Apostila07

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Sumário 
1. Teoria dos Erros ........................................................................................................... 03 
2. Representação de Números no Computador ............................................................... 04 
2.1. Representação de Números Inteiros ..................................................................... 05 
2.2. Representação de Números Fracionários ............................................................. 06 
3. Aritmética de Ponto Fixo ............................................................................................... 07 
4. Aritmética de Ponto Flutuante ...................................................................................... 07 
4.1. Erro Absoluto e Relativo ........................................................................................ 09 
4.2. Arredondamento e Truncamento .......................................................................... 09 
5. Zeros de Funções Reais ............................................................................................... 11 
5.1. Isolamento das Raízes ...........................................................................................13 
5.2. Refinamento .......................................................................................................... 15 
5.3. Critérios de Parada ............................................................................................... 15 
5.4. Métodos Numéricos .............................................................................................. 16 
5.4.1. Método da Bissecção ................................................................................... 16 
5.4.2. Método das Cordas ou Posição Falsa .......................................................... 18 
5.4.3. Método de Newton ou Newton- Raphson ..................................................... 21 
5.4.4. Método da Secante …………………………………….....................…………. 25 
6. Sistemas Lineares ………………………………………………..................….………….. 26 
6.1. Classificação de um Sistema Linear ………………………...................…………… 27 
6.2. Sistemas Triangulares ……………………………………...................……………… 29 
6.3. Método de Eliminação de Gauss ………………………..................……………….. 29 
6.4. Cálculo de Determinantes ………………………………..................……………….. 32 
6.5. Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial ……….................… 33 
6.6. Método Iterativo de Gauss-Seidel ……………………………..................……….… 34 
7. Interpolação Polinomial ……………………………………………..................………….. 36 
7.1. Existência e Unicidade do Polinômio Interpolador ………..................…………….. 37 
7.2. Formas de se Obter )(xpn ………………….................................………..……… 38 
7.2.1. Resolução do Sistema Linear ....................................................................... 38 
7.2.2. Polinômio Interpolador de Lagrange ............................................................ 39 
7.2.3. Polinômio Interpolador na Forma de Newton ............................................... 41 
8. Integração Numérica .................................................................................................... 42 
8.1. Formulas de Newton-Cotes ................................................................................... 44 
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8.1.1. Regra do Trapézio Simples .......................................................................... 44 
8.1.2. Regra do Trapézio Composto ...................................................................... 46 
8.1.3. 1º Regra de Simpson ou Simpson 1/3 Simples ............................................ 48 
8.1.4. 1º Regra de Simpson Composta ou Simpson 1/3 
Composto ......................................................................................................... 51 
9. Ajuste de Curvas .......................................................................................................... 52 
9.1. Método dos Mínimos Quadrados – Ajuste Linear ................................................. 52 
 
 Listas de Exercícios .......................................................................................................... 57 
 1º Lista de Exercícios .................................................................................................. 58 
 2º Lista de Exercícios .................................................................................................. 60 
 3º Lista de Exercícios .................................................................................................. 62 
 4º Lista de Exercícios .................................................................................................. 66 
 5º Lista de Exercícios ................................................................................................. 69 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Teoria dos Erros 
Estudaremos métodos numéricos para a resolução de problemas que surgem nas mais 
diversas áreas. 
A resolução de tais problemas envolve várias fases que podem ser assim estruturadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em uma primeira etapa temos que obter um modelo matemático que representa de 
maneira mais conveniente o problema que queremos estudar. Construído o modelo 
matemático do problema, na segunda etapa procuramos encontrar a solução. Muitas 
vezes não é possível encontrar a solução exata do problema, nessa situação aplicamos 
alguns métodos numéricos para obtermos a solução numérica do modelo matemático. A 
solução numérica de um problema tem como característica marcante à aproximação. 
Um método numérico da origem a processos numéricos (algoritmos), pelos quais uma 
solução numérica é calculada, após a execução de um número finito de operações 
elementares. 
Uma solução numérica é tanto mais precisa quanto mais próxima estiver da solução 
exata, isto é, quanto menor for o erro que lhe estiver associado. 
A solução obtida pelo processo numérico pode diferir da solução do problema real. 
Nesse caso, as fontes de erro que levam a essa diferença são: 
Problema 
Real
Levantamento 
de dados
Construção do 
Modelo 
Matemático
Escolha do Método 
Numérico 
Adequado
Implementação 
deste Método
Análise dos 
Resultados 
Obtidos
Se Necessário: 
Reformular o Modelo 
Matemático e/ou 
Escolher Novo 
Método Numérico
Problema 
Real
Levantamento 
de dados
Construção do 
Modelo 
Matemático
Escolha do Método 
Numérico 
Adequado
Implementação 
deste Método
Análise dos 
Resultados 
Obtidos
Se Necessário: 
Reformular o Modelo 
Matemático e/ou 
Escolher Novo 
Método Numérico
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1. Simplificações no modelo matemático: Este erro se deve ao fato que temos 
introduzido simplificações na construção do modelo matemático para tornar o 
problema físico solúvel. Por exemplo, para calcular o período de um pêndulo, 
desprezamos sua massa. 
 
2. Erro de Truncamento: Quando um modelo matemático envolve, por exemplo, a 
avaliação de uma série infinita, cometemos erro de truncamento ao avaliar esta 
série utilizando um número finito de termos. O erro de truncamento é inerente ao 
processo numérico; este tipo de erro subsistiria ainda que todas as operações 
aritméticas fossem executadas exatamente, isto é, ainda que não existisse o erro de 
arredondamento. 
Exemplo: 
�
∞
=
=
0 !n
n
x
n
x
e
 
 
3. Erro de Arredondamento: Todos os instrumentos de auxilio na execução de 
métodos numéricos (computador, máquina de calcular,etc) trabalham com a 
representação dos números na forma decimal, com uma quantidade fixa de 
algarismos significativos. Entretanto, o resultado de uma operação aritmética 
qualquer não pode ser representado necessariamente desta forma, obrigando o seu 
arredondamento. Esses erros podem danificar os resultados quando temos um 
número grande de operações. 
 
4. Erros nos dados: Freqüentemente os dados são obtidos através de medidas 
experimentais, portanto, sujeitos a imprecisões. Além disso, os erros nos dados 
podem ser ocasionados pela necessidade de se arredondar um dado de entrada. 
 
2. Representação de Números no Computador 
Na vida cotidiana usamos números tomando como base um sistema de 
posicionamento na base 10 (sistema decimal), nesse sistema o número 327.302 significa 
321012 10.210.010.310.710.210.3 −−− +++++
. 
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Os cálculos no computador são efetuados com base nos impulsos enviados por 
componentes elétricas, logo dois estados podem ocorrer: on” – na presença de corrente e 
“off” – na ausência de corrente. Dessa forma torna-se conveniente representar os 
números nos computadores usando o sistema binário, de base 2, visto que na base 2 
somente dígitos ‘0’ e ‘1’ são utilizados. Nesse sistema qualquer número pode ser expresso 
por uma combinação de zeros e uns. 
 
2.1. Representação de Números Inteiros 
Um número inteiro não negativo N será representado no sistema binário por: 
)...( 011 aaaaN nn −= 
0
0
1
1
1
1 2.2....2.2. aaaaN
n
n
n
n ++++=
−
−
 
onde os coeficientes 1=na e 0121 ,,, aaaa nn −− são ‘0’ ou ‘1’. 
A conversão de um número do sistema binário para o sistema decimal pode ser 
efetuada a partir da definição acima. 
Exemplos: 
1) =2)11( 
2) =2)1101( 
3) =2)11011( 
4) =2)101010( 
 
A conversão de um inteiro do sistema decimal para o sistema binário é obtida pelo 
método das divisões sucessivas que consiste em dividirmos o número por dois, em 
seguida, o resultado da divisão é novamente dividido por dois, seguimos esse 
procedimento sucessivas vezes até que o quociente 1 seja encontrado. 
Exemplos: 
1) =2)17( 
 
2) =2)22( 
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2.2. Representação de Números Fracionários 
Se um número real X tem parte inteira Xi e parte fracionária Xf então, X pode ser escrito 
como X=Xi+Xf. 
A parte fracionária Xf pode ser escrita como fração binária da seguinte forma: 
n
nf bbbX
−−− +++= 2....2.2. 22
1
1 , 
onde 0=jb ou 1, j∀ . 
Assim, o número real X será representado juntando as partes Xi e Xf, ou seja: 
).......()( 210112 nnn bbbaaaaX −= 
A conversão de um número fracionário do sistema binário para o sistema decimal pode 
ser efetuada como segue: 
Exemplos: 
1) =2)01,0( 
2) =2)1,0( 
3) =2)101,0( 
A conversão de um número fracionário do sistema decimal para o sistema binário pode 
ser efetuada da seguinte forma: 
Exemplos: 
1) X=20,6875 
 
2) X=0,6 
 
Observação: No item b) do exemplo acima observamos que a parte fracionária 0,2 se 
repetiu, o que implica que os próximos cálculos serão os mesmos que obtidos a partir de 
0,2. Assim, o número fracionário 0,6 na base 10 não tem representação finita na base 2. 
Isto ocorre em muito outros números fracionários implicando em “erros”. 
Embora o sistema binário tenha uma série de vantagens para a utilização em sistemas 
digitais, também apresenta algumas desvantagens. Uma das desvantagens de 
representarmos os números decimais em binário é que a representação binária requer um 
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número maior de bites para representação, ou seja, requer mais espaço físico para 
armazenar o mesmo número. 
Por exemplo o número 10
12
2 )4096(2)0001000000000( == necessita de 13 dígitos 
binários para representar o número equivalente em decimal, o qual é escrito com apenas 4 
dígitos. 
 
