Matemática Básica: Razão, Proporção, Regra de Três e Porcentagem

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Nivelamento de Matemática
Profa.Esp. Antoneli da Silva Ramos
antoneli.ramos@unicesumar.edu.br
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Aula 01- Unidade 01
Razão, Proporção, Regra de Três e 
Porcentagem
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 Razão e Proporção
 Forma fracionaria forma decimal e forma 
percentual de uma razão
 Regra de três 
 Grandezas Diretamente Proporcionais
 Grandezas Inversamente Proporcionais
 Porcentagem
 Resolução de problemas
Unidade I
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OBJETIVOS
• Entender o conceito de razão, proporção e
semelhança.
• Identificar a proporção direta e inversa.
• Relacionar situações cotidianas que podem
ser tratadas de forma proporcional
• Identificar e compreender Regra de três
• Identificar Porcentagens.
• Entender e ser capaz de resolver
porcentagem em diversas situações.
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Razão: Estamos fazendo comparações
diariamente e constantemente e quando
fazemos comparações, estamos relacionando
dois números.
Na linguagem matemática, todas essas
comparações são expressas por um quociente
chamado razão. A palavra razão vem do latim
“ratio”, e significa divisão.
RAZÃO E PROPORÇÃO
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Definição: Sendo a e b dois números
racionais com b ≠ 0, denomina-se razão entre
a e b o quociente
𝑎
𝑏
ou a:b , onde a é o
antecedente e b é o consequente.
Exemplo: Uma razão é uma divisão entre dois 
números, então : 
4
7
ou 4:7 assim como 
4,5
2
ou 
4,5: 2
RAZÃO E PROPORÇÃO
7
RAZÃO E PROPORÇÃO
Comparação Razão
De cada 15 habitantes 3
são analfabetos
3
15
=
1
3
Um dia de sol para cada
dois dias de chuva
1
2
De cada 12 alunos. 4
gostam de matemática
4
12
=
1
3
8
RAZÃO E PROPORÇÃO
Exemplo: Ao preparar um suco minha mão
dilui 1 copo de suco concentrado em 6 copos
de agua.
Então com 2 copos de sucos concentrados
diluídos em 12 copos de agua, ela poderia
preparar o dobro de suco, com 3 copos de
sucos concentrados diluídos em 18 copos de
agua ela poderia preparar o triplo e assim por
diante.
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RAZÃO E PROPORÇÃO
Para facilitar a compreensão vamos organizar 
o raciocínio em uma tabela:
Copos de 
sucos 
concentrados
1 2 3 5 7 10
Copos de agua 6 12 18 30 42 60
A razão de 1 copo de suco concentrado
para 6 copos de agua pode ser
representado por 1: 6 ou
1
6
e lê se :” “ 1 está
para 6” ou “1 para 6”
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RAZÕES ESPECIAIS
As razões especiais são algumas razões entre
grandezas de mesmo tipo ou de tipos
diferentes que são utilizadas com bastante
frequência no nosso cotidiano. Dentro das
razões especiais as mais utilizadas são:
Escala, Velocidade média e Densidade
demográfica.
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RAZÕES ESPECIAIS
Escala: usada principalmente em mapas,
maquetes e plantas a escala é a razão entre a
medida do comprimento no desenho e a
medida do comprimento real do objeto.
𝑬𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂 =
𝒅 (𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛ℎ𝑜)
𝑫 (𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙)
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RAZÕES ESPECIAIS
Exemplo: Calcule a distância real entre duas
cidades, sabendo que no mapa estão
separadas por um segmento de 6cm e a
escala do mapa é 1/3.000.000.
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RAZÕES ESPECIAIS
Velocidade Média: É a razão entre a
distância percorrida por um móvel e o tempo
gasto para percorrer essa distância.
Razão = 
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
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RAZÕES ESPECIAIS
Exemplo: O carro de Mario faz 13 km/l de
gasolina. Quantos litros de combustível ele
consome numa viagem ao litoral, distante de
sua cidade 270km?
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RAZÕES ESPECIAIS
Densidade Demográfica: é a razão entre o
numero de habitantes ( população) de uma
região e a área dessa região.
Densidade= 
𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜
á𝑟𝑒𝑎
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RAZÕES ESPECIAIS
Exemplo: Determine a densidade
demográfica de uma cidade com 20000
habitantes e uma área de 400𝑘𝑚2.
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REGRA DE TRÊS 
Definição: É um processo prático para
resolver problemas que envolvam quatro
valores dos quais conhecemos três. Devemos,
portanto, determinar um valor a partir dos três
já conhecidos. Daí o nome regra de três.
Constituem regra de três os problemas que
envolvem pares de grandezas diretamente ou
inversamente proporcionais.
