Cálculo A - Material com explicações e exercicios

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C�lculo A/Apostilas/Apostila_Modulo1.pdf
 
PUCRS - Faculdade de Matemática 
 
Cálculo Numérico A 
 
 
 
 
 
MMMóóóddduuulllooo 111 
 
 
 
 
TTTóóópppiiicccooo PPPááágggiiinnnaaa 
 1 - Formulário Módulo 1 1 
 2 - Teoria dos Erros 2 
 3 - Equações Algébricas e Transcendentes 22 
 4 - Sistemas de Equações Lineares 38 
 5 - Interpolação 56 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
1 
 
 PUCRS - Faculdade de Matemática 
Formulário de Cálculo Numérico A 
Módulo 1 
 
 
 
NOME: _______________________________________________________ DATA: _____ 
 
OBS: Você pode utilizar o verso desta folha, escrito de próprio punho, para consulta 
durante as provas P1, PS1 e G2 e entregá-la ao professor juntamente com a folha de 
questões. Nesta folha não são permitidas impressões, colagens, cópias xerográficas, ampliações 
ou reduções. 
 
 
( ) ( ) ( )[ ]
( )
( )
( ) ( )( )( )
( )
( ) ( )
[ ] [ ] [ ]
( )
( ) 0n1n2100210000
n
0
n
1n210
2
0
2
1000
0
n
ij
1j
j i i i
iiij
i
'
i
'
i
i1i
012n1nn
01
2
2
3
3
1-n
1-n
n
n
1i
i1i9
i
12
1n
21
y)x(x)x)(xx)(xx(x y∆)x)(xx(xy)x(xyxP 
hn!
y∆ )x(x)x)(xx)(xx(x
 
h2!
y∆ )x)(xx(x
h
y )x(x
yxP 
n , 2, 1, i a a 
 
n , 2, 1, j , i com b B e x X , a A sendo B XA 
0xf e , 2 1, 0,i , 
xf
xf
x x 
 
a xa xa xaxaxP 
axaxaxaxaxaxP Seja 
 
 
x
xx
10*0.5Log0.3xASC
 11eeb 1b 2F#,e,en,b,FF 
∆−−−−++−−+∆−+=
−−−−
++
−−
+
∆−
+=
=>
=====
≠=−=
++++=
++++++=
















−
++−=
++−−==
−
−
≠
=
+
−−
+
+
−
−
∑
LL
L
L
L
L
L
LL
L
:divididas diferençaspor Newton deor Interpolad Polinômio 
:finitas diferençaspor Newton deor Interpolad Polinômio 
 Polinomial ãoInterpolaç 
 
:estrita dominante Diagonal
 lineares equações n de Sistema 
:Raphson-Newton
:Horner
entes Transcende Algébricas Equações
 Erros dos Teoria
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
2 
TTTeeeooorrriiiaaa dddooosss EEErrrrrrooosss 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A matemática computacional é um ramo da matemática construtiva que estuda 
algoritmos implementáveis em máquinas digitais. Consiste na formulação precisa do problema, 
na idealização ou aproximação de um modelo matemático, na análise do problema matemático e 
no cálculo da solução do problema. Trata de resolução construtiva, isto é, algorítmica, de 
problemas através do uso de máquinas digitais. De maneira geral, pode ser dividida em quatro 
áreas: 
 
● Matemática Numérica: trata da resolução de problemas matemáticos através do 
computador. Atualmente, é uma ciência de grande importância e engloba várias disciplinas 
(análise numérica, aritmética computacional, álgebra numérica, estatística numérica, etc.). O 
cálculo numérico do problema deve ser feito por um algoritmo numérico eficiente, em uma 
máquina digital conveniente para se obter o resultado dentro da faixa de aceitação, dentro do 
critério de exatidão, e com a impressão dos dados. 
 
● Matemática Simbólica: trata dos dados de forma literal, indexados ou não, preocupando-se 
em obter a solução exata (fórmula fechada), para problemas matemáticos. 
 
● Matemática Gráfica: trabalha com dados de forma gráfica, entendendo-se por dados 
gráficos tanto figuras planas e espaciais, como cores e sombras. Os problemas abordados pela 
Matemática Gráfica estão relacionados com a computação gráfica, que trata das técnicas e 
métodos computacionais de converter dados gráficos de e para um dispositivo gráfico. 
 
● Matemática Intervalar: trata com dados na forma de intervalos numéricos, com o objetivo 
de automatizar a análise do erro computacional. A matemática intervalar iniciou e trouxe uma 
nova técnica que permite um controle de erros com limites confiáveis, além das provas de 
existência e não existência da solução de diversas equações. 
Matemática Computacional 
Mat. Numérica Mat. Simbólica Mat. Gráfica Mat. Intervalar 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
3 
 
 
Olivetti – Modelo Divisumma 24 
Fabricada no Brasil em 1964 
 
museu.boselli.com.br 
 
 
Representação de números 
As pessoas costumam utilizar o sistema de numeração decimal (= base 10) para representar os 
números. Isto provavelmente se deve ao fato dos seres humanos possuírem dez dedos nas mãos. 
A palavra dígito é um sinônimo de algarismo e vem do latim digitus (= dedo). Já os 
computadores normalmente utilizam um sistema de numeração binário (= base 2) para 
representação dos números. Ambos os sistemas citados – decimal e binário – são sistemas 
posicionais, ou seja, os números são formados por somas de potências convenientemente 
multiplicadas pelos algarismos. 
Exemplo: 
( )
210123
10
10*210*610*510*110*010*4
02.06.051040004015.62
−− +++++=
++++=
 
 
O número acima é representado no sistema decimal como uma soma de potências de 10. 
A principal característica de um sistema posicional é a necessidade da representação do zero por 
um símbolo. No sistema decimal o zero é necessário para diferenciar números ( Ex: 405 e 45 ), 
servindo efetivamente como um separador dos algarismos em termos de potências de 10. 
 
Conversões de bases 
É importante saber como converter um número decimal para sua representação binária e 
vice-versa. 
 
●●●● Binário →→→→ Decimal 
A conversão de um número binário para sua forma decimal é feita desenvolvendo-se a soma de 
potências de 2. 
 
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ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
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Exemplo: 
( )
( )10
3210123
2
625.11
8
1
2
1128
2*12*02*12*12*12*02*11011.101
=
++++=
++++++= −−−
 
●●●● Decimal →→→→ Binário 
A conversão de um número real decimal para sua forma binária é feita convertendo-se 
separadamente as partes inteira e fracionária e posteriormente compondo a representação binária 
pela reunião dos dois resultados obtidos separados por um ponto. 
Exemplo: 
( ) ( )210 ???8125.53 = 
Parte inteira: O processo é formado por sucessivas divisões inteira por 2 , cujo resultado é, 
necessariamente, 0 ou 1. No caso do exemplo acima, temos que a transformação do número 
( )1053 é obtida, inicialmente, dividindo-se 53 por 2, cujo quociente é 26 e o resto 1. O número 26 
é então novamente dividido por 2 gerando quociente 13 e resto 0. O processo é repetido até que 
seja obtido quociente 1. A representação binária é formada, então, pelo último quociente e pelos 
restos, tomados na ordem inversa a que foram obtidos, ou seja, do final para o início. A figura 
abaixo ilustra o processo total para o exemplo dado. 
 
53 2 
1 26 2 
 0 13 2 
 1 6 2 
 0 3 2 
 1 1 
Assim, ( ) ( )210 11010153 = 
 
Parte fracionária: Este processo é dado por sucessivas multiplicações da parte fracionária 
decimal por 2. Para o exemplo considerado multiplicamos 0.8125 por 2, resultando em 1.625. O 
dígito à esquerda do ponto decimal ( 1 ) será o primeiro dígito da representação binária 
fracionária. A seguir, tomamos apenas a parte fracionária
do produto anteriormente efetuado 
( 0.625 ) e efetuamos uma nova multiplicação por 2. O resultado é tratado da mesma forma e o 
procedimento repetido sucessivamente até que o número resultante da multiplicação seja 1. Os 
dígitos à direita do ponto decimal obtidos ao longo do processo formam a representação binária 
fracionária, na mesma ordem em que foram obtidos. 
 
0.8125 0.625 0.25 0.5 
x 2 x 2 x 2 x 2 
1.625 1.25 0.5 1 
 
 
Assim, ( ) ( )210 1101.08125.0 = 
 
Logo, ( ) ( )210 1101.1101018125.53 = 
 
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No exemplo anterior a parte decimal fracionária possui representação limitada nos binários, mas 
isto nem sempre ocorre. Neste caso realiza-se o processo de multiplicações até encontrar-se zero, 
um período que se repita, ou simplesmente algum número de dígitos desejado. 
 
Representação decimal Representação binária 
( )106.0 ( )210011001.0 L 
( )1012.15 ( )20001111.1111 L 
( )102.16 ( )200110011.10000 L 
 
✔✔✔✔ Exercício de aula 
Efetuar a conversão de base correspondente. 
 
Representação decimal Representação binária 
( )101.0 
( )105.0 
 
( )201.101 
 
( )21001.0 
 
 
Sistema Numérico do Computador 
A representação de números reais nas máquinas pode ser feita basicamente de três maneiras 
diferentes: racional, por ponto fixo e ponto flutuante. 
 
Representação de números reais em ponto flutuante 
Esta representação é baseada na notação científica, ou seja, um número x é expresso na forma: 
 
ebmx ×=
 
Sendo: m : mantissa; b : base; e : expoente 
 
Um número real x encontra-se em notação científica normalizada se o primeiro dígito após o 
ponto decimal é diferente de zero. As informações referentes aos sistemas de ponto flutuante são 
representadas da forma ( )21 e,en,b,FF = , onde: 
 
 n : representa o número de dígitos da mantissa 
 n321 ddd0.dm L±= , 
sendo que: ( )1bd1 1 −≤≤ e ( ) n,3,2,i,1bd0 i L=−≤≤ 
1e : menor expoente, sendo 0e1 ≤ e inteiro 
2e : maior expoente, sendo 1e2 ≥ e inteiro 
 21 eee ≤≤ 
 
A união de todos os números de ponto flutuante com o zero, representado por 
e1
vezesn 
b0000.00 ×= 43421 L é chamado de Sistema de Ponto Flutuante Normalizado. 
 