3. Aritmética de Ponto Fixo 
Os primeiros computadores empregavam uma representação dos números chamada 
de representação de ponto fixo, em que, para cada operação, o usuário tinha que 
especificar quantos dígitos deveriam ser usados para representar as partes inteiras e 
fracionárias de um número real. 
Assim, dado um número real, 0≠x , ele será representado em ponto fixo por: 
�
=
−±=
n
ki
i
ixx β
 
onde k e n são inteiros satisfazendo nk < e usualmente 0≤k e 0>n e os ix são 
inteiros satisfazendo β≤≤ ix0 . 
Por exemplo, na base 10=β , o número 1997,16 é representado por 
210123
2
3
10.610.110.710.910.910.116,1997 −−
−=
− +++++==�
i
i
ix β
 
 
4. Aritmética de Ponto Flutuante 
Em geral calculadoras e computadores usam o sistema computacional de aritmética de 
ponto flutuante em cálculos científicos. 
A representação de um número em ponto flutuante, que é mais flexível que a 
representação em ponto fixo, é universalmente utilizada nos dias atuais. 
Um número X qualquer pode ser representado em aritmética de ponto flutuante na 
base β como: 
e
tdddxfl β)....(.)( 21±= 
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onde: 
� β é a base em que a máquina opera; 
� )...(. 21 tddd formam a mantissa do número e representa seus t dígitos 
significativos, com 10 −≤≤ βid , ti ,...,1= 01 ≠d . 
� e é o expoente que varia no intervalo [-N,N], para algum N>0, sendo que estes 
limites dependem da máquina utilizada. 
 
Observações: 
� Um número X na representação de ponto flutuante é dito normalizado quando o 
dígito 1d de sua mantissa é tal que 01 ≠d . 
� O número t de dígitos significativos do sistema de ponto flutuante corresponde à 
precisão da máquina. 
� O número zero pertence a qualquer sistema e é representado com mantissa igual a 
zero e com o menor expoente possível na máquina. 
 
Dado um número real X sua representação em aritmética de ponto flutuante de t dígitos 
é obtida através de truncamento ou de arredondamento. Esse número não poderá ser 
representado neste sistema se o expoente e estiver fora do intervalo [-N,N]. Neste caso, 
ocorre os erros de “underflow” se Ne −< e “overflow” se Ne > . 
A união de todos os números em ponto flutuante, incluindo o zero, normalizados, na 
base β , com t dígitos significativos e com limites de expoente –N e N, é denominado de 
sistema de ponto flutuante da máquina e denotaremos por ),,,( NNtF −β . 
Consideremos, por exemplo, uma máquina que opera no sistema )5,5,3,10( −F . Os 
números serão representados na seguinte forma nesse sistema: eddd 10..0 321 , 
90 ≤≤ id , 01 ≠d , ]5,5[−∈e . O menor número, em valor absoluto, representado 
nesta máquina é: 
65 1010.100,0 −− ==m
 
e o maior número, em valor absoluto é: 
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��
9990010.999,0 5 ==M
. 
De forma geral, para um sistema de ponto flutuante normalizado ),,,( NNtF −β , o 
menor número em valor absoluto é determinado por: 
Nm −= β.1,0
 
e o maior número representável é determinado por: 
.).1)...(1)(1(,0 NM ββββ −−−=
 
Algumas linguagens de programação permitem que as variáveis sejam declaradas com 
precisão dupla. Neste caso, esta variável será representada no sistema de aritmética de 
ponto flutuante da máquina, mas com aproximadamente o dobro de dígitos disponíveis na 
mantissa, permitindo maior precisão e um intervalo maior de representatividade dos 
números. É importante observar que, neste caso, o tempo de execução e requerimentos 
de memória aumentam de forma significativa. 
 
4.1. Erro Absoluto e Relativo 
Definimos como Erro Absoluto a diferença entre o valor exato de um número X e de 
seu valor aproximado *X ; ou seja: 
**)( XXXEA −=
. 
O Erro Relativo é definido como o erro absoluto dividido pelo valor aproximado: 
*
*
*
*)(
*)(
X
XX
X
XEAXER
−
==
.4.2. Arredondamento e Truncamento 
Sabemos que qualquer número real X pode ser representado na forma normalizada 
como: 
e
ttddddX β)....(. 121 +±= . 
No truncamento a mantissa é obtida mantendo-se os t primeiros dígitos decimais, isto 
é, 
e
tdddXfl β)....(.)( 21±= . 
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���
Se X for obtido por arredondamento então o valor 
)1(
.
2
1 +− teββ
 é adicionado a X e 
então faz-se o truncamento, isto é, se 51 ≥+td somamos 1 a td e truncamos. Se 
51 <+td somente truncamento é efetuado. 
Assim, arredondar um número X, por outro com um número menor de dígitos 
significativos, consiste em encontrar um número *X , pertencente ao sistema de 
numeração, tal que *XX − seja o menor possível. 
Em geral, seja 
e
ttt aaaaaX β)....(. 2121 ++±= . 
Então se um computador trabalha com t casas decimais na base β , a representação 
de X em ponto flutuante é: 
�
�
�
��
�
�
>>+±
<<±
==
+
+
2
,)].1...00()...[(
2
0,)....(
*)(
121
121
βββ
ββ
n
e
n
n
e
n
aseaaa
aseaaa
XXfl
 
onde t−= β)1...000( . 
O erro absoluto nessa representação é: 
,...).0...00(* 21 enn
tzeros
aaXX β++±=− ��� se 21
β
<+na 
te
nn aaXX
−
++±=− β...).(* 21 
logo, 
tete
nn aaXX
−−
++ <±=− ββ 2
1
...).(* 21 . 
Assim: 
teXEA −< β
2
1
*)(
. 
Para o erro relativo temos: 
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���
t
e
tete
aaXX
XX
XER −
−−
<<<
−
= ββ
ββ
2
1
...).(.
2
1
2
1
*
*
*)(
21
 
ou seja: 
tXER −< β
2
1
*)(
. 
Exemplo: Dar a representação dos números a seguir no sistema de aritmética de ponto 
flutuante )4,4,3,10( −F . 
X Representação 
Arredondamento 
Representação 
Truncamento 
1,25 
10,053 
-238,16 
2,71828... 
0,000007 
718235,82 
28,23699 
1025,2120 
0,000000089 
56239874,95 
 
5. Zeros de Funções Reais 
A solução de muitos problemas nas mais diversas áreas das ciências exatas requer a 
resolução de diversos tipos de equações. Dentre elas, há o interesse particular na 
determinação da solução de equações da forma 0)( =xf , onde )(xf é uma função 
definida em um certo intervalo. 
Um número real z é um zero da função )(xf ou uma raiz da equação 0)( =xf se 
0)( =zf . 
Em alguns casos, as raízes das equações 0)( =xf podem ser reais ou complexas. 
Estudaremos somente métodos para determinação das raízes reais. 
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���
z1
z2
x
f(x)
(c)
z3z1
z2
x
f(x)
(c)
z3
Graficamente, as raízes são representadas pelas abscissas dos pontos onde uma 
curva intercepta o eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que, para algumas equações, como, por exemplo, as equações polinomiais 
de grau menor ou igual a 4, existem métodos diretos que fornecem todas as raízes. No 
entanto, no caso de polinômios de grau mais alto e no caso de funções mais complicadas, 
é praticamente impossível determinar as raízes exatamente. Nestes casos precisamos 
recorrer a métodos numéricos. 
A idéia central destes métodos é partir de uma aproximação inicial para a raiz e em 
seguida refinar essa aproximação através de um processo iterativo. 
Para encontrarmos numericamente a raiz de uma equação, duas etapas devem ser 
seguidas: 
� Isolamento: Determinar um intervalo [a,b], o menor possível, que contenha uma 
raiz da equação 0)( =xf . 
z1 z2
x
f(x) f(x)
xz1 z2 z3
(a) (b)
z1 z2
x
f(x) f(x)
xz1 z2 z3
f(x)
xz1 z2 z3
(a) (b)
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� Refinamento: Escolhidas aproximações iniciais no intervalo encontrado na 1º 
etapa melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz 
com uma precisão prefixada. 
 
5.1. Isolamento das Raízes 
Nesta etapa é feita uma análise teórica e gráfica da função )(xf . É importante 
ressaltar que o sucesso da 2º etapa depende fortemente da precisão desta análise. 
Na análise teórica de raízes reais através do gráfico, usamos freqüentemente o 
teorema de Bolzano a seguir. 
Teorema Seja )(xf uma função contínua que assume valores de sinais opostos nos 
extremos do intervalo [a,b], isto é, 0)().( <bfaf . Então existe pelo menos um ponto 
zx =
 entre a e b tal que 0)( =zf . 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Se a derivada )(' xf existir e preservar sinal em (a,b) então este intervalo 
contém uma única raiz z de )(xf . 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x)
xz1 z2 z3
z x
f(x)
a
b
a
b
f(x)
xz1 z2 z3
z x
f(x)
a
b
a
b
],[,0)(' baxxf ∈∀>
f(x)
xzz
x
f(x)
a
b a
ba
],[,0)(' baxxf ∈∀<],[,0)(' baxxf ∈∀>
f(x)
xzz
x
f(x)
a
b a
ba
],[,0)(' baxxf ∈∀<
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Uma forma de se isolar as raízes de )(xf usando os resultados anteriores é tabelar 
)(xf
 para vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de )(xf e o sinal da 
derivada nos intervalos em que )(xf mudou de sinal. 
 
Exemplos: Encontrar um intervalo que contenha cada uma das raízes de )(xf utilizando 
o Teorema 1 e o sinal de )(' xf . 
1) 39)( 3 +−= xxxf 
 
2) xexxf −−= 5)( 
 
A análise gráfica da função )(xf ou da equação 0)( =xf é fundamental para se obter 
boas aproximações para a raiz. 
Para tanto, é suficiente utilizar um dos seguintes processos: 
i. Esboçar o gráfico da função )(xf e localizar as abscissas dos pontos onde a 
curva intercepta o eixo x; 
ii. A partir da equação 0)( =xf , obter a equação equivalente )()( xhxg = , esboçar 
os gráficos das funções )(xg e )(xh no mesmo eixo cartesiano e localizar os 
pontos x onde as duas curvas se interceptam, pois neste caso 
)()(0)( zhzgzf =⇔= . 
 
