Estácio Cálculo II Questões AV e AVS

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ESTÁCIO CÁLCULO II
QUESTÕES AVALIAÇÃO PARCIAL
	
		1
		Determine a derivada vetorial   r⃗(t)=(t2+3)i⃗+3tj⃗+sentk⃗
	
	
	
	r⃗′(t)=2ti⃗+3j⃗+2cos2tk⃗
	
	
	r⃗′(t)=2ti⃗+3j⃗+costk⃗
	
	
	r⃗′(t)=2ti⃗+3j⃗+cos2tk⃗
	
	
	r⃗′(t)=ti⃗+3j⃗+2cos2tk⃗
	
	
	r⃗′(t)=2ti⃗+j⃗+2cos2tk⃗
		2.
		Dada a função  vetorial r(t) = 2t2i + 4t j - 3tk,   as componentes do vetor que será a representação da sua derivada será :
	
	
	
	(0,0,0)
	
	
	(4,4,-3)
	
	
	(4,-4,3)
	
	
	(4,0,3)
	
	
	(-3,4,4)
	
		3.
		Dada a função  vetorial r(t) = 2t2i + 4t j - 4tk,  a sua derivada será :
	
	
	
	 r'(t) =4ti + 4 j 
	
	
	 r'(t) =4i + 4 j - 4k, 
	
	
	 r'(t) =4ti  - 4k, 
	
	
	 r'(t) =ti + 4 j - 4k, 
	
	
	 r'(t) =4ti + 4 j - 4k, 
	
		4
		Integrando a função vetorial r(t) = 2ti + 4tk - 6tk, temos  a seguinte função vetorial:
	
	
	
	t2i+ 2t2j-3t2k
	
	
	-t2i+ 2t2j+3t2k
	
	
	t2i+ 2t2j+3t2k
	
	
	2t2i+ 2t2j+3t2k
	
	
	t2i- 2t2j+3t2k
	
		5.
		Integrando a função vetorial r(t) = 3t2i + 6t2k - 6t2k, temos  a seguinte função vetorial:
	
	
	
	 t3i + 2t3k +2t3k
	
	
	 t3i + 2t3k - 2t3k
	
	
	 -t3i + 2t3k - 2t3k
	
	
	 3t3i + 2t3k - 2t3k
	
	
	 t3i + t3k - 2t3k
	
		6.
		Determinando a derivada da função vetorial, f⃗(t)=−⁡cos2ti⃗−sentj⃗+cos3tk⃗, temos como resposta:
	
	
	
	f′=2⁡cost∙senti⃗−costj⃗−cos2t∙sentk⃗
	
	
	f′=cost∙senti⃗−costj⃗−3cos2t∙sentk⃗
	
	
	f′=2⁡cost∙senti⃗−costj⃗+3cos2t∙sentk⃗
	
	
	f′=2cost∙senti⃗−costj⃗−cos2t∙sentk⃗
	
	
	f′=2⁡cost∙senti⃗−costj⃗−3cos2t∙sentk⃗
		1.
		O vetor posição de um objeto, em um instante t, em movimento em um plano é dado por r(t)= 2t4i+3tj. Determine a sua velocidade quando t = 4
	
	
	
	v(4)= 512i+3j
	
	
	v(4)= 12i+3j
	
	
	v(4)= 512i-3j
	
	
	v(4)= 510i+3j
	
	
	v(4)= 502i+3j
	
	 
	
		2.
		O vetor posição de um objeto, em um instante t,  em movimento em um plano é dado por r(t)= t2 i+ 3t2j .Determine a sua aceleração  no  instante t.
	
	
	
	-4i - 6j
	
	
	6j
	
	
	4i
	
	
	-4i +6j
	
	
	4i+6j
	
	 
	
		3.
		O vetor posição de um objeto, em um instante t,  em movimento em um plano é dado por r(t)= 4t2 i+ 3tj .Determine a sua velocidade  no instante t.
 
