VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA - UNIDADE 2

Prévia do material em texto

EA
D
Cônicas
2
1. ObjetivOs
•	 Compreender	a	definição	de	seções	cônicas.
•	 Identificar	geometricamente	os	tipos	de	seções	cônicas.
•	 Identificar	e	interpretar	as	equações	das	seções	cônicas.
•	 Associar	as	cônicas	a	problemas	reais	e	 identificar	algu-
mas	de	suas	aplicações	práticas.
2. COnteúdOs
•	 Construção	geométrica	das	seções	cônicas.
•	 Definição,	elementos	e	equação	da	circunferência.
•	 Definição,	elementos	e	equação	da	parábola.
•	 Definição,	elementos	e	equação	da	elipse.
•	 Definição,	elementos	e	equação	da	hipérbole.
© Vetores e Geometria Analítica50
3. Orientações para O estudO da unidade
Antes	de	 iniciar	o	estudo	desta	unidade,	é	 importante	que	
você	leia	as	orientações	a	seguir:
1)	 Acompanhe	o	Esquema	de	Conceitos-chave	para	o	estu-
do	de	todas	as	unidades	deste	CRC.	Isso	poderá	facilitar	
sua	aprendizagem	e	seu	desempenho.
2)	 Pesquise,	em	livros	didáticos	de	Matemática	para	o	En-
sino	Médio,	ou	na	internet,	a	forma	como	esse	conteú-
do	é	abordado	e	quais	são	as	atividades	propostas.	Essa	
análise	pode	ajudá-lo	a	entender	com	maior	clareza	os	
tipos	de	cônicas	e	suas	propriedades,	a	sua	relação	di-
reta	 com	o	 ensino	 da	Matemática,	 bem	 como	as	 suas	
inúmeras	aplicações	práticas.	Se	encontrar	algo	interes-
sante,	disponibilize	tal	informação	para	seus	colegas	na	
Lista.	Lembre-se	de	que	você	é	protagonista	do	processo	
educativo.
3)	 Leia	os	livros	da	bibliografia	indicada	para	que	você	am-
plie	seus	horizontes	teóricos.	
4. intrOduçÃO À unidade
Nesta	unidade,	vamos	conhecer	as	seções	cônicas,	obtidas	
a	partir	da	 interseção	de	um	plano	 com	dois	 cones.	A	partir	de	
cada	interseção,	definiremos	um	tipo	de	cônica,	apresentaremos	
seus	elementos	e	sua	equação.	Assim	como	nas	demais	unidades,	
utilizaremos	a	Álgebra	para	representar	elementos	da	Geometria.	
Esse	é	o	propósito	da	Geometria	Analítica.
5. seções CôniCas
As	seções	cônicas,	ou	simplesmente	cônicas,	são	curvas	obti-
das	a	partir	da	interseção	de	dois	cones	por	um	plano.
Para	 compreender	 a	 construção	 dessas	 cônicas,	 considere	
duas	retas,	e	e	g,	que	se	interceptam	no	ponto	O,	mas	não	são	per-
pendiculares.	Suponha	que	a	reta	e	esteja	fixa,	enquanto	a	reta	g	
gira	360°	em	torno	de	e,	conservando	o	ângulo	entre	elas	(Figura	1).
Claretiano - Centro Universitário
51© U2 – Cônicas
A	reta	g	gera	uma	superfície	cônica	circular	infinita,	formada	
por	duas	folhas	separadas	pelo	ponto	O.	Por	isso,	g	é	chamada	ge-
ratriz	da	superfície	cônica.	A	reta	e	é	chamada	eixo	da	superfície.
Figura	1	Superfície cônica obtida a partir das retas e e g.
Uma	seção cônica	é	formada	pelo	conjunto	de	pontos	obti-
dos	na	interseção	da	superfície	cônica	com	um	plano	π .
Esta	interseção	produzirá:
1)	 Uma	circunferência,	se	π 	for	ortogonal	ao	eixo	(Figura	
2A).
2)	 Uma	parábola,	se	π 	for	paralelo	a	uma	geratriz	da	su-
perfície	(Figura	2C).
3)	 Uma	elipse,	se	π 	não	for	paralelo	a	uma	geratriz	e	inter-
ceptar	apenas	uma	das	folhas	da	superfície	(Figura	2B).
4)	 Uma	hipérbole,	se	π 	não	for	paralelo	a	uma	geratriz	e	
interceptar	as	duas	folhas	da	superfície	(Figura	2D).
Figura	2	Superfícies cônicas obtidas pela interseção de planos. A: circunferência; B: elipse; 
C: parábola; D: hipérbole.
© Vetores e Geometria Analítica52
Embora	a	circunferência	 seja	um	caso	particular	de	elipse,	
ela	é	considerada,	aqui,	apenas	para	efeito	didático,	uma	quarta	
cônica.
Para	 compreender	 a	 definição	 de	 cada	 cônica,	 é	 preciso	
recordar	 um	 conceito	 importante:	 o	 de	 lugar	 geométrico.	 Lugar 
geométrico	 é	 o	 conjunto	 de	 infinitos	 pontos	 em	 um	 plano	 que	
possuem	uma	mesma	propriedade.	Os	lugares	geométricos	mais	
conhecidos	e	utilizados	são	a	circunferência,	a	mediatriz,	a	parale-
la	e	a	bissetriz.
Circunferência
Considere	um	ponto	C	e	uma	medida	de	comprimento	r	não	
nula.	Uma	circunferência	é	definida	como	o	lugar	geométrico	dos	
pontos	do	plano	que	estão	a	uma	distância	r	do	ponto	C	(Figura	3).
Sabendo	que	 lugar	 geométrico	é	definido	no	plano,	pode-
mos	utilizar	o	sistema	de	eixos	cartesianos	para	esboçar	a	circun-
ferência.
Figura	3	Circunferência de centro C e raio r.
O	ponto	C	é	chamado	centro	da	circunferência	e	r	é	o	raio.
Uma	 equação	 de	 circunferência	 é	 obtida	 a	 partir	 das	
coordenadas	 do	 centro	 C	 e	 de	 um	 ponto	 P	 da	 circunferência.	
A	 distância	 r	 entre	 esses	 dois	 pontos	 é	 obtida	 pelo	 teorema	de	
Pitágoras,	aplicado	ao	triângulo	retângulo	da	Figura	4.
Claretiano - Centro Universitário
53© U2 – Cônicas
Figura	4	Coordenadas do ponto P pertencente à circunferência.	
( ) ( )2 22r x a y b= − + −
Essa	equação	é	chamada	equação	reduzida	da	circunferên-
cia.
Desenvolvendo-se	 as	 potências,	 chegamos	 à	 equação	 nor-
mal	da	circunferência.
( )2 2 2 2 22 2 0x y ax by a b r+ − − + + − =
Exemplo 1
Qual	é	a	equação	reduzida	e	a	equação	normal	da	circunfe-
rência	que	tem	centro	no	ponto	 ( 1, 2)C − 	e	raio	 3r = ?
Substituindo	os	valores	dados,	tem-se	a	equação	reduzida:	
( ) ( )2 2 21 2 3x y+ + − = 	ou	então	 ( ) ( )2 21 2 9x y+ + − = .
Tem-se,	ainda,	a	equação	normal:
( ) ( )( )22 2 2 2
2 2
2 1 2 2 1 2 3 0
2 4 4 0
x y x y
x y x y
+ − − − ⋅ + − + − =
+ + − − =
Exemplo 2
Qual	é	a	equação	reduzida	da	circunferência	que	tem	centro	
no	ponto	 ( 1, 2)C − 	e	passa	pelo	ponto	 (3, 5)P ?
© Vetores e Geometria Analítica54
A	distância	entre	os	pontos	C	e	P	corresponde	ao	raio	da	cir-
cunferência.
( ) ( ) ( )2 2 2 2, 3 1 5 2 4 3 25 5r d C P= = + + − = + = =
A	 equação	 reduzida	 é:	 ( ) ( )2 2 21 2 5x y+ + − = ,	 ou	 então	
( ) ( )2 21 2 25x y+ + − = .
Quando	 se	 trabalha	 com	 equações	 de	 segundo	 grau,	 é	
importante	 reconhecer	 uma	 equação	 de	 circunferência.	 Por	
exemplo,	 ao	 se	 deparar	 com	uma	 equação	 do	 segundo	 grau	 da	
forma	 2 2 0Ax By Cxy Dx Ey F+ + + + + = ,	quais	são	as	condições	
que	 A,	 B,	 C,	 D,	 E	 e	 F	 devem	 respeitar	 para	 que	 essa	 equação	
represente	uma	circunferência?
Inicialmente,	devemos	dividir	a	equação	por	A,	de	modo	que	
o	termo	 2x 	tenha	coeficiente	1,	como	na	equação	da	circunferência.	
Compare	as	duas	equações:
2 2 0B C D E Fx y xy x y
A A A A A
+ + + + + =
( )2 2 2 2 22 2 0x y ax by a b r+ − − + + − =
As	duas	equações	devem	ser	equivalentes,	isto	é,	cada	termo	
deve	ter	coeficientes	iguais.	Logo:
•	 1 
B B A
A
= ⇒ =
•	 0 C 0C
A
= ⇒ =
•	 2 2
D Da a
A A
= − ⇒ = −
•	 2 
2
E Eb b
A A
= − ⇒ = −
•	 2 2 2 2 2 2 
F Fa b r r a b
A A
= + − ⇒ = + −
Claretiano - Centro Universitário
55© U2 – Cônicas
Substituindo	os	valores	de	a	e	b	na	última	igualdade,	tem-se:
2 2
2
2
4
4
D E AFr
A
+ −
=
Concluímos	que,	para	que	a	equação	de	segundo	grau	dada	
represente	uma	circunferência,	é	necessário	que:
,
2 2
D EC
A A
 − − 
 