 
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Exemplos: 
 
Modelo sistema 
HP 25 ( )10098,9,10,FF −= 
Texas SR 50 e HP 41C ( )10098,,1010,FF −= 
Texas SR 52 ( )10098,,1210,FF −= 
IBM 360/370 ( )63,64,616,FF −= 
Burroughs B6700 ( )77,51,138,FF −= 
HP 50G ( )499,499,1510,FF −= 
 
 
Regiões de Overflow e Underflow 
Vamos considerar o sistema de ponto flutuante ( )2,1,3,2FF −= cuja base é 2; mantissa 
formada por 3 dígitos, menor expoente igual a -1 e maior expoente 2. Sendo este sistema 
bastante pequeno podemos analisar, um a um, todos os números possíveis de serem 
representados. 
● Formação de mantissas ( )m 
Sendo a base 2, os dígitos a serem utilizados para a formação das mantissas são 0 e 1, e as 
possíveis mantissas são 







111.0
110.0
101.0
100.0
 
● Base e expoentes ( )eb 
O sistema gera as seguintes combinações de base com expoentes: 






 −
2
1
0
1
2
2
2
2
 
Ao formarmos todos os números ebmx ×= possíveis obtemos o seguinte quadro de 
possibilidades para representações: 
 
 
m 
be 
( )2100.0 
 
( )2101.0 
 
( )2110.0 
 
( )2111.0 
 
12− 
02 
12 
22 
 
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Apesar do sistema proposto apresentar base 2, os números foram escritos na base decimal para 
facilitar uma posterior representação dos mesmos na reta real. A tabela acima mostra todas as 
representações positivas possíveis de serem obtidas pelo sistema. Desta forma, considerando-se 
que o sistema ainda gera os mesmos resultados negativos e, além disto, o próprio zero, 
concluímos que o sistema completo é formado por 33 resultados ( 16 positivos + 16 negativos + 
“zero” ). Este número de representações recebe a denominação especial de cardinal do sistema 
( )F# . A análise dos valores representados na tabela ainda mostra que um sistema de ponto 
flutuante sempre possui uma limitação de representação de números reais. Isto naturalmente gera 
problemas sempre que tentamos representar algum número que não possui representação exata 
correspondente. Observe esta limitação no esquema abaixo, onde todos os números obtidos na 
tabela construída (positivos e negativos) além do zero, estão indicados com uma barra na reta 
real. 
 
 
 
 
 
 
Podemos verificar que os números não estão uniformemente distribuídos quando colocados na 
reta dos números reais no intervalo [ ]3.53.5;I −= . Na verdade só podemos representar alguns 
pontos porque o conjunto de possibilidades é discreto. A representação mostra que é possível 
identificar uma região entre o zero e o menor número de ponto flutuante positivo ( ) 0.25 , e 
simetricamente entre menor número em módulo de ponto flutuante negativo ( )0.25 - e o zero. 
Se durante os cálculos houver a necessidade de representação de algum número cujo valor esteja 
nesta área, ou seja, cuja representação é menor que a capacidade mínima da máquina, então 
ocorrerá um erro de underflow, e esse número será ajustado para zero. Analogamente podemos 
verificar que se durante os cálculos houver a necessidade de representação de algum número cujo 
valor seja maior que 3.5 ou menor que - 3.5 , ou seja, cuja representação é maior que a 
capacidade máxima da máquina, então ocorrerá um erro de overflow, e isto normalmente leva a 
uma falha na computação. 
Para o sistema ( )2,1,3,2FF −= podemos identificar as seguintes regiões: 
Região de Underflow: ( ) { }025.0;25.0 −− 
Região de Overflow: ( ) ( )∞+∪−∞− ;5.35.3; 
 
OBS: Os intervalos são abertos em 0.25± e em 3.5± porque estes números ainda tem 
representação no sistema. 
 
Propriedades do sistema de ponto flutuante ( )21 e,en,b,FF = 
❶ Menor número (em módulo) do sistema: e1b0.1m ×= 
❷ Maior número (em módulo) do sistema: ( )( ) ( ) e2
vezesn
b1b1b1b0.M ×−−−=
444 3444 21
L 
❸ Região de Underflow: ( ) { } 0 m;m −− 
❹ Região de Overflow: ( ) ( )∞+∪−∞− ;MM; 
3.5 0 3 2.5 2 1 1.5 -3.5 -3 
-2.5 -2 -1.5 -1 
 
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❺ Cardinalidade (número de elementos) do sistema: ( ) ( )( ) 11eeb1-b2F# 121n ++−×××= − 
 
✔✔✔✔ Exercícios de aula 
① Considere os sistemas de ponto flutuante ( ) ( )7,6-,102,F e 4,3-,310,F 21 . 
⒜ Qual dos sistemas possui maior cardinalidade ? 
 
⒝ Determine a região de underflow de 2F , indicando os extremos deste intervalo na base 10. 
 
⒞ O aumento exclusivamente de “n” no sistema 1F é capaz de modificar sua região de 
overflow ? Justifique sua resposta através de um exemplo. 
 
② O percurso da TI (Texas Instruments) cruza inevitavelmente com o da família HP (Hewlett 
Packard) a nível de concorrência de equipamentos. Em 1974 a HP lançou a HP 65, ao qual a TI 
respondeu com a SR 56 e ainda atacou com a SR 52. A HP se recompôs com a 67, mas a TI 
apresentou a 58 e ainda a 59. Dois anos depois a HP reage com a 41 fazendo recuar a TI que 
nem chegou a experimentar a 88. A guerra passou então para as calculadoras gráficas. 
 
 
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA
BATISTELA 
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Considerando os sistemas das calculadoras: 
HP 65 ( )9999,-,1010,FF = e Texas SR 52 ( )10098,-,1210,FF = 
 
⒜ Verifique qual das calculadoras é capaz de efetuar mais representações numéricas. Calcule 
ainda qual é esta diferença. 
 
 
⒝ Identifique as regiões de underflow e de overflow da SR 52. 
 
 
 
Algarismos Significativos 
No sistema decimal um dígito é dito significativo se: 
● assumir qualquer um dos valores: 1, 2, …, 9 
● zero é significativo quando está entre dois significativos, ou seja, este dígito deixa de ser 
significativo quando é usado para fixar o ponto decimal ou preencher o lugar de dígitos 
descartados. 
Exemplos: 
 
Representação decimal Forma normalizada Algarismos significativos 
0.0004312 
0.0540 
1.000 
4096 
38500 
 
 
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10 
Tipos de arredondamento 
Existem diferentes formas de se efetuar arredondamentos de tal maneira que um número que 
apresente mais de n dígitos possa ser representado por apenas n dígitos. 
Arredondamento por corte ou truncamento ( )x∇ : 
Para se ter um número com n dígitos, trunca-se o número na posição do dígito n. 
 
Arredondamento para número mais próximo de máquina ou simétrico ( )Ox : 
Para se ter um número com n dígitos soma-se 5 à posição n+1 e trunca-se o número na posição 
do dígito n. 
Exemplos: 
Representação de diferentes números no sistema ( )100,98,4,10FF −= utilizando os dois 
tipos de arredondamento acima descritos, quando necessário. 
 
 
 
✔✔✔✔ Exercício de aula 
Representar os números abaixo indicados no sistema ( )5,43,10FF −= . 
 
 
 
x ∇x Ox 
0.444444 
0.329558 
37.778777… 
0.1234 
1.234,6 
124.537,12 
x ∇x Ox 
33.47521 
5439157.21 
0.000004777... 
3005.1 
95674.374 
 
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11 
Propagação Catastrófica de Erros 
As operações de adição ( )+ e multiplicação ( )∗ com os números reais satisfazem a propriedade 
associativa, isto é: 
( ) ( )zyxzyx ++=++ 
e 
( ) ( )zyxzyx ∗∗=∗∗ 
 
No sistema de ponto flutuante, no entanto, estas propriedades deixam de ser válidas. 
Ao efetuar-se um grande número de operações com ponto flutuante todo o cuidado é pouco. 
A magnitude do erro de arredondamento pode ser maior do que a resposta desejada. 
 
Exemplos: 
❶ 1
3
1
3
1
3
1
=++ , em ℝ ( )reais números dos conjunto 
Usando n = 4 e arredondamento ∇x ou Ox, vem: 
 
1 0.9999 0.3333 0.3333 0.3333 ≠=++ 
❷ 
3
1
3
1
3
2
=− 
Usando n = 4 e arredondamento Ox, vem: 
3334.03333.06667.0
3
1
3
2
=−=− 
Sendo 3333.0
3
1
= , neste caso 
3
1
 apresentou duas representações distintas !! 
 
✔✔✔✔ Exercício de aula 
Verificar a validade das igualdades a seguir considerando n = 3 dígitos e arredondamento Ox. 
⒜ ( ) ( )51.511111351.5111113 +−+=+− 
 
 
 
⒝ ( ) ( )04.524.926.404.524.926.4 ++=++ 
 
 
 
⒞ ( )
97.7
9.84123.09.84
97.7
123.0 ∗
=∗





 
 
 
 
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12 
Precisão e Exatidão de Máquinas 
Para cada máquina há um sistema de ponto flutuante associado. Este sistema automaticamente 
define a precisão da máquina. É importante destacarmos a diferença do conceito de precisão e de 
exatidão 
 
Precisão: É definida como o número de dígitos da mantissa da máquina. 
Fator dependente: máquina utilizada 
 
 
Exatidão: Medida de perfeição de uma aproximação. Qualifica uma aproximação com boa ou 
ruim. 
Fatores dependentes: Precisão da máquina utilizada e algoritmo ( método ) utilizado para 
obtenção de um resultado. 
 
