NOTAS DE AULA EME505

Prévia do material em texto

7- 1
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
NOTAS DE AULA
Prof. Dr. André Garcia Chiarello
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
Bibliografia:
Resistência dos Materiais – F.P.Beer, E.R.Johnston-5ed. 
Resistência dos Materiais – R.C. Hibbeler-5ed. 
7- 2
Resistência dos Materiais II – Ementa resumida
1-Equações e círculo de Mohr para o estado 
tridimensional de tensões e deformações.
2-Teoria das falhas estáticas para materiais 
dúcteis e materiais frágeis.
3-Deformação em vigas: vigas estaticamente 
indeterminadas.
4-Energia de deformação: tensões e 
deformações para cargas de impacto.
5-Métodos de energia aplicados em vigas e 
estruturas.
6-Teorema de Castigliano.
7- 3
Estado geral de tensões
• O estado geral de tensões pode ser 
representado por 6 componentes de tensão:
),, :(Nota
tocisalhamen de tensão,,
normal tensão,,
xzzxzyyzyxxy
zxyzxy
zyx




• O estado geral de tensões pode ser também 
representado por um conjunto diferente de 
tensões se os eixos forem rotacionados.
7- 4
Estado geral de tensões
• Este estado também ocorre na superfície de 
componentes de máquinas submetido a forças 
externas, como mostrado na figura ao lado.
• Tensão Plana – estado de tensões no qual duas 
faces do elemento (cubo) estão livres de tensão.
• Pro exemplo
.0 e ,, xy  zyzxzyx 
• Este estado de tensões ocorre por exemplo em 
placas finas submetidas a forças no plano da placa.
7- 5
Transformações no plano de tensões
   
   
   
    



sinsincossin
coscossincos0
cossinsinsin
sincoscoscos0
AA
AAAF
AA
AAAF
xyy
xyxyxy
xyy
xyxxx





• Considere o elemento prismático com faces planas paralelas ao eixos x, y, e 
y’ . O elemento está em equilíbrio estático, portanto, pode-se escrever:









2cos2sin
2
2sin2cos
22
2sin2cos
22
xy
yx
yx
xy
yxyx
y
xy
yxyx
x
















• Rearanjando os termos e 
simplificando as equações, obtém-se:
7- 6
Calculando-se os valores máximos destas tensões normais, obtemos as 
expressões para as tensões principais no plano.
Transformações no plano de tensões
7- 7
Círculo de Mohr para o estado plano de tensões
As equações anteriores podem ser 
combinadas para formar a equação do 
círculo de raio R:
2
2
2
2
xy
yx
yx
med
R 








 



As tensões principais ocorrem nos planos 
principais onde a tensão de cisalhamento é nula.
o
yx
xy
p
xy
yxyx
minmax,
90 de separadosângulos dois define :Nota
tan













 



2
2
22
2
2
7- 8
Tensão de cisalhamento máxima
A tensão de cisalhamento máxima ocorre no plano onde :
medx  
 de45 separadose 90 de separadosângulos dois define :Nota tan p
oo
xy
yx
s   22 
2
2
2
xy
yx
max R 

 




 

•Plano das tensões de cisalhamento máximas:
7- 9
Casos especiais do círculo de Mohr
• Círculo de Mohr para o carregamento axial centralizado 
0,  xyyx
A
P 
A
P
xyyx
2
 
• Círculo de Mohr para a torção:
J
Tc
xyyx   0 0 xyyx J
Tc 
7- 10
Exemplo de aplicação
Para o estado plano de tensões 
mostrado, calcule:
(a) os planos principais,
(b) as tensões normais 
principais, 
(c) As tensões de cisalhamento 
máximas e a correspondente 
tensão normal.
Solução:
• Encontre a orientação dos planos principais
yx
xy
p 




2
2tan
• Determine as tensões principais 
2
2
minmax,
22
xy
yxyx  




 



• Determine a máxima tensão de cisalhamento
2
2
max
2
xy
yx 

 




 

7- 11
Exemplo de aplicação
• Orientação (ângulos) dos planos principais:
 
 







12331532
3331
1050
4022
2
,e,
,tan
p
yx
xy
p




 6116626 ,;, pp 
• Tensões principais (Tensões Normais)
   22
2
2
minmax,
403020
22






 


 xy
yxyx 


MPa30
MPa70
min
max




MPa10
MPa40MPa50


y
xyx


7- 12
Exemplo de aplicação
2
1050
2




yx
med

Tensão normal correspondente a 
máxima tensão de cisalhamento.
MPa20
Máxima tensão de cisalhamento e ângulo 
correspondente:
   22
2
2
max
4030
2






 
 xy
yx 


MPa50max 
45 ps 
 671418 ,,, ss 
MPaMPaMPa yxyx 104050  
xy
yx
stan 


2
2


8- 13
Exemplo de aplicação: tensões combinadas
• Um elemento de máquina ou um 
elemento estrutural normalmente 
apresenta múltiplos carregamentos.
• Deseja-se calcular as tensões em um 
determinado ponto do elemento.
• O ponto em questão deve pertencer a 
uma seção da peça que será analisada.
• O centroide da seção e seus eixos 
principais devem ser definidos 
previamente.
8- 14
Exemplo de aplicação: tensões combinadas
• Deve-se analisar os esforços que atuam 
em determinada seção plana do eixo. No 
caso geral, pode existir uma força 
normal P, duas forças cortantes (V), um 
momento torçor T e dois momentos 
fletores (M), como indicado na figura.
• A força normal e os momentos fletores produzem tensão normal da seção, 
enquanto que o torque e as forças cortantes produzem tensão de cisalhamento.
8- 15
Exemplo de aplicação: tensões combinadas
• As tensões normais planas e as tensões de cisalhamento calculadas em 
um determinado ponto da seção, são utilizados para se calcular as tensões 
principais.
8- 16
Exemplo: tensões combinadas
Para o ponto H na superfície da peça mostrada na figura, calcule as tensões 
normais máximas, a tensão de cisalhamento máxima e o plano das tensões 
principais.
8- 17
Exemplo: tensões combinadas
• Determine os esforços (forças e momentos 
associados) no centroide da seção EFG
     
   kNmm,kNM
M
kNm,m,kNm,kNM
kNVkN,50P,kN V
z
y
x
zx
3100030
0
58200075130050
7530




Propriedades geométricas da seção:
  
  
   4z
4
x
2
m,m,m,I
m,m,m,I
m,m,m,A
63
12
1
63
12
1
3
10747004001400
1015914000400
106514000400






8- 18
Exemplo: tensões combinadas
• Tensão normal em H.
  
  
  MPa66,0MPa,,,
m,
m,kNm,
m,
m,kNm
m105,6
kN
I
bM
I
aM
A
P
3-
x
x
z
z
y










223380938
10159
025058
107470
0200350
46
462

• Tensão de cisalhamento em H.     
  
  
MPa,
m,m,
m,kN
tI
QV
m,
m,m,m,yAQ
4
3
x
z
yz
3
5217
040010159
1058575
10585
0475004500400
6
6
6
11










Mx
8- 19
Exemplo: tensões combinadas
• Use as expressões das tensões principais ou o círculo de Mohr para calcular as 
tensões principais:




9813
47
470
437
,
MPa,
MPa,
MPa,
p
min
max
max




yx
xy
p
xy
yxyx












 



2
2tan
22
2
2
minmax,
2
2
max
2
xy
yx 

 




 

7- 20
Exemplo de aplicação
Para o estado de tensões mostrado determine:
(a) As tensões principais,
(b) As tensões no elemento girado de 300 em relação 
ao elemento original.
Utilize as equações das transformações principais
MPaxy
yxyx
)28;132(5280
22
2
2
minmax, 




 


 
MPaxy
yx
52
2
2
2
max 




 
 
(a) Solução: Aplicamos as equações das tensões principais e obtemos: 
Exemplo de aplicação
7- 21
MPa,)cos()(sen
cossen
MPa,)(sen)cos(
sencos
MPa,)(sen)cos(
sencos
xy
yx
yx
xy
yxyx
y
xy
yxyx
x
341604860
2
60100
22
2
6111604860
2
60100
2
60100
22
22
448604860
2
60100
2
60100
22
22




































(b) Aplicamos agora as equações das tensões em planos inclinados utilizando 
o ângulo de rotação igual a 30 graus:
Estado tridimensional de tensões
7- 22
Quando um determinado ponto do corpo é submetido a um estado 
geral de tensões tridimensional, sobre cada face de um elemento do material 
atuam um componente de tensão normal e dois componentes de tensão de 
cisalhamento.
Analogamente ao estado plano de tensões, é possível desenvolver 
equações de transformação de tensão para determinar os componentes das 
tensões normais e de cisalhamento que atuam em qualquer plano oblíquo do 
elemento.
Desta forma pode-se determinar qual o orientação do elemento em que 
suas faces estão submetidas apenas a tensões normais . Estas tensões são 
chamadas de tensões principais do estado tridimensional.
A análise tridimensional de tensões é importante para se determinar as 
máximas tensões no elemento. Será visto que a máxima tensão de cisalhamento 
absoluta é utilizada para estabelecer critérios de falhas em materiais dúcteis.
Estado tridimensional de tensões
7- 23
As 3 tensões principais apresentam a seguinte relação de intensidade:
Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta
7- 24
A análise das transformações principais tridimensionais não será feita aqui 
(disciplina de pós-graduação - Teoria da Elasticidade). 
Admitindo-se que as tensões principais sejam conhecidas, é possível utilizar o 
Círculo de Mohr para se calcular as tensões de cisalhamento máximas em cada 
plano e também a tensão de cisalhamento máxima absoluta.
Porque é importante calcular a tensão 
de cisalhamento máxima absoluta?
A resistência mecânica de um material 
dúctil depende fundamentalmente de 
sua capacidade de suportar tensão de 
cisalhamento. 
As teorias de falhas dos materiais serão 
estudadas neste curso
Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta
7- 25
7- 26
Círculo de Mohr para o estado tridimensional de tensões
• Estes 3 círculos representam as tensões 
normais e de cisalhamento para o estado 
geral de tensões.
• Os pontos A, B e C representam 
as tensões principais onde a tensão 
de cisalhamento é nula. minmaxmax
2
1  
• O raio do círculo maior corresponde à 
máxima tensão de cisalhamento absoluta.
• As transformações de tensão 
podem ser representadas no 
círculo de Mohr.
•Para as três tensões principais positivas:
7- 27
Tensão de cisalhamento máxima absoluta no estado plano
A máxima tensão de cisalhamento absoluta 
corresponde ao ponto D e atua num plano 
a 45 graus das tensões principais.
No estado plano de tensões, uma das tensões 
principais (tensão intermediária) é nula. 
Se as tensões principais tem sinais opostos 
(tração e compressão) os pontos A e B estão em 
lados opostos da origem O.
7- 287- 28
Se as tensões principais possuem sinais 
iguais, os pontos A e B estão do mesmo lado 
em relação ao eixo vertical e a tensão mínima 
é nula, então:
a) A tensão de cisalhamento máxima 
absoluta é igual a metade da máxima 
tensão normal.
Tensão de cisalhamento máxima absoluta no estado plano
b) A tensão de cisalhamento máxima 
absoluta ocorre a 45o dos planos principais 
(fora do plano das tensões principais)
Tensão de cisalhamento máxima absoluta no estado plano de 
tensões – resumo. 
7- 29
7- 30
Conclusão:
•As tensões principais no estado geral de tensões representam um elemento 
orientado de modo que apenas três tensões principais atuem sobre ele. A partir 
desta orientação, obtemos a tensão de cisalhamento máxima absoluta analisando-
se o círculo de Mohr para o estado tridimensional. 
•Para o estado plano de tensões, se ambas as tensões principais tiverem o mesmo 
sinal, a tensão de cisalhamento máxima absoluta ocorrerá fora do plano destas 
tensões e terá valor igual a:
•Para o estado plano de tensões, se ambas as tensões principais tiverem sinais 
opostos, a tensão de cisalhamento máxima absoluta será igual a tensão de 
cisalhamento máxima no plano das tensões principais e terá valor igual a:
Exemplo de aplicação
7- 31
Um elemento situado na superfície da 
estrutura indicada na figura, apresenta o 
estado plano de tensões mostrado. 
Para este ponto, calcule as tensões 
principais e a tensão de cisalhamento 
máxima absoluta.
Conversão de unidades:
1 in = 1 polegada = 25,4 mm
1 lb = 1 libra força = 4,448 N
1 psi = 1lb/in2 =6,895x103 Pa
Exemplo de aplicação
7- 32
241
2
10
2
2
2
,R xy
yx
yx
med





 








As tensões principais podem ser calculadas por meio das equações de tensões 
principais ou por meio do circulo de Mohr. Neste caso, vamos utilizar o 
círculo de Mohr. 
Calculamos inicialmente o centro do círculo e o seu raio utilizando as 
expressões:
Marcamos as coordenadas do ponto A: 
Tensão de cisalhamento -40 psi na parte 
superior do círculo e tensão normal de 
-20 psi na parte negativa do eixo das 
tensões.
Exemplo de aplicação
7- 33
(anti-horário)
-2x40
-20
Exemplo de aplicação
7- 34
Neste caso, as tensões principais tem sinais opostos, então, a tensão de 
cisalhamento máxima absoluta vale:
xy
yx
stan 


2
2


7- 35
Tensões em vasos de pressão de paredes finas
• Vaso de pressão cilíndrico
1 = tensão principal longitudinal
2 = tensão principal transversal
   
t
pr
xrpxtFz


1
1 220


• Do equilíbrio de forças nas seções do vaso, 
vem:
   
21
2
2
2
2
2
20






t
pr
rprtFx
7- 36
Círculo de Mohr para o vaso de pressão 
• Máxima tensão de cisalhamento no plano:
t
pr
42
1
2max  
• A tensão de cisalhamento máxima absoluta 
ocorre fora do plano e corresponde a uma 
rotação de 45o do elemento em relação ao eixo 
longitudinal
t
pr
abs
max
2
2  
• Os pontos A e B correspondem as tensões, 1 e 2 calculadas anteriormente
7- 37
Vasos de pressão esféricos
• Para vasos esféricos:
t
pr
2
21  
• A tensão de cisalhamento 
máxima absoluta ocorre fora do 
plano:
t
pr
abs
max
4
12
1  
• Círculo de Mohr pra o estado de 
tensões
0
constante
plano) max(no
21




Exemplo de aplicação
7- 38
Um ponto na superfície do vaso cilíndrico apresenta o estado plano de tensões 
indicado na figura. Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta para 
este ponto
Exemplo de aplicação
7- 39
Calculamos inicialmenteas tensões principais utilizando as expressões e 
desenhamos o círculo de Mohr correspondente. 
)16;32(824
22
2
2
minmax, 




 


 xy
yxyx 
Neste caso, como as tensões principais são positivas 
e a tensão de cisalhamento máxima no plano destas 
tensões é:
7- 40
Deformações no estado plano de tensões
• Deformação plana – ocorrem em planos 
paralelos e são iguais em cada plano.
• Exemplo: uma barra submetida a 
carregamento em y e x com extremidades 
livres.
• A figura ao lado ilustra o caso da 
deformação no estado plano
 0
 :são plana deformação da scomponente os
x  zyzxzxyy 
suporte
suporte
Direções das deformações no estado plano de tensões
7- 41
Efeito do coeficiente de Poisson nas deformações
7- 42
7- 43
Equações da deformação no estado plano
• Considere um elemento diferencial 
plano que se deforma na seguinte 
maneira:
yxplanonoltransversadef
ydireçãonanormaldef
xdireçãonanormaldef
xy
y
x



.
.
.

















2cos
2
2
22
2
2
2cos
22
2
2
2cos
22
xyyxyx
xyyxyx
y
xyyxyx
x
sen
sen
sen
















• Aplicando as relações trigonométricas obtém-se as equações das deformações 
(normais e de cisalhamento) para um elemento girado de um ângulo θ:
7- 44
Círculo de Mohr para a deformação plana
• As equações para as máximas deformações 
planas são da mesma forma que as equações 
das máximas tensões planas.
• A posição do centro C e o raio R são:
22
222 











 



xyyxyx
ave R

  22max 2 xyyxR  
• Máxima deformação de cisalhamento:
• Plano principal de deformação e as 
deformações normais principais são:
RR aveave
yx
xy
p







minmax
2tan
7- 45
Círculo de Mohr para a deformação plana
Figura 10.9
Plano das deformações principais 
7- 46
Plano das deformações por cisalhamento principais 
7- 47
Círculo de Mohr para a deformação plana
Exemplo de aplicação
7- 48
Exemplo de aplicação
7- 49
7- 50
Exemplo de aplicação
7- 51
Exemplo de aplicação
7- 52
Deformação por cisalhamento máxima absoluta
Considere um elemento submetido ao estado de tensões principais 
tridimensional. Nesta condição, haverá também deformações normais nas três 
direções principais, mas não haverá deformações por cisalhamento.
Deformação por cisalhamento máxima absoluta
7- 53
Considerando-se que neste exemplo as deformações principais são todas 
positivas, cada plano do elemento possui seu respectivo círculo de Mohr
representado na figura abaixo.
Analisando-se os três círculos vê-se que a deformação por cisalhamento 
máxima absoluta é determinada no círculo de raio maior. Ela ocorre no elemento 
orientado a 450 em torno do eixo y’ (900 no círculo de Mohr) em relação ao 
elemento mostrado na sua posição original. 
7- 54
Deformação por cisalhamento máxima absoluta-
Estado plano de deformações.
Considere agora o estado plano de deformações, ou seja, uma das deformações é 
nula e ambas deformações são positivas. O elemento que representa este estado 
de tensões e seu respectivo círculo de Mohr estão representados nas figuras 
abaixo. Neste caso, a deformação por cisalhamento máxima absoluta vale:
7- 55
Deformação por cisalhamento máxima absoluta-
Estado plano de deformações.
Quando as deformações no estado plano possuem sinais diferentes, a deformação 
por cisalhamento máxima absoluta vale:
7- 56
Análise tridimensional de deformações
• Foi dito anteriormente que, para o caso 
tridimensional de tensões, os 3 eixos principais 
(na direção das tensões principais) são os eixos 
perpendiculares aos planos (faces) do elemento 
cúbico onde a as tensões de cisalhamento são 
nulas.
• Pela lei Hooke, segue que os planos principais 
de deformação são os planos principais de 
tensão. 
• Desta forma a representação das deformações 
pode ser feita por meio do Circulo de Mohr, 
chamado: Círculo de Mohr das deformações.
7- 57
Análise tridimensional de deformações
• Para o caso de deformações planas, 
- O eixo z é também um eixo principal 
- A deformação principal na direção z é 
representada no ponto Z = 0 .
• Se os pontos A e B estão em lados opostos da 
origem, a deformação por cisalhamento 
máxima absoluta está localizada nos pontos , 
D e E, no mesmo plano das deformações.
• Se os pontos A e B estão do mesmo lado em 
relação à origem, a deformação por 
cisalhamento máxima absoluta está fora do 
plano das deformações e é representada pelos 
pontos D’ e E’.
7- 58
Análise tridimensional das deformações
• As correspondentes deformações 
principais podem ser calculadas por 
meio das expressões do estado geral 
de tensões.
   babac
ba
b
ba
a
E
EE
EE















1
• Se B está localizado entre A e C no Círculo de Mohr, a deformação de 
cisalhamento máxima absoluta é igual ao diâmetro CA.
• Note que as deformações no plano perpendicular ao plano das tensões, não é 
zero.
• Considere o caso de tensões planas
0 zbyax 
Lei de Hooke Generalizada 
7- 59
Para um estado tridimensional de tensões e deformações, utilizamos a Lei de 
Hooke Generalizada.
•A Lei de Hooke Generalizada estabelece uma relação entre tensões normais e 
deformações normais bem como, uma relação entre tensões de cisalhamento e 
deformações de cisalhamento para um estado qualquer de tensões/deformações 
tridimensional.
Lei de Hooke Generalizada para deformações
7- 60
•Para as deformações Normais a Lei de Hooke Generalizada é definida por:
•Para as deformações transversais (cisalhamento) podemos escrever
Relação entre E e G
7- 61
•O módulo de elasticidade longitudinal e o módulo de elasticidade transversal 
do material estão relacionados com o coeficiente de Poisson na forma: 
•Para um elemento plano em cisalhamento puro, o estado de tensões é dado por:
Cisalhamento puro no plano
7- 62
•Aplicando-se a equação das tensões principais no plano para este elemento na 
forma:
•Lembrando que a tensão principal perpendicular ao plano é nula para este caso 
( ) podemos substituir estas tensões na Lei de Hooke Generalizada para 
obtermos as deformações associadas à este estado, resultando em 
•Resulta em:
Exemplo de aplicação
7- 63
22
22
2











 



xyyx
yx
med
R



•Solução: Calculamos as deformações principais: 
R,R,tan aveminavemax
yx
xy
p 

 
2
7- 64
Exemplo de aplicação
Neste caso, as deformações principais possuem sinais opostos, então, a 
deformação por cisalhamento máxima absoluta será:
•Círculo de Mohr para as deformações:
00 7142
200400
150
2





pp
yx
xy
p
,
tan




•Plano das tensões principais:
(rotação no sentido horário)
7- 65
Medição de deformação: strain gages
• Strain gages ou extensômetros indicam 
deformações normais por meio da variação na 
resistência do fio.
 yxOBxy   2
• Utilizando uma roseta 45o x e y podem 
ser medidos diretamente. xy é obtido por 
meio da expressão:
333
2
3
2
3
222
2
2
2
2
111
2
1
2
1



cossensencoscossensencos
cossensencos
xyyx
xyyx
xyyx



• As deformações normais (e de 
cisalhamento) podem ser obtidas em 
qualquer direção através das relações:
(10.16)
Medição de deformação: strain gages
7- 66
Exemplo de aplicação
7- 67
Exemplo de aplicação
7- 68
Exemplo de aplicação
7- 69
−149
60 − 246
Exemplo de aplicação
7- 70
    621213
621
2
621
1
10131
1
10833
10272


