	e	
2 2 4
2
D E AFr
A
+ −
=
Exemplo 3
(IEZZI;	 DOLCE,	 s.	 d.,	 p.	 126)	 Qual	 das	 equações	 a	 seguir	
representa	uma	circunferência?
a)	
2 23 5 7 1 0x y x y+ − − − =
b)	 2 2 4 6 9 0x y xy x y+ + − − − =
c)	 2 23 3 4 6 15 0x y x y+ + − + =
d)	 2 2 2 2 2 0x y x y+ − − + =
e)	 2 22 2 4 6 3 0x y x y+ − − − =
Solução:
a)	 Não,	porque	A	e	B	devem	ter	coeficientes	iguais	( 1A = ,	
mas	 3B = ).
b)	 Não,	porque	aparece	um	termo	xy.
c)	 Não,	porque	a	equação	
2 2 4 16 36 180 138 0D E AF+ − = + − = − < .	Isso	significa	
que	o	raio	seria	um	número	complexo.
d)	 Não,	porque	 2 2 4 4 4 8 0D E AF+ − = + − = .	Isso	significa	
que	o	raio	seria	nulo.
e)	 Sim,	porque	 2A B= = ,	 0C = 	e	
2 2 4 16 36 24 76 0D E AF+ − = + + = > .
© Vetores e Geometria Analítica56
ponto e circunferência
Para	analisarmos	a	posição	de	um	ponto	 ( )0 0,P x y 	em	rela-
ção	a	uma	circunferência,	comparamos	a	distância	 PC com	o	raio	
da	circunferência.	Observe	a	Figura	5.
Figura	5	Ponto P exterior à circunferência.
•	 Se	PC r> ,	o	ponto	P	é	exterior	à	circunferência.
•	 Se	PC r= ,	o	ponto	P	pertence	à	circunferência	(Figura	6).
Figura	6	Ponto P pertencente à circunferência.
•	 Se	PC r< ,	o	ponto	P	é	interior	à	circunferência	(Figura	7).
Claretiano- Centro Universitário
57© U2 – Cônicas
Figura	7	Ponto P interior à circunferência.
Exemplo
Qual	é	a	posição	de	 (3, 5)P 	sendo	a	equação	 2 2 4 0x y x+ − = ?
2 23 5 4 3 9 25 12 22 0 P+ − ⋅ = + − = > ⇒ 	é	exterior	à	circunfe-
rência.
parábola
A	parábola	é	o	lugar	geométrico	de	todos	os	pontos	equidis-
tantes	de	um	ponto	fixo	e	de	uma	reta	fixa	(Figura	8).
Considere	uma	reta	d	e	um	ponto	F	não	pertencente	a	d.	Um	
ponto	P	qualquer	do	plano	pertence	à	parábola	se,	e	somente	se,	
( , ) ( , )d P F d P d= .
Figura	8	Parábola e seus elementos.
A	parábola	possui	os	seguintes	elementos:
1)	 Foco:	é	o	ponto	F.
2)	 diretriz:	é	a	reta	d.
3)	 eixo:	é	a	reta	e	que	passa	por	F	e	é	perpendicular	a	d.
© Vetores e Geometria Analítica58
4)	 vértice:	 é	o	ponto	V	 de	 interseção	da	parábola	 com	o	
eixo	e.
Equações
Considere	uma	parábola	de	vértice	 (0,0)V 	e	imagine	duas	
situações:
•	 O	eixo	da	parábola	é	o	eixo y.
Neste	 caso,	 considere	 ( , )P x y 	 um	 ponto	 da	 parábola,	
0,
2
pF   
  	
o	 foco	 e	
2
py = −
	
a	 equação	da	 reta	 diretriz.	Observe	
a	Figura	9.
Figura	9	Parábola com eixo coincidindo com o eixo y.
Sabendo	 que	 ( , ) ( , )d P F d P d= ,	 concluímos	 que	
´FP PP=
 
.	Substituindo	as	coordenadas	de	cada	ponto,	escre-
vemos:	 0, ,
2 2
P Px y x x y   − − = − +   
   
.
O	cálculo	desses	módulos	fica	como	segue:
Claretiano - Centro Universitário
59© U2 – Cônicas
( ) ( )
2 2
2 20
2 2
p px y x x y   − + − = − + +   
   
2 2
2
2 2
p px y y   + − = +   
   
2 2
2 2 2
4 4
p px y py y py+ − + = + +
2 2x py=
•	 O	eixo	da	parábola	é	o	eixo	y.	
Considere	agora	 ( ),P x y 	um	ponto	da	parábola,	 ,02
pF   
 
	
o	foco,	e	 2
px = − 	a	equação	da	reta	diretriz.	Seguindo	raciocínio	
análogo	 ao	 do	 item	 anterior,	 obtém-se	 a	 equação	 reduzida:	
2 2y px= .	Veja	a	Figura	10.
Figura	10	Parábola com eixo coincidindo com o eixo x.
Note	que:
© Vetores e Geometria Analítica60
•	 Se	o	foco	pertencer	ao	semieixo	negativo	do	eixo	x,	então	
,0
2
pF  − 
 
	e	a	equação	da	parábola	será:	 2 2y px= − .
•	 Se	o	foco	pertencer	ao	semieixo	negativo	do	eixo	y,	então	
0,
2
pF  − 
 
	e	a	equação	da	parábola	será:	 2 2x py= − .
Exemplo
Obtenha	o	foco,	o	vértice	e	a	diretriz	da	parábola	
25 8y x= .
Isolando	o	termo	 2y 	na	equação,	obtemos	 2
8
5
y x= .	Como	a	
variável	independente	é	x,	sabemos	que	o	foco	é	um	ponto	do	eixo	
x.	Comparando	com	a	forma	geral	da	equação	 2 2y px= ,	 temos:	
8 8 42 2 
5 5 5
px x p p= ⇒ = ⇒ = .
Como	 o	 parâmetro	 p	 é	 positivo,	 o	 foco	 está	 no	 semieixo	
positivo	 de	 x.	 A	 reta	 diretriz	 é	 dada	 por	
2
px = − ,	 isto	 é,	
4 1 2
5 2 5
x x= − ⋅ ⇒ = − .	 Portanto,	 o	 foco	 é	 o	 ponto	
2 ,0
5
F   
 
	 e	 o	
vértice	é	o	ponto	 ( )0,0V .
Observe	o	esboço	desta	parábola	na	Figura	11.
Figura	11	Parábola de equação	 25 8y x= .
Claretiano - Centro Universitário
61© U2 – Cônicas
elipse
Sejam	 1F 	e	 2F 	dois	pontos	distintos,	2c 	a	distância	entre	 1F 	
e	 2F ,	e	a	um	número	real	maior	que	c.	A	elipse	é	o	lugar	geométrico	
dos	pontos	P,	sendo	 ( ) ( )1 2, , 2d P F d P F a+ = .	Confira	a	Figura	12:
Figura	12	Elipse.
Elementos da elipse
Com	base	na	Figura	13,	verificamos	os	seguintes	elementos	
da	elipse:
1) Focos:	são	os	pontos	 1F 	e	 2F .
1) distância focal:	 é	 a	 distância	 2c 	 entre	 os	 focos:	
1 2 2F F c= .
2) Centro:	é	o	ponto	médio	do	segmento	 1 2F F .
3) eixo maior:	é	o	segmento	 1 2 2A A a= .
4) eixo menor:	é	o	segmento	 1 2 2B B b= .
Figura	13	Elipse e seus elementos.
© Vetores e Geometria Analítica62
Equação da elipse
Uma	elipse	pode	ser	determinada	conhecendo-se	os	pontos	
1F 	e	 2F 	e	a	medida	 a .	Entretanto,	é	possível,	também,	descrevê-
la	por	meio	de	uma	equação.	Para	isso,	consideramos	 ( )1 ,0F c− 	e	
( )2 ,0F c .	Sabendo	que	um	ponto	 ( ),P x y 	pertence	à	elipse	se,	e	
somente	se,	 ( ) ( )1 2, , 2d P F d P F a+ = ,	temos:
( ) ( )2 22 2 2x c y x c y a+ + + − + =
( ) ( )2 22 22x c y a x c y+ + = − − +
( )( ) ( )( )2 22 22 22x c y a x c y+ + = − − +
( )22 2 2 2 2 2 2 22 4 4 2x cx c y a a x c y x cx c y+ + + = − − + + − + +
( )22 22 4 4 2cx a a x c y cx= − − + −
( )22 22 4 4 2cx a a x c y cx= − − + −
( )2 2 24 4 2 2a x c y a cx cx− + = − −
( )2 2 2a x c y a cx− + = −
( )( ) ( )2 22 2 2a x c y a cx− + = −
Efetuando	operações	semelhantes	às	anteriores,	chegamos	
a ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c− + = − .
Observando	 a	 Figura	 13,	 vemos	 que	 2 2 2a b c= + ,	 ou	
2 2 2a c b− = .	 Logo,	 2 2 2 2 2 2b x a y a b+ = .	 Dividindo	 ambos	 os	
membros	por	 2 2a b ,	temos	que	
2 2
2 2 1
x y
a b
+ = .
Claretiano - Centro Universitário
63© U2 – Cônicas
Exemplo
Dados	o	parâmetro	 4a = 	e	os	focos	 ( )1 3, 2F − 	e	 ( )2 3, 6F − 	
da	elipse,	obtenha	a	equação	da	elipse.
Para	determinar	a	equação	da	elipse,	precisamos	calcular	o	
valor	do	parâmetro	b.	Descobriremos,	antes,	o	valor	de	c.
1 2 2F F c=
( ) ( )2 23 3 6 2 2c− + + − =
16 2c=
4 2c=
2c =
Agora,	utilizando	o	teorema	de	Pitágoras,	calcularemos	b.
2 2 2
2
4 2
16 4
12 2 3
b
b
b
= +
− =
= =
Finalmente,	 a	 equação	 da	 elipse	 é	 dada	 por	
( )
2 2 2 2
22 1 14 16 122 3
x y x y
+ = ⇒ + = .
Utilizando	o	software	GeoGebra,	a	construção	dessa	elipse	
torna-se	bastante	simples.	Observe	o	resultado	na	Figura	14.
Figura	14	Elipse	de	parâmetro	 4a = 	e	os	focos	 ( )1 3, 2F − 	e	 ( )2 3, 6F − .
© Vetores e Geometria Analítica64
A	 forma	 da	 elipse	 pode	 ser	 descrita	 por	 um	 número	 cha-
mado	 de	 excentricidade	 da	 elipse.	 Ele	 é	 obtido	 pelo	 quociente	
( ) 0 1ce e
a
= < < .	Elipses	que	possuem	excentricidade	próxima	de	
zero	são	parecidas	com	círculos;	elipses	com	excentricidade	próxi-
ma	de	1	são	achatadas.
O	estudo	das	elipses	é	bastante	abrangente,	envolve	outras	
propriedades	e	outros	tipos	de	equações.	Nos	limitamos,	aqui,	a	
defini-la	com	seus	elementos	e	a	descrevê-la	algebricamente,	pois	
consideramos	essa	abordagem	adequada	para	sua	formação	do-
cente.	 Você	poderá,	 entretanto,	 avançar	 no	 estudo	desse	 tema,	
pesquisando	as	bibliografias	indicadas	conforme	seu	interesse	no	