 
Medidas de Exatidão 
Ao operarmos com um certo número real x em uma calculadora, estamos na verdade operando 
com um valor aproximado x~ . Este valor aproximado, operado inúmeras vezes, gera um erro de 
aproximação no resultado final. Assim, no resultado final devemos calcular a exatidão desse 
número, isto é, o número de dígitos da mantissa que estão corretos. 
● Erro Absoluto: x
~xEA −=
 
 
● Erro Relativo: 
x
~
 -xER x=
 
 
Exemplos: 
❶ Sendo x = 0.00005 e x~ = 0.00006, então: 
EA = 0.00001 
ER = 0.2 ou seja 20%. 
Neste caso, o EA é muito pequeno, mas o ER não deixa dúvidas de que a diferença é da ordem 
de 20%. Os erros relativos são mais usados que os erros absolutos. 
 
❷ Sendo ( ) 1.53.2x6.1xxxf 23 ++−= tem-se ( ) 263899.144.71f −= . No entanto, vamos 
verificar o erro relativo cometido ao avaliarmos ( )4.71f utilizando n = 3 e diferentes tipos de 
arredondamentos. Assim, 
⒜ para arredondamentos ∇x: 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
13.5 
1.515.0134104 
1.515.01344.7122.1 
1.515.022.16.14.714.71 
1.54.713.24.716.171.44.71f
2
23
−=
++−=
++−×=
++×−×=
+×+×−=
 
Neste caso o erro relativo é: ( ) 05.0
263899.14
5.13263899.14ER ≅
−
−−−
= 
 
 
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13 
⒝ para arredondamentos Ox: 
 
 
 
 
 
 
Neste caso o erro relativo é: 
 
 
Genericamente podemos afirmar que funções polinomiais, ou seja, escritas da forma 
( ) 011-n1-nnn axaxaxaxP ++++= L 
exigem n adições e 
2
nn 2 +
 multiplicações para serem avaliados em algum ponto. 
 
 
 
Aproximação alternativa: forma reagrupada (Algoritmo de Horner) 
Como uma aproximação alternativa, os polinômios podem ser expressos de forma reagrupada, 
antes de serem avaliados, pois esta representação minimiza o número de cálculos aritméticos. 
Ocorrendo então uma diminuição no número de operações capazes de produzirem erros, o 
resultado tende a ser mais próximo do valor exato. Genericamente, tem-se: 
( )
( )( )( )( ) 0122-n1-nn
01
1-n
1-n
n
n
axaxaxaxaxa 
axaxaxaxP
+++++=
++++=
LL
L
 
A avaliação de polinômios escritos de forma reagrupada exige n adições e n multiplicações. 
 
Retomando-se o exemplo anterior, tem-se que ( ) 1.53.2x6.1xxxf 23 ++−= pode ser reescrita 
como: 
( ) ( )( ) 1.5x3.2x6.1xxf ++−= 
Neste caso, se novamente avaliarmos ( )4.71f utilizando n = 3 e utilizando os dois tipos de 
arredondamento podemos verificar que os resultados já se aproximam bem mais do valor exato, 
ou seja, ( ) 263899.144.71f −= , já que: 
⒜ usando arredondamentos ∇x: 
 
( ) ( )( )
( )( )
( )
2.14 
5.17.15 
5.171.434.3 
5.171.42.354.6 
5.171.42.371.439.1 
1.571.43.271.46.171.44.71f
−=
+−=
+×−=
+×+−=
+×+×−=
+×+×−=
 
Neste caso o erro relativo é: ( ) 0045.0
263899.14
2.14263899.14ER ≅
−
−−−
= 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
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14 
⒝ usando arredondamentos Ox: 
 
 
 
 
 
 
Neste caso o erro relativo é: 
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
15 
Desenvolvimento de séries 
O número e é definido por ∑
∞
=
=
0 i ! i
1
e , onde ( ) 121iii! ×××−×= L para 0i ≠ e 10!= . Calcule 
∑
=
≈
7
0 i ! i
1
e considerando precisão de cinco dígitos e arredondamento Ox. Avalie ainda ( )eASC em
cada iteração. Observe que o desenvolvimento desta série é feito de acordo com o valor máximo 
considerado para i, pois desta forma estará sendo indicado o número de termos a serem tomados 
para a formação do número e. Assim: 
 
 
 
Algarismos Significativos Corretos (ASC) ou 
Dígitos Significativos Exatos (DIGSE) 
Na prática, quando obtemos o resultado de uma expressão numérica avaliada numa máquina e 
não podemos saber seu valor exato torna-se impossível calcular o erro absoluto ou relativo 
cometido. No entanto, é necessário avaliarmos o resultado. 
O número de dígitos significativos exatos pode ser obtido pela avaliação do logaritmo decimal 
do erro relativo. Como normalmente não temos o valor exato para fazermos as comparações é 
utilizada a seguinte fórmula: 
 
( ) 
x
 x-x10 0.5log 3.0 - xASC
1 i
i1 i9-
i 















+×+=
+
+
 
 
A parte inteira do número resultante desta avaliação indica o número de dígitos significativos 
exatos da aproximação ix em relação a 1 ix + . 
 
i ti e ( )eASC 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
 
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16 
✔✔✔✔ Exercícios de aula 
Nas questões a seguir use precisão de 5 dígitos e arredondamentos Ox 
 
① Sendo ( ) ( )
1i
112ln
0i
i
+
−= ∑
∞
=
 avalie ( )2ln através do desenvolvimento desta série até i = 6 e 
calcule o erro relativo obtido na última iteração efetuada em comparação ao resultado 
apresentado em sua calculadora para ( )2ln . 
 
i ti ( )2ln 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
 
 
 
 
② Sendo ( ) L+−+−=
+
−= ∑
∞
=
+
7!
x
5!
x
3!
x
x
1)!(2i
x1)(xsen
753
0i
12i
i
 avalie 





3
π
sen tendo como 
critério de parada i = 4 e sendo 0472.1
3
π
= . Calcule 











3
π
senASC a cada iteração. 
 
 
 
i ti 





3
π
sen 











3
π
senASC 
0 
1 
2 
3 
4 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
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17 
Erros Computacionais 
Existem pelo menos quatro fontes de erros que influenciam a resolução de um problema 
computacionalmente e que colocados juntos ou isoladamente podem se propagar afetando o 
resultado final. 
● Erros inerentes aos dados de entrada: As fórmulas matemáticas contém parâmetros 
(distância, tempo, temperatura,...) cujos valores são obtidos por aparelhos limitados ( pela 
construção do aparelho, regulagem, mudança de temperatura, … ) ou por enganos humanos. 
Estes erros não podem ser evitados. 
 
● Erros de modelagem: Provenientes das simplificações das situações reais que fazemos 
através de modelos. Em geral, usam-se modelos matemáticos que associam parâmetros e 
processos do mundo real com expressões em uma estrutura matemática. Esta abstração admite 
que se ignore todos os aspectos do mundo real, os quais não são de interesse. Com isto, um certo 
erro é introduzido no cálculo. 
 
● Erros de truncamento: Introduzidos pela substituição de qualquer processo ou fórmula 
infinita por uma finita, onde considera-se o desenvolvimento até um número finito de n termos e 
despreza-se um número infinito de termos pelo truncamento do modelo real. 
 
● Erros de arredondamento: São produzidos quando uma calculadora ou computador é 
utilizado para realizar cálculos com números reais. Os erros ocorrem porque a aritmética 
utilizada pelas máquinas utiliza apenas números com um número finito de dígitos, o que faz com 
que os cálculos sejam executados com valores aproximados dos números envolvidos. 
 
 
✔✔✔✔ Exercício de aula 
Se o valor de xe for calculado por ∑
=
=
3
0i
i
x
i!
x
e num computador hipotético que usa a 
representação dos números em ponto flutuante com 5 algarismos significativos na base 10, 
poderemos identificar dois tipos de erros na implementação de xe . Quais são estes erros ? 
 
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
18 
Lista de Exercícios 
 
① Efetue, para cada um dos casos, arredondamentos por truncamento (∇x) e para número mais 
próximo de máquina (Ox) utilizando o sistema ( )5,54,10FF −= e indicando o resultado na 
forma normalizada. 
⒜ 21080.00054776 × ⒝ - 77.4031566... ⒞ 1872215.111... 
⒟ 0.6241 ⒠ 2.3412 ⒡ 3100.00011333 −×− 
 
② Represente os números que se seguem em ponto flutuante normalizado com 5 algarismos 
significativos na base 10. Se a representação não for exata efetue arredondamento por 
truncamento (∇x) e para número mais próximo de máquina (Ox). 
⒜ 3 ⒝ 1
9
 ⒞pi ⒟ 1
7
 ⒠ 100
71
 ⒡ e 
 
③ Calcule o valor das expressões que se seguem utilizando aritmética de ponto flutuante com 3 
algarismos significativos e arredondamento Ox. 
⒜ ( ) 3.1007.13.19 −+ ⒝ ( ) ( )0.00251 327- 1.3 27.2 ∗∗ 
⒞ 22.309.71.14
2.81.31.10
∗+
∗−
 ⒟ 1
3
1
3
1
3
+ + 
⒠ ( )0.50.7 365 ++ ⒡ ( ) 5.07.0365 ++ 
⒢ ( ) 02.099.44210 −− ⒣ ( )0.024.99 -4210 + 
 
④ Dado o sistema ( )10,104,10FF −= , verifique a validade da propriedade: 
( ) ( )cbacba ++=++ 
sendo 0.6472=a -4100.4685×=b -4100.3297 ×=c utilizando: 
⒜ arredondamento por truncamento (∇x) 
⒝ arredondamento para número mais próximo de máquina (Ox). 
 
