QUESTÕES OBJETIVAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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1-A que taxa está crescendo a área de um retângulo, em cm²/s, se seu comprimento é de 10 cm e está crescendo a uma taxa de 2 cm/s, enquanto que sua largura é de 20 cm e está crescendo a 3 cm/s?
Dado: Área do retângulo A (x, y) = x . y onde x é o comprimento e y é a largura.
( X ) A taxa de crescimento é 70 cm²/s.
( ) A taxa de crescimento é 20 cm²/s.
( ) A taxa de crescimento é 80 cm²/s.
( ) A taxa de crescimento é 10 cm²/s.
2-Uma das aplicações das derivadas parciais é a taxa de crescimento ao longo de mais de uma direção. Baseado nisto, calcule a taxa que está crescendo a área de um retângulo se seu comprimento é de 16 cm e está crescendo a uma taxa de 0,5 cm/s, enquanto que sua largura é de 24 cm e está crescendo 0,2 cm/s. Sobre o exposto, assinale a alternativa CORRETA:
( ) 12,8 cm²/s.
( X ) 15,2 cm²/s.
( ) 9 cm²/s.
( ) 15,6 cm²/s.
3-As equações diferenciais têm inúmeras aplicações práticas em medicina, engenharia, química, biologia e outras diversas áreas do conhecimento. As soluções destas equações são usadas, por exemplo, para projetar pontes, automóveis, aviões e circuitos elétricos. Encontre a solução geral da equação diferencial y' + 2y = 6. Em seguida, assinale a alternativa CORRETA:
( X ) Somente a opção I está correta.
( ) Somente a opção III está correta.
( ) Somente a opção II está correta.
( ) Somente a opção IV está correta.
4-O diferencial total de uma função real de várias variáveis reais corresponde a uma combinação linear de diferenciais, cujos coeficientes compõem o gradiente da função. O que é realizado é a soma das derivadas parciais em cada direção dada na função de várias variáveis. Dada a função f(x,y) = x²y + xy², analise as sentenças a seguir:
I- O diferencial total de f é xy. ERRADA
II- O diferencial total de f é 2xy. ERRADA
III- O diferencial total de f é x² + y² + 4xy. CORRETA
IV- O diferencial total de f é x² + y² + 8xy. ERRADA
5-Em matemática, numa visão mais simples, uma função contínua é uma função que não apresenta interrupção, ou seja, uma função que tem um gráfico que pode ser desenhado sem tirar o lápis do papel. No entanto, para provar que uma função é contínua, são necessárias algumas validações antes. A respeito da função indicada, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e em seguida assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) F - F - V - V.
( X ) V - F - V - F.
( ) F - V - F - V.
( ) V - V - F - F.
6-O estudo da derivação parcial permite que estendamos os conceitos estudados no Cálculo Diferencial e Integral para duas dimensões, para o espaço tridimensional. Com isto, podemos generalizar vários casos existentes e que antes não eram acessados. Baseado nisto, dada a função f(x,y) = 4x² + y², analise as sentenças a seguir:
I- f(x,y) é diferenciável em todos os pontos do plano. CORRETA
II- A soma de suas derivadas parciais é 8x + 2y. CORRETA
III- A soma de suas derivadas parciais é x² - y². ERRADA
IV- O limite da função quando (x,y) tende a (0,0) é zero. CORRETA
 