assunto.
Hipérbole
Sejam	 1F 	e	 2F 	dois	pontos	distintos,	 2c 	a	distância	entre	 1F 	
e	 2F ,	e	a	um	número	real	positivo	e	menor	que	c.	A	hipérbole	é	o	
lugar	geométrico	dos	pontos	P	tais	que	 ( ) ( )1 2, , 2d P F d P F a− = .
Figura	15	Hipérbole.
Veja,	 na	 Figura	 15,	 que	 a	 hipérbole	 possui	 dois	 ramos.	
Observe,	agora,	outros	elementos	descritos	na	Figura	16.
Claretiano - Centro Universitário
65© U2 – Cônicas
Figura	16	Elementos da hipérbole.
Elementos da hipérbole
Os	elementos	da	hipérbole	são	os	que	seguem:
1)	 Focos:	são	os	pontos	 1F 	e	 2F .
5)	 distância focal:	 é	 a	 distância	 2c 	 entre	 os	 focos:	
1 2 2F F c= .
6)	 Centro:	é	o	ponto	médio	do	segmento	 1 2F F .
7)	 vértices:	são	os	pontos	 1A 	e	 2A .
8)	 eixo real:	é	o	segmento	 1 2 2A A a= .
9)	 eixo imaginário:	é	o	segmento	 1 2 2B B b= .
10)	assíntotas:	são	as	retas	r	e	s.
Equação da hipérbole
Para	definir	a	equação	reduzida	da	hipérbole,	supomos,	pri-
meiramente,	que	seu	centro	esteja	no	ponto	 (0, 0)C .	Vamos	con-
siderar	dois	casos:
•	 O	eixo	real	está	sobre	o	eixo	x.
A	 hipérbole	 terá	 focos	 ( )1 , 0F c− 	 e	 ( )2 , 0F c ,	 além	de	 um	
ponto	 ( ),P x y .	De	acordo	com	a	definição	da	hipérbole,	tem-se	
( ) ( )1 2, , 2d P F d P F a− = .
© Vetores e Geometria Analítica66
Em	coordenadas:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 20 0 2x c y x c y a+ + − − − + − =
Essa	equação	é	muito	semelhante	à	da	elipse.	Seguindo	os	
mesmos	 procedimentos	 de	 simplificação,	 obtém-se	 a	 seguinte	
equação:
2 2
2 2 1
x y
a b
− =
•	 O	eixo	real	está	sobre	o	eixo	y.
A	 hipérbole	 terá	 focos	 1 (0, )F c− 	 e	 2 (0, )F c ,	 além	de	 um	
ponto	 ( , )P x y .	Utilizamos	a	definição	de	hipérbole	para	escrever:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 20 0 2x y c x y c a− + + − − + − =
Seguindo	 os	 mesmos	 procedimentos	 de	 simplificação,	
obtém-se	a	seguinte	equação:2 2
2 2 1
y x
a b
− =
Essas	 duas	 equações	 estão	 geometricamente	 comparadas	
na	Figura	17.	Confira.
Figura	17	Hipérbole com eixo real sobre o eixo x e sobre o eixo y.
Claretiano - Centro Universitário
67© U2 – Cônicas
Exemplo
Determine	 a	 equação	 da	 hipérbole	 que	 tem	 focos	 em	
( )1 4, 0F − 	e	 ( )2 4, 0F ,	e	eixo	real	medindo	6.
Sabendo	que	os	 focos	estão	no	eixo	x	 (pois	 suas	abscissas	
são	nulas),	devemos	encontrar	a	e	b	para	substituí-los	na	primeira	
fórmula	apresentada.
Se	o	eixo	real	mede	6,	então:	 2 6 3a a= ⇒ = .
Analisando	a	Figura	16,	concluímos	que	 c 6= .
De	acordo	com	a	Figura	16,	podemos	determinar	b	aplicando	
o	teorema	de	Pitágoras:
2 2 2c a b= +
2 2 26 3 b= +
236 9 b− =
2 27b =
27b =
Substituímos,	enfim,	os	valores	de	a	e	b	na	equação:
2 2 2 2
22 1 13 9 2727
x y x y
− = ⇒ − =
Essa	hipérbole	pode	ser	facilmente	construída	utilizando-se	
o	software	GeoGebra.	Veja	na	Figura	18	a	sua	representação	geo-
métrica.
Figura	18	Hipérbole de focos ( )1 4, 0F − e ( )2 4, 0F , e semieixo real 3.
© Vetores e Geometria Analítica68
A	hipérbole,	assim	como	a	elipse,	pode	ser	descrita	por	um	
número	 chamado	 de	 excentricidade	 da	 hipérbole.	 Ele	 é	 obtido	
pelo	quociente	 ce
a
= ,	sendo	 1e > .	Se	e	tem	valor	próximo	de	1,	
a	hipérbole	tem	curvas	mais	fechadas.	Conforme	o	valor	de	e	au-
menta,	as	curvas	da	hipérbole	se	abrem.
Existe	uma	infinidade	de	exercícios	resolvidos	sobre	hipérbo-
le,	tanto	em	livros	de	Geometria	Analítica,	quanto	em	sites	especí-
ficos	da	área.	Você	pode	pesquisá-los	para	aprofundar	seu	conhe-
cimento	sobre	o	assunto	e	sanar	possíveis	dúvidas.
Assim	como	no	estudo	da	elipse,	apresentamos	os	conceitos	
essenciais	da	hipérbole:	sua	definição	e	representação	geométrica	
e	algébrica.	Há	outras	formas	de	se	analisar	e	representar	a	hipér-
bole;	vamos	nos	ater,	entretanto,	aos	conceitos	essenciais	neces-
sários	à	sua	atuação	como	docente.
6. teXtO COMpLeMentar
Leia	o	texto	complementar	a	seguir	para	aprofundar	seus	co-
