SOLUCAO2 -P2-PROBEST_2014-2 - FINAL

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Solução P2 - Probabilidade e Estatística – 2014.2 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza, Alexandre Street. 
 
Problema 1 (1.2 pts) 
a) (0.5 pt) Enumere 5 propriedades da função de densidade de probabilidade (fx) de uma v.a. 
 X~NORMAL�μ,σ2 . 
SOLUÇÃO 
 
- f(x) como definida integra a 1. 
- f(x) > 0 sempre. 
- Os limites de f(x) quando x tende a +  e -  são iguais a zero. 
- A densidade N(μ, σ2) é simétrica em torno de μ, ou seja: f(μ + x) = f(μ - x) 
- O valor máximo de f(x) ocorre em x = μ 
- Os pontos de inflexão de f(x) são x = μ + σ e x = μ – σ. 
 
b) (0.7 pt) Mostre que o coeficiente de correlação 𝜌�𝑋, 𝑌 é igual a 1 quando 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏 e 
𝑎 > 0. 
SOLUÇÃO 
 
 
)()(
),(
,
YVXV
YXCOV
YX 
 
   YX YXEYXCOV   .),(
 
 
 YXXY YXYXE  .... 
 
 
  YXYY YEXEYXE  .)(.)(.. 
 
 
ONDE :  
)(YE
XE
Y
X



 
 
 
  )().()()..()().(. YEXEYEXEXEYEYXE 
 
  )().(. YEXEYXE 
 
   )().(. baXEXEbaXXE 
 
  )()())(()( 22 XaVXbEXEaXbEXaE 
 
 
  1
)(
)(
)().(
)(
)().(
)(
)()(
),(
,
2



XaV
XaV
XVaXV
XaV
baXVXV
XaV
YVXV
YXCOV
YX
 
 
 
 
 
 
 
Solução P2 - Probabilidade e Estatística – 2014.2 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza, Alexandre Street. 
 
Problema 1 (1.2 pts) 
a) (0.5 pt) Enumere 5 propriedades da função de densidade de probabilidade (fx) de uma v.a. 
 X~NORMAL�μ,σ2 . 
SOLUÇÃO 
 
- f(x) como definida integra a 1. 
- f(x) > 0 sempre. 
- Os limites de f(x) quando x tende a +  e -  são iguais a zero. 
- A densidade N(μ, σ2) é simétrica em torno de μ, ou seja: f(μ + x) = f(μ - x) 
- O valor máximo de f(x) ocorre em x = μ 
- Os pontos de inflexão de f(x) são x = μ + σ e x = μ – σ. 
 
b) (0.7 pt) Mostre que o coeficiente de correlação 𝜌�𝑋, 𝑌 é igual a 1 quando 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏 e 
𝑎 > 0. 
SOLUÇÃO 
 
 
)()(
),(
,
YVXV
YXCOV
YX 
 
   YX YXEYXCOV   .),(
 
 
 YXXY YXYXE  .... 
 
 
  YXYY YEXEYXE  .)(.)(.. 
 
 
ONDE :  
)(YE
XE
Y
X



 
 
 
  )().()()..()().(. YEXEYEXEXEYEYXE 
 
  )().(. YEXEYXE 
 
   )().(. baXEXEbaXXE 
 
  )()())(()( 22 XaVXbEXEaXbEXaE 
 
 
  1
)(
)(
)().(
)(
)().(
)(
)()(
),(
,
2



XaV
XaV
XVaXV
XaV
baXVXV
XaV
YVXV
YXCOV
YX
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução P2 - Probabilidade e Estatística – 2014.2 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza, Alexandre Street. 
 