	
	
	
	v(t) = 8i+3
	
	
	v(t) = 8t+3j 
	
	
	v(t) = 8ti-3j 
	
	
	v(t) = 8ti+3
	
	
	v(t) = 8ti+3j 
	
		4.
		O vetor posição de um objeto, em um instante t, em movimento em um plano é dado por r(t) = 2t4i+2t3j.Determine a sua aceleração num instante t = 1
	
	
	
	240i + 12j 
	
	
	24i + 2j 
	
	
	4i + 12j 
	
	
	24i + 12j 
	
	
	24-i + 12j 
	
		5.
		O vetor posição de um objeto, em um instante t,  em movimento em um plano é dado por r(t)= 4t2 i+ 3tj .Determine a sua aceleração  nos instante t.
	
	
	
	16i+3j
	
	
	0
	
	
	16i
	
	
	3j
	
	
	-16i
	
		6.
		O vetor posição de um objeto, em um instante t,  em movimento em um plano é dado por r(t)=4t3i+3t2jr(t)=4t3i+3t2j . Determine a sua velocidade quando t = 2
	
	
	
	v(2)= 48i-12j
	
	
	v(2)= -48i-12j
	
	
	v(2)= 48i+12j
	
	
	v(2)= 8i+12j
	
	
	v(2)= -48i+2j
		1
		Utilizando a derivada parcial de segunda ordem, determine fyy da função :f(x,y)=x3+y3-3xy
	
	
	
	6x- 6
	
	
	6x
	
	
	6y
	
	
	x - 6
	
	
	6
	
	 
	
		2
		Determine a derivada fx da função f(x,y)=(yex+xseny)
	
	
	
	fx=ex+seny
	
	
	fy=ex+cosy
	
	
	fx=yex+seny
	
	
	fx=yexseny
	
	
	 fy=ex+cosy
	
		3.
		Determine a derivada fx da função f(x,y)=exln⁡(xy)
	
	
	
	fx=ex.ln⁡(xy)
	
	
	fx=ex.1/xy+ex.ln⁡(xy)
	
	
	fx=ex.1/xy
	
	
	fx=1/xy+ln⁡(xy)
	
	
	fx=1/xy+ex.ln⁡(xy)
		4.
		Determine a derivada fy da função f(x,y)=(yex+xseny)f(x,y)=(yex+xseny)
	
	
	
	fy=ex+xcosyfy=ex+xcosy
	
	
	fx=ex+senyfx=ex+seny
	
	
	fx=yex+senyfx=yex+seny
 
	
	
	fy=ex+cosxfy=ex+cosx
	
	
	fy=yex+cosy
	
		5
		Utilizando a derivada parcial de segunda ordem, determine fxx da função :f(x,y)=x4+y3-3xy
	
	
	
	12x - 3
	
	
	6y
	
	
	12x2
	
	
	12
	
	
	6
	
		6.
		Determine a derivada fy da função f(x,y)=(yex+xseny)f(x,y)=(yex+xseny)
	
	
	
	fy=ex+xcosy
	
	
	fx=ex+seny
	
	
	fx=yex+seny
 
	
	
	fy=ex+cosx
	
	
	fy=yex+cosy
		1.
		A melhor utilização do teorema de Fubini  está representado  na seguinte resposta:
	
	
	
	 Em todos os tipos de integrais
	
	
	  Integral cujo os limites são funções 
	
	
	Integral com várias variáveis 
	
	
	Integral Iterada 
	
	
	Todos os tipos de integral dupla 
		2.
		Calcule a integral dupla ∫∫ycosxdA, onde sua área de integração é R=(x,y)/0≤y≤2,0≤x≤π
	
	
	
	1
	
	
	4
	
	
	5
	
	
	3
	
	
	0
		3.
		Calcule a integral dupla,∫∫xsenydA,onde R=(x,y)/0≤x≤2,0≤y≤π/2
	
	
	
	4
	
	
	2
	
	
	5
	
	
	6
	
	
	3
		4.
		Calcular a integral iterada ∫01∫02(x2+2y)dydx
	
	
	
	33/6
	
	
	32/7
	
	
	32/5
	
	
	32/4
	
	
	32/3
		5.
		Determine a área limitada  pelas funções  y = 2x e  y = x2 contidas no paraboloide z =x2+ y2 no plano xy
	