⑤ Dado o número 105.47 na base 10, determine sua representação na base 2 usando 12 
algarismos. Esta representação é exata? 
 
⑥ Sendo ( ) 0.472.2xxxP 2 +−= e ( )10,102,10FF −= e arredondamento Ox calcule, passo 
a passo: 
⒜ as raízes de P(x)=0 
⒝ o valor de P(1.9) 
⒞ o valor de P(1.9) utilizando o algoritmo de Horner 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
19 
 
⑦ Verifique o valor lógico das sentenças abaixo, justificando sua resposta; 
⒜ Para diminuir a região de underflow é preciso aumentar o número de dígitos da mantissa do 
sistema de ponto flutuante. 
⒝ Aumentando-se em valor absoluto os expoentes e1 e e2 de um sistema de ponto flutuante a 
região de underflow será aumentada. 
 
⑧ Para cada um dos sistemas de pontos flutuante abaixo determine seu cardinal e regiões de 
underflow e overflow, indicando os extremos dos intervalos na base 10. 
 
⒜ ( )2,2,2,2FF −= ⒝ ( )2,1,3,2FF −= ⒞ ( )1,1,4,2FF −= 
 
⑨ Sendo ( ) ∑∞
=
−=
0i
2i
i
(2i)!
x1)(xcos avalie ( )πcos tendo como critério de parada i = 5. 
Use 3.1416π = . 
 
Respostas 
① 
Item ∇∇∇∇X OX 
⒜ -1100.5477 × -1100.5478× 
⒝ 2100.774- × 2100.774- × 
⒞ Overflow Overflow 
⒟ 0.6241 0.6241 
⒠ 100.2341× 100.2341× 
⒡ Underflow Underflow 
 
③ 
Item ∇∇∇∇X OX 
⒜ 100.1732× 100.17321× 
⒝ 0.11111 0.11111 
⒞ 100.31415× 100.31416× 
⒟ 0.14285 0.14286 
⒠ 100.14084× 100.14085× 
⒡ 100.27182× 100.27183× 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
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20 
 
③ 
⒜ 10.1 ⒝ 34.6 ⒞ - 0.177 ⒟ 0.999 
⒠ 366 ⒡ 367 ⒢ 4210 ⒣ 4200 
 
④ 
⒜ ( ) ( ) 0.6472cbacba =++=++ 
⒝ ( ) 6472.0cba =++ e ( ) 0.6473cba =++ 
 
⑤ 
( ) ( )210 01111.110100147.105 L= 
A representação obtida não é exata. 
 
⑥ 
⒜ P(x) = 0 determina x1 = 2 e x2 = 0.25 ⒝ P(1.9) = - 0.13 ⒞ P(1.9) = - 0.1 
 
⑦ 
⒜ (F), a região de underflow é
influenciada somente pela modificação do valor de e1. O 
aumento do número de dígitos da mantissa (n) só irá influenciar na densidade do sistema de 
ponto flutuante. 
⒝ (F), aumentando-se os valores absolutos de e1 e e2 de um sistema de ponto flutuante a região 
de underflow será diminuída, já que o menor numero de máquina, em valor absoluto, será 
deslocado para uma posição mais próxima de zero. 
 
⑧ 
⒜ #F = 21 
Região de underflow: { }
 0 - 
8
1
;
8
1






− Região de overflow: ( ) ( )∞+∪−∞− ;3 3; 
⒝ #F = 33 
Região de underflow: { }
 0 - 
4
1
;
4
1






− Região de overflow: 





∞+∪





−∞− ;
2
7
 
2
7
; 
⒞ #F = 49 
Região de underflow: { }
 0 - 
4
1
;
4
1






− Região de overflow: 





∞+∪





−∞− ;
8
15
 
8
15
; 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
21 
⑨ 
 
OBS: ( ) 1πcos −= (resultado de máquina) 
 
i ti ( )πcos 
0 1 1 
1 -4.9348 -3.9348 
2 4.0588 0.124 
3 -1.3353 -1.2113 
4 0.23534 -0.97596 
5 -0.025807 -1.0018 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
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22 
EEEqqquuuaaaçççõõõeeesss AAAlllgggééébbbrrriiicccaaasss eee TTTrrraaannnsssccceeennndddeeennnttteeesss 
 
O problema de cálculo de raízes é considerado um dos mais importantes das 
aproximações numéricas. Encontrar os zeros de uma função ( )xf significa determinar as raízes, 
ou soluções, de uma equação da forma ( ) 0xf = . Para equações algébricas de 1º e 2º grau e 
algumas de 3º e 4º grau e transcendentes existem métodos analíticos para calcular suas raízes. 
Para grau superior a 4 e a grande maioria de equações transcendentes tem-se a resolução obtida 
por métodos numéricos que aproximam as soluções. 
 
Equações Algébricas 
São aquelas em que a ( )xf só contém operações algébricas, repetidas um número finito de vezes. 
Exemplos: 
01-9x3x-x 57 =+ ( Polinomial ) 
0
x
2
x 2 =− 
 
Equações Transcendentes 
São aquelas em que a incógnita x aparece submetida a alguma operação não algébrica em pelo 
menos um termo da função ( )xf , ou seja, envolve funções transcendentais como: xe , ( )xcos , 
( ) L, xln 
Exemplos: 
( ) ( ) 0xxlogxtan 2 =++ 
( ) 0xsenex =+ 
 
Equações Polinomiais de grau n (n ≥≥≥≥ 1) 
Forma genérica: ( ) 011n1nnnn axaxaxaxP ++++= −− L 
onde os coeficientes são números reais e 0a n ≠ . 
 
Teorema Fundamental da Álgebra 
Uma equação polinomial de grau n tem exatamente n raízes reais e/ou complexas, contando sua 
multiplicidade. Para polinômio reais as raízes complexas aparecem aos pares conjugados. 
Exemplos: 
( )xP Raízes 
1x 2 + i± ( par conjugado ) 
168xx 2 +− 4 ( multiplicidade 2 ) 
9-x 2 3± 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
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23 
Enumeração de raízes 
● Enumerar as raízes de um polinômio ( )xP é dizer quantas raízes possui o polinômio e de que 
tipo elas são (reais ou complexas). O grau do polinômio ( )xP indica o número de raízes que ele 
possui, porém determinar de que tipo são as raízes ( reais positivas, negativas, simples, múltiplas 
ou complexas ), já não é tão fácil. 
● Enumerar as raízes de funções transcendentes, em geral, não é fácil. 
 
 
Técnicas de Separação de Raízes 
● Análise Gráfica 
O processo consiste em representar no plano cartesiano alguns pontos ( )( )xf ,x . Os valores para 
os quais ( ) 0xf ≅ são aproximações das raízes da função. 
 
Exemplos: 
❶ Seja ( ) x-e 5 - xxf = . 
 
Gráfico: ( )xf 
 
 
Gráfico: 
xe5x −= 
 
 
 
Gráfico: 
xe
5
x
−
= 
 
 
 
Intervalo com raiz de ( )xf : [ ]2,1R ∈ 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
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24 
✔✔✔✔ Exercício de aula 
Seja ( ) ( ) 1xlnx xf −= . 
Localize graficamente a(s) raiz(es) reais de ( )xf . 
 
Gráfico: ( )xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico: 
( )
x
1
xln = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intervalo com raiz de ( )xf : 
 
 
● Procedimento Analítico 
Seja ( )xf uma função contínua num intervalo [ ]b ; a . 
⑴⑴⑴⑴ Se ( ) ( ) 0 b f a f <× então existe um número ímpar de raízes reais neste intervalo 
 ( )L 7, 5, 3, 1, 
⑵⑵⑵⑵ Se ( ) ( ) 0 b f a f >× então existe um número par de raízes reais neste intervalo 
 ( )L 6, 4, 2, 0, 
⑶⑶⑶⑶ Supondo que as funções ( )xf e ( )xf ' sejam contínuas em [ ]b ; a , e o sinal de ( )xf ' seja 
constante em [ ]b ; a , então: 
 ⒜⒜⒜⒜ Se ( ) ( ) 0 b f a f <× então existe uma única raiz real neste intervalo 
 
 ⒝⒝⒝⒝ Se ( ) ( ) 0 b f a f >× então não existem raízes reais neste intervalo 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
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25 
Métodos para cálculo de Raízes 
 
● Método da Bissecção 
Seja f uma função contínua num intervalo [ ]b ; a onde ( ) ( ) b fe a f possuem sinais 
contrários e existindo apenas uma raiz no intervalo. O método consiste em dividir o intervalo 
[ ]b ; a em duas partes, calculando-se então o valor médio 
2
ba
x m
+
= e originando dois novos 
intervalos: [ ]m x; a e [ ]b ; x m . Um destes intervalos dará origem ao novo intervalo [ ]b ; a , 
sendo que esta escolha é feita em função de uma pesquisa de sinais. Se ( ) ( ) xfe a f m 
possuem sinais contrários, então o intervalo [ ]m x; a assume a condição de novo [ ]b ; a . Caso 
contrário, o intervalo [ ]b ; x m assume a condição de novo [ ]b ; a . 
 
Características do Método da Bissecção 
O método da bissecção, ainda que conceitualmente bastante simples e claro, apresenta vantagens 
e desvantagens. Apresenta a importante propriedade de sempre convergir para uma solução, 
apesar desta convergência ser sempre muito lenta. Justamente a garantia de convergência 
justifica sua freqüente utilização como ponto de partida para uma posterior utilização de métodos 
mais eficientes. 
 
Exemplos de utilização do método da bissecção: 
❶ ( ) ( ) 4x-xsenxf 2 += 
Localização das Raízes: 
 
Gráfico: 
( ) 4xxsen 2 −= 
 
 
Raízes de ( )xf : [ ] 1- , 2- R1 ∈ [ ] 3 ,2R 2 ∈ 
Objetivo: Calcular uma aproximação para 1R 
Precisão: 5 dígitos 
Arredondamentos: Ox 
Critério de Parada: 10i = 
Calcular ( )mxASC obtido na iteração i = 9. 
Intervalo inicial: [ ] [ ]1,2b ; a −−= 
( ) ( ) 0 909.02-faf <−== e ( ) ( ) 0 159.21fbf >=−= 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
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26 
1º Passo: 
Cálculo do ponto médio do intervalo: ( ) ( ) 5.1
2
12
2
ba
x m −=
−+−
=
+
= 
Sendo ( ) 075251.01.5-f >= então mx assume a posição à direita no novo intervalo, já que 
inicialmente verificamos ( ) ( ) 0 159.21fbf >=−= , ou seja, o mx sempre assume a posição que 
possui mesmo sinal de imagem. É importante observar que não existe, necessariamente, uma 
alternância de posicionamentos na formação dos intervalos. 
 
2º Passo: 
[ ] [ ]5.1,2b ; a −−= 
Cálculo do ponto médio do intervalo: ( ) ( ) 75.1
2
5.12
2
ba
x m −=
−+−
=
+
= 
Fazendo-se a escolha pela verificação dos sinais de imagens, tem-se ( ) 0046486.01.75-f <−= . 
Neste caso verifica-se que mx assume a posição à esquerda no novo intervalo, já que
( ) ( ) 0 909.02faf <−=−= . 
As demais etapas do processo seguem o mesmo tratamento, e os resultados representados numa 
tabela abaixo até que o critério de parada escolhido seja atendido. 
 
i a b mx ( )mxf ( )mxASC 
0 -2 -1 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 3.2406 
10 -1.7359 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
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27 
❷ ( ) 20-24x4xxxf 24 −+= 
 
Gráfico: 
2024x4xx 24 ++−= 
 
 
 
Raízes reais de ( )xf : [ ] 0 , 1- R1 ∈ [ ] 3 ,2R 2 ∈ 
Objetivo: Calcular uma aproximação para 1R 
Precisão: 6 dígitos 
Arredondamentos: Ox 
Critério de Parada: 7i = 
Intervalo inicial: [ ] [ ]0,1b ; a −= 
 
 
 
i a b mx ( )mxf 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 -0.730469 
 
 
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28 
❸ 
 
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
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29 
● Método de Newton-Raphson 
O método de Newton é uma técnica de iteração funcional, ou seja, é um processo no qual a cada 
iteração um novo resultado é obtido tendo por base o resultado obtido na iteração anterior. 
 
Fórmula iterativa: 
 
Vamos considerar os pontos ( )( )nn xf ,x e ( )0,x 1n+ e determinar a equação da reta que 
passa por estes pontos, sendo o coeficiente angular ( )n' xfα = . Assim, 
( ) ( ) ( ) ⇒−×=− +1nnn'n xxxf 0xf ( )( ) ( )1nnn'
n xx 
xf
xf
+−= 
( )
( )n'
n
n1n
xf
xf
x x −=+ 
 
O método de Newton é uma técnica extremamente poderosa, mas com o inconveniente de ser 
necessário conhecer o valor da derivada da função em cada aproximação, sendo que não pode ser 
executado se ( ) 0xf n' = para qualquer n. Frequentemente o cálculo de ( )n' xf apresenta mais 
dificuldades e necessita de mais operações aritméticas do que ( )nxf . 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
30 
Convergência do método de Newton-Raphson 
Em condições razoáveis o método de Newton apresenta convergência, desde que seja escolhida 
uma aproximação inicial com precisão suficiente. Na prática, uma aproximação inicial é 
selecionada e são geradas aproximações sucessivas. Estas aproximações, em geral, vão convergir 
rapidamente para a raiz ( convergência quadrática ), ou vai ficar claro que a convergência é 
improvável oscilando indefinidamente. 
 
 
Exemplos de problemas de convergência do método de Newton: 
 
 
Se ( ) 0xf n' = , não há ponto de intersecção 
para definir 1nx + 
 
O método pode não convergir, indo de 0x para 
1x e voltando para 0x , nunca se aproximando 
da raiz r. 
 
 
① Sendo ( ) ( ) 1xsenxf += 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
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31 
 
● aproximação inicial 4,5x 0 = 
 
 
Resultado das iterações: 
, , , , ,4.5 4.6066 4.6595 4.6860 4.6993 4.7062
 
● aproximação inicial 6x 0 = 
 
 
Resultado das iterações: 
, , , , ,6 5.2495 4.9743 4.8426 4.7774 4.7449
 
 
 
● aproximação inicial 8x 0 = 
 
Resultado das iterações:
 
, , , , ,8 21.673 23.055 23.314 23.439 23.501
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
32 
② Sendo ( ) xxxf 3 −= 
 
● aproximação inicial -0,4x 0 = 
 
 
Resultado das iterações: 
, , , ,-0.4 0.24615 -0.03646 0.000098 0.
 
● aproximação inicial 5,0x 0 −= 
 
Resultado das iterações: 
,-0.5 1.0000
 
 
 
Exemplos de utilização do método de Newton: 
❶ ( ) 35xxxf 3 +−= 
Raízes de ( )xf : [ ] 2- , 3- R1 ∈ [ ] 1 , 0 R 2 ∈ [ ] 2 , 1 R 3 ∈ 
Objetivo: Calcular uma aproximação para 3R 
Precisão: 6 dígitos 
Arredondamentos: Ox 
Critério de Parada: ( ) 4xASC i ≥ 
Aproximação inicial: 5.1
2
21
x 0 =
+
= (Ponto médio do intervalo) 
 
i ix ( )ixf ( )i' xf ( )ixASC 
0 
1 
2 
3 
4 4.66241 
5 1.83424 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
33 
❷ A função ( ) ( )xcosxxf = possui a seguinte representação gráfica: 
 
Analise a sequência de resultados gerados pelo método de Newton-Raphson com valor inicial 
3x 0 = para determinação de uma aproximação para a raiz [ ]5,4r ∈ 
 
3x 0 = 
89863,0x1 = 
8522,7x 2 = 
854,7x 3 = 
854,7x 4 = 
O objetivo foi atingido ? Justifique sua resposta e indique uma sugestão, em caso negativo, para 
reverter a situação, não sendo necessário efetuar cálculos. 
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
34 
Listas de Exercícios 
 
Nas questões a seguir use precisão de 5 dígitos e arredondamentos Ox 
 
① Considerando as funções abaixo, efetue a separação gráfica para localização de raízes reais. 
⒜ ( ) ( )xlnxxf 2 += ⒝ ( ) ( )x2cosxxf += 
 
② Sendo ( ) 3x9xxf 3 +−= uma função com raízes reais nos seguintes intervalos: 
[ ] 3- , 4- R1 ∈ [ ] 1 , 0 R 2 ∈ e [ ] 3 , 2 R 3 ∈ , 
use o método da bissecção para calcular uma aproximação para a raiz real negativa com precisão 
de 6 dígitos e arredondamentos Ox. Calcule o ( )mxASC obtido na iteração i = 5. 
 
③ Sendo ( ) ( ) 1xlnxxf −= uma função com um raiz real [ ] 2 , 1 R ∈ , use o método da 
bissecção para calcular uma aproximação para esta raiz real com precisão de 6 dígitos e 
arredondamentos Ox. Use como critério de parada i = 5. 
 
④ Sendo ( ) ( ) 4x-xsenxf 2 += utilize o método da bissecção para calcular uma aproximação 
para a raiz real positiva utilizando como critério de parada 6i = e calcule ( )mxASC obtido na 
iteração i = 5. 
 
⑤ Sendo ( ) 20-24x4xxxf 24 −+= utilize o método da bissecção para calcular uma 
aproximação para a raiz real positiva utilizando como critério de parada 7i = . 
 
⑥ Sendo ( ) 2xxxf 24 −−= uma função com raízes reais nos intervalos: 
[ ] 1- , 2- R1 ∈ e [ ] 2 , 1 R 2 ∈ , 
use o método de Newton-Raphson para calcular uma aproximação para a raiz 2R com precisão 
de 6 dígitos e arredondamentos Ox e tendo como critério de parada o erro absoluto 
( ) 0005.0xEA i ≤ . Use como aproximação inicial o ponto médio do intervalo. 
 
⑦ Sendo ( ) ( )xcosxxf 2 −= uma função com raízes reais nos intervalos: 
[ ] 0, 1- R1 ∈ e [ ] 1 , 0 R 2 ∈ 
use o método de Newton-Raphson para calcular uma aproximação para a raiz 1R tendo como 
critério de parada i = 5. Use como aproximação inicial o ponto médio do intervalo. 
 
⑧ Sendo ( ) 2117x5xxxf 23 ++−= uma função com uma raiz real no intervalo [ ] 0 , 1- , use o 
método de Newton-Raphson para calcular uma aproximação para esta raiz tendo como critério de 
parada ( ) 001.0xER i ≤ . Use como aproximação inicial o ponto médio do intervalo. 
 
⑨ Sendo ( ) 15x35xxxf 23 +−−= uma função com raízes reais nas seguintes condições: 
[ ] 1- , 2- R1 ∈ [ ] 2 , 1 R 2 ∈ 5R 3 = 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
35 
Utilize o método de Newton-Raphson para calcular uma aproximação para a raiz 1R tendo como 
critério de parada ( ) 3xASC i ≥ . Use como aproximação inicial o ponto médio do intervalo. 
 