Problema 1 (1.2 pts) 
a) (0.5 pt) Enumere 5 propriedades da função de densidade de probabilidade (fx) de uma v.a. 
 X~NORMAL�μ, σ2 . 
SOLUÇÃO 
 
- f(x) como definida integra a 1. 
- f(x) > 0 sempre. 
- Os limites de f(x) quando x tende a +  e -  são iguais a zero. 
- A densidade N(μ, σ2) é simétrica em torno de μ, ou seja: f(μ + x) = f(μ - x) 
- O valor máximo de f(x) ocorre em x = μ 
- Os pontos de inflexão de f(x) são x = μ + σ e x = μ – σ. 
 
b) (0.7 pt) Mostre que o coeficiente de correlação 𝜌�𝑋, 𝑌 é igual a 1 quando 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏 e 
𝑎 > 0. 
SOLUÇÃO 
 
 
)()(
),(
,
YVXV
YXCOV
YX 
 
   YX YXEYXCOV   .),( 
 
 YXXY YXYXE  ....  
 
  YXYY YEXEYXE  .)(.)(..  
 
ONDE :  
)(YE
XE
Y
X



 
 
 
  )().()()..()().(. YEXEYEXEXEYEYXE 
 
  )().(. YEXEYXE 
 
   )().(. baXEXEbaXXE 
 
  )()())(()( 22 XaVXbEXEaXbEXaE 
 
 
  1
)(
)(
)().(
)(
)().(
)(
)()(
),(
,
2



XaV
XaV
XVaXV
XaV
baXVXV
XaV
YVXV
YXCOV
YX 
 
 
 
 
 
Problema 2 (2 pts) Suponha 𝑝 e 𝑞 dois valores de probabilidade conhecidos. Assumindo duas 
v.a.’s discretas com distribuição conjunta 𝑓�𝑥, 𝑦 = 𝑐 ⋅ 𝑝𝑥 ⋅ 𝑞𝑦, para 𝑥 ∈ {1,2, … }, e 𝑦 ∈
{0,1}, mostre como encontrar: 
 
a) (0.5 pt) O valor de "𝑐", em função de 𝑝 e 𝑞, para que 𝑓 seja uma distribuição conjunta. E 
escreva a função conjunta. 
Solução 
 
 
  yx qpcxf ).()( 
 > 0, qualquer que seja 𝑥 ∈ {1,2, … } 𝑒 𝑦 ∈ {0,1} 
Sabemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  yx qp
qp
p
yxf ).(
)1.(
)1(
),(



, qualquer que seja 𝑥 ∈ {1,2, … } 𝑒 𝑦 ∈ {0,1} 
 
b) (1.0 pt) A marginal de 𝑋 e de 𝑌 e indique qual o nome (modelo) destas distribuições. 
 
 
  yx qp
qp
p
yxf ).(
1.
1
),(



 
Solução b.1) 
 
Densidade marginal de “X” 
 
 
 
  yx qp
qp
p
yxf ).(
1.
1
),(



 
 
 
    







 

1
01.
1
)(
y
yx
qp
qp
p
xf
 
 
 
    10
1.
.1
)( qqp
qp
p
xf
x




   
  



x
p
qp
qp
xf
)1.(
11
)(
 
 
 xp
p
p
xf


1
)(
 
R.: Modelo geométrico 
 
 
 
1 que desde 
1
1
 ....)1(..... 32
1
32 









a
a
aaaaaaaaa
k
k
1 que desde 
1
1
.....1
0
32 




a
a
aaaa
k
k
   



1)(),(
1
01 y
yx
x
qpcyxf
)1.(
)1(
qp
p
c



  






1.
1
. 10 qq
p
p
c 








1
11
.
p
pq
p
p
c
 
 
 
 
Solução b2) 
 
 
 - Densidade marginal de “Y”
 
 
 
 
 
  yx qp
qp
p
yxf ).(
1.
1
),(



 
 
 
 
    







 

11.
1
)(
x
xy
pq
qp
p
yf
 
 
 
   
  













p
pq
qp
p
yf
y
1
1
.
1.
1
)(
1
 
 yq
q
yf


1
1
)(
 
 
 
R. Modelo Bernoulli. 
 
 
c) (0.5 pt) Podemos afirmar que 𝑋 e 𝑌 são independentes? Justifique sua resposta. 
 