7-A integral múltipla é uma integral definida para funções de múltiplas variáveis. Além de calcular áreas e volumes definidos por funções de mais de uma variável, este conceito também possui aplicações na área da física, como, por exemplo, no cálculo do centro de massa de um corpo. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas sobre as integrais abaixo quanto a sua relação com a região compreendida entre y = 5 - x² e y = x + 3. Em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( X ) V - F - F - F.
( ) F - F - F - V.
( ) F - F - V - F.
( ) F - V - F - F.
8-As equações diferenciais têm inúmeras aplicações práticas em medicina, engenharia, química, biologia e outras diversas áreas do conhecimento. As soluções destas equações são usadas, por exemplo, para projetar pontes, automóveis, aviões e circuitos elétricos. Leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
( ) A opção II está correta.
( ) A opção I está correta.
 ( X ) A opção IV está correta.
( ) A opção III está correta.
9-Leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
( ) A opção III está correta.
( X ) A opção I está correta.
( ) A opção IV está correta.
( ) A opção II está correta.
10-Em matemática, curvas de nível são curvas cujos pontos satisfazem a uma determinada propriedade. Por exemplo: reta, circunferência, elipse etc. Em um mapa topográfico, são os conjuntos de pontos correspondentes às regiões de mesma altitude. Baseado nos conceitos de curvas de nível, analise o gráfico a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) F - F - F - V.
( ) V - F - F - F.
( X ) F - F - V - F.
( ) F - V - F - F.
11-Antes de trabalhar com funções dadas, é muito importante verificarmos os pontos onde a função admite definição. Estes pontos são chamados pontos do domínio da função. Ao trabalhar com funções de várias variáveis, muitas vezes, o domínio da função é dado por uma relação entre estas variáveis. Baseado nisto, dada a função a seguir, analise as sentenças sobre qual é o seu conjunto domínio condizente e assinale a alternativa CORRETA:
( X ) Somente a opção III está correta.
( ) Somente a opção II está correta.
( ) Somente a opção IV está correta.
( ) Somente a opção I está correta.
12-As equações diferenciais têm inúmeras aplicações práticas em medicina, engenharia, química, biologia e outras diversas áreas do conhecimento. As soluções destas equações são usadas, por exemplo, para projetar pontes, automóveis, aviões e circuitos elétricos. Leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
( ) A opção II está correta.
( ) A opção IV está correta.
( ) A opção III está correta.
( X ) A opção I está correta.
13-(ENADE, 2011).
 
( ) III, apenas.
( ) I e III, apenas.
( X ) I e II, apenas.
( ) II, apenas.
14-(ENADE, 2005)
( ) Estará sempre diminuindo durante todo o percurso.
( ) Será máxima nos pontos da fronteira da bola.
( ) Estará sempre aumentando durante todo o percurso.
( X) Atingirá o seu maior valor no centro da bola.
15-A que taxa está crescendo a área de um retângulo se seu comprimento é de 10 cm e está crescendo a uma taxa de 1 cm/s, sendo que sua largura é de 9 cm e está crescendo a 0,8 cm/s?
( ) A taxa é 16 cm²/2.
( X ) A taxa é 17 cm²/2.
( ) A taxa é 18 cm²/2.
( ) A taxa é 22 cm²/2.
16-No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física. Calculando a área entre as curvas y = 4 - x² e y = x + 2, obteremos:
( ) Área igual a 11/2 u.a.
( X ) Área igual a 9/2 u.a.
( ) Área igual a 8 u.a.
( ) Área igual a 14/3 u.a.
17-Uma das aplicações das derivadas parciais é a taxa de crescimento ao longo de mais de uma direção. Baseado nisto, calcule a taxa que está crescendo a área de um retângulo se seu comprimento é de 10 cm e está crescendo a uma taxa de 0,5 cm/s enquanto que sua largura é de 8 cm e está crescendo 0,2 cm/s. Em seguida, assinale a alternativa CORRETA:
 ( X ) 6 cm²/s.
( ) 6,6 cm²/s.
( ) 0,7 cm²/s.
( ) 9 cm²/s.
18-No cálculo diferencial, o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( F ) O gradiente de uma função determina o maior valor possível de uma curva.
( V ) O gradiente de uma função indica a direção de maior variação de uma curva.
( V ) Ao se afastar da origem, o vetor gradiente aumenta sua norma.
( V ) Ovetor gradiente é um vetor normal à curva de nível da função.
19-O estudo da derivação parcial permite que estendamos os conceitos estudados no Cálculo Diferencial e Integral para duas dimensões, para o espaço tridimensional. Com isto, podemos generalizar vários casos existentes e que antes não eram acessados. Baseado nisto, dada a função f(x,y) = 3x²y, analise as sentenças a seguir:
I- f(x,y) é diferenciável em todos os pontos do plano. CORRETA
II- A soma de suas derivadas parciais é x.(6y + 3x). CORRETA
III- A soma de suas derivadas parciais é 6xy² + y². ERRADA
IV- O limite da função quando (x,y) tende a (0,0) é zero. CORRETA
20-No cálculo, a diferenciação implícita é um meio de derivar equações implícitas, ou seja, funções onde y não está definido como função explícita de x. Em outras palavras, são equações onde não temos de um modo explícito uma relação entre as duas variáveis pela qual possamos escrever y = f(x). Baseado na função f(x,y) = x² + 5y², assinale a opção que apresenta o resultado correto para dy/dx:
( ) x/y
( X ) -x/5y
( ) -x/2y
( ) 2x/10y
21-Em matemática, a matriz Hessiana de uma função f de n variáveis é a matriz quadrada com n colunas e n linhas (n X n) das derivadas parciais de segunda ordem da função. Por isto, esta matriz descreve a curvatura local da função "f". Matrizes hessianas são usadas em larga escala em problemas de otimização que não usam métodos newtonianos. Baseado na matriz hessiana a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( F ) A matriz hessiana no ponto (0,-1) é a matriz identidade.
( V ) A matriz hessiana no ponto (0,-1) é a matriz nula.
( V ) A matriz hessiana ajuda a definir pontos críticos da função.
( F ) A matriz hessiana tem ordem igual ao maior grau da função.
22-A que taxa está crescendo a área de um retângulo, em cm2/s, se seu comprimento é de 20 cm e está crescendo a uma taxa de 2 cm/s, enquanto que sua largura é de 10 cm e está crescendo a 1 cm/s?
Dado: Área do retângulo A(x, y) = x . y onde x é o comprimento e y é a largura.
( X ) A taxa de crescimento é 40 cm²/s.
( ) A taxa de crescimento é 80 cm²/s.
( ) A taxa de crescimento é 8 cm²/s.
( ) A taxa de crescimento é 24 cm²/s.
23-O diferencial total de uma função real de várias variáveis reais corresponde a uma combinação linear de diferenciais, cujos coeficientes compõem o gradiente da função. O que é realizado é a soma das derivadas parciais em cada direção dada na função de várias variáveis. Dada a função f(x,y) = 3x²y + 5xy², analise as sentenças a seguir:
I- O diferencial total de f é 6xy + 5xy. ERRADA
II- O diferencial total de f é 6xy² + 10xy. ERRADA
III- O diferencial total de f é 3x² + 5y² + 16xy. CORRETA
IV- O diferencial total de f é x² + y² + 8xy. ERRADA
24-A regra da cadeia é usada para derivar funções compostas. Considere a função de duas variáveis reais u(x,y) definida por duas funções de uma variável f(t) e g(t) que tem derivadas até a segunda ordem. Se u é dada por u(x, y) = 2f(2x - y) - 2g(2x + y), com a derivada de u em relação a y diferente de 0 para todo x e y.
( ) 5.
( ) 3.
( ) 2.
( X ) 4.
25-Uma das aplicações clássicas dentro da análise de integração é o cálculo de área. Neste sentido, leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
 