Respostas 
① 
⒜ [ ] 1 , 0 R ∈ ⒝ [ ] 1- , 2- R ∈ 
 
 
② 
 
i a b mx ( )mxf ( )mxASC 
0 
1 
2 
3 
4
5 2.30544 
6 -3.15625 -3.14063 -3.14844 0.126499 
 
 
③ 
 
 
i a b mx ( )mxf 
0 
1 
2 
3 
4 
5 1.75 1.78125 1.76563 0.00377402 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
36 
④ ( ) ( ) 0 909.02faf >== e ( ) ( ) 0 859.43fbf <−== 
 
i a b mx ( )mxf ( )mxASC 
0 
1 
2 
3 
4 
5 2.1494 
6 2.1954 
 
 
⑤ 
 
i a b mx ( )mxf 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 2.73048 
 
 
⑥ 
 
i ix ( )ixf ( )i' xf ( )ixEA 
0 
1 
2 0.00009 
3 1.41421 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
37 
⑦ 
i ix ( )ixf ( )i' xf 
0 
1 
2 
3 
4 
5 -0.824132 
 
 
⑧ 
 
i ix ( )ixf ( )i' xf ( )ixER 
0 
1 
2 0.0009119 
3 -0.93212 
 
 
⑨ 
 
i ix ( )ixf ( )i' xf ( )ixASC 
0 
1 
2 2.3937 
3 -1.7289 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
38 
SSSiiisssttteeemmmaaasss dddeee EEEqqquuuaaaçççõõõeeesss LLLiiinnneeeaaarrreeesss 
 
Representação usual 
Um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas é usualmente escrito da forma: 







=++++
=++++
=++++
nnnn3n32n21n1
2n2n323222121
1n1n313212111
bxaxaxaxa 
bxaxaxaxa 
bxaxaxaxa 
L
LLLLLLLLLLLLLLLLL
L
L
 
Sendo: 
jia : coeficientes das incógnitas 
ix : incógnitas 
ib : termos independentes 
 n : número de incógnitas 
 
Representação Matricial: 
 
















=
















×
















n
3
2
1
n
3
2
1
nnn3n2n1
3n333231
2n232221
1n131211
b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
LL
L
LLLLL
L
L
L
 
 
 
Sendo 
A : matriz nxn dos coeficientes das incógnitas 
X : vetor de n incógnitas 
B : vetor de n termos independentes 
 
 
A X B 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
39 
Classificação de sistemas quanto ao número de soluções 
 
● Compatível ( existe solução ) ( )( )

•
•
soluções infinitas
única solução
adoIndetermin
oDeterminad
 
● Incompatível ( não existe solução ) 
 
Exemplos: 
❶ 



=+
=+
03yx- 
52y x
 






=





=
1
3
y
x
X Classificação: Sistema compatível determinado 
 
❷ 



=−
=−
1yx
0y x
 
existenão:
y
x
X 





= Classificação: Sistema incompatível 
 
❸ 



=+
=+
0y63x
0y2 x
 








=





=
2
x-
 x
y
x
X Classificação: Sistema compatível indeterminado 
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
40 
Para um sistema de duas equações (duas incógnitas) podemos, genericamente, ter os gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classificação dos Métodos para Resolução de Sistemas 
 
● Diretos : um método é direto quando, na ausência de erros de arredondamento, determina a 
solução exata do sistema por um número finito de passos previamente conhecidos. O custo 
computacional em termos de tempo de processamento num método direto pode ser estimado por 
meio do número de operações que ele envolve. 
Exemplos: método de Gauss sem pivotamento e Gauss com pivotamento. 
 
● Iterativos : a solução do problema é obtida através do limite de sucessivas aproximações. 
Exemplos: método de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. 
 
 
Método de Gauss sem pivotamento 
Método direto para resolução de sistemas de equações na forma BXA = . O vetor X é obtido 
em duas etapas: 
⑴⑴⑴⑴ Triangularização : obtida por operações elementares nas linhas da matriz e zerando-se 
todos os elementos abaixo da diagonal principal. 
⑵⑵⑵⑵ Retrosubstituição : cálculo de cada um dos valores do vetor X. 
 
O número total de operações envolvidas no método de eliminação de Gauss é igual a ( )
6
7n9n4n 23 −+
. Assim, se o sistema tiver 50 equações, têm-se que realizar 87.025 operações, e 
supondo-se que uma operação numa determinada máquina possa ser efetuada em 
1210− segundos, o tempo de processamento para resolver o sistema será de aproximadamente 
8108,7 −× segundos. A viabilidade de utilização deste método fica assim evidenciada. No 
algoritmo do método de eliminação de Gauss é necessário que 0a i i ≠ . Esse elemento é 
denominado pivô. Se ocorrer 0a i i = , então antes de se dar seqüência ao método, deve-se efetuar 
a troca desta linha por outra abaixo dela, de modo que o elemento que fará o papel de pivô seja 
não-nulo. 
 
Sistema bem 
condicionado 
Sistema singular 
Det (A) = 0 
Sistema mal 
condicionado 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
41 
Exemplos: 
Determine a solução para o problema a seguir pelo método de Gauss utilizando precisão de 5 
dígitos e arredondamentos Ox. 
 
❶ 







=−+−
−=−+−
=+−+
=++
184x3x8xx3
61x8x4x6
64x3x8x9x
3x2x3x
4321
321
4321
421
 
⑴⑴⑴⑴ Triangularização: 
 
3 2 0 1 3 
9 8 -3 4 6 
-6 4 -8 0 -16 
3 -8 3 -4 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⑵⑵⑵⑵ Retrosubstituição: 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
42 
❷ 





=+−
=−+
=+
33z-9y6x
23zyx 
42z6y-4x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
❸ 





=+
−=++
=+
3z3y-x4
14zyx 3
2z32y-5x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
43 
❹ 





=−
=++
=++
02z11x
03z3y4x
0zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas com o método de Gauss: 
Determine a solução para o problema a seguir pelo método de Gauss utilizando precisão de 4 
dígitos e arredondamentos Ox. 



=+
=+
62y 2x 
5y2x0002.0
 
⑴⑴⑴⑴ Triangularização: 
 
 
 
 
⑵⑵⑵⑵ Retrosubstituição: 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
44 
Método de Gauss com pivotamento 
Para assegurar a estabilidade numérica no método de eliminação de Gauss, frequentemente é 
necessário trocar linhas e/ou colunas não somente quando o pivô é nulo, mas também quando ele 
é próximo de zero ou, o que é mais comum, deve-se a cada passo procurar
levar para a posição 
i i a para ser pivô, o elemento de maior valor absoluto. Este procedimento de trocas de linhas e 
colunas denomina-se pivotamento. Quando a estratégia de pivotamento é usada os erros de 
arredondamento que ocorrem no decorrer dos cálculos são desprezíveis. Intuitivamente pode-se 
dizer que o erro de arredondamento é minimizado quando o pivô é o maior possível em módulo. 
 
Exemplos: 
Nos exemplos a seguir use precisão de 4 dígitos e arredondamentos Ox a cada 
operação efetuada. 
 
❶ Calcule a solução do sistema anteriormente proposto através do método de Gauss com 
pivotamento. 
 



=+
=+
62y 2x 
5y2x0002.0 
⑴⑴⑴⑴ Triangularização: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⑵⑵⑵⑵ Retrosubstituição: 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
45 
❷ Calcule a solução do sistema abaixo pelos métodos de Gauss sem pivotamento e também 
com pivotamento. Substitua os resultados obtidos em cada caso no sistema original. 
 



=+
=+
321.5yx 4321.0
343.12y34.12x0003.0
 
Gauss sem pivotamento: 
⑴⑴⑴⑴ Triangularização: 
 
 
 
 
⑵⑵⑵⑵ Retrosubstituição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gauss com pivotamento: 
⑴⑴⑴⑴ Triangularização: 
 
 
 
 
 
 
 
⑵⑵⑵⑵ Retrosubstituição: 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
46 
❸ Calcule a solução do sistema abaixo pelo método de Gauss com pivotamento. Substitua os 
resultados obtidos no sistema original. 
 





=++
−=+
=+
4.210.832z0.987y1.09x
3.091.12z-10.2y4.01x
2.010.921z4.21y-2.11x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
47 
Métodos iterativos 
Obtém-se cada variável isolando-as nas equações. Para o cálculo, usa-se 
● as variáveis de iteração anterior, no caso do método de Gauss-Jacobi 
● as variáveis atualizadas no método de Gauss-Seidel 
 
Exemplos: 
Nos exemplos a seguir use precisão de 5 dígitos e arredondamentos Ox a cada 
resultado inserido na tabela. 
 
❶ Considere: 









−−
=
+−
=
+
=
⇒





=++
=−+
−=+−
3
yx10
z
4
zx4y
3
z-y2-
x
103zyx
4z4yx
2zy3x
 com vetor inicial ( )










=
 0
0
0
X 0 
 
GAUSS-JACOBI 
n x y z 
0 0 0 0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
GAUSS-SEIDEL 
n x y z 
0 0 0 0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
48 
 
❷ Conside um sistema e suas variáveis isoladas da seguinte forma: 



−=
−=
⇒



=
=+
12xy
2y3x
1y-2x 
32yx
 
Utilize o vetor inicial nulo para aproximar a solução do sistema pelos métodos iterativos. 
 
GAUSS-JACOBI 
n x y 
0 0 0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
 
 
 
 
GAUSS-SEIDEL 
n x y 
0 0 0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
49 
Teorema da convergência 
Critério das linhas: é condição suficiente para que o método apresente convergência para a 
solução do sistema se 
n,2,1,i,
n
ji
1j
jiìi aa L=> ∑
≠
=
 
A matriz que satisfaz as hipóteses acima é chamada diagonal dominante estrita. 
 
Critério das colunas: análogo ao critério das linhas, considerando-se as colunas. 
 
