a variação do esforço 
transverso entre as secções A e B igual à área do diagrama das cargas entre essas secções. 
( ) ( ) ( )
VB xB xB
B A
VA xA xA
dV p x dx dV p x dx V V p x dx= − ⇒ = − ⇒ − = −∫ ∫ ∫
 
 
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A partir da equação diferencial dM
dx
=V pode concluir-se: 9 
 - o valor do esforço transverso V, numa secção, é igual à tangente à curva que 
limita o diagrama de momentos flectores, M. Se na vizinhança de uma secção V=0, então 
nessa secção a tangente à curva dos M é nula, e M será máximo ou mínimo; 
 
 - entre as secções A e B não existem cargas concentradas nem momentos aplicados e 
a equação que limita o diagrama dos esforços transversos é V(x), então, se entre as 
secções A e B: 
 V(x) > 0, o momento flector cresce; 
 V(x) < 0, o momento flector decresce; 
 V(x) = 0, o momento flector é constante; 
 
 - , porque se caminha 
no eixo x de A para no sentido positivo do eixo. A variação do momento flector entre as 
secções A e B igual à área do diagrama dos esforços transversos entre as secções. 
( ) ( ) M ( )
MB xB xB
B A
MA xA xA
dM V x dx dM V x dx M V x dx= ⇒ = ⇒ − =∫ ∫ ∫
 
Porque se verifica 
2
2
( )d M xp
dx
= − , pode concluir-se: 9 
 - para cargas positivas, p(x) > 0, a curva que limita o diagrama dos M é côncava (∪) 
 p(x) > 0 p 
 x 
 
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 e para cargas negativas, p(x) < 0, a curva que limita o diagrama dos M é convexa (∩). 
 p 
x 
 
 p(x) < 0 
As cargas distribuídas, os esforços transversos e os momentos flectores variam ao 
longo do eixo x da peça sendo definidos por equações polinomiais. Se: 
9 
 o grau de p(x) é n então 
 o grau de V(x) é n + 1 e 
 o grau de M(x) é n + 2. 
 
 
 
 
 
Resumo das convenções de sinais 
 
 
 
 
 
 
 Convenção (+) Convenção (-) 
 
 
 
 
 
 
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Exercício de Aplicação 
Enunciado 
 
a) Trace os diagramas de esforços, assinalando os pontos notáveis, graus das curvas e 
cálculos 
 
b) escreva as leis de variação dos esforços no troço EF 
 
c) faça o “diagrama de corpo livre” no troço BC. 
 
 
 
Exercício de Aplicação 
Enunciado Figura 
Para a estrutura, com: 
p = 25 kN/m e 
q = 60 kN/m: 
a) trace os diagramas dos 
esforços, assinalando os 
pontos notáveis, graus das 
curvas e cálculos 
b) escreva as leis de 
variação daqueles esforços 
na barra ACE 
c) faça o diagrama de 
Corpo Livre da barra DE. 
3,
0 
m
4,
0 
m
D
C
E
A
45 kN.m
F G
p B
40 kN
 
	Para a estrutura, com: