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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
AVANÇADA
2019
Prof.ª Marcia Elisa Jacondino Pretto
GABARITO DAS 
AUTOATIVIDADES
2
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
UNIDADE 1
TÓPICO 1
1 (BEER et al., 2013, p. 458) Uma peça de máquina feita de ferro fundido 
está submetida a um momento fletor de 3 kN m conforme mostra a 
figura. Sabendo que E = GPa e desprezando o efeito dos adoçamentos, 
determine: 
(a) as tensões de tração e compressão máximas na peça fundida e 
(b) o raio de curvatura dessa peça. 
R.: Com base na geometria de seção transversal, calcular a localização do 
centroide de seção e momento de inércia.
( )2x' I = 
yA
Y I A d
A
= +∑ ∑∑
Aplicar a fórmula elástica à flexão para encontrar a tração máxima e tensões 
de compressão.
m
Mc
I
σ =
Calcular a curvatura.
1 M
EIρ
=
3
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
Com base na geometria de seção transversal, calcular a localização do 
centroide de seção e momento de inércia.
2 3
3
3
3
Área, mm , mm , mm
1 (20)(90) 1.800 50 90 10
2 (40)(30) 1.200 20 24 10
3.000 114 10
y yA
A yA
= ×
= ×
= = ×∑ ∑
3114 10 38 mm
3.000
yA
Y
A
×
= = =∑
∑
( ) ( )2 3 2112
3 2 3 21 1
12 12
3 4 -9 4
(90)(20) (90 20)(12) (30)(40) (30 40)(18)
868 10 mm 868 10 m
xI I Ad bh Ad
I
′ = + = +
= + × + + ×
= × = ×
∑ ∑
4
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
Aplicar a fórmula elástica à flexão para encontrar a tração máxima e tensões 
de compressão.
( )( )
( )( )
9 4
9 4
3 kN m 0,022 m
868 10 m
3 kN m 0,038 m
868 10 m
76,0 MPa 131,3 MPa
m
A
A
B
B
A B
Mc
I
Mc
I
Mc
I
σ
σ
σ
σ σ
−
−
=
⋅
= =
×
⋅
= − = −
×
= + = −
Calcular a curvatura.
( )( )9 4
3 1
1
3 kN m 
165 GPa 868 10 m
1 20,95 10 m
 47,7m
M
EIρ
ρ
ρ
−
− −
=
⋅
=
×
= ×
=
UNI AUTOATIVIDADE
 
1 (BEER et al., 2013, p. 469): Uma laje de piso de concreto é reforçada por 
barras de aço de 16mm de diâmetro colocadas 38mm acima da face 
interior da laje, com 150mm de espaço entre seus centros. O módulo 
de elasticidade é de 25GPa para o concreto usado e de 205GPa para 
o aço. Sabendo que é aplicado um momento fletor de 4,5kNM a cada 
300mm de largura da laje, determine: 
(a) a tensão máxima no concreto e 
(b) a tensão no aço. 
5
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
R.: Transformar para uma seção feita inteiramente de concreto. 
( )2 2
205 GPa 8,2
25 GPa
8,2 402mm 3.296mm
aço
conc
aço
E
n
E
nA
= = =
= =
Avaliar as propriedades geométricas de seção transformada. 
( )
( )( ) ( )3 2 6 4
300 32,96 100 0 37,1mm
2
1 300 37,1 3.296 100 37,1 18,15 10 mm
3
xx x x
I
 
− − = = 
 
= + − = ×
Calcular as tensões máximas no concreto e no aço. 
( )( )
( )( )
1
6 4
2
6 4
4.500 kN m 37,1 mm
18,15 10 mm
4.500 kN m 62,9 mm
8,2
18,15 10 mm
9 MPa
127,9 MPa
conc
aço
conc
aço
Mc
I
Mc
n
I
σ
σ
σ
σ
⋅
= =
×
⋅
= =
×
=
=
6
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
TÓPICO 2
1 (HIBBELER, 2009, p. 228) A viga simplesmente apoiada tem a área de 
seção transversal mostrada na fi gura a seguir. Determine a tensão de 
fl exão máxima absoluta na viga e represente a distribuição de tensão 
na seção transversal nessa localização.
R.: O momento máximo interno na viga é . 22,5 kNmM =
Por razões de simetria, o centroide C e, portanto, o eixo neutro, passam a 
meia altura da viga.
7
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
E o momento de inércia é:
( )
( )( ) ( )( )( ) ( )( )
( )
2
3 2 3
6 4
1 1 2 0,25 0,02 0,25 0,002 0,16 0,02 0,3
12 12
 301,3 10 m
I I Ad
−
= +
   
= + +   
   
=
∑
Aplicando a fórmula da fl exão, para c = 170 mm:
( )
( )máx máx 6
22,5 0,17
; 12,7 MPa (Resposta)
301,3 10
Mc
I
σ σ
−
= = =
2 (HIBBELER, 2009, p. 230) A viga mostrada na fi gura tem área de seção 
transversal em forma de um canal. Determine a tensão de fl exão 
máxima que ocorre na viga na seção a–a.
R.: O momento interno resultante deve ser calculado em torno do eixo neutro 
da viga na seção a–a. Visto que o eixo passa pelo centroide:
8
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )
2 0,1 0,2 0,015 0,01 0,02 0,25
2 0,2 0,015 0,02 0,25
 0,05909 m 59,09 mm
yA
y
A
+
= =
+
= =
∑
∑
Aplicando a equação do equilíbrio de momento sobre o eixo neutro, temos:
( ) ( )0; 2,4 2 1,0 0,05909 0 4,859 kNmNAM M M+ = + − = ⇒ =∑
O momento de inércia sobre o eixo neutro é:
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
( )
3 2
3 2
6 4
1 0,25 0,02 0,25 0,02 0,05909 0,01
12
1 2 0,015 0,2 0,015 0,2 0,1 0,05909
12
 42,26 10 m
I
−
 
= + − 
 
 
+ + − 
 
=
A tensão de flexão máxima ocorre nos pontos mais afastados do eixo neutro.
( )
( )máx 6
4,859 0,2 0,05909
16,2 MPa (Resposta)
42,26 10
Mc
I
σ
−
−
= = =
9
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
3 (HIBBELER, 2009, p. 249) Uma viga composta é feita de madeira e 
reforçada com uma tira de aço localizada em sua parte inferior. Ela 
tem a área de seção transversal mostrada na fi gura abaixo. Se for 
submetida a um momento fl etor M = 2 kNm, determine a tensão normal 
nos pontos B e C. Considere Emad = 12 GPa e Eaço = 200 GPa.
R.: Transformaremos a seção em outra feita inteiramente de aço. 
( )aço mad
12 150 9 mm
200
b nb= = =
A seção transformada é mostrada na fi gura a seguir.
A localização do centroide (eixo neutro) é
( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )
0,01 0,02 0,150 0,095 0,009 0,15
0,03638 m
0,02 0,15 0,009 0,15
yA
y
A
+
= = =
+
∑
∑
10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
Portanto, o momento de inércia em torno do eixo neutro é
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
( )
3 2
3 2
6 4
1 0,15 0,02 0,15 0,02 0,03638 0,01
12
1 0,009 0,15 0,009 0,15 0,095 0,03638
12
 9,358 10 m
NAI
−
 
