3-CEP - Fundamentos do CEP II

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Curso Tecnologia em Manufatura Aeronáutica
2º Semestre de 2013
Prof. Adriano Gonçalves dos Reis
adriano.reis01@fatec.sp.gov.br
2
Fundamentos do Controle Estatístico
de Processos II
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
3
Subgrupos racionais
• Processo estável e ajustado (em controle) 
=> construção dos gráficos de controle;
• Gráficos de controle X (Média) e R 
(Amplitude);
• Conhecer bem a variável aleatória X: 
Média µ e desvio padrão σ;
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
4
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
998,8 994,9 1001,0 1005,1 1004,8 1006,9 991,3 999,1 1004,4 995,7
997,2 993,2 992,6 996,1 996,9 991,5 997,7 998,4 1000,5 998,5
998,7 998,5 1005,4 999,7 999,3 997,9 1007,9 1003,5 1009,5 997,4
1006,6 993,6 1002,2 1003,6 1007,7 999,7 997,9 1002,7 998,5 1003,0
994,2 996,6 993,9 998,5 999,9 1000,1 998,7 1008,8 993,0 997,1
989,7 1005,8 994,9 997,4 1003,0 1001,9 1003,5 1002,4 994,5 995,5
1002,8 1001,3 996,2 999,0 1000,5 1002,2 1000,6 996,4 1007,5 1001,9
1000,3 1003,3 1003,4 997,5 996,3 1004,4 995,2 993,8 1002,8 1002,6
1008,8 1005,8 1005,2 1000,5 1000,0 1001,8 999,9 995,8 992,9 1003,3
1001,8 1002,5 1000,9 995,9 1005,0 998,8 996,6 996,7 998,3 998,2
Tabela com valores da variável aleatória X – quantidade de leite (ml) 
de 100 frascos de um mesmo lote.
Valor alvo: 1000 ml
Média aritmética = 999,8 ml
Desvio padrão amostral = 4,32 ml
Subgrupos racionais
5
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Histograma com valores da variável aleatória X.
Densidade de probabilidade normal
0
5
10
15
20
25
30
35
988 992 996 1000 1004 1008 X
Fr
eq
üê
nc
ia
Subgrupos racionais
6
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Subgrupos racionais
Podemos garantir que o processo 
permanecerá em controle durante a 
próxima amostragem dos 100 frascos?
7
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Subgrupos racionais
•Subgrupos racionais => retirada de 
pequenas amostras a intervalo de 
tempos regulares.
•Ao invés de retirar 100 frascos de leite 
de uma só vez, retiram-se amostras 
menores, distanciadas por tempo (ex: 
uma amostra de 5 frascos a cada meia 
hora).
8
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Subgrupos racionais
•Cada subgrupo racional é formado por 
unidades produzidas quase num mesmo 
instante;
•Minimiza amostra formada por 
diferentes populações;
•Perturbação do processo dificilmente
ocorrerá durante formação do subgrupo.
9
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Subgrupos racionais
 
 X 
 f(X) 
Tempo 
3T 
4T 
1T X 
 X 
 X 
2T 
 f(X) 
 f(X) 
 f(X) 
Ex: caso amostra tenha sido retirada num instante que a 
µ aumentou de 1000 ml para 1010 ml;
Não houve aumento de variabilidade.
10
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Estimando a variabilidade do processo
Como as amostras são retiradas em 
subgrupos, não podemos adotar σ como 
medidas de variabilidade.
Desvio padrão do processo:
•Estimador SA;
•Estimador SB;
•Estimador SC e 
•Estimador SD.
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Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Estimando a variabilidade do processo
Estimador SA;
1mn
)XX( 
c
1
S
m
1i
2
n
1j
ij
4
A







Xij => cada elemento das amostras;
n => tamanho dos subgrupos;
m => número de subgrupos;
X => Xi / m – média das médias dos subgrupos,
c4 => constante – não tendencioso


m
i 1
2
( )
1
x x
s
n
 


Fórmula do desvio padrão
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Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Estimando a variabilidade do processo
Estimador SA;
n = 5 (tamanho)
m = 8 (número)
X = (1001,2 + 998,2 + ...
+1000,2)/8 = 999,8
Valores de 
ijX
~N(1000,4), 
iX
 e 
iR
 
 Subgrupo 
(i) 
Elemento (j) do subgrupo (i) 
 
1iX
 
2iX
 
3iX
 
4iX
 
5iX
 
 
iX
 
iR
 
 
1 992,9 1006,7 1002,7 1005,4 998,3 1001,2 13,8 
2 1001,3 995,3 999,0 999,1 996,5 998,2 6,0 
3 1001,2 1001,4 999,0 997,8 994,2 998,7 7,2 
4 993,3 1002,1 998,7 993,6 996,6 996,9 8,8 
5 996,8 1006,4 1006,9 994,5 998,4 1000,6 12,4 
6 1000,9 1004,2 999,2 997,8 997,9 1000,0 6,4 
7 1000,2 1002,6 998,3 1006,4 1005,8 1002,7 8,1 
8 1003,3 996,1 1000,5 995,2 1005,8 1000,2 10,6 
 
13
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Estimando a variabilidade do processo
Estimador SA;
Para SA, o valor de c4 é em função de mn = 8*5 =40, muito 
próximo de 1
SA:m*n
SB: m
SC: n
SA:m*n
SB: m
SC: n
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Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Estimando a variabilidade do processo
Estimador SA;
Subgrupo 
(i) 
Elemento (j) do subgrupo (i) 
 
1iX
 
2iX
 
3iX
 
4iX
 
5iX
 
 
iX
 
iR
 
iS
 
1 992,9 1006,7 1002,7 1005,4 998,3 1001,2 13,8 5,6 
2 1001,3 995,3 999,0 999,1 996,5 998,2 6,0 2,4 
3 1001,2 1001,4 999,0 997,8 994,2 998,7 7,2 2,9 
4 993,3 1002,1 998,7 993,6 996,6 996,9 8,8 3,7 
5 996,8 1006,4 1006,9 994,5 998,4 1000,6 12,4 5,7 
6 1000,9 1004,2 999,2 997,8 997,9 1000,0 6,4 2,7 
7 1000,2 1002,6 998,3 1006,4 1005,8 1002,7 8,1 3,5 
8 1003,3 996,1 1000,5 995,2 1005,8 1000,2 10,6 4,6 
 
47,8 47,4 8,3 31,2 2,3
2,2 20,4 0,7 0,5 11,0
1,9 2,5 0,7 4,1 31,5
42,4 5,2 1,2 38,6 10,3
9,1 43,4 50,2 28,2 2,0
1,2 19,3 0,4 4,1 3,7
0,2 7,8 2,3 43,4 35,9
12,2 13,8 0,5 21,3 35,9
116,9 159,8 64,3 171,3 132,4 21 )( 
n
j
ij XX
2
1
)(


n
j
ij XX

 

m
i
n
j
ij XX
1
2
1
)(
= 644,7 =4,1
1mn
)XX( 
c
1
S
m
1i
2
n
1j
ij
4
A







= 999,8
X
1mn
)XX( 
c
1
S
m
1i
2
n
1j
ij
4
A







15
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Estimando a variabilidade do processo
Estimador SB; => baseado no desvio 
padrão da média dos subgrupos
Xij => cada elemento das amostras;
n => tamanho dos subgrupos;
m => número de subgrupos;
X => Xi / m – média das médias dos subgrupos,
c4 => constante


m
i 1
n
1m
)XX(
c
1
S
m
1i
2
i
4
B

















Para SB, o valor de c4 é em função de m = 8 
2
( )
1
x x
s
n
 


16
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Estimando a variabilidade do processo
Estimador SB;
Subgrupo 
(i) 
Elemento (j) do subgrupo (i) 
 
1iX
 
2iX
 
3iX
 
4iX
 
5iX
 
 
iX
 
iR
 
iS
 
1 992,9 1006,7 1002,7 1005,4 998,3 1001,2 13,8 5,6 
2 1001,3 995,3 999,0 999,1 996,5 998,2 6,0 2,4 
3 1001,2 1001,4 999,0 997,8 994,2 998,7 7,2 2,9 
4 993,3 1002,1 998,7 993,6 996,6 996,9 8,8 3,7 
5 996,8 1006,4 1006,9 994,5 998,4 1000,6 12,4 5,7 
6 1000,9 1004,2 999,2 997,8 997,9 1000,0 6,4 2,7 
7 1000,2 1002,6 998,3 1006,4 1005,8 1002,7 8,1 3,5 
8 1003,3 996,1 1000,5 995,2 1005,8 1000,2 10,6 4,6 
 
= 999,8
1,9
2,6
1,2
8,5
0,6
0,0
8,3
0,2
23,4
n
1m
)XX(
c
1
S
m
1i
2
i
4
B

















n
m
XX
c
S
m
i
iB

















1
)(
1 1
2
4



m
i
i XX
1
2
)(
2
)( XX i 
X
1
)(
1
2



m
XX
m
i
i
1
)(
1 1
2
4 


m
XX
c
m
i
i
=4,2
=1,9
=1,8
17
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Estimando a variabilidade do processo
Estimador SC; => baseado nos desvios 
padrão amostrais dos m subgrupos
Xij => cada elemento das amostras;
n => tamanho dos subgrupos;
m => número de subgrupos;
c4 => constante
Para SC, o valor de c4 é em função de n = 5 
4
C
c
S
S 
m/SS m
1i i 

1n
)XX(
S
n
1j
2
iij
i





18
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Estimando a variabilidade do processo
Estimador SC;
Subgrupo 
(i) 
Elemento (j) do subgrupo (i) 
 
1iX
 
2iX
 
3iX
 
4iX
 
5iX
 
 
iX
 
iR
 
iS
 
1 992,9 1006,7 1002,7 1005,4 998,3 1001,2 13,8 5,6 
2 1001,3 995,3 999,0 999,1 996,5 998,2 6,0 2,4 
3 1001,2 1001,4 999,0 997,8 994,2 998,7 7,2 2,9 
4 993,3 1002,1 998,7 993,6 996,6 996,9 8,8 3,7 
5 996,8 1006,4 1006,9 994,5 998,4 1000,6 12,4 5,7 
6 1000,9 1004,2 999,2 997,8 997,9 1000,0 6,4 2,7 
7 1000,2 1002,6 998,3 1006,4 1005,8 1002,7 8,1 3,5 
8 1003,3 996,1 1000,5 995,2 1005,8 1000,2 10,6 4,6 
 
=(5,6 + 2,4 + ... + 4,6)/8 = 3,9 =3,9/0,94 = 4,1
4
C
c
S
S m/SS m 1i i 
1n
)XX(
S
n
1j
2
iij
i





68,9 30,3 2,3 17,6 8,4 127,4 31,9 5,6
9,6 8,4 0,6 0,8 2,9 22,4 5,6 2,4
6,3 7,3 0,1 0,8 20,3 34,7 8,7 2,9
13,0 27,0 3,2 10,9 0,1 54,2 13,6 3,7
14,4 33,6 39,7 37,2 4,8 129,8 32,5 5,7
0,8 17,6 0,6 4,8 4,4 28,3 7,1 2,7
6,3 0,0 19,4 13,7 9,6 48,9 12,2 3,5
9,6 16,8 0,1 25,0 31,4 82,9 20,7 4,6
2
)( iij XX 



n
j
iij XX
1
2
)( 1
)(
1
2



n
XX
n
j
iij
1
)(
1
2



n
XX
n
j
iij
19
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Estimando a variabilidade do processo
Estimador SD; => baseado na amplitude 
amostral R.
Ri => Amplitude de cada subgrupo;
m => número de subgrupos;
d2 => constante
Para SD, o valor de d2 é em função de n = 5 
2D d/RS  m/RR
m
1i i 

