Números adimensionais

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Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Fundamentos da Mecânica dos Fluidos (SEM0403)
 
 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos 
 
Análise Dimensional e Semelhança
• As equações diferenciais parciais da continuidade e da 
quantidade de movimento serão discutidas do ponto de 
vista da análise dimensional.
• O desenvolvimento a seguir é limitado a sistemas de 
densidade (ρρρρ) constante e viscosidade (µµµµ) constante.
Tomemos, por exemplo, o caso de escoamento em 
tubos. O comprimento característico pode ser o diâmetro D, e 
V pode ser a velocidade média do escoamento. A seguir 
temos algumas variáveis adimensionais convenientes e 
operadores adimensionais:
(1)
Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Fundamentos da Mecânica dos Fluidos (SEM0403)
 
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Relembrando que as equações da continuidade e 
quantidade de movimento para fluidos Newtonianos de 
densidade e viscosidade constantes são, respectivamente:
(Obs.: termos em negrito são vetores)
Nos podemos reescrever essas duas equações em termos 
das variáveis adimensionais apresentadas no slide anterior 
fazendo v = v* V, (p - po) = p* ρ V2, etc.
(2)
(3)
(4)
(5)
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Multiplicando a Eq. (4) por D / V e a Eq. (5) por D / ρ V2 , 
temos:
(6)
(7)
Estas são, respectivamente, as equações da conservação 
da massa e da quantidade de movimento adimensionais. 
Note que os “fatores de escala”, ou seja, as 
variáveis descrevendo a dimensão e velocidade global do 
sistema e suas propriedades físicas, estão concentrados 
em apenas dois grupos adimensionais:
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Semelhança Dinâmica
1. Se em dois sistemas diferentes os “fatores de escala”
são iguais, por exemplo os números de Froude e 
Reynolds, então ambos sistemas são descritos por 
equações diferenciais adimensionais idênticas.
2. Se, em adição, as condições iniciais e condições de 
contorno são as mesmas (o que é possível apenas se 
os dois sistemas diferentes são geometricamente 
semelhantes), então os dois sistemas são idênticos 
matematicamente; ou seja, v*(x*, y*, z*, t*) e p*(x*, y*, 
z*, t*) são os mesmos em ambos sistemas diferentes.
3. Tais sistemas são, então, ditos serem “dinamicamente 
semelhantes”
Resumindo: “sistemas diferentes são dinamicamente 
semelhantes quando são geometricamente semelhantes, 
possuem as mesmas condições de contorno e iniciais e 
possuem os mesmos números adimensionais com valores 
idênticos.”
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Parâmetros Adimensionais comuns
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O significado físico de cada parâmetro pode ser 
determinado observando que cada número adimensional 
pode ser escrito como a relação entre duas forças. 
Observe que as forças são:
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Assim, observamos que:
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A tabela a seguir resume esta seção:
Parâmetros adimensionais comuns na mecânica dos Fluidos
pgm1 (16:30)