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REGRA DE TRÊS E PROPORÇÃO
Para entendermos melhor a Regra de Três na
resolução de determinados problemas, é necessário
que você domine grandezas proporcionais.
Proporção: A proporção representa a igualdade entre
duas razões e só faz sentido quando não sabemos
uma das parcelas dessa igualdade.
Uma propriedade fundamental das proporções é a
seguinte: em toda proporção, o produto dos meios é
igual ao produto dos extremos.
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REGRA DE TRÊS E PROPORÇÃO
Exemplo: Em uma festa há duas moças para 
três rapazes. Então, para cada quatro moças 
há seis rapazes, para cada seis moças há nove 
rapazes e assim por diante. Qual a razão entre 
o número de moças e o número de rapazes?
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EXEMPLO PROPORÇÃO
EXEMPLO: Determine o valor do termo
desconhecido:
a) 
𝟏𝟓
𝟒
=
𝟑𝟎
𝒙
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EXEMPLO PROPORÇÃO
b) 
𝟏
𝟒
=
𝒙+𝟑
𝟐𝟎
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REGRA DE TRÊS E PROPORÇÃO
Para generalizar podemos chamar os termos
da proporção de a,b,c e d, escrevendo:
𝑎
𝑏
= 
𝑐
𝑑
E denominamos:
a e d são extremos da proporção.
b e c são meios da proporção.
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REGRA DE TRÊS E PROPORÇÃO
Considera a razão
3
8
.
Se multiplicares ambos os termos da razão pelo mesmo
número, por exemplo, por 3, obtemos uma nova razão:
3 𝑥3
8 𝑥3
=
9
24
Quando escrevemos a igualdade
3
8
=
9
24
temos uma
proporção.
Uma PROPORÇÃO é uma igualdade entre duas razões
24
REGRA DE TRÊS E PROPORÇÃO
A proporção
3
8
=
9
24
deve ler-se:
“3 está para 8 assim como 9 está para 24”.
Numa proporção, os números (termos) que lá
aparecem têm um determinado nome de acordo
com o sítio onde se encontram escritos.
– Os números 3 e 24 são chamados os extremos.
– Os números 8 e 9 são chamados os meios.
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REGRA DE TRÊS E PROPORÇÃO
Exemplo:
Numa escola, a razão do número de professores
para o número de auxiliares é de 16:2.
a) Que conclusão podemos tirar da informação
dada?
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REGRA DE TRÊS E PROPORÇÃO
b)Se o número total de professores e auxiliares for
igual a 108, quantos professores e quantos auxiliares
têm a escola?
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Aula 02 - Unidade I
Regra de Três, Grandezas diretamente e 
inversamente Proporcionais e 
Porcentagem
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GRANDEZAS PROPORCIONAIS
A proporcionalidade entre grandezas pode ser direta
ou inversa.
Grandezas Diretamente Proporcionais: São
grandezas relacionadas de forma idêntica quanto ao
seu crescimento ou decrescimento. O aumento de
uma grandeza implica no aumento da outra e a
diminuição de uma grandeza implica na diminuição
imediata da outra. Veja:
x ↑ 𝑦 ↑ 𝑜𝑢 𝑥 ↓ 𝑦 ↓
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GRANDEZAS DIRETAMENTE 
PROPORCIONAL
Exemplo: Ao entrar no supermercado depara com a
seguinte tabela:
Atente-se que as duas grandezas ( custo e
embalagens) variam na mesma razão. Quando isso
acontece dizemos que são grandezas proporcionais.
Quantidade Preço R$
1 embalagem 0,50
2 embalagens 1,00
3 embalagens 1,50
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GRANDEZAS DIRETAMENTE 
PROPORCIONAL
Exemplo: Uma costureira gasta 18 metros de tecido
para fazer 12 camisas. Quanto ela gastará para fazer
16 camisas?
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GRANDEZAS DIRETAMENTE 
PROPORCIONAL
Duas grandezas são diretamente proporcionais, se ao
representa-las graficamente obtemos uma linha reta que
passa pela origem.
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GRANDEZAS DIRETAMENTE 
PROPORCIONAL
EXEMPLO:Para fazer um determinado bolo, arazão
entre o peso (em grama) do açucar e o peso da
farinha é de 5:2.
Se usares 160 g de açucar, quantos gramas de
farinha deves usar?
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GRANDEZAS INVERSAMENTE 
PROPORCIONAIS
Grandezas inversamente proporcionais: São
grandezas relacionadas de forma oposta quanto ao
seu crescimento ou decrescimento. O aumento de
uma grandeza implica na diminuição da outra, e a
diminuição de uma grandeza implica no aumento
imediato da outra. Podemos representa-las como:
𝑥 ↑ 𝑦 ↓ 𝑜𝑢 𝑥 ↓ 𝑦 ↑
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GRANDEZAS INVERSAMENTE 
PROPORCIONAIS
Exemplo: Um muro é construído por 6 homens em 12
dias. Quantos dias serão necessários para 9 homens
construírem o mesmo muro.