 
Solução 
 
Para ser independentes: 
)().(),( yfxfyxf 
 
 
 
 
  yx qp
qp
p
yxf ).(
1.
1
),(



 
 
 xp
p
p
xf


1
)(
 
 yq
q
yf


1
1
)(
 
 
   
 
 
   yxyx qp
qp
p
q
q
p
p
p
yfxf ..
1.
1
1
1
.
1
)().(














 

 
 
Conclusão: 
)().(),( yfxfyxf 
, então, X e Y são independentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3 (2.8 pts) 
Suponhamos que o nível educacional de adultos de um certo país, apresenta distribuição normal 
com média de 9 anos e variancia de 16 anos2, determine: 
a) (0.7 pt) - A probabilidade de que um adulto escolhido aleatoriamente, tenha entre 8 e 15 anos 
de tempo de estudo. 
b) (0.7 pt) - Toma-se uma amostra de 8 adultos, qual a probabilidade da média desta amostra ser 
menor que 7 anos? 
c) (0.7 pt) - Toma-se uma amostra de 8 adultos, qual a probabilidade do que tem menos anos de 
estudo desta amostra exceder 14 anos de estudo? 
d) (0.7pt) – Quantos anos de estudo um adulto deve ter, para estar entre os 4% que mais tempo 
tem de estudo? 
 
SOLUÇÃO 
X nível educacional de adulto 
X ~NORMAL (9,42) 
 
a) (0.7 pt) - A probabilidade de que um adulto escolhido aleatoriamente,tenha entre 8 e 15 anos 
de tempo de estudo. 
 Pr(X<8) Pr(X<14) 
 Pr
)158(  X
 = Pr 





 




4
915
4
9
4
98 X 
 
 = Pr 





 


4
915
4
98
Z 
 8 15 
 = Pr  5000,12500,0  Z 
 1 9 17 
 
Pela tabela: Ф (-0,2500) = 1 – 0,5987 = 0,4013 
 
Pela tabela: Ф (1,5) = 0,9332 
 
Pr
)148(  X
 = [Pr<1,5 - Pr>-0,.25] = 0,9332-0,4013 = 0,5319 = 53,19% 
 
 
ou = 1 – [(1-0,5987)+(1-0,9332)] = 0,5319= 53,19% 
 
 
 
 
 
 
 -0,25 0 1,50 
 
Média dos extremos da tabela : 5987,0
2
6026,05948,0


x 
 
 
 
 
 
 
b) (0.7 pt) Toma-se uma amostra de 8 adultos, qual a probabilidade da média desta amostra ser 
menor que 7 anos? 
 Pr
)7( X
 = Pr 















8
4
97
8
4
7X
 
 
 = Pr 














8
4
97
Z 
 
1 7 9 17 
= Pr  4142,1Z 
 
 
 
Pela tabela: 
Pr
)7( X
= (1-0,9213) = 0,0787 = 7,87% 
 
 
 
 
Interpolando conforme tabela: 
 
1,40 - 0,9192 
1,4142 - X 
1,42 - 0,9222 
 
   
 40,142,1
9192,09222,04142,142,1
9222,0



x
X 
 
   
 
9213,0
02,0
003,00058,0
9222,0 
x
Z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) (0.7pt) Toma-se uma amostra de 8 adultos, qual a probabilidade do que tem menos anos de 
estudo desta amostra exceder 14 anos de estudo? 
 
 U = Min 
),...,,,( 8321 XXXX
 
Pr 
)14( U
= ? 
 