nhecimentos	sobre	a	importância	das	cônicas	nas	mais	diferentes	
áreas	e	algumas	situações	onde	essas	curvas	aparecem.
Aplicações das cônicas –––––––––––––––––––––––––––––––
O interesse pelo estudo das cônicas remonta a épocas muito recuadas. De fato, 
essas curvas desempenham um papel importante em vários domínios da Física, 
como a Astronomia, a Economia, a Engenharia e em muitas outras situações, pelo 
que não é de estranhar que o interesse pelo seu estudo seja tão antigo.
Vejamos então algumas situações onde essas curvas aparecem e onde o seu es-
tudo é fulcral.
Suponhamos que temos uma lanterna direcionada para uma parede, então o feixe 
de luz emitido desenhará nessa parede uma curva cônica. Esse fato acontece por-
que o feixe de luz emitido pela lanterna forma um cone, e também porque a parede 
funciona como um plano que corta o cone formado. Dependendo da inclinação da 
lanterna relativamente à parede, assim se obtém uma circunferência, uma elipse, 
uma parábola ou uma hipérbole.
Claretiano - Centro Universitário
69© U2 – Cônicas
Certos candeeiros de cabeceira, cujo abajur é aberto segundo uma circunferência, 
desenham na parede uma hipérbole e no teto, uma elipse. Os Engenheiros da área 
da iluminação usam esse fato, entre outros, para construir candeeiros, lanternas 
etc.
O som emitido por um avião a jato supersônico tem a forma de um cone, pelo que, 
ao chocar com a Terra, vai formar uma curva cônica. Assim, dependendo da incli-
nação do avião relativamente à Terra, vamos obter elipses, parábolas ou hipérbo-
les. A audiometria usa esse fato, entre outros, para saber a que distância da Terra 
o avião pode ultrapassar a velocidade do som.
A superfície formada pela água dentro de um copo é elíptica, sendo circular apenas 
no caso em que o copo está direito, isto é, está alinhado com o nível, na horizontal.
Se animarmos o copo com um movimento rotativo sobre si próprio, a superfície 
do líquido nele inserido será a de um paraboloide. Essa técnica é frequentemente 
usada para se obter esse tipo de superfície.
Na Astronomia, Kepler mostrou que os planetas do Sistema Solar descrevem órbi-
tas elípticas, as quais têm o Sol num dos focos.
Também os satélites artificiais enviados para o espaço percorrem trajetórias elíp-
ticas, mas nem todos os objetos que circulam no espaço têm órbitas elípticas. 
Existem cometas que percorrem trajetórias hiperbólicas, os quais, ao passarem 
perto de algum planeta com grande densidade, alteram a sua trajetória para outra 
hipérbole com um foco situado nesse planeta. Como a parábola é um caso de equi-
líbrio entre a elipse e a hipérbole (lembrem-se que a excentricidade da parábola é 
igual a um), a probabilidade de existir algum satélite com órbita parabólica é quase 
nula. Mas isso não impede a existência de satélites com essa trajetória.
Também as trajetórias dos projéteis, num ambiente sob a ação da força da gravi-
dade, são parabólicas. Já no ambiente terrestre, onde existe a resistência do ar, 
essas trajetórias são elípticas, mais propriamente, arcos de elipses. No entanto, 
por vezes, as diferenças entre as trajetórias elípticas e as parabólicas são quase in-
discerníveis, pelo que o leitor-cibernauta mais interessado poderá facilmente verifi-
car esses fatos tomando atenção ao jato de água de uma mangueira, cuja abertura 
© Vetores e Geometria Analítica70
está inclinada para cima. A balística (ciência que estuda as trajetórias de projéteis) 
faz uso desse facto para determinar o local da queda de um projétil.
Fazendo uso da propriedade refletora da parábola, Arquimedes construiu espelhos 
parabólicos, os quais, por refletirem a luz solar para um só ponto, foram usados 
para incendiar os barcos romanos quando das invasões de Siracusa. Lembre-se 
que a concentração de energia gera calor.
De fato, as propriedades refletoras das cônicas, e não somente as da parábola, 