	
	
	21/35
	
	
	215/355
	
	
	216
	
	
	216/35 
	
	
	35
		6.
		Determine a área limitada  pelas funções  y = x e y = x2  contidas no paraboloide x2+y2no plano xy
	
	
	
	23/120
	
	
	23/140
	
	
	35/140
	
	
	32/140
	
	
	23/142
		7.
		Determine a área limitada  pelas funções  y = x e  y = x2 contidas no paraboloide z =x2+ 2y2 no plano xy
	
	
	
	13/15
	
	
	11
	
	
	15/16
	
	
	11/60 
	
	
	60
		1.
		Calcular a área de uma semi- circunferência, utilizando as coordenadas polares, sabendo que a essa semi- circunferência fica na parte superior tem seu centro na origem e  4 de raio.
	
	
	
	6π6π
	
	
	3π3π
	
	
	2π2π
	
	
	5π5π
	
	
	4π
		2.
		Transforme as coordenadas cartesianas(−√3,1)(−√3,1)em coordenada polar.
	
	
	
	2,5π/8)
	
	
	(2,5π/6)
	
	
	(2,3π/6)
	
	
	(3,3π/6)
	
	
	(4,3π/6)
		3.
		Transforme as coordenadas cartesianas ( 1, -1) em coordenada polar.
	
	
	
	(√2,5π/4)
	
	
	(√2,7π/3)
	
	
	(√3,7π/4)
	
	
	(√2,6π/4)
	
	
	(√2,7π/4)
		4.
		Calcule ∫∫ydAonde a  sua área e a região  limitada pelos dois círculos x2+y2=1x2+y2=1
	
	
	
	15/3
	
	
	11/3
	
	
	14/3
	
	
	13/3
	
	
	12/3
		5.
		 Transforme as coordenadas polares (5,π/6) em coordenada cartesiana
	
	
	
	((5√3)/2;5/2)
	
	
	((3√3)/2;5/2)
	
	
	((5√2)/2;5/2)
	
	
	((4√3)/2;5/2)
	
	
	((5√3)/2;3/2)
		6.
		Determine o volume do sólido delimitado pela função (x,y)=x2yf(x,y)=x2y o quarto de um círculo. No primeiro quadrante, cujo seu centro localiza-se na origem e seu raio é de 3.
	
	
	
	81/14
	
	
	81/11
	
	
	81/13
	
	
	81/10
	
	
	81/12
		1.
		Calcule  o volume de uma figura em três dimensões sabendo que  seus limites estão definidos da seguinte maneira [0,1]x[1,2][0,3]
	
	
	
	0
	
	
	2
	
	
	4
	
	
	3
	
	
	1
		2.
		Calcule a integral tripla∫∫T∫xyz2dV onde T é o paralelepípedo retângulo[0,1]x [0,2]x[1,3]
	
	
	
	11/3
	
	
	5/3
	
	
	8/3
	
	
	10/3
	
	
	7/3
		3.
		Calcule o volume  utilizado a integral ∭dv onde  a região  que gera o volume é do primeiro octante limitado por  x = 4 - y2 , y = x, x = 0 e z =0 
	
	
	
	4
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	0
	
	
	1
		4.
		Calcule ∭TdV= onde T é  o sólido delimitado  pelos planos  y + z = 8 , y + z = 8  e x = 0 , x = 4 y = -1 e y = 2 
	
	
	
	10
	
	
	14
	
	
	13
	
	
	12
	
	
	11
		5.
		Sejam os conjuntos A = {-1, 0 } e B = {1, 2,}, determine o produto cartesiano de  A x B
  
	
	
	
	{(-1, 1), (1, 2),  (0, 1), (0, 2)}
	
	
	{(-1, 1), (-1, 2),  (0, 1), (0, 0)}
	
	
	{(-1, 1), (-1, 2),  (0, 1), (0, 2)}
	
	
	{(1, 1), (-1, 2),  (0, 1), (0, 2)}
	
	
	{(-1, 1), (-1, 2),  (0, 1), (0, 1)}
		6.
		Calcule a integral tripla∫π0∫10∫y0(senx)dzdydx
	
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	4
	
	
	2
	
	
	3
		7.
		 Calcule  o volume de uma figura em três dimensões sabendo que  seus limites estão definidos da seguinte maneira : [0,1]x[1,2]x[0,4]
	
	
	
	4
	
	
	0
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	1
		1.
		Os pontos  (0,2√3,−2)  estão em coordenadas cartesianas , transforme em coordenadas esféricas.
	
