Cônicas: Elipse e Hipérbole

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Cônicas 
Introdução
3ºL
Cônicas 
Chamamos de cônicas as curvas geradas ou encontradas na intersecção de um plano que atravessa um cone. 
Estudaremos as seguintes cônicas:
Elipse
Definida na interseção de um plano que atravessa a superfície de um cone.
Parábola
Também definida na intersecção de um plano que penetra a superfície de um cone.
Hipérbole
Definida na intersecção de um plano que penetra num cone em paralelo ao seu eixo.
Introdução
Elipse 
Definição
Elipse
Dado dois pontos quaisquer do plano F1 F2 e seja 2C a distância entre eles, elipse é um conjunto do ponto cuja soma das distâncias à F1 e F2 é a constante 2ª. (2 a> 2 c)
Exemplo I
Um ponto p da elipse x2/9+y2/4=1 dista 2 de um dos focos. Qual é a distância de p ao outro foco da elipse?
FÓRMULA: PF1+PF2=2A
Resolução
PF1= 4
PF2= 2
PF1+PF2= 2 A
4+2= 6
2 A= 6
Exemplo II
Determine a área de um triangulo que esta inscrita na elipse 9x²+16y²=144, um dos vértices é o ponto (0,3) e os outros vértices estão sobre uma reta y=-2. Multiplique o resultado por 3√5/5.
Resolução
9x²+16y²=144 = 9x²/144 + 16y²/144 = 144/144 
X²/16 = y²/9 = 1 X²/42 +y²/32 =1
 A=4 B=3
Segunda Fase da Resolução
Encontrando a base
X²/16 + (-2). 2/9 = 1
X²/16 + (-4)/9 = 9/9
X²/16 = 5/9 = 5*16/9
X= 4 raiz de 5 sobre 3 
a = 1 sobre 2*b*h = 1 sobre 2*8 raiz de 5/3*5 = a 40 raiz de 5/6
Resolução Final 
4 raiz de 5/6*3 raiz de 5/5 = 40/2 = 020
Fazer em sala
Determine a equação reduzida da elipse sabendo que um dos focos é: F1 (0,-3) e que o eixo menor mede 8.
Resolução	
F1 (0,-3) => C = 3 e o foco está sobre o eixo y.
2b = 8 => b = 4.
Usando a relação notável: a² = b² + c², obtemos: a² = 4² + 3² = 16+9 => a² = 25 => a = 5
Assim, a equação reduzida da elipse será:
Hipérbole 
Definição
Hipérbole
Em matemática, uma hipérbole é um tipo de secção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano.
Hipérbole
Considere F1 , F2 e P como sendo pontos do plano cartesiano (figura ao lado) e 2c a distância entre F1 e F2. Chama-se hipérbole ao conjunto dos pontos P do plano, tais que a diferença, em valor absoluto, das distâncias PF1 e PF2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).
Elementos da hipérbole
Na hipérbole da figura ao lado, destacamos: Focos da hipérbole: os pontos fixos F1 e F2;Distância focal: distância F1F2 = 2c;Centro da hipérbole: ponto O ; Vértices da hipérbole: pontos A1 e A2;Eixo real ou transverso: segmento A1A2 = 2a;Eixo imaginário ou conjugado: segmento B1B2 = 2b;Excentricidade: é a razão e = c/a (e > 1);OBS: Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo OB1A2, obtemos: c² = a² + b², chamada de relação notável da hipérbole.
1º caso:
Hipérbole com eixo real sobre o eixo x e centro na origem Seja um ponto P(x, y) da hipérbole (figura abaixo), cujos focos são os pontos F1(– c, 0) e F2(c, 0). Por definição temos que:
2º caso:
Hipérbole com eixo real paralelo ao eixo y e centro qualquer (x0, y0).Nesse caso o centro da hipérbole não coincide com o centro do plano cartesiano e o eixo real é paralelo ao eixo y. Dessa forma a equação y²/a² - x²/b² = 1, fica representada assim:
Equação da hipérbole com centro fora da origem
1º Caso
Hipérbole com eixo real paralelo o eixo x e centro qualquer (x0, y0).Nesse caso o centro da hipérbole não coincide com o centro do plano cartesiano e o eixo real é paralelo ao eixo x. Dessa forma a equação x²/a² - y²/b² = 1, fica representada assim:
Equação da hipérbole com centro fora da origem
2º Caso
Hipérbole com eixo real paralelo ao eixo y e centro qualquer (x0, y0).Nesse caso o centro da hipérbole não coincide com o centro do plano cartesiano e o eixo real é paralelo ao eixo y. Dessa forma a equação y²/a² - x²/b² = 1, fica representada assim:
Assíntotas da hipérbole
No gráfico ao lado, as retas r: y = (b/a)x e s: y = (-b/a)x, são chamadas de retas assíntotas da hipérbole
Assíntotas da hipérbole
Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b, formado no gráfico da hipérbole (figura ao lado).Quando o eixo real da hipérbole é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é m = ± b/a e quando o eixo real é vertical, o coeficiente angular dessas retas é m = ± a/b.
Hipérbole quadrilátera
Hipérbole equilátera: a = b Chama-se HIPÉRBOLE EQUILÁTERA a toda hipérbole cujos semi-eixos de medidas a e b são iguais, ou seja a = b. Nesse caso as equações das retas assíntotas são y = x e y = -x.
