Algebra linear

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UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI
“LAUREATE INTERNATIONAL UNIVERSITIES”
ESCOLA DE ENGENHARIA E TECNOLOGIA
CAMPUS PAULISTA 2
Projeto Álgebra Linear Aplicada
Produto Vetorial e Momento da Força
Ana Carolina Padilha
Ingra Carolina Sepulvida de Sousa
Thais Costa de Oliveira
São Paulo – SP
2015
	
	UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI
“LAUREATE INTERNATIONAL UNIVERSITIES”
ESCOLA DE ENGENHARIA E TECNOLOGIA
CAMPUS PAULISTA 2
Projeto Álgebra Linear Aplicada
Produto Vetorial e Momento da Força
Ana Carolina Padilha RA:20387717
Ingra Carolina Sepúlvida de Sousa RA: 20606354
Thais Costa de Oliveira RA: 20530640
Disciplina: Álgebra Linear e Vetores
Prof. Izaias Cordeiro e Vetores
Período: matutino 
 
 São Paulo – SP
 Novembro, 2015
SUMÁRIO
1.	OBJETIVO	4
1.1	Objetivos Específicos	4
2.	INTRODUÇÃO	5
3.	DESCRIÇÃO DOS MATERIAIS UTILIZADOS	7
4.	CÁLCULO DO PRODUTO VETORIAL E MOMENTO DA FORÇA	7
5.	FOTOS DA CONSTUÇÃO	12
6.	CONCLUSÃO	15
7.	REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS	16
1. OBJETIVO
Projetar através de cálculo de álgebra linear o produto vetorial e momento da força em um suporte para vaso de planta.
1.1 Objetivos Específicos
· Construir um suporte para plantas no modelo estipulado;
· Determinar as tensões nas cordas de sustentação;
· Trabalhar o momento da força em três dimensões;
· Aplicar o produto vetorial.
2. INTRODUÇÃO
A física lida com um grande número de grandezas que possuem uma amplitude e uma orientação e precisa de uma linguagem matemática especial, a linguagem dos vetores, para descrever essas grandezas. Essa linguagem também é usada na engenharia, em outras ciências e até mesmo nas conversas do dia a dia (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2013). 
Se você já explicou a alguém como chegar a um endereço usando expressões como “Siga por esta rua por cinco quarteirões e depois dobre à esquerda”, usou a linguagem dos vetores. Na verdade, qualquer tipo de navegação se baseia em vetores, mas a física e a engenharia também usam vetores para descrever fenômenos que envolvem rotações e forças magnéticas (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2013).
Uma partícula que se move em linha reta pode se deslocar em apenas uma direção. Podemos considerar o deslocamento como positivo em uma dessas direções e negativo na outra. No caso de uma partícula que se move em três dimensões, porém, um número positivo ou negativo não é suficiente para indicar a orientação; precisamos usar um vetor (HALLIDAY, 2013).
Um vetor possui um módulo e uma orientação; os vetores seguem certas regras de combinação. Uma grandeza vetorial é uma grandeza que possui um módulo e uma orientação e pode, portanto, ser representada por um vetor. O deslocamento, a velocidade e a aceleração são exemplos de grandezas físicas vetoriais (HALLIDAY, 2013).
Nem toda grandeza física envolve uma orientação. A temperatura, a pressão, a energia, a massa e o tempo, por exemplo, não “apontam” em nenhuma direção. Chamamos essas grandezas de escalares, e lidamos com elas pelas regras da álgebra comum. Um único valor, com um sinal (como no caso de uma temperatura de – 2 ºC), pode ser usado para especificar um escalar (HALLIDAY, 2013).
A grandeza vetorial mais simples é o deslocamento, ou mudança de posição. Um vetor que representa um deslocamento é chamado, como seria de se esperar, de vetor deslocamento. Se uma partícula muda de posição movendo – se de A para B, dizemos que sofre deslocamento de A para B, que representamos por uma seta apontando de A para B. A seta especifica o vetor graficamente (HALLIDAY, 2013).
A seta de A para B têm módulo e direção; assim, especifica vetor deslocamento igual e representa a mesma variação de posição da partícula. Um vetor pode ser deslocado sem que seu valor mude se o comprimento, a direção e o sentido permanece o mesmo (HALLIDAY, 2013).
O vetor deslocamento nada nos diz sobre a trajetória percorrida por uma partícula, somente representa o resultado final do movimento, não o movimento propriamente dito (HALLIDAY, 2013).
Sendo assim, para a projeção do suporte para vaso de planta proposto nesse trabalho, é necessário o sumo entendimento aplicação do produto vetorial. 
3. DESCRIÇÃO DOS MATERIAIS UTILIZADOS
Madeira 
Linha de pedreiro 
Suporte de cabide 
Gancho com bucha 
Pitão com bucha 
Tinta preta Lukscolor spray
Serra 
Chave de fenda 
Martelo 
4. CÁLCULO DO PRODUTO VETORIAL E MOMENTO DA FORÇA
Legendas
Gsp = Gravidade de São Paulo
M = Momento da força
 = Vetor posição
 = Vetor unitário
 = Vetor força
 = Vetor reação de apoio
 = Vetor peso
m = massa
a = aceleração
 Somatória dos momentos de força
Vetores canônicos = , , 
Primeiro vamos estabelecer as coordenadas de cada ponto: X,Y,Z
A = (0,0,0)
B = (0,0,0.3)
C = (- 0.1,0.18, 0)
D = (0.1, 0.22, 0)
E = (0, 0, 0.23)
Dados de medidas
Bastão – (0,0,0.3)
Linha 1 - (-0.1,0.18, - 0.23)
Linha 2 - (0.1,0.22, - 0.3)
a = Gsp = 9,786366 m/s
Força do vetor 
F= m.a
F= 6. 9,786366
F = 58,718196 N
Os vetores BD e EC , das cordas são dados por :
BD = |TBD|. BD 
BD = = = 
BD = + - 
TBD = |TBD| .( 
EC = |TEC|. EC 
EC = = = 
BD = + - 
TEC = |TEC| .( 
Calculando momento das forças
MA = BA x TBD
MA = = 0,171328 . |TBD| i – 0,077876 . |TBD | j 
MB = EA x TEC
MB = = 0,134108 . |TEC| i + 0,074504 . |TEC| j 
MC = WA x w
Mc = = - 17,615459 i 
Calculando somatória dos momentos 
 