20
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Estimando a variabilidade do processo
Estimador SD;
Subgrupo 
(i) 
Elemento (j) do subgrupo (i) 
 
1iX
 
2iX
 
3iX
 
4iX
 
5iX
 
 
iX
 
iR
 
iS
 
1 992,9 1006,7 1002,7 1005,4 998,3 1001,2 13,8 5,6 
2 1001,3 995,3 999,0 999,1 996,5 998,2 6,0 2,4 
3 1001,2 1001,4 999,0 997,8 994,2 998,7 7,2 2,9 
4 993,3 1002,1 998,7 993,6 996,6 996,9 8,8 3,7 
5 996,8 1006,4 1006,9 994,5 998,4 1000,6 12,4 5,7 
6 1000,9 1004,2 999,2 997,8 997,9 1000,0 6,4 2,7 
7 1000,2 1002,6 998,3 1006,4 1005,8 1002,7 8,1 3,5 
8 1003,3 996,1 1000,5 995,2 1005,8 1000,2 10,6 4,6 
 
= 9,2
=9,2/2,326 = 3,9
m/RR m
1i i 

2D d/RS 
21
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Estimando a variabilidade do processo
Processo sob causa especial
Valores de 
ijX
~N(1000,4), 
iX
, 
iR
 e 
iS
 
 Subgrupo 
(i) 
Elemento (j) do subgrupo (i) 
 
1iX
 
2iX
 
3iX
 
4iX
 
5iX
 
 
iX
 
iR
 
iS
 
1 992,9 1006,7 1002,7 1005,4 998,3 1001,2 13,8 5,6 
2 1008,2 1009,3 1010,8 1008,4 1010,8 1009,5 2,6 1,3 
3 1001,2 1001,4 999,0 997,8 994,2 998,7 7,2 2,9 
4 993,3 1002,1 998,7 993,6 996,6 996,9 8,8 3,7 
5 996,8 1006,4 1006,9 994,5 998,4 1000,6 12,4 5,7 
6 1000,9 1004,2 999,2 997,8 997,9 1000,0 6,4 2,7 
7 1000,2 1002,6 998,3 1006,4 1005,8 1002,7 8,1 3,5 
8 1003,3 996,1 1000,5 995,2 1005,8 1000,2 10,6 4,6 
 
AS =5,1 BS =8,7
CS =4,0 DS =3,8
22
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Estimando a variabilidade do processo
•SA e SB são muito afetados pela causa especial 
(superestimam o desvio padrão σ);
•SC e SD são mais robustos – menos sensíveis 
as causas especiais;
Qual usar?
• Subgrupos grandes (10 ou mais) => SC é 
mais preciso porque usa mais informação;
• Subgrupos pequenos (< 10) , SC é tão 
preciso quanto SD, com a vantagem de 
simplicidade de cálculo.
• SD => mais usado em CEP
23
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
Amostragem estratificada
•Estratificação das amostras: a origem dos 
dados devem ser sempre da mesma fonte. 
Fontes diferentes requerem CEP diferentes;
• Ex. do empacotamento de leite. Caso seja 
feito o mesmo CEP com bocais diferentes:
• dificulta a detecção de qual bocal 
apresenta problema;
• Em caso de um bocal entupido e o outro 
injetando mais leite, os efeitos se 
compensarão.
24
Atividade Dirigida
Controle Estatístico de Processo- Prof. Adriano Reis - 2º semestre de 2013
 Com base nos dados da tabela abaixo, obter e interpretar os 
valores de SA, SB, SC, e SD . 
 
Subgrupo 
(i) 
Elemento (j) do subgrupo (i) 
 
1iX
 
2iX
 
3iX
 
 
1 44 45 46 
2 45 43 44 
3 46 43 45 
4 46 45 48 
 
Resposta: SA = 1,4; SB = 1,8; SC = 1,4; SD = 1,5