E
,
EE
EE
Nota: Neste caso, se considerarmos o 
coeficiente de Poisson igual a 0,3 a 
deformação por cisalhamento máxima 
absoluta será = (272+131)x10-6
Exemplo de aplicação
7- 71
Determine as tensões principais do suporte no ponto A sabendo-se que as 
deformações principais já foram calculadas (exemplo de aplicação anterior). 
Considere que o suporte é feito de aço com módulo de elasticidade de 200 GPa e 
Coeficiente de Poisson igual a 0,3.
Exemplo de aplicação
7- 72
Como não há tensão normal na direção perpendicular à superfície da peça, 
( ) utilizamos a Lei de Hooke Generalizada para o estado plano de 
tensões na forma:
Substituindo-se os valores das deformações principais conhecidas, obtemos as 
tenões principais associadas:
Exemplo de aplicação – solução alternativa
7- 73
Também é possível resolver o problema a partir do estado plano de deformações 
utilizando o estado de deformações calculado no exemplo de aplicação anterior:
Aplicando-se a Lei de Hooke Generalizada para este estado de deformações, 
obtemos:
Exemplo de aplicação - solução alternativa
7- 74
As tensões principais para este estado de tensões são:
7- 75
Introdução aos critérios de falhas: tensões planas
• A falha de um componente submetido a 
um carregamento axial pode ser prevista 
pelo ensaio de tração correspondente.
• Critérios de falhas são baseados no mecanismo de 
falhas. Permitem fazer comparações entre o estado 
plano de tensões e o ensaio de tração uniaxial.
• A falha de um componente submetido a um estado 
plano de tensões não pode ser prevista diretamente 
pelo ensaio de tração correspondente.
• É necessário determinar as tensões principais e 
definir um critério de falha correspondente ao 
estado de tensões.
7- 76
Critério da máxima tensão de cisalhamento
Definição: O componente estrutural está 
seguro enquanto a máxima tensão de 
cisalhamento (absoluta) for menor que a 
tensão de cisalhamento de um corpo de 
prova em ensaio de tração no limite do 
escoamento. 
e
abs
e
esc
abs
ou   maxmax 2
2
Para a e b (tensões principais) com o 
mesmo sinal:
22
ou
2
max
eba
abs
 
Para a e b (tensões principais) com 
sinais opostos:
22
max
eba
abs
 


e
e
e
e
7- 77
Critério da máxima tensão de cisalhamento ou Critério de 
Tresca
Para materiais dúcteis, o deslizamento ocorre ao longo de planos de contato dos 
cristais que formam o material. Este deslizamento deve-se à tensão de 
cisalhamento.
Um corpo de prova polido em ensaio de tração, provoca o escoamento do 
material em planos a 450 do eixo de tração. Os planos de deslizamento podem 
ser vistos no corpo de prova e são denominado Linhas de Luder.
O círculo de Mohr pode ser desenhado para este estado de tensões, onde se 
observa que a máxima tensão de cisalhamento tem valor igual a metade da 
tensão de escoamento do material.
Além disso, a máxima tensão de cisalhamento ocorre a 900 do eixo x, ou seja a 
450 no elemento.
Esta teoria de falha também é chamada de Critério de Escoamento de Tresca
( Henri Tresca, 1968).
7- 78
Critério da máxima tensão de cisalhamento ou Critério de 
Tresca
7- 79
Critério da máxima tensão de cisalhamento
7- 80
Critério da máxima energia de distorção 
Definição: O componente estrutural está 
seguro enquanto a energia de distorção por 
unidade de volume for menor que a 
correspondente energia de distorção de um 
corpo de prova em ensaio de tração no 
limite de escoamento.
22
221
2
1 eed uu  
•Quando um material se deforma, este absorve energia internamente. Esta 
energia por unidade de volume é chamada densidade de energia de 
deformação e é definida por:
7- 81
Critério da máxima energia de distorção 
•A densidade de energia de deformação de um elemento de volume submetido as 
tensões principais triaxiais será dada por:
•Se o material se comporta de maneira 
linear-elástica, a lei de Hooke se aplica. 
Desta forma pode-se escrever:
7- 82
•A densidade de energia de deformação pode ser entendida como a soma de 
duas parcelas. Uma parcela é responsável pela mudança de volume do 
elemento, sem distorce-lo. A outra parcela é responsável pela distorção 
do elemento, sem alterar seu volume.
•Experimentos mostram que o material não escoa quando existe apenas 
alteração de volume (pressão hidrostática). 
•R. von Mises e H. Hencky propuseram a teoria de energia de distorção com 
base nestes experimentos. 
•Descontando-se a parcela da densidade de energia que provoca apenas 
mudança de volume no elemento, pode-se escrever a parcela da densidade de 
energia que distorce o elemento:
Critério da máxima energia de distorção 
7- 83
Critério da máxima energia de distorção 
Para o caso do estado plano de tensões , a expressão fica na forma:
Para um teste de tração uniaxial: 
Igualando as duas densidades de energia:
Esta equação representa uma curva elíptica. Assim se um ponto do material 
estiver tracionado de tal forma que suas tensões estiverem fora da área 
sombreada, diz-se que o material falhou. 
7- 84
Comparação dos critérios de falhas para materiais dúcteis: 
7- 85
Tensão equivalente de Von Mises
Tensão Equivalente de Von Mises: Se extrairmos a raiz quadrada em ambos os 
lados da expressão,
obtemos a Tensão Equivalente de Von Mises para o caso bidimensional. 
Para o caso tridimensional a tensão equivalente de Von Mises fica na forma:
𝜎𝑉𝑀 = 𝜎1
2 − 𝜎1 𝜎2 + 𝜎2
2 1/2
7- 86
Critério de falhas para materiais frágeis
Critério da máxima tensão normal: O componente estrutura estará seguro 
enquanto a máxima tensão normal for menor que a tensão de ruptura do 
material obtida no ensaio de tração.
Urupturab
Urupturaa




Materiais frágeis sofrem falha repentina durante o 
ensaio de tração. A condição de falha é caracterizada 
pela tensão limite (ou de ruptura) do material U.
7- 87
•Materiais frágeis, como ferro fundido, falham 
subtamente por fratura sem escoamento 
aparente. U eixo cilíndrico, submetido apenas 
a um momento de torção, apresenta um plano 
de fratura a 450 em relação ao eixo. 
•Isto ocorre porque, neste estado de tensões, o 
elemento na superfície do eixo está submetido 
a cisalhamento puro. A máxima tensão normal 
neste elemento ocorre no plano que está a 450 
em relação ao eixo.
A teoria da Tensão Normal Máxima para 
materiais frágeis estabelece que um material 
falha quando a tensão principal máxima atinge 
o valor limite igual a tensão limite de ruptura 
que o material suporta em um ensaio de 
tração.
7- 88
7- 89
•Em alguns materiais frágeis, as propriedades de tração e deformação são 
diferentes. Neste caso usa-se o critério baseado no círculo de Mohr para prever 
a falha do material.
•O método foi desenvolvido por Otto Mohr e é denominado critério de falha de 
Mohr. O método pode ser resumido nos gráficos mostrados abaixo.
7- 90
Exemplo de aplicação7- 91
•1 in = 1 polegada = 25,4 mm
•1 lb = 1 libra força = 4,448 N
•1 ksi = 103 lb/in2 =6,895x106 Pa
O eixo maciço mostrado na figura, tem raio de 0,5 pol e é feito de aço com 
tensão limite de escoamento de 36 ksi. Determine se o carregamento mostrado 
provocará falha de acordo com as teorias de tensão de cisalhamento máxima e 
a teoria da energia de distorção máxima.
7- 92
Exemplo de aplicação
•Calculamos inicialmente a tensão normal produzida pela força P e a tensão de 
cisalhamento produzida pelo torque T, em um ponto localizado na superfície do 
eixo.
•As tensões principais deste elemento podem agora ser calculadas pelas 
expressões conhecidas:
7- 93
Exemplo de aplicação
•Pela teoria da máxima tensão normal, devemos ter:
Logo, por esta teoria, haverá falha
7- 94
•Teoria da máxima energia de distorção: Por esta teoria, devemos ter:
•Logo, por esta teoria, não haverá falha.
7- 95
Exemplo de aplicação
O tubo mostrado na figura tem diâmetro interno de 60 mm e diâmetro externo 
de 80 mm. Supondo que esteja sujeito a um momento de torção de 8 kNm e a 
um momento fletor de 3,5 kNm, conforme indicado, determinar de essas cargas 
provocam a falha definida pela teoria da energia de distorção máxima. A tensão 
limite de escoamento do material é 250 MPa.
7- 96
Exemplo de aplicação
Calculamos inicialmente a tensão normal produzida pelo momento fletor e a 
tensão de cisalhamento produzida pelo momento de torção. Analisando uma seção 
transversal arbitrária, nota-se que o momento fletor produz tensão normal máxima 
de tração no ponto B e tração normal máxima de compressão em A. O torque 
produz tensão de cisalhamento máxima na superfície do eixo, onde estão os 
pontos A e B.
7- 97
Exemplo de aplicação
•O estado de tensões do elemento no ponto A 
pode ser observado na figura ao lado. As tensões 
principais para este elemento serão:
•Pelo critério da energia de distorção máxima, temos:
Exemplo de aplicação
7- 98
•O eixo maciço de ferro fundido mostrado na figura está sujeito ao torque de 400 
lb.pés. Determinar o menor raio de modo que não ocorra falha, de acordo com a 
teoria da tensão normal máxima. A tensão limite de resistência do material é 20 ksi
7- 99
•Calculamos inicialmente a máxima tensão de cisalhamento produzida pelo 
torque, que ocorre na superfície do eixo.
•O estado de tensões deste elemento na superfície do eixo é de cisalhamento 
puro, e seu círculo de Mohr é representado abaixo. Neste caso, as tensões 
principais podem ser facilmente obtidas. 
Condição para não falhar:
9- 100
Deformação em vigas
•Deformação de vigas para cargas verticais
•Equação da curva elástica
•Vigas estaticamente indeterminadas
•Método da superposição de efeitos em vigas estaticamente indeterminadas
•Exercícios resolvidos
9- 101
Deformação de vigas para força vertical
Uma viga uniforme, com módulo de 
elasticidade E, momento de inércia I e 
sujeita à um momento fletor M, sofre uma 
flexão com raio de curvatura de acordo 
com a expressão:
EI
xM )(1


Para a viga em balanço com carga 
concentrada na extremidade:
Então podemos escrever:
EI
Px


1
Para x=L:
PL
EI
 , B
B
 

0
1

Px)x(M 
Para x=0: 
 A
A
 ρ,
ρ
0
1
x
Raio de curvatura de uma viga - revisão
9- 102
Figura 12.5bFigura 12.5a
9- 103
Raio de curvatura de uma viga - revisão
9- 104
Raio de curvatura de uma viga - revisão
O produto EI nesta equação, denominado rigidez à flexão, é sempre uma 
quantidade positiva. O sinal do raio de curvatura depende da direção do 
momento fletor. Quando o momento é positivo, o raio de curvatura é positivo e 
vice-versa. 
9- 105
Deformação de vigas para carga transversal
• A curvatura da viga é nula onde o momento fletor é 
zero. Para o exemplo mostrado, a curvatura da 
viga ABCD é nula em A, E e D.
EI
xM )(1


• A viga tem curva com concavidade para cima no 
trecho onde o memento fletor é positivo e 
concavidade para baixo, no trecho onde o momento 
fletor é negativo.
• A curvatura é máxima onde o momento é máximo. 
Para se determinar o ponto do momento máximo é 
necessário determinar a expressão do momento 
fletor em relação à x.
9- 106
Equação da curva elástica
• Substituindo, vem:  
    21
00
1
0
2
21
CxCdxxMdxyEICdxxM
dx
dy
EIEI
xM
dx
yd
EIEI
xxx




• Raio de curvatura de uma curva em ponto Q com coordenadas x e y:
2
2
23
2
2
2
1
1
1
dx
yd
dx
dy
dx
yd



















 
2
2
dx
yd
EIxM 
Para pequenas
deformações.
9- 107
Equação da curva elástica
  21
00
CxCdxxMdxyEI
xx
 
• As constantes da integração são definidas 
pelas condições de contorno:
• Estudaremos apenas estes casos.
• Para vigas estaticamente determinadas, bi-
apoiadas:
0,0  BA yy
– Para vigas biapoiadas com uma 
extremidade livre:
0,0  BA yy
– Para vigas em balanço:
00  AA ,y 
9- 108
Curva elástica a partir do carregamento
• Substituindo na eq. do raio de curvatura, vem:
 xw
dx
yd
EI
dx
Md

4
4
2
2
   
43
2
22
13
16
1 CxCxCxC
dxxwdxdxdxxyEI

 
• Integrando quatro vezes, temos:
• Para uma viga com carregamento w(x), vale:
   xw
dx
dV
dx
Md
xV
dx
dM

2
2
• As constantes da integração são definidas pelas 
condições de apoio .
 
2
2
dx
yd
EIxM 
9- 109
Vigas estaticamente indeterminadas
000  Ayx MFF
A viga é portanto estaticamente indeterminada. 
Uma equação adicional é a equação de 
deformação, ou seja:
• Considere a viga engastada em A com apoio 
rolante na extremidade B. O diagrama de corpo 
livre indica 4 incógnitas para 3 equações de 
equilíbrio estático no plano.
  21
00
CxCdxxMdxyEI
xx
 
que, por sua vez introduz duas incógnitas 
adicionais. Mas temos mais 3 equações dadas 
pelas condições de contorno:
0,Em
00,0Em 


ytemosLx
yetemosx 
9- 110
Exemplo de aplicação
A viga horizontal uniforme, com seção transversal constante, está apoiada 
em A e B e suporta a força vertical P aplicada na extremidade C. 
Considerando-se que a deflexão máxima ocorre entre A e B, calcule:
(a) A equação da curva elástica.
(b) A máxima deflexão da viga.
 xM
dx
yd
EI 
2
2
Utilize a equação geral da linha elástica:
9- 111
Exemplo de aplicação
x
L
a
P
dx
yd
EI 
2
2
Equação diferencial da curva elástica (AD),
Devemos calcular a equação do momento fletor
para no trecho AB e no trecho BC. Calculamos 
inicialmente as reações nos apoios A e B.







L
a
PR
L
Pa
R BA 1
Do diagrama de corpo livre em AD,
 Lxx
L
a
PM  0
 xM
dx
yd
EI 
2
2
9- 112
Exemplo de aplicação
PaLCLCL
L
a
PyLx
Cyx
6
1
6
1
0:0, em
0:0,0 em
11
3
2


• Integrando duas vezes a equação, temos:
21
3
1
2
6
1
2
1
CxCx
L
a
PyEI
Cx
L
a
P
dx
dy
EI


x
L
a
P
dx
yd
EI 
2
2















32
6 L
x
L
x
EI
PaL
y PaLxx
L
a
PyEI
L
x
EI
PaL
dx
dy
PaLx
L
a
P
dx
dy
EI
6
1
6
1
31
66
1
2
1
3
2
2
















Substituindoos valores:
9- 113
Exemplo de aplicação
• Ponto de deflexão máxima ocorre onde:















32
6 L
x
L
x
EI
PaL
y
L,
L
x
L
x
EI
PaL
dx
dy
m
m
5770
3
31
6
0
2
















• Deflexão máxima para:
  3
2
57705770
6
,,
EI
PaL
ymax 
EI
PaL
,ymax
2
06420
L,xm 5770
9- 114
Exemplo de aplicação
Para a viga estaticamente indeterminada com o carregamento indicado, 
calcule o ângulo de deflexão em A e a força de reação do apoio em A.
9- 115
Exemplo de aplicação
L
xw
xR
dx
yd
EI A
6
3
0
2
2

• A equação diferencial da curva elástica, fica na forma:
• Considere o diagrama de corpo livre no trecho AD. Calculamos inicialmente 
o carregamento resultante no segmento AD e seu centroide. Posteriormente, 
aplicamos as equações de equilíbrio.
L
xw
xRM
M
x
L
xw
xR
M
A
A
D
6
0
32
1
0
3
0
2
0












 xM
dx
yd
EI 
2
2
9- 116
Exemplo de aplicação
• Integrando duas vezes
L
xw
xRM
dx
yd
EI A
6
3
0
2
2

21
5
03
1
4
02
1206
1
242
1
CxC
L
xw
xRyEI
C
L
xw
xREI
dx
dy
EI
A
A

 
• Aplicando as condições de contorno:
0
1206
1
:0, em
0
242
1
:0, em
0:0,0 em
21
4
03
1
3
02
2



CLC
Lw
LRyLx
C
Lw
LRLx
Cyx
A
A
• Resolvendo o sistema de equações, encontramos:
0
30
1
3
1 4
0
3  LwLRA
 LwRA 0
10
1
3
01
120
1
LwC 
9- 117
Exemplo de aplicação
 42240 65
120
LxLx
EIL
w
dx
dy
 EI
Lw
A
120
3
0
• Diferenciando uma vez, obtemos:
Para x = 0,
xLw
L
xw
xLwyEI 











 30
5
03
0
120
1
12010
1
6
1
 xLxLx
EIL
w
y 43250 2
120

• Substituindo os valores de C1, C2 e RA na equação da curva elástica, temos,
9- 118
Método da superposição
Princípio da superposição:
• As deflexões de vigas sujeitas a vários tipos de carregamentos, pode ser obtida 
por meio da soma individual de cada carregamento. 
• Este procedimento é facilitado com o uso de tabelas de deflexão encontrados 
nos livros de resistência dos materiais.
9- 119
9- 120
9- 121
Exemplo de aplicação
9- 122
9- 123
Exemplo de aplicação
9- 124
Exemplo de aplicação
Utilizando o método da superposição de 
efeitos, calcule a deflexão e o ângulo de 
deflexão em B.
Solução: O carregamento mostrado pode ser obtido por meio da soma dos 
seguintes carregamentos.
9- 125
Exemplo de aplicação
Carregamento 1
 
EI
wL
IB 6
3
  
EI
wL
y IB 8
4

Carregamento II
 
EI
wL
IIC 48
3
  
EI
wL
y IIC 128
4

No trecho CB, o momento é zero e a curva 
elástica é uma reta, portanto:
   
EI
wL
IICIIB 48
3
 
 
EI
wLL
EI
wL
EI
wL
y IIB 384
7
248128
434







9- 126
Exemplo de aplicação
   
EI
wL
EI
wL
IIBIBB 486
33
 
   
EI
wL
EI
wL
yyy IIBIBB 384
7
8
44

EI
wL
B
48
7 3

EI
wL
yB
384
41 4

Somando os efeitos, temos:
9- 127
Método da superposição para 
vigas estaticamente indeterminadas 
• O método da superposição pode ser 
utilizado para se calcular as reações 
nos suportes de vigas estaticamente 
indeterminadas.
• Identifique o suporte redundante e 
elimine-o.
• Determine as deformações na viga sem 
o suporte redundante.
• Faça o suporte redundante como 
sendo uma força desconhecida.
• Esta força desconhecida, junto com 
as demais forças aplicadas, devem 
produzir deformações compatíveis 
com a viga original.
9- 128
Exemplo de aplicação
Para a viga horizontal mostrada, calcule:
a) As reações nos suportes A, B e C.
b) O ângulo de deformação em A.
Solução:
• Retire o suporte redundante B e encontre as deformações na viga.
• Aplique uma força vertical em B que produz deslocamento nulo em B.
9- 129
Exemplo de aplicação
• Deformação para carregamento uniforme:
 
EI
wL
LLLLL
EI
w
y
wB
4
3
34
01132,0
3
2
3
2
2
3
2
24


























Deformação no ponto B,
Lx
3
2
   xLLxx
EI
w
y wB
334 2
24

9- 130
Exemplo de aplicação
• Deformação para a força redundante:
EIL
bPa
yax
3
, Em
22

 
EI
LR
L
L
EIL
R
y
B
B
RB
3
22
01646,0
33
2
3













 LbLa 3132 e Para 
9- 131
Exemplo de aplicação
• Aplicando-se as equações do equilíbrio estático, obtém-se as demais 
reações:
 wLRwLR CA 0413,0271,0
• A deformação em B deve ser nula, para se compatibilizar com a viga 
original, ou seja: yB = 0
   
EI
LR
EI
wL
yy B
RBwB
34
01646,001132,00   wLRB 688,0
9- 132
Exemplo de aplicação
 
EI
wL
EI
wL
wA
33
04167,0
24
    
EI
wL
EIL
bLPab
RA
3
03398,0
6



   
EI
wL
EI
wL
RAwAA
33
03398,004167,0  
EI
wL
A
3
00769,0
Ângulo de deformação da viga na extremidade A
11- 133
Métodos de energia
Densidade de energia de deformação
Energia de deformação normal
Energia de deformação de 
cisalhamento
Energia de deformação no estado 
geral
Cargas de impacto
Tensões e deformações para cargas 
de impacto
Trabalho e energia em estruturas
Teorema de Castigliano
Deflexão em estruturas utilizando o 
teorema de Castigliano.
11- 134
• Uma barra circular é submetida à uma força axial P como 
mostrado na figura.
• O trabalho total da força P para uma deformação x1 é:
que resulta no aumento da energia de deformação da barra. 
• No caso das deformações elásticas:
deformaçãodeenergiatotaltrabalhodxPU
x
 
1
0
Energia de deformação
• O trabalho elementar produzido pela força P para uma 
deformação dx na direção de P é:
que corresponde a área da faixa dx embaixo da curva P(x)
elementartrabalhodxPdU 
112
12
12
1
0
1
xPkxdxkxU
x
 
11- 135
Densidade de energia de deformação
• Para eliminar o problema da dimensão, divide-se a energia por volume:
 3
xx
x
J/m deformação deenergia de densidadeu
du
L
dx
A
P
V
U





1
1
0
0


• Quando o carregamento é retirado, as tensões caem a zero, mas havendo uma deformação 
permanente, apenas a energia representada na área triangular é recuperada.
• A densidade de energia de deformação total é igual a área sob a curva tensão-
deformação.
11- 136
Módulo de Tenacidade e Módulo de Resiliência
• A densidade de energia de deformação para 
1  R é definida como módulo de tenacidade.
• A energia por unidade de volume necessária para 
causar a ruptura do material está relacionada com a 
ductibilidade e com a tensão de ruptura do 
material. 
• No regime elástico, vale escrever:
• A densidade de energia de deformação para 
1  esc é o módulo de resiliência.
aresiliênci de módulo
E
u ee 
2
2




  3
2
1
21
0 22
1
m
J
E
E
dEu xx

esc
esc
11- 137
Energia de deformação na tensão normal
def. de energia lim
0



 

dVuU
dV
dU
V
U
u
V
• Dentro do regime elástico de deformação:
elástica defor. de energiadV
E
U x 
2
2
 

• Para força axial,
dxAdVAPx  
L
dx
AE
P
U
0
2
2
 J
AE
LP
U
2
2

• Para barras com seção transversal uniforme:
11- 138
Energia de deformação na tensão normal
Figura 14.3
11- 139
Energia de deformação na tensão normal
7- 140
As barras circulares de aço AB e BC são maciças com tensão de escoamento de 
300 MPa e módulo de elasticidade de 200 GPa. Calcule a máxima energia de 
deformação das barras para que não ocorra escoamento nas mesmas, nas 
seguintes condições: 
a) a = 2 m.
b) a = 4 m.
Energia de deformação na tensão normal - Exemplo
Diâmetro = 10 mm
Diâmetro = 6 mm
7- 141
Energia de deformação na tensão normal - Exemplo
A máxima força axial P 
é aquela que produz 
tensão de escoamento na 
área menor.
Calculamos a energia de deformação para cada segmento 
utilizando a máxima força P calculada. 
11- 142
Energia de deformação para vigas: tensão normal
I
yM
x 
• Para uma viga uniforme, a energia será:
  dVEI
yM
dV
E
U x
2
222
22