Exemplos: 
❶ É possível destacar a diagonal dominante a partir do sistema abaixo, pois: 
 
113
114
113
103zyx
4z4yx
2zy3x
+>
−+>
+−>
⇒





=++
=−+
−=+−
 
 
Neste caso a convergência é garantida ao isolarmos x na 1ª equação, y na 2ª e z na 3ª equação. 
 
 
❷ O sistema abaixo, na forma como está escrito, não é possível destacar a diagonal dominante, 
pois: 
21
21
1y-2x 
32yx
<−
<
⇒



=
=+
 
 
Desta forma, não é possível garantir a convergência para a solução do sistema ao isolarmos x 
na 1ª equação e y na 2ª equação. No entanto, trocando-se as linhas do sistema obtém-se: 
 
12
12
32y x
1y-x2
<
−>
⇒



=+
=
 
 
Neste caso a convergência é garantida ao isolarmos x na 1ª equação equação e y na 2ª 
equação. 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
50 
Exemplos: 
Nas questões a seguir use precisão de 5 dígitos e arredondamentos Ox 
 
❶ Sendo 
157z3y 
9z2yx5
103z9y x





−=−
=+−
=−+
 com solução exata 










=
 3 
2 
1
X , é possível garantir a 
convergência da forma abaixo ? 
( )
7
3y15
ze92z5xy 3z;9y10 x +=−+=+−= 
 
Efetue cálculos pelo método de Gauss-Seidel tendo como vetor inicial : ( ) [ ] T0 131X = 
 
 
GAUSS-SEIDEL 
n x y z 
0 
1 
2 
 
É possível reescrever o sistema da forma diagonal dominante estrita ? 
Em caso afirmativo refaça os cálculos pelo mesmo método e com o mesmo vetor inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
GAUSS-SEIDEL 
n x y z 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
51 
❷ Calcule uma aproximação para a solução do sistema abaixo pelo método de Gauss-Seidel, 
utilizando o vetor nulo como aproximação inicial. 
 
1x2x
1.5x0.5x
-32xx
2x4xx
41
31
43
421







=+
=+
=+−
−=−+
 
Considerar precisão de 4 dígitos e arredondamentos Ox e vetor inicial : ( ) [ ] T0 0000X = 
 
GAUSS-SEIDEL 
n x1 x2 x3 x4 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 1 -1 1 -1 
 
❸ 





=−
=−
−=++−
10z2y - 
02z 4x 
102zy 2x 
 
Considerar precisão de 5 dígitos e arredondamentos Ox e vetor inicial : ( ) [ ] T0 000X = 
 
GAUSS-SEIDEL 
n x y z 
0 
1 
2 
3 
4 
┉ ┉ ┉ ┉ 
85± -5 0 -10 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
52 
Lista de Exercícios 
 
① Resolva os sistemas abaixo pelo método de Gauss (sem pivotamento) usando o precisão de 5 
dígitos e arredondamentos Ox. 
⒜ 





=++
=++
=++
3282y 4x 
15 zy 5x 2
9 zy 4x 
z
 
⒝ Seja cba ++= xxf(x) 2 . Determinar a, b e c sabendo que 04)f( =− , 31)f( −=− e 12f(2) = . 
 
② Utilize métodos iterativos ( Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel ) e aproximação inicial ( )










=
 1 
1 
1
X 0 
para calcular o vetor ( )5X para o sistema 





=++−
−=++
=+−
514zyx
2z2y7x
102z3y
 
 
③ lassifique o sistema abaixo quanto à solução utilizando para tal o método
de Gauss ( sem 
pivotamento ). 





=+
=
=+
020z10y-5x
0z-5y-3x 
08z4y-2x
 
 
④ Utilize o método de Gauss com pivotamento para obter a solução do sistema a seguir. 
Considere precisão de 4 dígitos e arredondamentos Ox. 
 





−=+−
=−
=+
46z8y5x
35z9x
37z6y-3x
 
 
⑤ Utilize os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para determinar aproximações 
para a solução dos sistemas a seguir. Considere precisão de 5 dígitos e arredondamentos Ox para 
obter o vetor ( )4X em cada caso, a partir do vetor inicial proposto. 
 
⒜ 





=−+
=−+
=+−
80.08z0.24y 4x 
90.15z3y 0.09x 
204z 0.08y 0.04x 
 com ( )










=
0
0
0
X 0 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
53 
⒝ 
72x7x3x
3310x3x2x2x
5x2xx 5x
264x3x9xx
432
4321
4321
4321







−=+−
=+−+−
=−+−
=+−+
 com ( )












=
3
1
3
1
X 0 
 
Respostas 
① 
⒜ 










=
 3 
2 
1
X 
⒝ ( ) 4xxxf 2 += ( a = 1 ; b = 4 ; c = 0 ) 
 
② Gauss-Jacobi : ( )









 −
=
 10.869 
3.6425 
9466.2
X 5 Gauss-Seidel : ( )









 −
=
 11.001 
4.0143 
9817.2
X 5 
 
③ Sistema compatível indeterminado, 










=
 z 
13z 
z22
X 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
54 
④ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 










=
 3 
4 
2
X 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
55 
⑤ 
⒜ 
GAUSS-JACOBI 
n x y z 
0 
1 
2 
3 
4 1.9092 3.1949 5.0448 
 
GAUSS-SEIDEL 
n x y z 
0 
1 
2 
3 
4 1.9092 3.195 5.0448 
⒝ 
GAUSS-JACOBI 
n x1 x2 x3 x4 
0 
1 
2 
3 
4 0.83764 2.1359 2.8584 4.1477 
 
GAUSS-SEIDEL 
n x1 x2 x3 x4 
0 
1 
2 
3 
4 0.99456 1.9971 3.0003 3.9996 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
56 
IIInnnttteeerrrpppooolllaaaçççãããooo NNNuuummmééérrriiicccaaa 
 
 A interpolação é uma técnica antiga do cálculo numérico. Antigamente era muito 
utilizada para o cálculo dos valores de funções transcendentais. A partir de uma tabela com 
valores de tais funções para um conjunto de argumentos era utilizada a interpolação para 
avaliação de outros não tabelados. Hoje este fim não se justifica, pois calculadoras simples 
avaliam funções trigonométricas, hiperbólicas, exponenciais, etc para qualquer valor dentro do 
domínio de definição de tais funções. Atualmente a interpolação é utilizada para casos onde é 
difícil calcular o valor da função ou ainda quando não é conhecida a expressão da função, mas é 
conhecido um conjunto de valores obtidos através de experimentos. 
 O problema da interpolação pode ser definido da seguinte forma: dada uma série de 
pontos ( )ii y , x com i = 0 , 1 ,..., n podemos associar uma função ( )xfy = . Para avaliarmos 
pontos intermediários aos conhecidos constrói-se uma função polinomial ( )xP tal que 
( ) ii yxP = para i = 0 , 1 ,..., n. 
 
 
 
Interpolação Polinomial 
 
Uma das classes de funções mais conhecidas e úteis entre as que mapeiam o conjunto dos 
números reais em si mesmos é a classe dos polinômios algébricos, que possuem a forma 
( ) 011n1nnnn axaxaxaxP ++++= −− L 
onde n é um número inteiro não negativo e n0 a,,a L são constante reais. A classe dos 
polinômios algébricos é importante porque eles aproximam de maneira uniforme funções 
contínuas. Dada qualquer função, definida e contínua em um intervalo limitado e fechado, existe 
um polinômio que é tão próximo da função desejada quanto desejado. Por razões práticas e 
históricas, a classe de funções mais usadas na interpolação são os polinômio, pois possuem a 
vantagem de serem fáceis de derivar, integrar e calcular. Para um conjunto de ( )1n + pontos 
determina-se um polinômio interpolador de grau menor ou igual a n. 
 
 
● Interpolação Linear 
 Consiste em passar segmentos de retas, ( polinômios de primeiro grau ) através de 
cada par de pontos da tabela. Assim, dados dois pontos distintos de uma função ( )xfy = 
( )( ) ( )( )( )1100 xf , x exf , x , deseja-se calcular o valor de y para um determinado valor de x, 
sendo 10 xxx << usando interpolação linear, ou seja, determinando os coeficiente 0a e 1a do 
polinômio 
 
( ) 011 axaxP += 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
57 
Exemplos: 
❶ Determinar o valor aproximado de ( )0.73f considerando a função ( )xfy = definida pelos 
dados abaixo: 
i ix ( )ixf 
0 0 1.35 
1 1 2.94 
 
 
 
 
 
 
 
 
❷ Dada a função ( ) 12x10xxf 4 ++= utilizar os valores de ( )0.1f e ( )0.2f para determinar um 
polinômio interpolador e avaliar ( )0.15P1 . 
i ix ( )ixf 
0 
1 
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
58 
● Interpolação Quadrática 
 Consiste em passar um polinômio de segundo grau através de um conjunto de três 
pontos, ou seja, se de uma função são conhecidos os pontos ( )( )00 xf , x , ( )( )11 xf , x e 
( )( )22 xf , x , então o polinômio interpolador será obtido usando interpolação quadrática, ou seja, 
determinando os coeficientes 0a , 1a e 2a do polinômio 
 
( ) 01222 axaxaxP ++= 
Exemplo: 
Avaliar ( )0.2f aplicando a interpolação quadrática no cálculo deste valor e utilizando os dados 
abaixo, n = 2 e arredondamento Ox. 
 
i ix ( )ixf 
0 0.5 0.25 
1 0.3 0.49 
2 0.1 0.81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
● Generalização para grau n 
 
( ) 01221n1nnnn axaxaxaxaxP +++++= −− L 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
59 
✔✔✔✔ Exercícios de aula 
❶ Determinar o valor aproximado de ( )1.2f por interpolação polinomial a partir dos valores 
expressos na tabela abaixo: 
i ix ( )ixf 
0 1 -1 
1 1.5 -1.25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
❷ Avaliar ( )1.15f por interpolação quadrática e utilizando os dados abaixo. 
 
i ix ( )ixf 
0 1 1 
1 1.1 0.9091 
2 1.25 0.8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
❸ A tabela abaixo apresenta a demanda máxima diária de energia elétrica numa cidade. 
Determine o polinômio que interpole os pontos e avalie a demanda no dia 05/02. 
 
