lista_geral_01 - limite

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Cálculo II
Lista 01
Profa. Dra. Elaine Cristina Catapani Poletti
1. Mostre que: lim(x,y)→(0,0)xsen
(
1
x2+y2
)
= 0
Resolução. ∀ (x, y) 6= (0, 0)
∣∣∣sen
(
1
x2+y2
)∣∣∣ ≤ 1 ⇒
∣∣∣xsen
(
1
x2+y2
)∣∣∣ ≤ |x| ⇒ 0 ≤
∣∣∣xsen
(
1
x2+y2
)∣∣∣ = |x|
∣∣∣sen
(
1
x2+y2
)∣∣∣ ≤
|x| ⇒
Como as funções 0 e |x| tendem para zero quando (x, y) → (0, 0), temos
pelo teorema do sanduiche que lim(x,y)→(0,0)xsen
(
1
x2+y2
)
= 0
2. Encontre h(x, y) = g(f(x, y)) = g ◦ f para g(t) = t + ln(t) e f(x, y) =
1−xy
1+x2y2
e verifique o domínio onde h é contínua.
Resolução. Seja h(x, y) = g
(
1−xy
1+x2y2
)
=
(
1−xy
1+x2y2
)
+ ln
(
1−xy
1+x2y2
)
Note que (1 + x2y2) 6= 0, ∀(x, y) ∈ R2 sempre. Assim, devemos ter
somente que; 1−xy
1+x2y2
> 0 ⇒ (1− xy) > 0 ⇒ xy < 1. Logo h é contínua
em {(x, y) ∈ R2 : xy < 1}.
3. Calcule as derivadas parciais de f de primeira ordem.
(a) f(u, v) = ucos(v) com u = x+ y e v = xy
(b) f(x, y) = xln(x+ 2y) com x = sen(t) e y = cos(t)
4. Se f(x, y) = cos(x+ y) + cos(x− y), mostre que fxx − fyy = 0.
5. Seja f(x, y) = x3ex−2y, em P=(1, 0) e ~u = (1,−1).
(a) Encontre a derivada direcional da função em P na direção de ~u.
Resolução. D~uf(1, 0) = (4e,−2e).(1/
√
2,−1/√2) = 3√2e
1
(b) Ache o vetor unitário na direção e sentido em que f cresce mais ra-
pidamente no ponto P e determine a taxa de variação de f naquela
direção.
(c) Ache o vetor unitário na direção e sentido em que f decresce mais
rapidamente no ponto P e determine a taxa de variação de f naquela
direção.
6. Encontre e classifique os pontos críticos de f(x, y) = 4xy − 2x2 − y4 de
acordo com a matriz Hessiana.
Resolução. Resolvendo-se, temos os pontos críticos são (0, 0), (1, 1), e
(-1,-1).
Como fxx(x, y) = −4, fyy(x, y) = −12y2 e fxy = 4, temos o determinante
D(x, y) = 48y2 − 16. Portanto, D(0, 0) = −16 < 0, logo, (0, 0) é um
ponto de sela.
Por outro lado, nos pontos (1, 1) e (-1,-1), temos D = 32 > 0, portanto,
cada um destes pontos é um extremo local. Como fxx(x, y) = −4 < 0,
ambos são máximos locais.
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