Exemplos: Encontrar um intervalo que contenha cada uma das raízes de )(xf utilizando 
um método gráfico. 
1. 39)( 3 +−= xxxf 
 
2. xexxf −−= 5)( 
 
3. 1log)( −= xxxf 
 
4. xxxf 4,02log5)( +−= 
 
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5.2. Refinamento 
Todos os métodos que estudaremos para encontrar a solução de uma equação 
pertencem à classe dos métodos iterativos. Um método iterativo consiste em uma 
seqüência de instruções que são executadas passo a passo, algumas das quais são 
repetidas em ciclos. 
A execução de um ciclo recebe o nome de iteração. Cada iteração utiliza resultados 
das iterações anteriores e efetua determinados testes que permitem verificar se foi atingido 
um resultado “próximo” do esperado. 
Para aplicar qualquer método iterativo devemos ter sempre uma idéia sobre a 
localização da raiz a ser determinada. Essa localização é obtida, como vimos 
anteriormente, através de gráficos ou do teorema 1. A partir da localização da raiz, 
escolhemos então 0x como uma aproximação inicial para a raiz z de 0)( =xf . Com essa 
aproximação inicial e um método iterativo, refinamos a solução até obtê-la com uma 
determinada precisão (número de casas decimais corretas). 
 
5.3. Critérios de Parada 
Todos os métodos iterativos necessita realizar um teste para verificar quão próximo a 
raiz aproximada z está da raiz exata de )(xf . Para realizarmos tal teste devemos antes 
determinar uma precisão ε pré-fixada que normalmente escolhemos com sendo m−10 
onde m é o número de casa decimais que queremos corretas no resultado. 
Para obtermos uma raiz z com uma determinada precisão ε devemos realizar durante 
o processo iterativo um dos seguintes teste: 
 I) ε<− xz ou se 
 II) ε<)(zf 
Apesar de utilizarmos como teste de parada o fato de ε<)(zf , é preciso ter muito 
cuidado pois a menos que se tenha uma idéia muito clarado comportamento da função o 
fato desse teste ser satisfeito não implica necessariamente que z esteja próximo da raiz 
procurada, como pode ser observado no seguinte exemplo: considere 0ln)( 3 == − xxxf , 
onde a única raiz é 1=z . Calculando )(xf para x=2, 4, 8, 16, 32, .... obtemos, 
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respectivamente: 0,0866; 0,0217; 0,00406; 0,0006769; 0,0001058; ... isto é, quanto mais 
longe estamos de z, menor é o valor de )(xf . 
Com o teste ε<− xz , também devemos ter cuidado, pois se os números x e z forem 
muito grandes e ε for muito pequeno, pode não ser possível calcular a raiz com uma 
precisão tão exigente. Como por exemplo, se resolvermos a equação 
0)2000)(1()( =−−= xxxf
 com 
410−=ε
 usando esse critério de parada, verificaremos 
que o número de iterações necessárias para encontramos a raiz é muito grande. E isso 
ocorre porque a raiz que estamos procurando tem módulo grande e portanto é muito difícil 
tornar a diferença acima menor que ε . 
 
Observação: Em programas computacionais, além do teste de parada usado para cada 
método, deve-se ter o cuidado de estipular um número máximo de iterações para se evitar 
que o programa entre em “looping” devido a erros no próprio programa ou à inadequação 
do método usado para o problema em questão. 
 
5.4. Métodos Numéricos 
5.4.1. Método da Bissecção 
Seja f(x) uma função contínua em um certo intervalo [a,b], com a<b, e tal que 
f(a).f(b)<0. Vamos supor que no intervalo [a,b] existe uma única raiz da equação f(x)=0. 
O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até se 
atingir a precisão requerida, ε<− )( ab , ou seja até uma certa quantidade de iterações, 
usando para isto sucessivas divisões de [a,b] ao meio. 
Inicialmente, dividimos o intervalo [a,b] ao meio para determinar a possível raiz 
aproximada, ou seja: 
20
ba
x
+
=
 
Se 0)( 0 =xf , então x0 é uma raiz. Caso contrário, verificamos se: 
f(a).f(x0)<0 
ou 
f(x0).f(b)<0. 
����������	
����� 
�������������
 
���
a
bz x
f(x)
a
bz x
f(x)
Se a 1º condição for satisfeita, a raiz ],[ 0xaz ∈ e então tomamos b=x0; se a 2º 
condição for satisfeita, então a raiz ],[ 0 bxz ∈ e então tomamos a=x0. 
O processo é repetido até que seja obtida uma aproximação para a raiz exata z, com 
uma tolerância ε desejada. 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As iterações são realizadas da seguinte forma: 
2
00
0
ba
x
+
=
 
�
�
�
�
�
=
=
∈
�
�
�
�
�
�
>
>
<
01
01
00
0
0
0 ),(
0)(
0)(
0)(
xb
aa
xaz
xf
bf
af
 
2
11
1
ba
x
+
=
 
�
�
�
�
�
=
=
∈
�
�
�
�
�
�
>
>
<
12
12
11
1
1
1 ),(
0)(
0)(
0)(
bb
xa
bxz
xf
bf
af
 
2
22
2
ba
x
+
=
 
�
�
�
�
�
=
=
∈
�
�
�
�
�
�
>
>
<
23
23
22
2
2
2 ),(
0)(
0)(
0)(
bb
xa
bxz
xf
bf
af
 
Exemplos: Encontrar as raízes das equações abaixo pelo método da bissecção. 
1) 210,01log −==− εxx ; 
2) 210,0ln −− ==− εxe x . 
 
 
 
����������	
����� 
�������������
 
���
a
bz x
f(x)
a
bz x
f(x)
5.4.2. Método das Cordas ou Posição Falsa 
Se f(x) uma função contínua com sua derivada de segunda ordem constante no 
intervalo [a,b] e tal que f(a).f(b)<0. 
Supondo que o intervalo (a,b) contém uma única raiz da equação f(x)=0. Neste método 
tomamos a reta secante que passa pelos pontos a e b, e onde ela cruza o eixo x temos a 
raiz aproximada z. 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Devemos observar que neste método apenas um dos extremos a ou b, se move. O 
ponto móvel é o ponto para o qual a função f(x) apresenta sinal contrário ao da segunda 
derivada f’’(x). 
Analisando os sinais de f(x) e f’’(x) podemos ter apenas quatro situações distintas. 
 
Caso I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a
bz x
f(x)
a
bz x
f(x)
����������	
����� 
�������������
 
���
Caso II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a
b
z
x
f(x)
a
b
z
x
f(x)
a
b
z
x
f(x)
a
b
z
x
f(x)
����������	
����� 
�������������
 
���
Caso IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação da reta secante é determinada da seguinte forma: 
)( 00 xxmyy −=− 
onde 
01
01
xx
yy
m
−
−
=
 
Considerando que ))(,(),( 00 afayx = e ))(,(),( 11 bfbyx = , temos: 
ab
afbf
m
−
−
=
)()(
 
No ponto onde a reta secante corta o eixo x temos y=0, logo: 
xafbfbafabf
aafbafxafbfaafabf
ax
ab
afbf
af
xxmy
)]()([)()(
)()()]()([)()(
)()()()(
)(0 00
−=+−
+−−=+−
−
−
−
=−
−=−
 
)()(
)()(
afbf
abfbaf
x
−
−
=
 
a
bz x
f(x)
a
bz x
f(x)
����������	
����� 
�������������
 
���
O critério de parada que utilizaremos nesse método é ε<)(xf . 
 
Exemplos: Encontrar as raízes das equações abaixo pelo método da posição falsa. 
1) 610,01log −==− εxx ; 
 
2) 610,0ln −− ==− εxe x . 
 
5.4.3. Método de Newton ou Newton – Raphson 
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] com f’(x) e f’’(x) também contínuas com 
0)(' ≠xf
 e z a única raiz da equação f(x)=0 no intervalo dado. 
Geometricamente, o processo de Newton – Raphson parece com o método das cordas 
só que agora temos, em vez de cordas, as retas tangentes, conforme podemos verificar 
nas figuras abaixo. 
O ponto no qual traçamos a reta tangente, ou seja, o ponto de tangência é o ponto para 
o qual f(x) apresenta mesmo sinal de f’’(x). 
 Analisando os sinais de f(x) e f’’(x) podemos ter apenas quatro situações distintas. 
Caso I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a
bz x
f(x)
a
bz x
f(x)
����������	
����� 
�������������
 
���
 
Caso II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a
b
z
x
f(x)
a
b
z
x
f(x)
a
b
z
x
f(x)
a
b
z
x
f(x)
����������	
����� 
�������������
 
���
Caso IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando a figura do Caso I, observando que a tangente do ângulo α é dada por: 
)('
)(
)('
)(
)()(')(
)(')(
0
0
0
0
bf
bfbx
bf
bf
xb
bfbfxb
bf
xb
bf
tg
+−=−
=−
=−
=
−
=α
 
)('
)(
0 bf
bfbx −=
 
 
Considerando o ângulo β temos: 
a
bz x
f(x)
a
bz x
f(x)
����������	
����� 
�������������
 
���
)('
)(
)('
)(
)()(')(
)(')(
0
0
01
0
0
10
0010
0
10
0
xf
xf
xx
xf
xf
xx
xfxfxx
xf
xx
xf
tg
+−=−
=−
=−
=
−
=β
 
)('
)(
0
0
01
xf
xf
xx −=
 
Generalizando temos: 
 )('
)(
1
1
1
−
−
−
−=
k
k
kk
xf
xf
xx
, ,...3,2,1=k 
Uma vantagem do método de Newton é que sua convergência é quadrática, isto 
significa que a quantidade de dígitos significativos corretos duplica à medida que os 
valores de kx se aproxima de z. Mas esse fato não acontece nas primeiras iterações. 
A desvantagem do método de Newton está no fato de termos que calcular a derivada 
da função e em cada iteração calcular o seu valor numérico, o que pode ser muito caro 
computacionalmente. Além disso, a função pode não ser diferenciável em algunspontos 
do domínio. 
O critério de parada que utilizaremos nesse método é ε<)(xf . 
Exemplos: 
1. Determinar as raízes das equações abaixo utilizando o método de Newton. 
a. 
610,01log −==− εxx ; 
b. 610,0logsen −==− εxx . 
 
 
 
 
 
����������	
����� 
�������������
 
���
5.4.4. Método da Secante 
Como foi observado anteriormente, uma grande desvantagem do método de Newton é 
a necessidade de se obter f’(x) e calcular seu valor numérico a cada iteração. 
Há várias maneiras de modificar o método de Newton a fim de eliminar essa 
desvantagem. Uma forma é substituir a derivada f’(x) pelo quociente das diferenças: 
1
1)()()('
−
−
−
−
≈
kk
kk
xx
xfxf
xf
 
onde xk e xk-1 são duas aproximações para a raiz. 
Substituindo a equação acima no método de Newton, temos: 
)()(
))((
)()(
)(
)('
)(
)('
)(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
−
+
−
−
+
+
−
−
−
−
−
−=
−
−
−=
−=
−=
kk
kkk
kk
kk
kk
k
kk
k
k
kk
k
k
kk
xfxf
xxxf
xx
xx
xfxf
xf
xx
xf
xf
xx
xf
xf
xx
 
ou ainda: 
)()(
)()()()(
1
11
1
−
−−
+
−
+−−
=
kk
kkkkkkkk
k
xfxf
xxfxxfxfxxxf
x
 
)()(
)()(
1
11
1
−
−−
+
−
−
=
kk
kkkk
k
xfxf
xfxxfx
x
 
Observemos que são necessárias duas aproximações, x0 e x1, para se iniciar o método. 
O critério de parada que utilizaremos é ε<)(xf . 
Exemplos: Encontrar as raízes das equações abaixo utilizando o método das secantes. 
1. 610,01log −==− εxx 
 
����������	
����� 
�������������
 
���
2. 610,0logsen −==− εxx 
 
3. A raiz positiva de 610,05 −− ==− εxex 
 
6. Sistemas Lineares 
A resolução de sistemas lineares é um problema que surge nas mais diversas áreas. 
Na área de Engenharia, por exemplo, existe uma variedade de problemas que podem ser 
resolvidos através da análise linear, entre eles podemos citar: determinação de potencial 
em redes elétricas, cálculo da tensão na estrutura metálica da construção civil, etc. O 
problema matemático nesses casos se reduz a resolver um sistema de equações 
simultâneas. 
A solução de um conjunto de equações é muito mais difícil quando as equações são 
não lineares, entretanto, a maioria das aplicações envolve somente equações lineares. 
Uma equação é linear se cada termo contém não mais do que uma variável e cada 
variável aparece na primeira potência. Por exemplo, 31043 −=−+ zyx é linear, mas 
33 −=− zxy
 e 03 =−+ zyx não é linear. 
Um sistema com n equações e n variáveis (incógnitas) é escrito usualmente, na forma: 
�
�
�
�
�
�
�
=+++
=+++
=+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
�
����
�
�
2211
22222121
11212111
 
onde 
ija : coeficientes i,j=1, ..., n 
 jx : variáveis j=1,..., n 
 ib : constantes i=1, ..., n. 
A resolução de um sistema linear consiste em calcular os valores de jx , (j=1, ..., n), 
caso eles existam, que satisfaçam as n equações simultaneamente. 
Usando a notação matricial, o sistema linear pode ser representado como segue: 
����������	
����� 
�������������
 
���
,
2
1
2
1
21
22221
11211
�
�
�
�
�
�
	
�
�
=
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
nnnnnn
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
��
�
����
�
�
 
ou simplesmente 
Ax=b, 
Onde A é a matriz dos coeficientes, b é o vetor do termo independente e x é a solução. 
 
6.1. Classificação de um sistema Linear 
A classificação de um sistema linear é feita em função do número de soluções que ele 
admite, da seguinte maneira: 
� Sistema Possível e determinado: é todo sistema que admite uma única solução. 
Exemplo: 
 
�
�
�
=−
=+
2
6
yx
yx
 
 Representação geométrica: 
 
 
 
 
 
 
� Sistema Possível e indeterminado: é todo sistema que possui mais de uma 
solução. 
Exemplo: 
 �
�
�
=+
=+
222
1
yx
yx
 
Representação geométrica: 
 
 
2 4 6
2
4
6
x+y=6
x-y=2
2 4 6
2
4
6
x+y=6
x-y=2
����������	
����� 
�������������
 
���
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Sistema Impossível: é todo sistema que não admite solução. 
Exemplo: 
 �
�
�
=+
=+
4
1
yx
yx
 
Representação geométrica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nosso objetivo será o de desenvolver métodos numéricos para resolver sistemas 
lineares de ordem n, que tenham solução única. Observe que tais sistemas são aqueles 
onde a matriz dos coeficientes é não singular, isto é, 0)det( ≠A . 
Métodos Numéricos para a solução de sistemas de equações lineares são divididos 
principalmente em dois grupos: 
� Métodos Exatos: são aqueles que forneceriam a solução exata, se não fossem os 
erros de arredondamento, com um número finito de operações. 
1 2
1
2
x+y=1
2x+2y=2
1 2
1
2
x+y=1
2x+2y=2
4
4
x+y=1
x+y=4
4
4
x+y=1
x+y=4
����������	
����� 
�������������
 
���
� Métodos Iterativos: são aqueles que permitem obter a solução de um sistema com 
uma dada precisão através de um processo infinito convergente. 
 
Definição: Dois sistemas lineares são equivalentes quando admitem a mesma solução 
 
Com base na definição acima, não fica difícil deduzir que uma maneira de obter a 
solução de um sistema linear através de métodos numéricos é transformá-lo em outro 
equivalente cuja solução seja facilmente obtida. Em geral, nos métodos exatos 
transformamos o sistema original num sistema equivalente, cuja solução é obtida 
resolvendo-se sistemas triangulares. 
 
6.2. Sistemas Triangulares 
Um sistema linear Ax=b é dito triangular superior se a matriz A for triangular superior, 
isto é, aij=0 para i>j. Neste caso, tal sistema terá o seguinte aspecto: 
�
�
�
�
�
�
�
=
=++
=+++
nnnn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
��
�
�
22222
11212111
 
Assim, a solução de um sistema triangular superior é obtida por retro-substituição, isto 
é, determinamos o valor de xn na última equação; substituímos esse valor na penúltima 
equação e determinamos o valor de xn-1 e assim por diante. 
 
6.3. Método de Eliminação de Gauss 
O método consiste em transformar convenientemente o sistema linear original em um 
sistema triangular equivalente através de uma seqüência de operações elementares sobre 
as linhas do sistema original, isto é, o sistema equivalente é obtido através da aplicação 
repetida da operação “substituir uma equação pela diferença entre essa mesma equação e 
uma outra equação multiplicada por uma constante diferente de zero”. 
É claro que tal operação não altera a solução do sistema, isto é, obtêm-se com ela 
outro sistema equivalente ao original. O objetivo é organizar essa seqüência de operações 
de tal forma que o sistema linear resultante seja triangular superior. 
����������	
����� 
�������������
 
���
Usaremos a notação 
)(k
ija para denotar o coeficiente da linha i e coluna j no final do k-
ésimo passo, bem como 
)(k
ib será o i-ésimo elemento do vetor constante no final do 
passo k. 
Em primeiro lugar montamos a matriz aumentada: 
 
,
|
|
|
|
)0(
)0(
2
)0(
1
)0()0()0(
)0()0()0(
)0()0()0(
21
22221
11211
�
�
�
�
�
�
	
�
�
nb
b
b
aaa
aaa
aaa
nnnn
n
n
�
�
�����
�
 
onde para i, j=1,2,...,n, )0(ija =aij, 
)0(
ib =bi e 0)0(11 ≠a . 
Primeiro Passo: 
O elemento 
)0(
11a é chamado pivô deste passo; 
Os elementos )0(
11
)0(
1
1
a
a
m ii = , para i=2,...,n, são os multiplicadores do 1º passo. 
A eliminação da variável x1 das equações 2,...,n é feita da seguinte forma: a i-ésima 
equação é substituída por ela mesma, menos a primeira equação multiplicada por mi1. 
Ao final desse passo teremos a matriz 
,
|
|
|
|
0
0
)1(
)1(
2
)1(
1
)1()1(
)1()1(
)1()1()1(
2
222
11211
�
�
�
�
�
�
	
�
�
nb
b
b
aa
aa
aaa
nnn
n
n
�
�
����
�
�
 
onde 
 
)0(
1
)1(
1 jj aa = para j=1,...,n 
 
)0(
1
)1(
1 bb = 
����������	
����� 
�������������
 
���
e 
 
)0(
11
)0()1(
. jiijij amaa −= i=2,...,n e j=1,...,n 
 
)0(
11
)0()1(
.bmbb iii −= i=2,...,n 
 
Segundo Passo: 
O pivô seria o elemento da posição )1(22a sendo preciso que ele seja diferente de zero. E 
isso é verdade pela hipótese que 0det ≠A . 
Os multiplicadores desse passo serão os elementos )1(
22
)1(
2
2
a
a
m ii = , para i=3,...,n. 
A variável x2 é eliminada das equações 3,...,n da seguinte forma: a i-ésima equação é 
substituída por ela mesma, menos a segunda equação multiplicada por mi2. 
Ao final desse passo teremos a matriz 
,
|
|
|
|
00
0
)2(
)2(
2
)2(
1
)2(
)2()2(
22
)2()2()2(
2
11211
�
�
�
�
�
�
	
�
�
nb
b
b
a
aa
aaa
nn
n
n
�
�
����
�
�
 
onde 
 
)1()2(
ijij aa = para i=1,2 e j= 1,2,...,n 
 
)1()2(
ii bb = para i=1,2 
e 
 
)1(
22
)1()2(
. jiijij amaa −= i=3,...,n e j=2,...,n 
 
)1(
22
)1()2(
.bmbb iii −= i=3,...,n 
Seguindo raciocínio análogo procede-se até o passo n-1 e a matriz, ao final deste 
passo, será: 
����������	
����� 
�������������
 
���
,
|
|
|
|
00
0
)1(
)1(
2
)1(
1
)1(
)1()1(
22
)1()1()1(
2
11211
�
�
�
�
�
�
	
�
�
−
−
−
−
−−
−−−
n
n
n
n
n
nn
nnn
b
b
b
a
aa
aaa
nn
n
n
�
�
����
�
�
 
e o sistema linear )1()1( . −− = nn bxA é triangular superior e equivalente ao sistema linear 
original. 
 
Observação: Computacionalmente o método de Eliminação de Gauss simples pode dar 
problemas por dois motivos: 
� Erro de arredondamento quando se tem que dividir por um número muito pequeno 
(próximo de zero); 
� Divisão por zero. 
Exemplos: Resolva o sistema linear pelo método de eliminação de Gauss: 
1. �
�
�
�
�
=−+
=++
=++
3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
2. 
�
�
�
�
�
�
�
=++−
−=++
−=−+−
−=−+−
434
2
203322
82
4321
321
4321
4321
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
 
 
6.4. Cálculo de Determinantes 
Podemos calcular o determinante de qualquer matriz quadrada nxn utilizando o método 
de Eliminação de Gauss reduzindo essa matriz em uma matriz triangular superior. Uma 
matriz triangular superior tem um determinante facilmente calculável, basta multiplicar os 
����������	
����� 
�������������
 
���
termos da diagonal, ou seja, se A é uma matriz triangular superior nxn seu determinante é 
dado por: 
nnaaaaA ...det 332211= 
 
Exemplo: Considere o sistema: 
�
�
�
�
	
�
�
=
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
	
�
� −
13
7
7
823
142
126
3
2
1
x
x
x
 
a. Resolva-o pelo método de Eliminação de Gauss, 
b. Calcule o determinante de A, usando a matriz triangular obtida no item a.. 
 
 
6.5. Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento 
 Parcial 
Exemplo: Através do método de Eliminação de Gauss, resolver o sistema linear: 
�
�
�
=+
=+
20,1
10001,0
21
21
xx
xx
 
usando em todas as operações três dígitos significativos. 
 
 
No exemplo acima encontramos uma solução para o sistema muito diferente da 
solução exata desse sistema. Isso acontece devido ao fato de termos que calcular os 
multiplicadores )1(
)1(
−
−
= j
jj
j
ij
ij
a
a
m
 em cada passo j do processo, e como o pivô )1( −jjja está 
próximo de zero obtemos resultados totalmente imprecisos. 
Assim, teremos problemas ao aplicar o método de Eliminação de Gauss se o pivô 
estiver próximo de zero ou for zero. Isto acontece porque calculadoras ou computadores 
trabalham com um número finito de casas decimais, e pivôs próximos de zero dão origem 
a multiplicadores bem maiores que a unidade. 
����������	
����� 
�������������
 
���
Para se contornar este problema deve-se adotar uma estratégia de pivoteamento, 
que consiste em: 
i) no início de cada passo, escolher na coluna correspondente o elemento de maior 
valor absoluto; 
ii) fazer uma permutação nas equações do sistema, de modo que esse elemento 
venha a ocupar a posição de pivô. 
 
Exemplo: Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss 
com pivoteamento parcial. 
 
6.6. Método Iterativo de Gauss-Seidel 
A solução de um sistema linear Ax=b também pode ser obtida utilizando um processo 
iterativo que consiste em calcular uma seqüência x(1), x(2), x(3), ..., x(k) de aproximações da 
solução x do sistema, a partir de uma aproximação inicial x(0). 
O método de Gauss-Seidel consiste em escolhida uma aproximação inicial 
)x,...,x,x(x )0(n)0(2)0(1)0( = 
calcular a seqüência de aproximações x(1), x(2), ..., x(k) utilizando as equações 
[ ]
[ ]
[ ])k( 1n1nn)k(22n)k(11nn
nn
)k(
n
)1k(
nn2
)1k(
323
)k(
1212
22
)k(
2
)1k(
nn1
)1k(
313
)1k(
2121
11
)k(
1
xa...xaxab
a
1
x
xa...xaxab
a
1
x
xa...xaxab
a
1
x
−
−
−−
−−−
−−−−=
−−−−=
−−−−=
��� , k=1,2,... 
Um método iterativo como o de Gauss-Seidel pode ser melhor em relação a um 
método direto como o método de Eliminação de Gauss nas seguintes circunstâncias: 
I) quando podemos assegurar uma rápida convergência do método iterativo; 
II) quando a matriz é de ordem elevada com pequena porcentagem de elementos 
diferentes de zero. 
Os métodos iterativos utilizam menos memória que os métodos exatos. 
O critério de parada é determinado por 
����������	
����� 
�������������
 
���
,�xx
max
)1k(
i
)k(
i <−
−
 
onde � é a tolerância. 
Quando utilizamos o método iterativo de Gauss-Seidel para resolver um sistema linear 
Ax=b, devemos nos preocupar com a convergência da seqüência de aproximações da 
solução. Existem condições sobre os elementos da matriz A dos coeficientes do sistema 
que, se satisfeitas, são suficientes para garantir a convergência do método de Gauss-
Seidel. 
Consideraremos as seguintes condições: o critério da diagonal dominante e o 
critério de Sassenfeld. 
I) Critério da Diagonal Dominante 
 Uma matriz quadrada A de ordem nxn é dita diagonal dominante quando 
n,...,1i,aa
n
ij
1j ijii
=�>
≠
=
 
II) Critério de Sassenfeld 
Seja 
�
�
�
�
�
�+�=
��
�
	
�
�
�+=
��
�
	
�
�
�=
+=
−
=
=
=
n
1ij ijj
1i
1j ijii
i
n
3j j222
1
22
21
2
n
2j j111
1
a�a
a
1
�
a
a
1
�
a
a
�
a
a
1
�
���
 
se 1�Max i < então o método de Gauss-Seidel converge para a soluçãodo sistema 
Ax=b. 
 
Exemplos: 
1. Resolva o sistema linear 
�
�
�
�
�
=++
=++
=++
0x6x3x3
6xx4x3
5xxx5
321
321
321
 
����������	
����� 
�������������
 
���
 pelo método de Gauss-Seidel com 
�
�
�
�
	
�
�
=
0
0
0
x
)0(
 e 
110−=ε
. 
 
2. Resolva o sistema abaixo por Gauss-Seidel 
�
�
�
�
�
�
�
=−++−
=−++
−=++−
=+++
2t10zy3x
2t7z10yx
8t2z3y10x2
13tz5y3x10
 
 com 
�
�
�
�
�
�
	
�
�
−
=
1
3
4
2
x )0(
 e 
110−=ε
. 
 
 
7. Interpolação Polinomial 
A aproximação de funções por polinômios é um dos métodos mais utilizados para 
interpolar uma função, isso ocorre pelo fato que polinômios são facilmente computáveis, 
suas derivadas e integrais são novamente polinômios, suas raízes podem ser encontradas 
com relativa facilidade, etc. assim, é vantajoso substituir uma função complicada por um 
polinômio que a represente. 
Além disso, temos o Teorema de Weirstrass que afirma que: toda função contínua 
pode ser arbitrariamente aproximada por um polinômio. 
Interpolar uma função f(x) consiste em “substituir” esta função, por outra função g(x) 
com o objetivo de se realizar ou facilitar certas operações. 
A necessidade de se efetuar esta “substituição” surge em várias situações, como por 
exemplo: 
a) Quando não conhecemos a expressão analítica de f(x), isto é, são conhecidos 
somente seus valores numéricos para um conjunto de pontos e necessitamos 
manipular f(x) como, por exemplo, calcular seu valor em um ponto não tabelado. 
Exemplo: 
Ano 1960 1970 1980 1990 
Nº de 
Habitantes 
352.724 683.908 123.503 1.814.990 
Deseja-se saber o número aproximado de habitantes em 1985. 
����������	
����� 
�������������
 
���
 
b) Quando conhecemos a expressão analítica de f(x), porém é extremamente 
complicada e operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou 
mesmo impossíveis) de serem realizadas. 
O problema geral da interpolação por meio de polinômios consiste em, dados (n+1) 
pontos distintos )),(,()),...,(,()),(,( 1100 nn xfxxfxxfx queremos aproximar f(x) por um 
polinômio )(xpn de grau n≤ , tal que: 
)()(
)()(
)()(
22
11
00
xfxp
xfxp
xfxp
n
n
n
=
=
=
 
 
�
 
�
 
)()( nnn xfxp = 
ou seja, 
)()( kkn xfxp = , nk ,...,2,1,0= 
 
7.1. Existência e Unicidade do Polinômio Interpolador 
Representaremos )(xpn por 
n
nn xaxaxaaxp ++++= ...)( 2210 
assim, obter )(xpn , significa obter os coeficientes naaa ,...,, 10 . Da condição 
)()( kkn xfxp = , k∀ obtemos as equações: 
)(...
)(...
11
2
12111
00
2
02010
xfxaxaxaa
xfxaxaxaa
n
n
n
n
=++++
=++++
 
 
�
 
�
 
�
 
�
 
�
 
�
 
)(...2210 nnnnnn xfxaxaxaa =++++ 
����������	
����� 
�������������
 
���
 
que formam um sistema linear (n+1)x(n+1). Escrevendo esse sistema na forma matricial, 
temos: 
 A X b 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
n
nnn
n
n
n
xxx
xxx
xxx
xxx
�
�����
�
�
�
2
2
2
22
1
2
11
0
2
00
1
1
1
1
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
na
a
a
a
�
2
1
0
 = 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
)(
)(
)(
)(
2
1
0
nxf
xf
xf
xf
� 
A matriz dos coeficientes desse sistema é conhecida como “Matriz de Vandermonde” 
e sabe-se que se nxxx ,...,, 10 forem distintos então 0)det( ≠A , logo A é não 
singular e o sistema tem solução única, ou seja, naaa ,...,, 10 são unicamente 
determinados. 
 
7.2. Formas de se Obter )(xpn 
Sabemos que o polinômio )(xpn que interpola f(x) em nxxx ,...,, 10 é único. No 
entanto, existem várias formas para se obter tal polinômio, entre elas temos: a resolução 
de um sistema linear (n+1)x(n+1), o polinômio interpolador de Lagrange e o polinômio 
interpolador na forma de Newton. 
 
7.2.1. Resolução do Sistema Linear 
Exemplo: 1. Determinar o polinômio interpolador da função y=f(x) dada pela tabela: 
x -1 0 3 
f(x) 15 8 -1 
 
Observações: 
a) Observemos que nos pontos tabelados, o valor do polinômio encontrado e o valor 
da função, devem coincidir. Se os valores forem diferentes teremos cometido erros 
de cálculo. 
����������	
����� 
�������������
 
���
b) A determinação do polinômio de interpolação por meio de solução de sistemas é 
muito trabalhosa, além de poder ocorrer erros de arredondamento, fazendo com 
que a solução obtida seja irreal. 
 