têm contribuído para a construção de telescópios, antenas, radares, faróis, ópticas 
dos carros, lanternas etc. Na verdade, alguns dos objetos mencionados também 
obedecem à propriedade refratora das cônicas. Essa propriedade está intimamen-
te ligada à propriedade refletora, pelo que os seus estudos são mais idênticos. Só 
para dar uma amostra de objetos mais vulgares que usam a propriedade refratora 
das cônicas, mencionamos os seguintes: os óculos graduados, as lupas e os mi-
croscópios.
A partir da propriedade refletora das parábolas, os engenheiros civis construíram 
pontes de suspensão parabólica. Se imaginarmos os cabos que prendem o tabulei-
ro da ponte como raios de luz, facilmente verificamos que o cabo principal, aquele 
que passa pelos pilares da ponte, tem forma de uma parábola.
As extremidades das asas do famoso avião britânico Spitfire, usado com grande 
sucesso na II grande Guerra, eram arcos de elipses. Embora a razão da sua es-
colha se prenda ao fato de se obter mais espaço para transportar munições, esse 
tipo de asa diminuía a resistência do ar, favorecendo melhores performances ao 
avião em voo.
O sistema de localização de barcos denominado por Loran (long range navigation) 
faz uso das hipérboles confocais, em que e os radares estão nos focos. A ideia é 
baseada na diferença de tempo de recepção dos sinais emitidos simultaneamente 
pelos dois pares de radares, sendo um dos radares comum aos dois pares. O 
mapa assim construído apresenta curvas hiperbólicas. Essa técnica foi usada na II 
grande Guerra para detectar barcos japoneses (adaptado de UNIVERSIDADE DE 
LISBOA, 2013).
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Claretiano - Centro Universitário
71© U2 – Cônicas
7. Questões autOavaLiativas
Confira,	a	seguir,	as	questões	propostas	para	verificar	o	seu	
desempenho	no	estudo	desta	unidade:
1)	 Pesquise,	em	livros	ou	na	internet,	outras	imagens	da	construção	das	cônicas	
por	meio	da	interseção	de	planos	com	cones.	Compare	diferentes	posições	
do	plano	e	 responda:	além	das	cônicas,	há	outras	 formas	que	podem	ser	
obtidas?
2)	 Para	recordar	oconceito	de	lugar	geométrico,	pesquise	sobre	a	definição	de	
mediatriz,	paralela	e	bissetriz.
3)	 Dada	a	equação	de	circunferência	
2 2 2 4 11 0x y x y+ + + − = ,	determine	
seu	centro	e	raio.
4)	 Verifique	se	cada	uma	das	circunferências	descritas	pelas	equações	a	seguir	
interceptam	o	eixo	x.	Em	caso	afirmativo,	determine	os	pontos	de	interseção.
a)	 	 2 2 2 4 11 0x y x y+ + + − = .
b)	 	 2 2 8 7 0x y y+ − + = .
5)	 Explique	as	quatro	 formas	de	equação	da	parábola,	e	as	diferenças	entre	
elas.
6)	 Construa	a	elipse	de	parâmetro	 5a = 	e	focos	 ( )1 2, 0F − 	e	 ( )2 6, 0F 	e	
indique	todos	os	seus	elementos.
7)	 Construa	 a	 hipérbole	 de	 semieixo	 real	 3a = 	 e	 focos	 ( )1 3, 2F − − 	 e	
( )2 5, 2F − 	e	indique	todos	os	seus	elementos.
Gabarito
Confira,	a	seguir,	as	respostas	corretas	para	as	questões	au-
toavaliativas	propostas:
1)	 Se	 traçarmos	 um	plano	 interceptando	 o	 vértice	 dos	 cones	 paralelamente	
a	cada	um	deles,	obtemos	um	ponto	como	resultado	da	interseção.	Se	tra-
çarmos	um	plano	interceptando	o	vértice	dos	cones	perpendicularmente	a	
cada	um	deles,	obtemos	dois	triângulos.
2)	 Mediatriz	de	um	segmento	AB	é	o	conjunto	dos	pontos	equidistantes	a	A	
e	 a	B.	 Retas	paralelas	 são	definidas	 como	o	 lugar	 geométrico	dos	pontos	
equidistantes	de	uma	reta	dada.	Bissetriz	é	o	lugar	geométrico	dos	pontos	
equidistantes	de	duas	retas	concorrentes	dadas.
© Vetores e Geometria Analítica72
3)	 ( 1, 2)C − − 	e	 4r = .
4)	 a)	 A	equação	 2 2 2 4 11 0x y x y+ + + − = 	intercepta	o	eixo	x	nos	pontos	( )1 12, 0− 	e	 ( )1 12, 0+ .
b)	 A	equação	 2 2 8 7 0x y y+ − + = 	tem	centro	 ( )0, 4C 	e	raio	 3r = .	
Portanto,	não	intercepta	o	eixo	x.
5)	 A	equação	da	parábola	é	 2 2y px= 	se	o	foco	estiver	sobre	o	semieixo	po-
sitivo	do	eixo	y:	 0,
2
pF   
 