• Fazendo dV = dA dx,
dx
EI
M
U
dxdAy
EI
M
dxdA
EI
yM
U
L
L
A
L
A

  







0
2
0
2
2
2
0
2
22
2
22
• Para vigas uniformes em balanço,
com carga P na extremidade:
EI
LP
dx
EI
xP
U
PxM
L
62
32
0
22



Momento 
de Inércia=I
11- 143
Exemplo de aplicação
Calcule a energia de deformação da viga em relação a tensão normal para o 
carregamento indicado. 
Dados: força P, comprimento da viga L, módulo de elasticidade do material da viga 
E, momento de inércia da seção transversal I.
11- 144
Exemplo de aplicação
• Determine os momentos fletores nos 
trechos AD e BD da viga:
L
Pa
R
L
Pb
R BA 
v
L
Pa
Mx
L
Pb
M  21
11- 145
Exemplo de aplicação
• Integrando sobre o volume da viga para encontrar a energia de deformação:
 ba
EIL
baPbaab
L
P
EI
dxx
L
Pa
EI
dxx
L
Pb
EI
dv
EI
M
dx
EI
M
U
ba
ba


























2
2223232
2
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
1
6332
1
2
1
2
1
22
EIL
baP
U
6
222
v
L
Pa
M
BD, em fletor Momento
x
L
Pb
M
AD, em fletor Momento


2
1
11- 146
Energia de deformação no cisalhamento
• Para um material submetido à tensão de cisalhamento, a densidade de energia de 
deformação será:

xy
xyxy du


0
• Dentro do regime elástico, xy = G
 3
2
2
2
1
2
m/J
G
uGu
xy
xy
 
• A energia total é encontrada por:
 JdV
G
UdVuU
xy
  2
2
xy
11- 147
Energia de deformação no cisalhamento
11- 148
Energia de deformação no cisalhamento
11- 149
Energia de deformação na torção
J
T
xy

 
  dV
GJ
T
dV
G
U
xy
2
222
22

• Para um eixo submetido à um torque:
• Fazendo dV = dAdx :

  







L
L
A
L
A
dx
GJ
T
U
dxdA
GJ
T
dxdA
GJ
T
U
0
2
0
2
2
2
0
2
22
2
22

• Para eixos com seção transversal uniforme
GJ
LT
U
2
2

Momento Polar 
de Inércia = J
Exemplo de aplicação
11- 150
Figura 14.17
14.17
Exemplo de aplicação
11- 151
Determina-se inicialmente o torque interno nas duas regiões do eixo. Observa-se que 
os torques internos de 40 Nm e 15 Nm tem direções opostas, mas este fato não tem 
efeito na energia, já que os torques são elevados ao quadrado. O Momento de inércia 
polar do eixo vazado é:
Energia de deformação no cisalhamento em vigas
11- 152
Eq.14.11
Energia de deformação no cisalhamento
11- 153
Energia de deformação no cisalhamento
11- 154
Exemplo de aplicação
11- 155
Figura 14.14a
11- 156
Exemplo de aplicação
11- 157
Densidade de energia de deformação-estado geral de tensões
• No estado geral, o elemento está submetido a 3 tensões normais e 3 tensões de 
cisalhamento, produzindo suas respectivas deformações:
 zxzxyzyzxyxyzzyyxxu   21
• Em termos de tensões principais, a energia de deformação fica na forma:
  
 
       angular deformação a relativo 
12
1
 volumede mudança à relativo 
6
21
2
2
1
222
2
222






accbbad
cbav
dv
accbbacba
G
u
E
v
u
uu
E
u



11- 158
Energia de deformação para o estado geral de tensões
Figura 14.5
Eq. 14.9
Eq. 14.6
11- 159
Lei de Hooke Generalizada
Energia de deformação para o estado geral de tensões
Cargas de Impacto – Energia potencial
11- 160
Considere que o peso W é liberado sobre a mola com rigidez k de uma altura igual a h. 
Considere que não há perda de energia e que toda a energia potencial do peso é convertido 
em energia potencial de mola. 
Cargas de Impacto – energia potencial
11- 161
11- 162
Exemplo de aplicação
Exemplo de aplicação
11- 163
Parte a) – Quando a carga é aplicada gradualmente, o 
trabalho realizado pelo peso transforma-se em energia de 
deformação no tubo. Aplicando a conservação de energia, 
temos:
 J
AE
LP
U
2
2
Eq. Da energia para cargas axiais
Exemplo de aplicação
11- 164
•Parte b)
•Note que este deslocamento é duas vezes maior que o obtido no caso a)
Cargas de impacto – energia cinética
11- 165
11- 166
Tensões para cargas de impacto
• Considere que uma massa m atinge a 
barra com velocidade v0.
• A barra se deforma com o impacto, 
atingindo a tensão máxima m
• Para calcular m assume-se que toda a 
energia cinética é transferida à barra.
2
02
1 mvUm 
 dV
E
U mm
2
2
• Foi visto que a energia de deformação 
elástica para cargas axiais é
• Para a barra de seção uniforme:
V
Emv
V
EUm
m
2
02 
;dV
E
U x 2
2
•Um= máxima energia de deformação
11- 167
Exemplo de aplicação
Um corpo de massa m e velocidade v0 atinge a barra BCD. Sabendo-se que o 
diâmetro no trecho BC é o dobro do diâmetro no trecho CD, determine a 
máxima tensão normal produzida pelo impacto.
11- 168
Exemplo de aplicação
Devido a alteração no diâmetro da 
barra, as tensões normais produzidas 
são diferentes em BC e CD.
• Substituindo-se os valores das áreas e dos 
volumes para os segmentos BC e CD, 
temos:
L
AEU
P
AE
LP
AE
LP
AE
LP
U
m
m
mmm
m
5
16
16
5
416
222


• Cálculo da máxima tensão normal devido 
a carga Pm . A maior tensão está em CD.
AL
Emv
,
AL
EU
A
P
m
mm
m
2
0
5
8
5
16




EA
VP
EA
VP
U
EA
VP
dV
EA
P
U
A
P
,dV
E
U
CD
CDm
BC
BCm
m
mm
m
m
m
m
m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
2




 

2
02
1 mvUm 
11- 169
Exemplo de aplicação
Um bloco de peso W cai de uma 
altura h e atinge a extremidade A 
da viga. Determine a máxima 
tensão normal produzida na viga.Solução:
• A tensão normal na viga varia ao longo 
do comprimento L da viga e também ao 
longo da seção.
• Encontre carga Pm que produz a 
mesma energia do impacto.
• Calcule a tensão normal máxima 
produzida por Pm
11- 170
Exemplo de aplicação
E
V
dV
E
U
WhU
mm
m
m
22
22 



Foi visto que energia de deformação 
da viga em balanço para uma carga na 
extremidade vale:
3
32 6
6 L
EIU
P
EI
LP
U mm
m
m 
A tensão normal máxima ocorre no 
ponto B na superfície da viga distante c 
da linha neutra da seção transversal.
   22
66
cIL
WhE
cIL
EU
I
LcP
I
cM
m
m
mm
m