Exemplos
1º) Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0), F2(10, 0) e eixo real medindo 16 unidades.
Solução
Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto, devemos utilizar a relação notável para encontrar o valor de b, temos: 
c2 = a2 + b2 .: 102 = 82 + b2 .: b2 = 100 – 64 .: b2 = 36 .: b = 6. Conhecidos os valores de a = 8 e b = 6, podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x: 
x²/a² - y²/b² = 1
x²/8² - y²/6² = 1
x²/64 – y²/36 = 1
CONCLUSÃO:A EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE É: x²/64 – y²/36 = 1
Exemplos
2º) Determine as coordenadas dos focos F1 e F2 da hipérbole de equação: y²/16 – x²/9 = 1
Solução
Observando a equação da hipérbole y²/16 – x²/9 = 1 podemos constatar que seus focos estão sobre o eixo y e seu centro está na origem (0, 0), logo os focos terão coordenadas do tipo F1(0, – c) e F2(0, c).
Da equação da hipérbole apresentada, obtemos que: 
a2 = 16 .: a = 4 b2 = 9 .: b = 3 
Utilizando a relação notável, teremos: c2 = a2 + b2 c2 = c2 = 25 c = 5 
CONCLUSÃO: Os focos da hipérbole são F1(0 , – 5) e F2(0, 5).
Parábola 
Definição
Parábola
Considerando um ponto F (foco) e uma reta d (diretriz), sendo F ∉ d, pertencentes a um mesmo plano, definimos parábola como o lugar geométrico dos pontos P do plano equidistante do ponto F e da reta d.PF = Pd
Parábola
F é o foco
D é a diretriz 
V é o vértice
p=2.f é o parâmetro (FV=Vd=f)
VF é o eixo das simetrias 
Elementos principais 
Parábola
Equação Reduzida 
Suponha a parábola da figura: eixo de simetria contido no eixo “x” e vértice na origem. 
Parábola
Referente ao sistema de eixos cartesianos, temos: Foco: F(f; 0) Diretriz: x = -f Supondo P(x; y) como um ponto genérico da parábola, da definição PF = PD, resulta:
Equação Reduzida 
Parábola
Chamada de equação reduzida da parábola com eixo de simetria contido no eixo “x” e vértice na origem, quando a hipérbole estiver voltada para a direita. Quando a parábola estiver voltada para a esquerda, sua equação reduzida será:
Excentricidade 
A excentricidade na parábola é a razão :
Equação Reduzida 
Exercício I 
Um objeto foi lançado para cima e descreveu um movimento igual à parábola y = – x2 + 2x + 16. 
Qual é a altura máxima alcançada por esse objeto?
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Exercícios 
Para saber a altura máxima alcançada por esse objeto, basta encontrar o valor de yv usando a seguinte expressão: 
yv = – Δ /4 A
yv = – (22 – 4[– 1]16)/4·(– 1)
yv = – (4 + 64)/ – 4
yv = – (68) /– 4
yv = 17
Alternativa E
Exercício II 
A respeito da definição de parábola, assinale a alternativa correta:
Uma parábola é uma figura geométrica que representa a equação y = ax2 + bx + c.
b) Uma parábola é um conjunto de pontos cuja distância até um ponto chamado foco é constante.
c) Uma parábola é um conjunto de pontos cuja distância até uma reta é constante.
d) Uma parábola é um conjunto de pontos no qual, dado um ponto P, a distância de P até a reta diretriz é igual à distância de P até o foco.
e) Uma parábola é uma curva cuja distância até o foco é fixa.
Solução
As parábolas são conjuntos de pontos nos quais, dado um ponto P, a distância entre P e o foco é igual à distância entre P e a diretriz. A alternativa A está incorreta porque ela não diz respeito à definição de parábola, mas sim a um de seus usos, e as outras alternativas estão incorretas por discordarem da definição dada nesta solução. 
Alternativa D
Reconhecimento de uma Cônica pela equação 
Comparamos asequações das elipses:
Comparando as equações das elipses 
Comparando as equações das elipses 
Concluímos que:
Uma equação de segundo grau mas incógnitas x e y representa uma elipse com eixo maior paralelo a Ox ou Ou se for redutível à forma:
Exercício
1) Qual é a distância entre os focos cuja equação é 9x²+4y²=36?
Solução
Comparando as equações das hipérboles:
Comparando as equações das hipérboles:
Exercício
Caracterize a cônica representada pela equação 4x²-9y²=36 e esboce seu gráfico.
Solução 
Solução 
Comparando as equações das parábolas
Comparando as equações das parábolas
Comparando as duas equações, concluímos que:
Uma equação de 2 grau nas incógnitas x e y representa uma parábola com eixo paralelo a Ox ou Oy se for redutível uma das formas:
x=ay²+by+c (com a diferente de 0)
y=ax²+by+c (com a diferente de 0)
Comparando as equações das parábolas
Exercício
1) qual é a cônica representada pela equação y²=6x? esboce seu gráfico.
Solução
1) qual é a cônica representada pela equação y²=6x? esboce seu gráfico.
Interseções de cônicas
É regra geral da geometria analítica que, dada duas curvas f(x,y)=0 e g(x,y), a interseção delas é o conjunto dos pontos que satisfazem o sistema:
Exercícios
1) vamos determinar os pontos comuns à reta r:x-y=0 e à parábola : y=x².
Solução
Obrigado Pela Atenção!
3°L