 Pr 
)14,...,14,14,14( 8321  XXXX
 
 
sX i
 iid 
 
 Pr (U > 14) = Pr (U>14) 
 = [Pr
)14,...,14,14,14( 8321  XXXX
] 
 = [Pr
)14( iX
]8 
Pr(U>14) 
 
 Pr
)14( iX
 = Pr 




 


4
914
4
9iX 
 = Pr 





 

4
914
Z 
 
 
 = Pr  25.1Z 
X
i
 
 
 Pela tabela: 
 Pr (U > 14) = [Pr
)14( iX
]8 
 
 = [1-0,8944]8 = 1,55 x10-08 
 
 
 
Interpolando conforme tabela: 
 
1,24 - 0,8925 
1,25 - X 
1,26 - 0,8962 
 
89435,0
2
892,0825,0


Z 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pr(V≤14) 
 
 
 
 
d) (0.7 pt) – Quantos anos de estudo um adulto deve ter, para estar entre os 4% que mais tempo 
tem de estudo? 
 
Pr (X) = 4% 
 Φ(Z0) = 4% 
 
 Φ(Z0) = 4% 
 
 
Pela tabela: 
 
Φ(Z0) = 4% 
 
Zo=1,75 
 
 
0 
 Z0 = 1,75 
 
 X ~NORMAL (9,42) 
 
 
 Z = 

X 
 X = (1,75 x 4) + 9 = 16 
 
 X = 16 anos 
 X=16 
 1 9 17 
Interpolando conforme tabela: 
 
1,74 - 0,9591 
X - 0,96 
1,76 - 0,9608 
 
   
 9591,09608,0
74,176,196,09608,0
76,1



x
X 
 
   
 
7506,1
9591,09608,0
02,096,09608,0
76,1 



x
X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 4 (2.0 pts) A duração (X) de componentes eletrônicos é às vezes modeladapela 
densidade Rayleigh, mostrada a seguir. 
 
 
 
a) (1.2 pts) Deduza a densidade da v.a. 
2
2
3
XY 
. 
b) (0.8 pt) Ache a Função de Distribuição ou função Acumulada. 
SOLUÇÃO 
 
a) (1.2 pts) Deduza a densidade da v.a. 
2
2
3
XY 
. 
A densidade da v.a:
 
2
2
3
XY 
 
 





 








2
.exp.
2
)(
xx
xf 
 
v.a: 
2
2
3
XY 
 é injetora 
 
Cálculo de g(y) 
2
2
3
XY  yx 23 2  
3
22 yx 






3
2y
x 
2
1
3
2







y
x 










3
2
.
3
2
2
1 2
1
y
y
x 
yy
x
2
3
.
3
2
.
2
1



 yy
x
2.3
1




 
 
 
















 
y
x
e
x
yg
x
..
2
)(
2

 
 
y
e
y
yg
y
2.3
1
..
3
2
.2
3
2



































 

 








y
e
y
yg
y
2.3
1
..
.3
22
)( 3
2


 
 







 

3
2
.
3
2
y
eyg
 
 
 
Modelo: X~EXPONENCIAL (ʎ=2/3Ө) 
 
 
 
 
 
  constante 0; x onde exp
2 2













 
xx
xf
 
 
b) (0.8 pt) Ache a função de Distribuição ou função Acumulada. 
 
 







 

3
2
.
3
2
y
eyg
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  








y y
dyeyYyG
0
.3
2
.
3
2
Pr)( 
0y onde ,0)(
0 onde, 1)( 3
2









yG
yeyG
y

 











































 



3
2
03
2
0
3
2
1)(.
3
23
2
Pr)(
yy
Y
y
eee
e
yYyG
 
Problema 5 (2.0 pts) Seja “X” e “Y” duas Variáveis aleatórias contínuas, das quais se conhece: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pede-se: 
 
 
a) (1.0 pt )Calcule a Média condicional de X dado Y=y. Se y=1,3 , qual a média condicional de X 
dado Y=1,3. 
b) (1.0 pt) Calcule a Variância condicional de X dado Y=y. Se y=1,3 , qual a Variância condicional 
de X dado Y=1,3. 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO a) 
 
a) (1.0 pt ) Calcule a Média condicional de X dado Y=y. 
 