Data 21/01 31/01 10/02 
Demanda pico (MW) 10 25 20 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
60 
Interpolação de Gregory-Newton 
 
 
● Diferenças Divididas 
Seja ( )xfy = uma função calculável em pontos n10 x,,x,x L distintos diferentemente
espaçados. Neste caso define-se o polinômio interpolador 
 
( ) 0n1n2100210000 y)x(x)x)(xx)(xx(x y∆)x)(xx(xy)x(xyxP ∆−−−−++−−+∆−+= −LL 
 
onde ik y∆ é uma diferença dividida de ordem k, sendo: 
Ordem 1 : iy∆ 
Ordem 2 : i2 y∆ 
┋ 
Ordem k : ik y∆ 
 
Para facilitar a determinação dos valores ik y∆ pode-se construir uma tabela como a que segue: 
i ix iy iy∆ i
2 y∆ i
3 y∆ i
4 y∆ 
0 0x 0y 
01
01
0
xx
yy
y∆
−
−
= 
02
01
0
2
xx
yy
y∆
−
∆−∆
= 
03
0
2
1
2
0
3
xx
yyy∆
−
∆−∆
= 
04
0
3
1
3
0
4
xx
yyy∆
−
∆−∆
= 
1 1x 1y 
12
12
1
xx
yyy∆
−
−
= 
13
12
1
2
xx
yyy∆
−
∆−∆
= 
14
1
2
2
2
1
3
xx
yyy∆
−
∆−∆
= ─ 
2 2x 2y 
23
23
2
xx
yy
y∆
−
−
= 
24
23
2
2
xx
yy
y∆
−
∆−∆
= ─ ─ 
3 3x 3y 
34
34
3
xx
yy
y∆
−
−
= ─ ─ ─ 
4 4x 4y ─ ─ ─ ─ 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
61 
Exemplos: 
Nas questões a seguir use precisão de 5 dígitos e arredondamentos Ox 
❶ Determinar o polinômio interpolador ( )xP de Gregory-Newton com base nos dados 
apresentados na seguinte tabela: 
i xi yi 
0 0 0 
1 2 8 
2 3 27 
3 5 125 
4 6 216 
 
i xi yi iy∆ i
2 y∆ i
3y∆ i
4 y∆ 
0 0 0 
1 2 8 
2 3 27 
3 5 125 
4 6 216 - - - - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
❷ Seja ( ) ( )xcosxf = . Estime o valor de ( )1.07cos utilizando interpolação de Gregory-Newton 
sobre os valores de x apresentados na tabela abaixo. 
 
i xi yi iy∆ i
2 y∆ i
3y∆ 
0 0.8 
1 0.9 
2 1.1 
3 1.2 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
62 
✔✔✔✔ Exercícios de aula 
Resolva os problemas abaixo utilizando interpolação de Gregory-Newton por diferenças 
divididas com precisão de 6 dígitos e arredondamentos Ox. 
❶ Um automóvel percorreu 58 km numa rodovia que liga duas cidades e gastou, neste trajeto, 
uma hora. A tabela abaixo apresenta o tempo gasto e a distância percorrida em alguns pontos 
entre as duas cidades. 
Tempo ( min ) Distância ( km ) 
0 0 
10 8 
30 27 
60 58 
Determinar qual foi, aproximadamente, a distância percorrida pelo automóvel nos primeiros 
45 minutos da viagem. 
 
i xi yi iy∆ i
2 y∆ i
3y∆ 
0 0 0 
1 10 8 
2 30 27 
3 60 58 
 
 
 
 
 
❷ A velocidade v (m/s) de um foguete lançado do solo foi medida 4 vezes, t segundos após o 
lançamento, e os dados registrados abaixo. Calcular a velocidade aproximada do foguete após 25 
segundos de lançamento. 
 
Tempo (s) Velocidade (m/s) iy∆ i2 y∆ i3y∆ i4 y∆ 
0 0 
8 52.032 
20 160.450 
30 275.961 
45 370.276 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
63 
● Diferenças Finitas 
Sejam os valores ( )xfy = dados através da tabela ( ) n,1,0,iparay,x ii L= onde os valores de 
x são eqüidistantes, isto é, hxx i1i =−+ . Assim define-se o polinômio interpolador 
 
( )
n
0
n
1n210
2
0
2
1000
0 hn!
y∆ )x(x)x)(xx)(xx(x
 
h2!
y∆ )x)(xx(x
h
y )x(x
yxP −
−−−−
++
−−
+
∆−
+=
L
L 
 
onde ik y∆ é uma diferença simples de ordem k, calculada da seguinte forma: 
Ordem 1 : i1ii yy∆y −= + 
Ordem 2 : i1ii2 yyy∆ ∆−∆= + 
┋ 
Ordem k : i1k1i1-kik y∆y∆y∆ −+ −= 
 
Para facilitar a determinação dos valores ik y∆ pode-se construir uma tabela como a que segue: 
 
i ix iy iy∆ i
2 y∆ i
3y∆ i
4 y∆ 
0 0x 0y 0y∆ 0
2 y∆ 0
3y∆ 0
4 y∆ 
1 1x 1y 1y∆ 1
2 y∆ 1
3y∆ ─ 
2 2x 2y 2y∆ 2
2 y∆ ─ ─ 
3 3x 3y 3y∆ ─ ─ ─ 
4 4x 4y ─ ─ ─ ─ 
 
Exemplos: 
As interpolações abaixo foram efetuadas utilizando diferenças finitas. 
❶ Avaliar ( )0.5P com base nos dados apresentados na seguinte tabela: 
i xi yi 
0 0.2 1.22 
1 0.4 1.49 
2 0.6 1.82 
3 0.8 2.23 
4 1 2.72 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
64 
 
i xi yi ∆yi ∆2yi ∆3yi ∆4yi 
0 0.2 1.22 
1 0.4 1.49 
2 0.6 1.82 
3 0.8 2.23 
4 1 2.72 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
❷ Sendo ( ) 12x10xxf 4 ++= determinar o polinômio interpolador ( )xP e calcular ( )0.15P 
considerando os seguintes valores de x: 0.1 e 0.2. 
 
Neste caso a tabela de diferenças finitas é dada por: 
 
i xi yi ∆yi 
0 0.1 
1 0.2 - 
 
Sendo 0.1h = obtém-se o seguinte valor para ( )xP : 
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
65 
❸ A tabela abaixo apresenta a demanda máxima diária de energia elétrica numa cidade. 
Determine o polinômio que interpole os pontos e avalie a demanda no dia 05/02. 
 
Data 21/01 31/01 10/02 20/02 
Demanda pico (MW) 10 15 20 13 
 
Observar que neste caso os dados em relação a “x” devem ser reorganizados porque envolvem 
datas em diferentes meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Listas de Exercícios 
 
Nas questões a seguir use precisão de 5 dígitos e arredondamentos Ox 
 
① Utilize diferenças divididas para efetuar as interpolações abaixo e determinar: 
⒜ o valor de ( )0.2P a partir dos dados abaixo tabelados: 
 
i xi yi 
0 0 1 
1 0.1 2.001 
2 0.3 4.081 
3 0.6 8.296 
4 1 21 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
66 
⒝ o polinômio ( )xP correspondente aos dados: 
 
i xi yi 
0 -1 4 
1 0 1 
2 2 -1 
 
② Utilize diferenças finitas para interpolar os pontos abaixo apresentados e determinar o 
polinômio ( )xP correspondente. 
 
i xi yi 
0 -1 7 
1 0 9 
2 1 5 
3 2 6 
4 3 8 
 
③ Uma hidroelétrica tem capacidade máxima de 60Mw, a qual é determinada por três 
geradores de respectivamente 30Mw, 15Mw e 15Mw. A demanda de energia varia num ciclo de 
24 horas e é em função dela que o engenheiro operacional distribui as tarefas dos geradores. 
Sabe-se que a demanda mínima ocorre no intervalo 2 - 5h e a demanda máxima no intervalo 
13 - 17h. Determine os polinômios que interpolam os pontos correspondentes a estas demandas 
máximas e mínimas. 
 
OBS: Divida os dados em dois grupos conforme o horário das demandas máxima e mínima já 
mencionado. 
 
Horário 2 3 4 5 13 14 15 16 17 
Demanda ( MW ) 16.4 15.2 14.9 16 28 36.5 43 34 31.2 
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO A - MÓDULO 1 
ELABORAÇÃO: CLÁUDIA BATISTELA 
67 
Respostas 
① 
⒜ ( ) 3.0160.2P = 
 
⒝ ( ) 12.3333x0.66667xxP 2 +−= 
 
② ( ) 94.0833x2.375x3.0833x0.625x- xP 234 +−−+= 
 
③ 
Polinômio interpolador para demanda mínima: 
( ) 19.51.2833x0.3x0.083333xxP 23 +−−=
 
 
 
Polinômio interpolador para demanda máxima: 
( ) 6994219064.18x1940.03x87.317x-1.4667xxP 234 +−+=
 
 
C�lculo A/Apostilas/Apostila_Modulo2.pdf
 
PUCRS - Faculdade de Matemática 
 
Cálculo Numérico A 
 
 
 
 
 
MMMóóóddduuulllooo 222 
 
 
 
 
TTTóóópppiiicccooo PPPááágggiiinnnaaa 
 1 – Formulário Módulo