( ) A opção I está correta.
( ) A opção III está correta.
( ) A opção IV está correta.
( X ) A opção II está correta.
26-Calculando por integral dupla, a área da região limitada pelas curvas y=x² e y=4, obtemos:
( ) Área igual a 16 u.a.
( ) Área igual a 11/3 u.a.
( X ) Área igual a 32/3 u.a.
( ) Área igual a 20/3 u.a.
27-A função T(x,y) = 16x² + 32x + 40y² representa a temperatura em graus Celsius de uma placa de metal no plano cartesiano xy. Usando o teste da segunda derivada para funções de várias variáveis, assinale a alternativa CORRETA:
( ) A função temperatura T tem um ponto sela.
 ( ) A função temperatura T tem um ponto de mínimo e um ponto de máximo.
 ( X ) A função temperatura T tem um ponto de mínimo.
( ) A função temperatura T tem um ponto de máximo.
28-A integral dupla é um recurso matemático usado para calcular o volume sobre uma superfície. Considere a região R do plano como apresentado na figura. Qual é o volume do sólido compreendido entre a região pintada e a superfície?
 
( ) 0.
( ) 32.
( ) 64.
( X ) 16.
29-A vorticidade é uma grandeza física usada em mecânica dos fluidos e na meteorologia para medir a velocidade de rotação das partículas de um fluido num ponto, a vorticidade é um vetor. Para calcular a vorticidade, usamos a fórmula v = 0,5.rot(F), onde v é a vorticidade e rot(F) é o rotacional da função da forma F(x,y,z)=(f(x,y,z), g(x,y,z), h(x,y,z)). Dado o campo de velocidade F(x,y,z) =(2xy, 3yz, z²) qual é o vetor vorticidade no ponto (- 1, - 2, - 3), sabendo que:
 
( ) v = (- 3, 0 , - 1).
( ) v = (6, 0 , 2).
( X ) v = (3, 0, 1).
( ) v = (- 6, 0, - 2).
30-O cálculo de área de figuras irregulares também pode ser analisado pelo conceito de integral. Deste modo, leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
 
( ) A opção III está correta.
( ) A opção IV está correta.
( X ) A opção I está correta.
( ) A opção II está correta.
31-Leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
( ) O valor é 2.
( ) O valor é 7.
( ) O valor é 4.
( X ) O valor é 6.
32-O conceito e os processo de cálculo envolvem as derivadas parciais. Deste modo, leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
 
( X ) A opção IV está correta. 
( ) A opção II está correta. 
( ) A opção I está correta. 
( ) A opção III está correta
33-As curvas de nível são muito utilizadas em várias áreas, como na topografia, na análise de relevos. Observe o gráfico da função f(x,y) que está representado a seguir. Dentre as curvas de nível, identifique a que representa a superfície dada e assinale a alternativa CORRETA: 
 
( X ) A opção IV está correta. 
( ) A opção II está correta. 
( ) A opção I está correta. 
( ) A opção III está correta
34-Leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
 
( ) A opção IV está correta. 
( ) A opção II está correta. 
( ) A opção I está correta. 
( X ) A opção III está correta
35-Podemos representar o domínio de uma função pelo espaço no qual as pontes pertencem. Desta forma, assinale a alternativa que representa o gráfico do domínio da função a seguir:
 
( ) A opção IV está correta. 
( X ) A opção II está correta. 
( ) A opção I está correta. 
( ) A opção III está correta
36-As curvas de nível são chamadas desta forma porque normalmente a linha que resulta do estudo das altitudes de um terreno são em geral manifestadas em curvas. O gráfico da função f(x,y) está representado a seguir. Dentre as curvas de nível, identifique a que representa a superfície dada e assinale a alternativa CORRETA: 
 
( ) A opção IV está correta. 
( X ) A opção II está correta. 
( ) A opção I está correta. 
( ) A opção III está correta
37-As derivadas de ordem superior podem ser analisadas em situações práticas. Vamos a um exemplo. Leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
 
( ) A opção IV está correta. 
( ) A opção II está correta. 
( X ) A opção I está correta. 
( ) A opção III está correta
38-Em uma planta topográfica, curvas de nível caracterizam-se como linhas imaginárias que unem todos os pontos de igual altitude de uma região representada. O gráfico da função f(x,y) está representado a seguir. Dentre as curvas de nível, identifique a que representa a superfície dada e assinale a alternativa CORRETA: 
( ) A opção IV está correta. 
( ) A opção II está correta. 
( ) A opção I está correta. 
( X ) A opção III está correta
39-Definir de forma clara o domínio de uma função é de fundamental importância para que se possa fazer uma análisemais precisa do comportamento da mesma. Desta forma, determine o domínio para a função a seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
 
( ) A opção IV está correta. 
( ) A opção II está correta. 
( X ) A opção I está correta. 
( ) A opção III está correta
40-Domínio e imagem são conceitos importantes na análise de funções. O primeiro se refere ao conjunto de saída, enquanto que o segundo é o conjunto de chegada. Neste sentido, determine o domínio para a função a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
 
( ) A opção IV está correta. 
(X ) A opção II está correta. 
( ) A opção I está correta. 
( ) A opção III está correta
41-Calculando a área da região limitada pelas curvas y = 9 - x² e y = 0, obteremos: 
( ) Área igual a 27 u.a. 
( ) Área igual a 32 u.a. 
( X ) Área igual a 36 u.a. 
( ) Área igual a 24 u.a.
42-As funções delimitam os espaços que serão analisados pelo conceito de integral. Deste modo, calcule a área da região limitada pelas funções y = x, y = 3x e x + y = 4. 
( ) Área = 0. 
( X ) Área = 2. 
( ) Área = 1. 
( ) Área = 3.
43-As integrais duplas podem ser aplicadas em cálculos de área ou volume, dentre outras aplicações. Deste modo, leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
 
( X ) A opção IV está correta. 
( ) A opção II está correta. 
( ) A opção I está correta. 
( ) A opção III está correta