 
 
  dxyxfxyYXE ).(.
1
0

 , onde 
]2,0(
]1,0(


y
x
 
  dx
y
yxx
xyYXE .
2/1
.3
.
1
0
2
 








 

 
   dxxyxx
y
yYXE .3
2/1
1
1
0
2
 

 
 
 
1
0
34
3
.
4
3
2/1
1 x
y
x
y
yYXE 


 

  








34
3
2/1
1 y
y
yYXE
 
 
 
y
y
yYXE
612
49



 
 
 
 
 
f x y
x y
x( , )
.
    
3
2 onde 0 < x 1 e 0 y 2 
1 x < 0 onde,
3
.2
.2)( 2 
x
xxf x
 2y 0 onde,
63
1
)( 
y
yf y
[0,2]y e (0,1] x onde ,
3/1
3/
.
2
1
)|( 








x
yx
xXYf
[0,2]y e (0,1] xonde , 
2/1
..3
)|(
2




y
yxx
yYXf
 
 
Se y=1,3 , qual a média condicional de X dado Y=1,3. 
 
 
y
y
yYXE
612
49



 = 
  717,0
8,19
2,14
)3.1.(612
)3.1.(49
3,1 


YXE
 
 
 
 
SOLUÇÃO b) 
 
b) (1.0 pt) Calcule a Variância condicional de X dado Y=y. 
 
  dxyxfxyYXE
x
x
).(.
1
0
22




 , onde 
]2,0(
]1,0(


y
x
 
 
  dx
y
yxx
xyYXE .
2/1
.3
1
0
2
22
 








 

 
 
1
0
45
2
4
.
5
3
2/1
1 x
y
x
y
yYXE 


 
 
  








45
3
.
2/1
12 y
y
yYXE
 

 
 
20
512
.
2/1
12 y
y
yYXE



 
 
 
y
y
yYXE
1020
5122



 
 
   22 )()( yYXEyYXEyYXVAR 
 , onde 
]2,0(
]1,0(


y
x
 
 
2
612
49
1020
512

















y
y
y
y
yYXVAR
 
 
Se y=1,3 , qual a Variância condicional de X dado Y=1,3. 
 
 
 
 
  0463,0
8,19
2,14
33
5,18
)3,1(612
)3,1(49
)3,1(1020
)3,1(512
3,1
22






















YXVAR
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificando: 
 
2
612
49
1020
512

















y
y
y
y
yYXVAR
 
 
2
)612.(5
)49.(5
)1020.(3
)512.(3

















y
y
y
y
yYXVAR
 
  








2)3060(
)2045()]3060).(1536[(
y
yyy
yYXVAR
 
  








)36003600900(
)202518004002160198045(
2
22
yy
yyyy
yYXVAR
 
 
720720180
273610
2
2



yy
yy
yYXVAR
 
 
Se y=1,3 , qual a Variância condicional de X dado Y=1,3. 
 
  0463,0
720)3,1.(720)3,1.(180
27)3,1.(36)3,1.(10
2
2



 yYXVAR
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO: 
 
 
Variáveis Aleatórias Discretas 
 
Distribuição Bernoulli 
Notação : X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = p 
VAR(X) = p.q = p.(1-p) 
 
Distribuição Binomial 
Notação : X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = n.p 
VAR(X) = n.p.q = n.p.( 1-p) 
 
Distribuição Geométrica 
Notação : X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = 1/p 
VAR(X) = q/p2 
 
Distribuição Binomial Negativa 
Notação : X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = r/p 
VAR(X) = r.q/p2 
 
Distribuição Poisson 
Notação : X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = μ 
VAR(X) = μ 
 
 
 
 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(
)!(!
!
)1(Pr)( xnxxnx pp
xnx
n
pp
x
n
xXxf  








 .)Pr()( 1 pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  

 
 