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GRANDEZAS INVERSAMENTE 
PROPORCIONAIS
Duas grandezas são inversamente proporcionais, se
ao representar-as graficamente obtemos uma curva
chamada hipérbola.
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PORCENTAGEM
Porcentagem: é a fração (ou parte) de um valor ou
quantidade, que se determina pela quantidade
correspondente a cada 100, ou seja, é o nome dado a
toda fração cujo denominador é 100.
Sabemos que as porcentagens fazem parte do nosso
dia-a-dia, por exemplo:
• Os casos de dengue reduziram 35% neste ano.
• A gasolina vai ter um aumento de 8%.
• A inflação de 2009 não deve ser superior a 10%.
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PORCENTAGEM
Para calcular problemas que envolvem a
porcentagem utilizamos a Regra de três Simples
com grandezas diretamente proporcionais, porém
é possível utilizar outras técnicas de resolução.
Note que: 3/100 representa que dividimos o inteiro
em 100 partes iguais e tomamos 3 dessa parte, sendo
assim, podemos representar 3/100 por 3%, razões
onde o denominador é 100 também chamado de
razão centesimal ou porcentual.
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PORCENTAGEM
Existem três formas de se representar a porcentagem
são elas:
Percentual Fracionaria Decimal
5% 5
100
ou
1
20
0,05
45% 45
100
𝑜𝑢
9
20
0,45
2,7% 2,7
100
0,027
40
PORCENTAGEM
Exemplo: Calcule a Porcentagem de:
a) 20% de 130
41
PORCENTAGEM
b) 60% de 2500
42
PORCENTAGEM
Exemplo: Em uma cesta há 60 laranjas das quais
20% estão estragadas. Quantas são as laranjas
estragadas? (aplicando a regra de três)
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PORCENTAGEM
Para calcular este exemplo podemos utilizar a
fórmula:
𝒑 =
𝒄 . 𝒊
𝟏𝟎𝟎
Observe que: O valor de p (parte do todo), devemos
multiplicar C (o todo) por i (taxa percentual), sendo i
podendo ser expressa em notação fracionária ou
decimal.
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PORCENTAGEM
Utilizando o exemplo anterior temos:
c = capital ou principal neste caso as 60 laranjas
p = porcentagem neste caso x
i = taxa neste caso 20%
𝒑 =
𝟔𝟎. 𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
=
𝟏𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟏𝟐
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PORCENTAGEM
O exemplo a seguir mostra como devemos investigar
o percentual de variação entre dois valores, para
descobrir a porcentagem. Na maioria das vezes,
buscamos responder quantos por cento certa
mercadoria aumentou ou diminuiu seu preço.
Exemplo: Uma coxinha sofreu um aumento de R$
2,00 para R$ 2,40. Qual foi o percentual de aumento?
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PORCENTAGEM
Exemplo: Um objeto comprado por R$ 80,00 foi
vendido por R$ 60,00. De quanto por cento foi o
prejuízo?
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PORCENTAGEM
Exemplo: Um produto custou R$ 10,00 e foi vendido
por R$ 12,00. De quanto por cento foi o lucro?
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PORCENTAGEM
Exemplo: Uma mercadoria é vendida em, no
máximo, três prestações mensais e iguais,
totalizando o valor de R$ 900,00. Caso seja adquirida
à vista, a loja oferece um desconto de 12% sobre o
valor a prazo. Qual o preço da mercadoria na compra
à vista?
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PORCENTAGEM
Exemplo: O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de
Serviço) é um direito do trabalhador com carteira
assinada, no qual o empregador é obrigado por lei a
depositar em uma conta na Caixa Econômica Federal
o valor de 8% do salário bruto do funcionário. Esse
dinheiro deverá ser sacado pelo funcionário na
ocorrência de demissão sem justa causa. Determine
o valor do depósito efetuado pelo empregador,
calculado o FGTS sobre um salário bruto de R$
1.200,00.
50
PORCENTAGEM
Resolução:
51
PORCENTAGEM
Cuidado! É comum aparecer situações em que há
um desconto e, na sequência, um acréscimo da
mesma taxa. Isso é pegadinha! O preço não volta ao
normal!
Se o preço inicial for R$ 200, por exemplo, um
desconto de 20% sobre esse preço corresponderia a
R$ 40 e derrubaria o preço para R$ 160. Um
acréscimo de 20% sobre esse preço vai resultar em
R$ 32 e aumentaria o preço para R$ 196.
Mesmo que você tivesse dado o aumento primeiro e
depois o desconto, chegaria aos mesmos valores.
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