.	 A	 equação	da	parábola	 é	 2 2y px= − 	 se	o	
foco	estiver	sobre	o	semieixo	negativo	do	eixo	y:	 0,
2
pF  − 
 
.	A	equação	
da	parábola	é	 2 2x py= 	 se	o	 foco	estiver	 sobre	o	 semieixo	positivo	dos	
x:	 , 0
2
pF   
 
.	Se	o	foco	pertencer	ao	semieixo	negativo	do	eixo	x,	então	
, 0
2
pF  − 
 
	e	a	equação	da	parábola	será:	 2 2x py= − .
6)	 Elipse:
7)	 Hipérbole:
Claretiano - Centro Universitário
73© U2 – Cônicas
8. COnsiderações
As	cônicas,	estudadas	nesta	Unidade,	são	formas	do	plano	
obtidas	pela	interseção	de	um	plano	com	um	cone.	Quatro	diferen-
tes	formas	são	obtidas	nessa	interseção:	a	circunferência,	a	elipse,	
a	parábola	e	a	hipérbole.	Cada	uma	delas	pode	ser	representada	
geometricamente	no	plano	e	algebricamente	por	uma	equação.	
O	uso	das	equações	permite	avaliar	as	variações	de	cada	cônica	
segundo	seus	parâmetros.
O	estudo	das	cônicas	compõe	parte	do	conteúdo	de	mate-
mática	abordado	no	Ensino	Médio,	e	sua	importância	está	no	gran-
de	número	de	situações	práticas	que	elas	podem	representar.
9. e-referências
Figura
Figura 2	Superfícies cônicas obtidas pela interseção de planos. A: circunferência; B: elipse; 
C: parábola; D: hipérbole.	Disponível	em:	<http://serpo.sites.uol.com.br/conicas.html>.	
Acesso	em:	30	jul.	2012.
Sites pesquisados
BRASIL	 ESCOLA.	 Geometria Analítica.	 Disponível	 em:	 <http://www.brasilescola.com/
matematica/geometria-analitica.htm>.	Acesso	em:	3	abr.	2013.
CAETANO,	 P.	 A.	 S.	 A mediatriz.	 Disponível	 em:	 <http://www.dm.ufscar.br/~caetano/
SiteDG/ICSilvia/Mediatriz.htm>.	Acesso	em:	3	abr.	2013.
COSTA,	 D.	 M.	 B.	 et	 al.	 Elementos de Geometria:	 Geometria	 Plana	 e	 Espacial.	 3.	 ed.	
Curitiba:	 UFPR,	 2012.	 Disponível	 em:	 <http://www.degraf.ufpr.br/material/elementos.
pdf>.	Acesso	em:	3	abr.	2013.
SANTANA,	R.;	CLAUDINO,	R.;	GRANATO,	M.	Lugar geométrico.	Disponível	em:	<http://
www2.ucg.br/design/da2/lugargeometrico.pdf>.	Acesso	em:	3	abr.	2013.
SÃO	 PAULO	 (Cidade).	 Secretaria	 Municipal	 de	 Educação.	 Cadernos de apoio e 
aprendizagem:	Matemática	–	Programa	de	orientações	curriculares	–	9º	Ano.	São	Paulo:	
Fundação	Padre	Anchieta,	Prefeitura	de	São	Paulo,	2010.	Disponível	em:	<http://www.
portalsme.prefeitura.sp.gov.br/Projetos/BibliPed/Documentos/Publicacoes/Cad_Apoio/
Mt/Mt9/Mat_Cont_Aluno_9.pdf>.	Acesso	em:	8	abr.	2013.
© Vetores e Geometria Analítica74
UNIVERSIDADE	 DE	 LISBOA.	 Faculdade	 de	 Ciências.	 Departamento	 de	 Educação.	
Aplicações.	 Disponível	 em:	 <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm26/aplicacoes.
htm>.	Acesso	em:	3	abr.	2013.
10. referências BiBLiOGrÁficas
CAMARGO,	 I.;	 BOULOS,	 P.	Geometria Analítica:	 um	 tratamento	 vetorial.	 3.	 ed.	 rev.	 e	
ampl.	São	Paulo:	Prentice	Hall,	2005.
IEZZI,	G.;	DOLCE,	O.	Geometria analítica.	São	Paulo:	Moderna,	s.	d.
WINTERLE,	P.	Vetores e Geometria Analítica.	São	Paulo:	Makron	Books,	2000.