2. Obter o polinômio )(3 xp que interpola f(x) nos pontos 3210 ,,, xxxx , de acordo com a 
tabela abaixo: 
x 0.1 0.2 0.3 0.4 
f(x) 5 13 -4 -8 
 
 
7.2.2. Polinômio Interpolador de Lagrange 
Sejam nxxx ,...,, 10 , (n+1) pontos distintos. Seja )(xpn o polinômio de grau n≤ que 
interpola f(x) em nxxx ,...,, 10 . Podemos representar )(xpn na forma 
)()(...)()()()()( 1100 xLxfxLxfxLxfxp nnn +++= , 
onde os polinômios )(xLi são de grau n. Para cada k queremos que a condição 
)()( kkn xfxp = seja satisfeita, ou seja: 
)()()(...)()()()()( 1100 kknnkkkn xfxLxfxLxfxLxfxp =+++= 
 A forma mais simples de se satisfazer esta condição é impor: 
�
�
�
=
≠
=
kise
kise
xL ki 1
0)(
 
e para isso, definimos )(xLi por 
))...()()...()((
))...()()...()(()(
1110
1110
niiiiiii
nii
i
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xL
−−−−−
−−−−−
=
+−
+−
. 
É fácil verificar que realmente 1)( =ii xL e 0)( =ki xL se ik ≠ . 
Como o numerador de )(xLi é um polinômio de n fatores da forma: 
iknkxx k ≠=− ,,...,0),( , 
����������	
����� 
�������������
 
���
então )(xLi é um polinômio de grau n e, assim )(xpn é um polinômio de grau menor ou 
igual a n. 
Além disso, para nkxx k ,...,0, == temos: 
)()()()()()(
0
kkkk
n
i
kiikn xfxLxfxLxfxp === �
=
. 
Então, a forma de Lagrange para o polinômio interpolador é: 
�
=
=
n
i
iin xLxfxp
0
)()()(
 
ou seja, 
)()(...)()()()()( 1100 xLxfxLxfxLxfxp nnn +++= 
onde 
∏
∏
≠
=
≠
=
−
−
=
n
ij
j
ji
n
ij
j
j
k
xx
xx
xL
0
0
)(
)(
)(
 
Exemplos: 
1. Conhecendo-se a seguinte tabela 
x -1 0 3 
f(x) 15 8 -1 
a. Determine o polinômio de interpolação na forma de Lagrange. 
b. Calcule uma aproximação para f(1), usando o item a.. 
2. A tabela abaixo relaciona o calor específico da água em função da temperatura: 
ºC Cal/c ºc 
20 0,99807 
30 0,99826 
45 0,99849 
55 0,99919 
a. Encontre o polinômio de Lagrange. 
����������	
����� 
�������������
 
���
b. Através dele calcule o calor específico para 25ºC. 
 
7.2.3. Polinômio Interpolador na forma de Newton 
Seja f(x) uma função tabelada em n+1 pontos distintos: nxxx ,...,, 10 . 
Definimos o operador diferenças divididas por: 
)(],...,,,[],...,,[],...,,,[
)3(],,[],,[],,,[
)2(],[],[],,[
)1()()(][][],[
)()(][
0
121021
210
03
210321
3210
02
1021
210
01
01
01
01
10
00
Ordemn
xx
xxxxfxxxf
xxxxf
Ordem
xx
xxxfxxxf
xxxxf
Ordem
xx
xxfxxf
xxxf
Ordem
xx
xfxf
xx
xfxf
xxf
OrdemZeroxfxf
n
nn
n
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
=
−
��
 
Dizemos que ],...,,[ 10 nxxxf é a diferença dividida de ordem n da função f(x) 
sobre os n+1 pontos: nxxx ,...,, 10 . 
Dada a função f(x)e concedidos os valores que f(x) assume nos pontos distintos 
nxxx ,...,, 10 , podemos construir a tabela: 
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 ... Ordem n 
x0 f[x0] 
 
 f[x0,x1] 
x1 f[x1] f[x0,x1,x2] 
 f[x1,x2] f[x0,x1,x2,x3] 
x2 f[x2] f[x1,x2,x3] . 
 f[x2,x3] f[x1,x2,x3,x4] . 
x3 f[x3] f[x2,x3,x4] : f[x0,x1,x2,...,xn] 
 f[x3,x4] : . . 
x4 f[x4] : . f[xn-3,xn-2,xn-1,xn] . 
: : . f[xn-2,xn-1,xn] 
. . f[xn-1,xn] 
xn f[xn] 
����������	
����� 
�������������
 
���
As diferenças dividas satisfazem a propriedade de simetria nos argumentos, ou seja, 
...],...,,[],...,,[],...,,[ 010110 === − xxxfxxxfxxxf nnnn . Assim, podemos 
fazer qualquer permutação dos argumentos que teremos a mesma diferença dividida. 
A forma de Newton para o polinômio de grau n≤ que interpola f(x) em nxxx ,...,, 10 
é: 
],...,,[))...()((
...],,[))((],[)()()(
10110
210101000
nn
n
xxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxp
−
−−−+
++−−+−+=
 
Exemplos: 
1. Encontrar usando a forma de Newton, o polinômio p2(x), que interpola f(x) nos pontos 
dados abaixo. 
x -1 0 2 
f(x) 4 1 -1 
2. Uma fábrica consome energia elétrica durante uma jornada típica de trabalho da qual a 
seguinte tabela é retirada: 
Hora Kw/h 
14:00 h 139 
14:30 h 152 
15:00 h 165 
15:30 h 163 
16:00 h 142 
16:30 h 119 
17:00 h 97 
 Estime o consumo de energia às 16 h 15 min., considerando os pontos de 
 15 h 30 min às 17 h. 
 
8. Integração Numérica 
Em muitas aplicações da Matemática é necessário efetuar o cálculo da integral de 
alguma função. Por exemplo, quando medimos a velocidade de um objeto em vários 
instantes e queremos saber o espaço que ele percorreu neste intervalo de tempo, 
precisamos integrar a função velocidade. 
����������	
����� 
�������������
 
���
Estudaremos alguns métodos numéricos para calcular a integral definida de uma 
função. Uma fórmula que forneça um valor numérico aproximado da integral de uma 
função é chamada Quadratura Numérica ou Fórmula de Integração Numérica. 
O problema da integração numérica consiste na determinação de um valor aproximado 
da integral 
�=
b
a
dxxfI )(
. 
Os limites contidos na integral I podem ser infinitos, mas consideraremos somente o 
caso quando [a,b] for finito. 
Integrar numericamente uma função )(xfy = num dado intervalo [a,b] é integrar um 
polinômio )(xpn que aproxime )(xf no dado intervalo. 
Em particular, se )(xfy = for dada por uma tabela, ou seja, por um conjunto de 
pares ordenados )),(,()),...,(,()),(,( 1100 nn xfxxfxxfx onde ax =0 e bxn = , 
podemos usar como polinômio de aproximação para a função )(xfy = no intervalo [a,b] 
o seu polinômio de interpolação. 
Usamos integração numérica nos seguintes casos: 
i) quando não conhecemos a expressão analítica de f(x) e desejamos calcular sua 
integral; 
ii) quando conhecemos a expressão analítica de f(x), mas é de difícil manuseio; 
iii) quando a função é dada simplesmente através de uma tabela – conjunto de pares 
ordenados obtidos como resultado de experiências. 
Aproximaremos a integral pela seguinte fórmula de quadratura: 
��
=
==
n
k
kk
b
a
xfAdxxfI
0
)()(
. 
Fórmulas de quadratura são fórmulas que aproximam a integral através de uma 
combinação linear de pontos da função. 
Seja )(xpn o polinômio de interpolação da função )(xfy = sobre os (n+1) pontos. 
Pela fórmula de Lagrange, temos que: 
����������	
����� 
�������������
 
���
�
=
=
n
k
kkn xLxfxp
0
)()()(
. 
Integrando o polinômio interpolador de Lagrange e o seu termo de erro de truncamento 
em [a,b] obtemos: 
( ) dx
n
xf
xxdxxLxfdxxfI b
a
n
k
n
k
b
a
n
k
kk
b
a � ∏� ��
=
+
=
+
−+==
0
)1(
0 )!1(
))(()()()( ξ
 
( ) )1())(()!1(
1)()(
0
)1(
0
dxxfxx
n
xfAdxxfI b
a
n
k
n
k
n
k
kk
b
a � ∏��
=
+
=
−
+
+== ξ
onde )(xξ está em [a,b] para cada x e, 
� ==
b
a
kk nkdxxLA ,...,0,)(
 . 
Observemos que o erro na integração é dado por: 
( ) dxxfxx
n
E
b
a
n
k
n
k� ∏
=
+
−
+
=
0
)1( ))(()!1(
1 ξ
. 
 
8.1. Fórmulas de Newton-Cotes 
As fórmulas de Newton-Cotes são aplicadas na integração de funções conhecidas em 
pontos eqüidistantes. Estas fórmulas são de dois tipos: fechadas ou abertas. As fórmulas 
fechadas usam também os valores da função a ser integrada nos extremos do intervalo de 
integração; as fórmulas abertas não usam esses valores. Estudaremos apenas as 
fórmulas fechadas. 
 