	
	
	(4,2π/3,π/3)
	
	
	(4,π/3,π/2)
	
	
	(3,2π/3,π/2)
	
	
	(4,2π/3,π/2)
	
	
	(2,2π/3,π/2)
		2.
		Sabendo que a coordenada cartesiana é (3, -3, -7) transforme em coordenadas cilíndricas.
	
	
	
	(3√2,7π/4,−1)
	
	
	(2√2,7π/4,−7)
	
	
	(3√2,7π/4,−7)
	
	
	(3√2,7π/4,−6)
	
	
	(3√2,6π/4,−7)
		3.
		 Os pontos (2,π/4,π/3) estão em coordenadas esféricas, reescreva esses pontos em coordenadas  retangulares.
	
	
	
	(√(3/2),√(3/2),6)
	
	
	(√(3/2),√(3/2),2)
	
	
	(√(3/2),√(3/2),3)
	
	
	(√(3/2),√(3/2),1)
	
	
	(√(3/2),√(3/2),4)
		4.
		Sendo as coordenadas cilíndricas (2,2π/3,1) transforme em Coordenadas Cartesiana.
	
	
	
	(−1,√2,0)
	
	
	(−1,√2,1)
	
	
	(1,√3,1)
	
	
	(−1,√3,1)
	
	
	(−1,√3,0)
		5.
		Um sólido E está contido no cilindro  x2+y2= 1 abaixo do plano  z= 4 e acima do paraboloide z = 1 - x2- y2. Calcule o volume desse cilindro.
	
	
	
	30π
	
	
	50π
	
	
	40π
	
	
	20π
	
	
	60π
		6.
		Sabendo que os limites de integração de uma integral tripla é representado por  2≤ρ≤4, 0≤θ≤π/2, 0≤∅≤π calcule o valor dessa integral. 
	
	
	
	56π/3
	
	
	56π/6
	
	
	56π
	
	
	56π/7
	
	
	56π/4
		1.
		Calcule  ∫CF∙dr onde F(x,y,z)=2yi+yxj+3zk onde  C é a cúbica retorcida dada por x=t y=t2 z=t2 0≤t≤1
	
	
	
	78/30
	
	
	77/30
	
	
	80/30
	
	
	79/30
	
	
	76/30
		2.
		Calcule ∫CF∙dr onde F(x,y,z)=xyi+yzj+zxk onde x=t y=t2 z=t3 0≤t≤1 é a cúbica retorcida dada por
	
	
	
	31/32
	
	
	25/26
	
	
	30/31
	
	
	27/28
	
	
	28/29
		3.
		Calcule a integral de linha ∫cx3ds onde C e a curva dada  C:x=t, y=t+1, 0≤t≤2
	
	
	
	√2√2
	
	
	5√25√2
	
	
	4√24√2
	
	
	3√23√2
	
	
	2√2
		4.
		Calcular a integral ∫C3+xy2ds onde C é uma semi circunferência definida pela função x2+y2=1
	
	
	
	3π3π
	
	
	7π7π
	
	
	ππ
	
	
	5π5π
	
	
	4π
		5.
		Calcule a integral de linha∫Czdx+∫Cxdy+∫Cydz onde C e a curva parametrizada x=t2,y=t3,z=t20≤t≤1
	
	
	
	4/3
	
	
	3/2
	
	
	2/5
	
	
	2/7
	
	
	2/3
		6.
		Calcule a integral de linha ∫Cydx+∫Cxdy onde C consiste nos segmentos de retas  de (1,2) a (1,1)
	
	
	