(BA x BD)+ (EA x EC) + (WA x) = 0
 (0, 171328. |TBD| + 0,134108 . |TEC| - 17, 615459) i + (- 0, 077876 . |TBD |+ 0,074504 . |TEC|) j
1. |TEC|= = 1,045259 . |TBD|
2. 
|TBD|= = 56,549415
3. |TEC| = 1,045259 . |TBD|
|TEC| = 59,10878
Calculando a somatória das forças:
 0
AXI + AYJ +AZK + TBD + TEC + w = 0 
TBD = |TBD| . (
TEC = |TEC| . ( )
 ( AX + . TBD - . TEC – w ) i = 0
AX = - 14,679505 +19,147212 + 58,718196
AX = 62,649667
 ( AY + . TBD + . TEC – w ) j = 0
AY = - 32,294910 – 34,464982 + 58,718196
AY = - 8,041696
 ( AZ - . TBD - . TEC – w ) k = 0
AZ = 44,038514 + 44,038589 + 58,718196
AZ = 146,795299
16
5. FOTOS DA CONSTUÇÃO
FIGURA 1 – Representação gráfica do projeto
Fonte: imagem elaborada pelos autores PADILHA, A. C.; OLIVEIRA, T. C.; SOUSA, I. C. S..
FIGURA 2 – Materiais utilizados
Fonte: imagem elaborada pelos autores PADILHA, A. C.; OLIVEIRA, T. C.; SOUSA, I. C. 
FIGURA 3 – Montagem do projeto
Fonte: imagem elaborada pelos autores PADILHA, A. C.; OLIVEIRA, T. C.; SOUSA, I. C. 
FIGURA 4 – Elaboração do trabalho em grupo
Fonte: imagem elaborada pelos autores PADILHA, A. C.; OLIVEIRA, T. C.; SOUSA, I. C. 
6. CONCLUSÃO
Após a realização deste trabalho, chegou-se à conclusão de que Produto Vetorial é um cálculo matemático de operação binária sobre vetores em um espaço vetorial e que com eles é possível calcular e construir objetos utilizados em nosso dia a dia.
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: mecânica. 9.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013.