8.1.1. Regra do Trapézio Simples 
Para determinar a regra mais simples de integração numérica, vamos considerar o 
polinômio de Lagrange do 1º grau. 
)()(
)()()(
)()()()()()( 1
01
0
0
10
1
11001 xf
xx
xx
xf
xx
xx
xLxfxLxfxp
−
−
+
−
−
=+=
 
 
 
����������	
����� 
�������������
 
���
 
 
 
 
abh −=
 
 
 
 
 
 
Assim, fazendo n=1, x0=a, x1=b e h=b-a na equação (1) temos: 
dxxxxxxfdxxf
xx
xx
xf
xx
xxdxxfI x
x
x
x
b
a ��� −−+
�
�
�
�
�
−
−
+
−
−
==
1
0
1
0
))())((´´(
!2
1)()(
)()()(
)()( 101
01
0
0
10
1 ξ
onde o segundo termo do lado direito da igualdade acima é o erro cometido na integração, 
ou seja: 
dxxxxxxfE x
x� −−=
1
0
))())((´´(
!2
1
10ξ . 
Assim, trabalhando apenas com o 1º termo do lado direito de I temos: 
�� 
�
�
�
�
�
−
−
+
−
−
==
1
0
)()(
)()()(
)()( 1
01
0
0
10
1x
x
b
a
dxxf
xx
xx
xf
xx
xxdxxfI
 
[ ]�� −+−−=
�
�
�
�
� −
+
−
−
=
1
0
1
0
)()()()(1)()()()( 10011001
x
x
x
x
dxxfxxxfxx
h
dxxf
h
xx
xf
h
xx
I
1
0
)(
2
)()(
2
)(1
1
2
0
0
2
1
x
x
xfxxxfxx
h
I 
�
�
�
�
�
−
+
−−
=
 
�
�
�
�
�
−
+
−
+
−
+
−−
= )(
2
)()(
2
)()(
2
)()(
2
)(1
1
2
00
0
2
10
1
2
01
0
2
11 xfxxxfxxxfxxxfxx
h
I
[ ])()(
2
)(
2
)(
2
1
101
2
0
2
xfxfhxfhxfh
h
I +=
�
�
�
�
�
+=
 
Assim, a regra do trapézio simples para calcular numericamente uma integral é como 
segue: 
f
x
f(x)
a=x0 b=x1
h
f
x
f(x)
a=x0 b=x1
h
����������	
����� 
�������������
 
���
[ ])()(
2 10
xfxfhI +=
. 
E o erro cometido é dado por: 
[ ]dxxxxxxxfdxxxxxxfE x
x
x
x �� ++−=−−=
1
0
1
0
1010
2
10 )()´´(2
1))())((´´(
!2
1 ξξ
 
1
0
10
210
3
2
)(
3
)´´(
2
1
x
x
xxxx
xxxfE 
�
�
�
�
�
+
+
−= ξ
 
�
�
�
�
�
−
+
+−+
+
−= 010
2
0
10
3
0
110
2
1
10
3
1
2
)(
32
)(
3
)´´(
2
1
xxxx
xxx
xxxx
xxxfE ξ
 
�
�
�
�
�
−++−
=
�
�
�
�
�
−++
−
=
6
33)´´(
2
1
2626
)´´(
2
1 1
2
0
3
0
2
10
3
11
2
0
3
0
2
10
3
1 xxxxxxfxxxxxxfE ξξ
[ ] [ ]3301 )´´(12
1)()´´(
12
1 hfxxfE −=−−= ξξ
 
)´´(
12
3
ξfhE −=
 onde 2
ba +
=ξ
 
Exemplos: 
1. Aproxime as seguintes integrais pela regra trapezoidal simples e calcule o erro. 
a) �
1,2
2 x
dx
 
b) �
1
5,0
4dxx
 
2. Calcular a integral de 56)( −= xxf no intervalo [1,9] pela fórmula dos trapézios 
simples. 
 
8.1.2. Regra do Trapézio Composto 
Uma forma de melhorar o valor aproximado da integral calculada pela regra dos 
trapézios simples é dividir o intervalo [a,b] em n partes iguais e aplicar a regra dos 
trapézios a cadauma dessas n partes. 
 
����������	
����� 
�������������
 
���
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que: 
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfI n
n
n x
x
x
x
x
x
x
x
b
a �����
−
+++===
1
21
00
)(...)()()()(
1
[ ] [ ] [ ])()(
2
...)()(
2
)()(
2 12110 nn
xfxfhxfxfhxfxfhI ++++++=
−
 
[ ])()(2...)(2)(2)(
2 1210 nn
xfxfxfxfxfhI +++++=
−
 
�
�
�
�
�
++= �
−
=
)()(2)(
2
1
1
0 n
n
i
i xfxfxfhI
 
E o erro cometido na integração é dado por: 
)´´(
12
3
ξfnhE −=
 
Exemplos: 
1. Calcule �
1,2
2 x
dx
 para n=10 e calcule o erro. 
 
2. Considerando h=1, calcular a integral da função 56)( −= xxf no intervalo [1,9] 
e calcule o erro. 
 
 
f
x
f(x)
a=x0 b=xn
hh
...x1
n
abh −=
f
x
f(x)
a=x0 b=xn
hh
...x1
n
abh −=
����������	
����� 
�������������
 
���
h h
x0=a x1 x2=b
x
f(x)
h h
x0=a x1 x2=b
x
f(x)
8.1.3. 1º Regra de Simpson ou Simpson 1/3 Simples 
Esta regra consiste em determinar uma fórmula para integrar f(x) utilizando 3 pontos, 
10 , xx e 2x . Dessa forma, está formula utiliza uma aproximação de f(x) por um polinômio 
de grau 2. 
Como fizemos na regra do trapézio, aproximaremos f(x) por um polinômio de Lagrange, 
nesse caso de grau 2. 
Seja )(2 xp o polinômio que interpola f(x) nos pontos hxxax +== 010 , e 
bhxx =+= 202 . 
 
 
 
 2
abh −=
 
 
 
 
 
 
)())((
))(()())((
))(()())((
))(()(
)()()()()()()(
2
1202
10
1
2101
20
0
2010
21
2
2211002
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xp
xLxfxLxfxLxfxp
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
=
++=
 
Sabemos que: 
( ) )1())(()!1(
1)()()(
0
)1(
0
dxxfxx
n
xLxfdxxfI b
a
n
k
n
k
b
a
n
k
kk
b
a � ∏� ��
=
+
=
−
+
+== ξ
 Assim, fazendo n=2, bxax == 20 , e f(x)=p2(x) na equação acima obtemos: 
( )( )( ) dxxfxxxxxx
dxxf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxxI
x
x
x
x
�
�
−−−+
+
�
�
�
�
�
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
=
2
0
2
0
))((
!3
1
)())((
))(()())((
))(()())((
))((
)3(
210
2
1202
10
1
2101
20
0
2010
21
ξ
 onde o segundo termo do lado direito da igualdade acima é o erro cometido na integração, 
ou seja: 
����������	
����� 
�������������
 
���
 
dxxxxxxxxfE x
x� −−−=
2
0
))()())((´´´(
!3
1
210ξ . 
Assim, trabalhando apenas com o 1º termo do lado direito de I temos: 
dxxf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxxI
x
x� 
�
�
�
�
�
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
=
2
0
)())((
))(()())((
))(()())((
))((
2
1202
10
1
2101
20
0
2010
21
dxxf
hh
xxxx
xf
hh
xxxx
xf
hh
xxxxI
x
x� 
�
�
�
�
� −−
+
−
−−
+
−−
−−
=
2
0
)())(2(
))(()())((
))(()()2)((
))((
2
10
1
20
0
21
dxxf
hh
xxxx
xf
hh
xxxx
xf
hh
xxxxI
x
x� 
�
�
�
�
� −−
+
−
−−
+
−−
−−
=
2
0
)())(2(
))(()())((
))(()()2)((
))((
2
10
1
20
0
21
��� −−+−−−−−=
2
0
2
0
2
0
))((
2
)())(()())((
2
)(
102
2
202
1
212
0 x
x
x
x
x
x
dxxxxx
h
xfdxxxxx
h
xfdxxxxx
h
xfI
 
Vamos resolver a integral acima realizando a seguinte mudança de variável: 
hdudxxhuxhuxx
h
xx
u =�+=�=−�
−
= 00
0
 
Assim, temos: 
)2(2
)1(
202
101
−=−=−+=−
−=−=−+=−
uhhhuxxhuxx
uhhhuxxhuxx
 
e logo quando 0xx = temos: 
00000 =�=�=−�=− uhuhuxxhuxx 
e quando 2xx = temos: 
22020 =�=�=−�=− uhhuhuxxhuxx 
 
Logo, a integral I se torna: 
��� −+−−−−=
2
02
22
02
12
02
0 )]1(][[
2
)()]2(][[)()]2()][1([
2
)( hduuhhu
h
xfhduuhhu
h
xfhduuhuh
h
xf
I
��� −+−−−−=
2
0
3
2
22
0
3
2
12
0
3
2
0 )1(
2
)()2()()2)(1(
2
)( duuuh
h
xfduuuh
h
xfduuuh
h
xfI
 
��� −+−−+−=
2
0
222
0
2
1
2
0
20 )(
2
)()2()()23(
2
)( duuuxhfduuuxhfduuuxhfI
 
����������	
����� 
�������������
 
���
2
0
23
2
2
0
23
1
2
0
23
0
232
)(
2
2
3
)(2
2
3
32
)(
�
�
�
�
�
−+
�
�
�
�
�
−−
�
�
�
�
�
+−=
uuxhfuu
xhfuuuxhfI
 
)(
3
)(
3
4)(
33
2
2
)(
3
4)(
3
2
2
)(
210
2
1
0 xfhxfhxfhxhfxhfxhfI ++=
�
�
��
�
+
�
�
��
�
−−
�
�
��
�
=
 
Assim, a regra de Simpson 1/3 simples é: 
[ ])()(4)(
3 210
xfxfxfhI ++=
 
E o erro cometido é dado por: 
dxxxxxxxfdxxxxxxxxfE x
x
x
x �� −−−=−−−=
2
0
2
0
))()((
6
)´´´())()())((´´´(
!3
1
210210
ξξ
 
Usando a mesma mudança de variável utilizada acima, obtemos: 
�� −−=−−=
2
0
42
0
)2)(1(
6
)´´´())2())(1()((
6
)´´´( duuuufhhduuhuhhufE ξξ
 
�� +−=−−=
2
0
23
42
0
4
)23(
6
)´´´()2)(1(
6
)´´´( duuuufhduuuufhE ξξ
 
0
2
2
3
3
46
)´´´()23(
6
)´´´( 2
0
23442
0
23
4
=
�
�
�
�
�
+−=+−= �
uuufhduuuufhE ξξ
 
O resultado acima não é aceitável, logo devemos considerar outra expressão para o erro 
cometido numa integração utilizando a regra de Simpson 1/3 simples. Consideraremos a 
expressão obtida fazendo n=3 no erro em (1), ou seja: 
( ) ��∏ −−−−=−+=
=
+ 2
0
))(())()()((
!4
1))(()!1(
1 )4(
3210
0
)1( x
x
b
a
n
k
n
k dxxfxxxxxxxxdxxfxx
n
E ξξ
 
Realizando a mudança de variável já utilizada, obtemos: 
�� −−−=−−−−=
2
0
)4(
)4(
3210 ))3())(2())(1()((24
)())(())()()((
!4
1 2
0
hduuhuhuhhufdxxfxxxxxxxxE x
x
ξξ
�� −+−=−−−=
2
0
234
)4(52
0
)4(5
)6116(
24
)()3)(2)(1(
24
)( duuuuufhduuuuufhE ξξ
 
�
�
��
�
−=
�
�
�
�
�
−+−=
15
4
24
)(
2
6
3
11
4
6
524
)( )4(52
0
2345)4(5 ξξ fhuuuufhE
 
����������	
����� 
�������������
 
���
90
)()4(5 ξfhE −=
 
Exemplo: Aproxime a seguinte integral pela regra de Simpson 1/3 simples e calcule o 
erro. 
�
1,2
2 x
dx
 
 
8.1.4. 1º Regra de Simpson Composta ou Simpson 1/3 
 Composto 
A regra de Simpson 1/3 composta é obtida considerando o intervalo [a,b] e dividindo-o 
em n subintervalos iguais de amplitude h, e a cada par de subintervalos aplicamos a 1º 
regra de Simpson simples. Observe que o número n deve ser par para termos um número 
par de subintervalos. 
 
