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FACULDADE METROPOLITANA DE BLUMENAU – FAMEBLU 
 Campus I: Rua Dr. Pedro Zimmermann, 385 – Salto do Norte - Fone (47) 3321.9000 
 Campus II: Rua Engenheiro Udo Deeke, 531 – Salto do Norte - Fone (47) 3221.9595 
 
Disciplina: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Professora: Ma. Hiandra Bárbara Götzinger Montibeller 
INTEGRAÇÃO 
 
A derivada e a integral são duas noções básicas do Cálculo Diferencial e Integral. Do ponto 
de vista geométrico, a derivada está ligada ao problema de traçar a tangente a uma curva enquanto 
que a integral está relacionada com o problema de determinar a área de certas figuras planas, mas 
também possui muitas outras interpretações possíveis. Na realidade, a grande descoberta de Newton 
e de Leibniz foi que a Matemática, além de lidar com grandezas, é capaz de lidar com a variação 
das mesmas. 
Nesta disciplina abordaremos a integral. Em primeiro lugar, trataremos da integração 
indefinida, que consiste no processo inverso da derivação. Em seguida, veremos a integral definida 
– que é a integral propriamente dita – e sua relação com o problema de determinar a área de uma 
figura plana, depois o Teorema fundamental do Cálculo. E, por fim, estenderemos o conceito de 
integral para funções contínuas por partes e abordaremos as integrais impróprias. 
 
Objetivos Iniciais: 
- Entender a integração como o processo inverso da derivação. 
- Verificar que uma função primitiva pode possuir infinitas funções derivadas. 
- Definir Antiderivada. 
- Conhecer as notações utilizadas na integração 
- Conhecer as propriedades da integração 
- Conhecer as primeiras fórmulas de integração. 
 
 INTEGRAL INDEFINIDA 
 
DEFINIÇÃO: Uma função F é uma antiderivada de f se F’(x) = f(x) para todo x  I. 
 
Exemplos: 
a) Verifique se F(x) = x3 + 4x é a antiderivada de f(x) = 3x2 + 4. 
b) Verifique se F(x) = 3. cos (8x) é a antiderivada de f(x) = – 24.sen(8x). 
 
COMO PODEMOS CALCULAR AS ANTIDERIVADAS? 
 2 
 
A operação que nos permite encontrar uma antiderivada é denominada antidiferenciação ou 
integração e, como qualquer operação possui uma notação própria assim como propriedades. 
 
DEFINIÇÃO: A notação 
    cxFdxxf 
 onde F’(x) = f(x) e c é uma constante arbitrária, 
denota a família de todas as antiderivadas de f(x) em um intervalo I. 
 
Notação: 
 = sinal de integração chamado INTEGRAL; 
f(x) = INTEGRANDO; 
c = CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO; 
dx = símbolo que serve para identificar a 
variável sobre a qual integrar 
   dxxf
 Integral Indefinida de f(x) 
 
 
EXEMPLOS: 
cxxdx 
22
 porque  
xx
dx
cxd
22
2

 
  cxdxx
54
5
1
 porque 4
5
5
1
x
dx
cxd








 
     cusenduucos
 porque 
  
 u
du
cusend
cos

 
 
Generalizando: 
     cxFdxxf
 
 
A partir destes exemplos podemos observar que podemos usar qualquer fórmula de derivada para 
obter uma fórmula correspondente de integral indefinida. 
 
 
 
 
 
 3 
TABELA INICIAL DE INTEGRAÇÃO: 
 DERIVADA INTEGRAL 
01) (c)’= 0 
   cxdxdx1
 
02) 
( )' .x m xm m 1
 
x dx
x
m
cm
m





1
1
 (m  - 1) 
 
Exemplos de utilização da tabela: 
 
1) 
  dxxx
53
 
 
2) 
 dx
x 3
1
 
 
3) 
dxx
3 2
= 
 
4) 
dx
x
xx
 

2
652
= 
 
PROPRIEDADES: Suponha que f(x) e g(x) tenham antiderivadas em um intervalo I. Então: 
1) 
     dxxfcdxxfc ..
 para qualquer constante c. 
2) 
           dxxgdxxfdxxgxf
 
3) 
           dxxgdxxfdxxgxf
 
EXERCÍCIOS INICIAIS 
Resolva as seguintes integrais: 
 
a) 
   dxxx 846
2
 b) 
 





 dxx
x
x 5
1
2
3
2
 c) 
   dyybay
75
 
d) 
 





 dx
x
x
4
5 33
 e) 
   dxxx 6.92 3
 f) 
 

dx
x
x
1
13
 
 
RESPOSTAS: 
a) = 2x
3 
 - 2x
2
 + 8x + c b) 
c
x
x
x
x

3
.2
5
1
5
.3 33 5 c) = 
c
y
b
ay

26
2
7
6 
d) = 
c
x
x

3
6 1
2
 e) 
cx
x
x  2
3 4
3
4
.27
2
 f) 
cx
xx

23
23 
 
 4 
 INTEGRAIS IMEDIATAS 
 
A integração é o processo inverso da derivação. Assim como na derivação, temos “regras” 
de integração para as funções básicas. 
 
TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS 
 
 
Exemplo 1: 
 
 
Exemplo 2: 
 
 
Exemplo 3: 
 
 
 
Exemplo 4: 
 
 
 
 
Exemplo 5: 
 
IMPORTANTE: No caso da função potência 
 
 
 a integral é especial, pois a 
primitiva da função é a função . 
 
Exemplo 5: 
 
 
Exemplo 6: 
 
 
Exemplo 7: 
 
 
 
 
 
 
 
 EXERCÍCIOS 
Nos exercícios a seguir, calcular as integrais indefinidas e, em seguida, derivar as respostas para 
conferir os resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcular as integrais indefinidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PROBLEMAS COM INTEGRAIS INDEFINIDAS 
 
Exemplos 
1) Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t minutos é dada pela 
função v(t) = 3t
2 
+ 4t + 1 m/min. Que distância o corpo percorre no terceiro minuto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um botânico descobre que certo tipo de árvore cresce de tal forma que sua altura h(t), após t 
anos, está variando a uma taxa de 0,06t
2/3
 + 0,3t
1/2
 metros/ano. Se a árvore tinha 60 cm de 
altura quando foi plantada, que altura terá após 27 anos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
1) Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade esteja aumentando à taxa de 
4+5t
2/3
 habitantes por mês. Se a população atual é 10.000 habitantes, qual será a população 
daqui a 8 meses? 
 
 
2) Depois que os freios são aplicados, um carro perde velocidade à taxa constante de 6 metros 
por segundo. Se o carro está a 65 km/h (18 m/s) quando o motorista pisa no freio, que 
distância o carro percorre até parar? 
 
 
3) O valor de revenda de certa máquina diminui a uma taxa que varia com o tempo.A taxa 
com que o valor está mudando é de – 960 . e-t/5 reais por dia, quando a máquina tem t anos 
de idade. Se a máquina foi comprada nova por R$ 5.000,00, quanto valerá 10 anos depois? 
 
 
4) Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t minutos é dada pela 
função v(t) = 6t
2
 + 2t + 3 m/min. Que distância o corpo percorre no segundo minuto?