	17/3
	
	
	17/5
	
	
	17/2
	
	
	17/6
	
	
	17/4
		1.
		Se F(x,y,z)=xyi+xyzj+y2k rot F:
	
	
	
	∇xF=(2y−xy)i+xj+yzk
	
	
	∇xF=(−2y+xy)i+xj+yzk
	
	
	∇xF=(−2y−xy)i+xj+yzk
	
	
	∇xF=(−2y−xy)i+j+yzk
	
	
	∇xF=(−2y−xy)i
		2.
		Se F(x,y,z)=y2z3i+2xyz3j+3xy2z2k o div F é :
	
	
	
	divF=xz3+6xy2z
	
	
	divF=2xz3+6xy2z
	
	
	divF=2z3+6xy2z
	
	
	divF=2xz3+6
	
	
	divF=2xz3+6y2z
		3.
		Dada a função f(x,y)=x3y4−x4y3determine o seu gradiente.
	
	
	
	∇f(x,y)=(x2y4−4x3y3)i+(4x3y3−3x4y2)j
	
	
	∇f(x,y)=(3x2y4−4x3y3)i+(4x3y3−4y2)j
	
	
	∇f(x,y)=(4x3y3−3x4y2)j
	
	
	∇f(x,y)=(3x2y4−4x3y3)i+(4x3y3−3x4y2)j
	
	
	∇f(x,y)=(3x2y4−4x3y3)i
		4.
		Se F(x,y,z)=senyzi+senzxj+senxyk o div F é :
	
	
	
	4
	
	
	1
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	0
		5.
		Determine a Rotacional da Função F tal que F(x,y,z)=xyzi+x2yk
	
	
	
	2xi+(2x−xy)j−xk
	
	
	2xi+(2x−xy)j
	
	
	xi+(2x−xy)j−xzk
	
	
	2xi+(2x−xy)j−xzk
	
	
	(2x−xy)j−xzk
		6.
		Dada a função f(x,y)=yex determine o seu gradiente
	
	
	
	∇f(x,y)=exi
	
	
	∇f(x,y)=exj
	
	
	∇f(x,y)=exi+exj
	
	
	∇f(x,y)=exi+yexj
	
	
	∇f(x,y)=yexi+exj
		1.
		Calcular a integral de linha ∫C(2x+y)dx−(x−4xy)dy sendo C um círculo x2+y2=1.
	
	
	
	−2π
	
	
	−5π
	
	
	−4π
	
	
	−π
	
	
	−3π
		2.
		Uma definição de quando e como se deve utilizar o teorema de Green, está melhor representada nas resposta : 
	
	
	
	Deve ser utilizada em uma integral de linha de curva fechada onde haja uma área limitada para sua integração
	
	
	 Pode ser utilizada em qualquer tipo de integral de linha 
	
	
	Pode ser utilizada em qualquer integral de linha em campo vetorial 
	
	
	Não se pode utilizar em integral de linha 
	
	
	 Pode ser utilizada em qualquer integral de linha em campo algébrico.
		3.
		Calcular a itegral de linha ∫C(4x+2y)dx−(x−5xy)dy sendo C  o circulo x2+ y2= 9
	
	
	
	−π
	
	
	−5π
	
	
	−3π
	
	
	−4π
	
	
	−2π
		4.
		Calcule ∮cy2dx+3xydy  em que C é a fronteira da região semianular  contida no semiplano superior entre os círculos x2+y2=4ex2+y2=9
	
	
	
	9π/2
	
	
	5π/2
	
	
	3π/2
	
	
	7π/2
	
	
	11π/2
		5.
		Resolva a integral de linha  ∮c(ex+y2)dx+(ey+x2)dy em que C é a fronteira da região entre y = x e y = x2 percorrido no sentido anti-horário.
	
	
	
	6/15
	
	
	4/15
	
	
	3/15
	
	
	2/15
	
	
	5/15
		6.
		Calcular a integral ∫C(y−ex)dx−(x+∛(lny))dy,  onde C é a circunferência de raio 1
	
	
	
	−2π
	
	
	−π
	
	
	−3π
	
	
	−6π
	
	
	−4π