 
 
 
 
n
abh −=
 
 
 
 
 
Sabemos que: 
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfI n
n
n x
x
x
x
x
x
x
x
b
a �����
−
+++===
2
4
2
2
00
)(...)()()()(
[ ] [ ] [ ])()(4)(
3
...)()(4)(
3
)()(4)(
3 12432210 nnn
xfxfxfhxfxfxfhxfxfxfhI +++++++++=
−−
h h
x0=a x1 xn=b
x
f(x)
h h hh ...
x2 xn-2xn-1x3 x4
h h
x0=a x1 xn=b
x
f(x)
h h hh ...
x2 xn-2xn-1x3 x4
����������	
����� 
�������������
 
���
[ ])()(4)(2...)(2)(4)(2)(4)(
3 1243210 nnn
xfxfxfxfxfxfxfxfhI ++++++++=
−−
�
�
�
�
�
�
�
+++= ��
−
=
=
−
=
−=
)()(2)(4)(
3
2
1
2
1
1
12
0 n
n
j
ji
i
n
j
ji
i xfxfxfxfhI
 
E o erro cometido na integração é dado por: 
90
)(
2
)4(5 ξfhnE −=
 
 
Exemplos: 
1. Calcule � 40 )(
pi
dxxsenpara 
a. n=8 utilizando Simpson 1/3 composto; 
b. e calcule o erro. 
2. Considerando h=1, calcular a integral da função 56)( −= xxf no intervalo [1,9] 
e calcule o erro. 
 
 
9. Ajuste de Curvas 
9.1. Método dos Mínimos Quadrados – Ajuste Linear 
Já vimos uma forma de se trabalhar com uma função definida por uma tabela de 
valores que foi a interpolação polinomial. 
Mas, em muitas ocasiões, o método da interpolação não é aconselhável. Em particular: 
• quando é preciso obter um valor aproximado da função para valores fora do 
intervalo tabelado, ou seja, quando se quer extrapolar; 
• em experimentos físicos ou em alguma pesquisa em que existem erros inerentes 
devidos aos instrumentos etc., os quais não são previsíveis. 
Assim, não há necessidade de calcular exatamente a função f(x) que origina os pontos 
tabelados, e sim a função que melhor se ajusta aos pontos dados. 
Observemos a figura: 
 
����������	
����� 
�������������
 
���
 
 
 
 
 
 
 
 
Como podemos dizer qual das retas melhor se ajusta aos pontos dados? 
O critério que vamos utilizar para medir a qualidade do ajuste é a distância entre a reta 
e a função tabelada f(x). Assim, nosso objetivo é aproximar f(x) por uma função G(x) que 
seja combinação linear de funções conhecidas, isto é: 
G(x)=a1g1(x)+a2g2(x) 
de tal modo que à distância de f(x) a G(x) seja a menor possível. 
)()( xGxfMin i − 
Substituindo G(x) na equação acima temos: 
),()()()()()( 212211 aaHxgaxgaxfMinxGxfMin ii =−−=− 
 ��
==
−−=−=
n
i
iii
n
i
ii xgaxgaxfxGxfaaMinH
1
2
2211
1
2
21 ))()()(())()((),( 
Usando o cálculo diferencial, sabemos que, para obter um ponto de mínimo de H(a1,a2), 
temos que encontrar, primeiramente, seus pontos críticos, ou seja, encontrar a1 e a2 tais 
que: 
0
21
=
∂
∂
=
∂
∂
a
H
a
H
 
�
�
�
�
�
�
�
=−−−=
∂
∂
=−−−=
∂
∂
�
�
=
=
0))()).(()()((2
0))()).(()()((2
1
22211
2
1
12211
1
n
i
iiii
n
i
iiii
xgxgaxgaxf
a
H
xgxgaxgaxf
a
H
 
����������	
����� 
�������������
 
���
�
�
�
�
�
�
�
=++−
=++−
�
�
=
=
0)))(()()()()((
0))()())(()()((
1
2
221212
1
122
2
111
n
i
iiiii
n
i
iiiii
xgaxgxgaxgxf
xgxgaxgaxgxf
 
 
�
�
�
�
�
�
�
=+
=+
�� �
���
== =
===
n
i
ii
n
i
n
i
iii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i
xgxfxgaxgxga
xgxfxgxgaxga
1
2
1 1
2
22121
1
1
1
212
1
2
11
)()())(()()(
)()()()())((
 (1) 
Comparando G(x) com a equação geral da reta y=ax+b, obtemos: 
�
�
�
�
�
�
�
==
=
=
=
1)(
)(
0
2
1
2
1
xxg
xxg
ba
aa
 
Substituindo os dados acima em (1) obtemos: 
�
�
�
�
�
�
�
=+
=+
�� �
���
== =
===
n
i
i
n
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
xfbxa
xxfbxxa
11 1
2
111
2
1).()1(1.
)(1.)(
 
�
�
�
�
�
�
�
=+
=+
�� �
���
== =
===
n
i
i
n
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
xfbxa
xfxxbxa
11 1
111
2
)(1
)(
 
�
�
�
�
�
�
�
=+
=+
��
���
==
===
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
xfbnxa
xfxxbxa
11
111
2
)(
)(
 
Na forma matricial temos: 
����������	
����� 
�������������
 
���
�
�
�
�
�
	
�
�
=��
�
	
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
��
=
=
=
==
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
xf
xfx
b
a
nx
xx
1
1
1
11
2
)(
)(
 
 
Exemplos: 
1. A estimativa da população do Estado de São Paulo apresenta-se de acordo com a 
tabela: 
Ano População (x106) 
1950 9 
1960 13 
1970 18 
1980 25 
1990 31 
2000 37 
a. Efetue analítica e graficamente o ajuste linear. 
b. Através dele estime a população para o ano de 2004. 
c. 50 milhões de habitantes ocorrerão quando? 
2. Janeiro de 1999 foi chamado “Janeiro Negro” pois se iniciou a desestabilização do real 
em relação ao dólar, apresentado abaixo: 
Dia R$ 
12 1,21 
13 1,32 
14 1,32 
15 1,47 
16 1,47 
17 1,47 
18 1,59 
19 1,56 
20 1,59 
21 1,71 
a. Efetue analítica e graficamente o ajuste linear. 
����������	
����� 
�������������
 
���
b. Através dele estabeleça a flutuação cambial para 29 de janeiro. 
c. R$ 2,20 por dólar ocorrerão quando? 
 
3. A estimativa da população Brasileira apresenta-se de acordo com a tabela: 
Ano População (x106) 
1940 41 
1950 52 
1960 70 
1970 93 
1980 119 
1990 146 
2000 170 
a. Efetue analítica e graficamente o ajuste linear. 
b. Em que ano a população brasileira ultrapassou o índice de 100 milhões? 
c. Através dele estime a população para o ano de 2004. 
d. 215 milhões de habitantes ocorrerão quando? 
 
4. A tabela abaixo mostra as alturas e pesos de uma amostra de nove homens entre 
as idades de 25 a 29 anos, extraída ao acaso entre funcionários de uma grande 
indústria: 
Altura (cm) 183 173 168 188 158 163 193 163 178 
Peso (Kg) 79 69 70 81 61 63 79 71 73 
a. Ajuste uma reta que descreve o comportamento do peso em função da 
altura, isto é, peso=f(altura). 
b. Estime o peso de um funcionário com 175 cm de altura; e estime a altura de 
um funcionário com 80 Kg. 
c. Ajuste agora a reta que descreve o comportamento da altura em função do 
peso, isto é, altura=g(peso). 
d. Resolva o item (b) com essa nova função e compare os resultados obtidos. 
e. Coloque num gráfico as equações obtidas em (a) e (c) e os pontos dados e 
compare-as. 
 
 
����������	
����� 
�������������
 
���
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
����������	
����� 
�������������
 
���
1º Lista de Exercícios 
Representação de Números no Computador 
1. Converter os números abaixo para a base decimal. 
a. (1100011)2 
b. (101,0011)2 
c. (1111111)2 
d. (0,0111111)2 
e. (1010101)2 
f. (1,010011)2 
g. (11,100110)2 
h. (1001001)2 
 
2. Converter os números abaixo para a base binária. 
a. (39)10 
b. (2345)10 
c. (10,1217)10 
d. (0,1)10 
e. (0,125)10 
f. (347)10 
g. (33,023)10 
h. (13,25)10 
 
3. Dado o sistema de ponto flutuante F(2, 3, -2, 2), determine qual o menor e o maior 
número representado nesse sistema? Represente os números x1=0,38; x2=5,3; 
x3=0,15 dados na base 10, nesse sistema. 
 
4. Represente os números abaixo no sistema de ponto flutuante F(10,5, -5,5). 
 Número Representação truncada Representação 
Arredondada 
6
10
 
 
2
 
 
����������	
����� 
�������������
 
���
9
1
 
 
pi
 
 
7
1
 
 
7
100
 
 
 
5. Considere os sistema F(2, 5, -3, 3). Qual o maior e o menor número na base 10 que 
podemos representar deste sistema? 
 
6. Considere o sistema F(2, 8, -4, 4) e os números x1=0,10110011x22 e 
x2=0,10110010x22. Qual dos dois números representa melhor (2,8)10? 
 
7. Considere o sistema F(2, 8, 10, 10). Represente os números 81 =x , 22 ex = , 
57,33 =x , onde todos estão na base 10. Existe algum com representação exata 
nesse sistema? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2º Lista de Exercícios – Zeros de Funções Reais 
1. Localize graficamente as raízes das equações