Quando o deslocamento em A
é pequeno em relação a h 
podemos escrever:
11- 171
Resumo: projeto para cargas de impacto
O que diminui a tensão máxima:
• Uniformidade da tensão
• Baixo módulo de elasticidade com 
alta tensão de escoamento
• Grande volume
• Barra com 2 diâmetros diferentes,
   
V
EU
ALLALAV
AL
EU
m
m
m
m
8
2/52/2/4
5
16





• Barra uniforme:
V
EUm
m
2

 
     
V
EU
VLcccLcIL
cIL
EU
m
m
m
m
24
//
6
4
12
4
124
4
12
2






• Viga circular em balanço:
Exemplo de aplicação
11- 172
11- 173
Exemplo de aplicação
11- 174
11- 175
Exemplo de aplicação
11- 176
Trabalho e energia para tensão normal
• Foi visto que para uma barra 
uniforme sobmetida a tensão 
normal, a energia de deformação 
total é obtida pela integração da 
densidade de energia no volume:
 
AE
LP
dxA
E
AP
U
dV
E
dVuU
L
22
2
2
0
2
2



 

• A energia de deformação pode ser obtida pelo 
trabalho produzido pela força P,

x
dxPU
0
• Para deformações elásticas, vale: 
PxxkdxkxdxPU
xx
2
12
2
1
00
 
• Conhecendo a relação entre força e 
deslocamento:
AE
LP
AE
LP
PU
AE
PL
x
A
P
L
x
E
L
L
EE
2
2
2
1 








 
11- 177
Trabalho e energia para cargas simples.
• A energia de deformação pode ser calculada pelo trabalho produzido por 
uma única força, conforme exemplos abaixo:
• Força transversal
EI
LP
EI
LP
P
yPdyPU
y
63
32
1
3
1
12
1
112
1
0
1










 
• Momento fletor
EI
LM
EI
LM
M
MdMU
2
2
11
12
1
112
1
0
1







  

JG
LT
JG
LT
T
TdTU
2
2
11
12
1
112
1
0
1







  

• Torção pura
11- 178
Deformação de estrutura composta por barras.
• Energia de deformação da estrutura
    
AE
lP
,
AE
,,lP
AE
LF
AE
LF
U BDBDBCBC
2332
22
3640
2
8060
22




• Igualando trabalho e energia:
AE
Pl
,y
yP
AE
LP
,U
B
B
7280
3640
2
1
2


• A energia de deformação de uma estrutura pode ser utilizada para se calcular a 
deformação em um determinado ponto submetido a uma carga.
l,Ll,L BDBC 8060 
Do equilíbrio estático 
P,FP,F BDBC 8060 
Para a geometria dada,
11- 179
Exemplo de aplicação
A treliça plana mostrada, é constituída por tubos de alumínio com área de seção 
transversal indicada na figura. Usando E = 73 GPa, calcule o deslocamento 
vertical do ponto E causado pela ação da carga estática P.
11- 180
Exemplo de aplicação
Solução:
• Reações nos apoios da treliça: 
821821 PBPAPA yx 
• Cálculo das forças em cada elemento da treliça: método dos nós.
PF
PF
CE
DE
8
15
8
17


0
8
15


CD
AC
F
PF
PF
PF
BD
AD
8
21
4
5


0ABF
11- 181
Exemplo de aplicação
• Calcule a energia de deformação 
de cada membro da treliça.
 2
22
29700
2
1
2
1
2
P
E
A
LF
EEA
LF
U
i
ii
i
ii

 
• Iguale o trabalho da força P com a energia 
de deformação da treliça:
  
9
33
2
2
1
1073
104010729
2
2970022










,
y
E
P
PP
U
yUPy
E
EE
 mm,yE 2716
11- 182
Trabalho e energia para cargas variadas
• Calcule a energia de deformação da viga 
produzida por P2 seguido por P1,
 21111221222221 2 PPPPU  
• Como as energias devem ser iguais, segue que 
1221 (Maxwell’s reciprocal theorem).
• Deslocamentos dos pontos 1 e 2 devido às 
cargas P1 e P2 
22212122212
21211112111
PPxxx
PPxxx




 22222112211121 2 PPPPU  
• Calcule a energia de deformação da viga 
produzida por P1 seguido por P2,
11- 183
Teorema de Castigliano
 22222112211121 2 PPPPU  
• Energia de deformação de uma viga 
submetida à duas forças:
• Derivadas parciais em relação às forças
2222112
2
1212111
1
, xPP
P
U
xPP
P
U





 
• Teorema de Castigliano: Para uma estrutura elástica, sujeita à n forças, o 
deslocamento xj do ponto de aplicação de Pj , pode ser expresso por:
 e 
j
j
j
j
j
j
T
U
M
U
P
U
x








 
11- 184
Teorema de Castigliano
Teorema de Castigliano
11- 185
Teorema de Castigliano
11- 186
Figura 14.39
11- 187
Teorema de Castigliano
11- 188
Teorema de Castigliano aplicado a treliças
11- 189
Teorema de Castigliano aplicado à vigas
Entretanto,
Teorema de Castigliano aplicado à vigas
11- 190
11- 191
Aplicação do Teorema de Castigliano
• O Teorema de Castigliano pode ser utilizado para se calcular os deslocamentos 
de uma estrutura sujeita à varias cargas simultâneas. 
• Para vigas uniformes:
 





L
jj
j
L
dx
P
M
EI
M
P
U
xdx
EI
M
U
00
2
2
• Para treliças uniformes:
j
i
n
i i
ii
j
j
n
i i
ii
P
F
EA
LF
P
U
x
EA
LF
U





 
 11
2
2
11- 192
Exemplo de aplicação
Utilizando o Teorema de Castigliano
e a mesma treliça do Exemplo 
anterior, determine o deslocamento 
vertical do ponto C devido à ação 
da carga P.
Aplique os método dos nós para encontras as forças nos elementos da 
treliça (em função da força Q).
Calcule a derivada da força em cada elemento em relação à carga Q.
Faça Q = 0 e aplique a expressão de Castigliano para treliças.
Roteiro da solução:
Introduza uma carga Q em C e encontre as reações nos apoios.
11- 193
Exemplo de aplicação
Utilizando o método dos nós e encontramos os 
esforços em cada elemento em função de Q. 
4
5
4
3
0
000
Q
F,
Q
F;F
QF;F,F,F
ADBDAB
CDACDECE


As forças em cada elemento da treliça devido a 
carga P já foram calculadas no exemplo anterior e 
por isso, não precisam ser calculadas novamente.
Então, calcularemos agora as forças nos elementos 
da treliça devido a carga Q. 
QBQAQA yx 4
3
4
3 
•Diagrama de corpo livre sem 
a força P
11- 194
Exemplo de aplicação 
• Calcule o deslocamento em C devido a P e Q:
 QP
EQ
F
EA
LF
y i
i
ii
C 42634306
1









 
•A força que atua em cada elemento, Fi da treliça será a soma das forças obtidas 
devido a carga P (exercício anterior) e devido a carga Q. Com isso, montamosa 
tabela abaixo
11- 195
Exemplo de aplicação
• Fazendo Q = 0 na expressão do deslocamento em C, obtém-se o deslocamento 
desejado em C:
 
Pa1073
10404306
9
3



N
yC
 mm ,yC 362
 
E
P
QP
EQ
F
EA
LF
y i
i
ii
C
4306
42634306
1









 
Exemplo de aplicação
11- 196
Figura 14.13
Exemplo de aplicação
11- 197
Figura 14.43
Exemplo de aplicação
11- 198
Exemplo de aplicação
11- 199
Exemplo de aplicação
11- 200
Figura 14.44
Exemplo de aplicação
11- 201
Figura 14.44
Exemplo de aplicação
11- 202
Figura 14.44
Exemplo de aplicação
11- 203
Apêndice