 
Variáveis Aleatórias Contínuas 
 
Distribuição Uniforme 
Notação : X ~ Uniforme(a,b) 
 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Exponencial 
Notação : X ~ Exp (λ) 
 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = 1/λ 
VAR(X) = 1/λ2 
 
 
Distribuição Normal 
Notação : X ~ Normal (μ,σ2) 
 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = μ 
VAR(X) = σ2 
Se X~N(μ,σ2) 
)1,0(~ N
X
Z



 
 
 
Se X tem densidade f(x) e Y=h(X) é uma transformação qualquer, então, a densidade de Y, 
denotada por g(y) é: 
g(y) = 
y
yG

 )(
 , onde G(y) é a função de distribuição acumuladade Y. 
 
Se Y = X2 , então : 
 
 
Finalmente, pelo Método do Jacobiano: 
 
 
 
 
 
 







b)(a, x se 0
b)(a, x se 
1
)( abxf
  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x
y
x
xfyg


 ).()(
 )()(.
.2
1
)( yfyf
y
yg 
 
 
 
Tabela da N(0,1) (Ф(
0Z
) = Pr(Z≤
0Z
) 
 
 
 
 
 
 
z z) z z) z z) z z)
0.00 0.5000 0.62 0.7324 1.24 0.8925 1.86 0.9686
0.02 0.5080 0.64 0.7389 1.26 0.8962 1.88 0.9699
0.04 0.5160 0.66 0.7454 1.28 0.8997 1.90 0.9713
0.06 0.5239 0.68 0.7517 1.30 0.9032 1.92 0.9726
0.08 0.5319 0.70 0.7580 1.32 0.9066 1.94 0.9738
0.10 0.5398 0.72 0.7642 1.34 0.9099 1.96 0.9750
0.12 0.5478 0.74 0.7704 1.36 0.9131 1.98 0.9761
0.14 0.5557 0.76 0.7764 1.38 0.9162 2.00 0.9772
0.16 0.5636 0.78 0.7823 1.40 0.9192 2.02 0.9783
0.18 0.5714 0.80 0.7881 1.42 0.9222 2.04 0.9793
0.20 0.5793 0.82 0.7939 1.44 0.9251 2.06 0.9803
0.22 0.5871 0.84 0.7995 1.46 0.9279 2.08 0.9812
0.24 0.5948 0.86 0.8051 1.48 0.9306 2.10 0.9821
0.26 0.6026 0.88 0.8106 1.50 0.9332 2.12 0.9830
0.28 0.6103 0.90 0.8159 1.52 0.9357 2.14 0.9838
0.30 0.6179 0.92 0.8212 1.54 0.9382 2.16 0.9846
0.32 0.6255 0.94 0.8264 1.56 0.9406 2.18 0.9854
0.34 0.6331 0.96 0.8315 1.58 0.9429 2.20 0.9861
0.36 0.6406 0.98 0.8365 1.60 0.9452 2.22 0.9868
0.38 0.6480 1.00 0.8413 1.62 0.9474 2.24 0.9875
0.40 0.6554 1.02 0.8461 1.64 0.9495 2.26 0.9881
0.42 0.6628 1.04 0.8508 1.66 0.9515 2.28 0.9887
0.44 0.6700 1.06 0.8554 1.68 0.9535 2.30 0.9893
0.46 0.6772 1.08 0.8599 1.70 0.9554 2.32 0.9898
0.48 0.6844 1.10 0.8643 1.72 0.9573 2.34 0.9904
0.50 0.6915 1.12 0.8686 1.74 0.9591 2.36 0.9909
0.52 0.6985 1.14 0.8729 1.76 0.9608 2.38 0.9913
0.54 0.7054 1.16 0.8770 1.78 0.9625 2.40 0.9918
0.56 0.7123 1.18 0.8810 1.80 0.9641 2.42 0.9922
0.58 0.7190 1.20 0.8849 1.82 0.9656 2.44 0.9927
0.60 0.7257 1.22 0.8888 1.84 0.9671 2.46 0.9931
μ X 
σ
Z