= + − 
 
 
+ + − 
 
=
Aplicando a fórmula da fl exão, a tensão normal em B’ e C é:
11
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
A tensão normal na madeira em B é: 
( )
( )
( )
( )
( )
' 6
6
'
2 0,17 0,03638
28,6 MPa
9,358 10
2 0,03638
27,87 MPa (Resposta)
9,358 10
12 28,56 1,71 MPa (Resposta)
200
B
C
B Bn
σ
σ
σ σ
−
−
−
= =
= =
= = =
UNI AUTOATIVIDADE
1 (BEER et al., 2013, p. 474 e 475): Uma corrente de elos abertos é 
obtida quando se dobram barras de aço de baixo teor de carbono, 
de 12mm de diâmetro, na forma mostrada. Sabendo que a corrente 
suporta uma força de 750 N, determine:
(a) as tensões máximas de tração e compressão na parte reta de um elo e 
(b) a distância entre o eixo que passa pelo centroide e a linha neutra de 
uma seção transversal.
R.: Encontrar o equivalente a uma força centrada e momento fl etor.
( )( )
750 N
750 N 0,016 m
12 N m
P
M Pd
=
= =
= ⋅
12
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
Sobrepor a tensão uniforme provocada pela força centrada e a tensão linear, 
provocada pelo momento fletor.
Tensão normal provocada por uma força centrada:
( )22 3
4 2
0 4 2
6 10
 1,131 10 m
750 N
1,131 10 m
 6,63mPa
A c
P
A
π π
σ
−
−
−
= = ×
= ×
= =
×
=
Tensão normal provocada por um momento fletor:
( )
( )( )
44 31 1
4 4
9 4
3
9 4
6 10 m
1,018 10 m
12 N m 6 10 m
1,018 10 m
70,73MPa
m
I c
Mc
I
π π
σ
−
−
−
−
= = ×
= ×
⋅ ×
= =
×
=
Avaliar a tensão máxima e as tensões de compressão nas arestas interior e 
exterior, respectivamente, da distribuição de tensões sobreposta.
Tensão máxima e tensões de compressão:
13
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
0
0
 6,63 70,73
 6,63 70,73
77,36 MPa 64,10 MPa
t m
c m
t c
σ σ σ
σ σ σ
σ σ
= +
= +
= −
= −
= = −
Encontrar a linha neutra através da determinação do local em que a tensão 
normal é zero.
Localização da linha neutra
( )
0
9 4
6 2
0
0
0
1,018 10 m6,63 10 N / m
12 N m
 0,56 mm
MyP
A I
P Iy
A M
y
−
= −
   ×
= = ×   ⋅  
=
TÓPICO 3
1 (BEER et al., 2013, p. 476) As maiores tensões admissíveis para a peça 
a seguir são 30 MPa na tração e 120 MPa na compressão, determine 
a maior força P que pode ser aplicada à peça.
Dados: 3 2
9 4
3 10 m38 m 0,038 m
868 10 m
A
Y
I
−
−
= ×
= =
= ×
14
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
Corte a-a
R.: Determine equivalência de forças centradas e fletoras.
0,038 0,010 0,028 m
força centrada
0,028 momento fletor
d
P
M Pd P
= − =
=
= = =
Superpõem tensões provocadas pelas forças centradas e fletoras.
15
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
( )( )
( )( )
3 9
3 9
0,028 0,022
377
3 10 868 10
0,028 0,022
1.559
3 10 868 10
A
A
B
B
PMcP P P
A I
PMcP P P
A I
σ
σ
− −
− −
= − + = − + = +
× ×
= − − = − − = −
× ×
Avaliar a intensidade das cargas para tensões admissíveis
377 30MPa 79,6kN
1.559 120MPa 77,0kN
A
B
P P
P P
σ
σ
= + = =
= − = − =
A maior força admissível:
77,0 kNP =
2 (BEER et al., 2013, p. 486) Um momento de 180 Nm é aplicado a uma 
viga de madeira, de seção transversal retangular de 38 × 90 mm, em 
um plano formando um ângulo de 30º com a vertical. Determine:
(a) a tensão máxima na viga e 
(b) o ângulo que a superfície neutra forma com o plano horizontal.
R.: Solucionar os componentes do vetor momento ao longo de um dos eixos 
principais de inércia e calcular as tensões máximas correspondentes.
cos senz yM M M Mθ θ= =
16
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
Combine as tensões a partir dos componentes de distribuição de tensões.
yz
x
z y
M zM y
I I
σ = +
Determinar o ângulo da linha neutra.
tan tanz
y
Iy
z I
φ θ= =
Solucionar os componentes do vetor momento ao longo de um dos eixos 
principais de inércia e calcular as tensões máximas correspondentes.
( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
3 6 4
3 6 4
1
180 N m cos 30 156 N m
180 N m sen 30 90 N m
1 0,038 m 0,090 m 2,31 10 m
12
1 0,090 m 0,038 m 0,41 10 m
12
A maior tensão de tração provocada por ocorre ao longo de 
156 N m 0,45 m
z
y
z
y
z
z
z
M
M
I
I
M AB
M y
I
σ
−
−
= ⋅ ° = ⋅
= ⋅ ° = ⋅
= = ×
= = ×
⋅
= =
( )( )
6 4
2 6 4
3,0 MPa
2,31 10 m
A maior tensão de tração provocada por ocorre ao longo de 
90 N m 0,019 m
4,2 MPa
0,41 10 m
y
y
y
M AD
M y
I
σ
−
−
=
×
⋅
= = =
×
A maior tensão de tração provocada pela carga combinada ocorre em A.
máx 1 2 3,0 4,2σ σ σ= + = +
Determine o ângulo da linha neutro.
6 4
6 4
2,31 10 m
tan tan tan 30
0,41 10 m
3,25
 72,9
z
y
I
I
ϕ θ
φ
−
−
×
= = °
×
=
= °
17
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
3 (HIBBELER, 2009, p. 242 a 244) Uma viga em T está sujeita a um 
momento fletor de 15 kNm. Determine a tensão normal máxima na 
viga e a orientação do eixo neutro.
R.: Ambos os componentes do momento são positivos. Temos:
18
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
Para propriedades da seção, temos: ( )
( )
15 cos 30 12,99 kNm
15 sen30 7,50 kNm
y
z
M
M
= ° =
= ° =
( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )
0,05 0,1 0,04 0,115 0,03 0,2
0,0890 m
0,1 0,04 0,03 0,2
zA
z
A
+
= = =
+
∑
∑
Pelo teorema dos eixos paralelos, , os principais momentos da 
inércia são:
2I I Ad= +
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( ) ( )
3 3 6 4
3 2
3 2 6 4
1 10,1 0,04 0,03 0,2 20,53 10 m
12 12
1 0,04 0,1 0,1 0,04 0,089 0,05
12
1 0,2 0,03 0,2 0,03 0,115 0,089 13,92 10 m
12
z
y
I
I
−
−
= + =
 
= + − 
 
 
+ + − = 
 
A maior tensão de tração ocorre em B e a maior tensão de compressão 
ocorre em C.
19
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
6 6
6 6
7,5 0,1 12,99 0,041
74,8 MPa
20,53 10 13,92 10
7,5 0,02 12,99 0,089
90,3 MPa (Resposta)
20,53 10 13,92 10
yz
z y
B
C
M zM y
I I
σ
σ
σ
− −
− −
= − +
−
= − + =
−
= − + = −
y deve representar o eixo para o momento principal de inércia mínimo, e z 
deve representar o eixo para o momento principal de inércia máximo.
( )
( )
6
6
20,53 10
tg tg60
13,92 10
 68,6
α
α
−
−
 
 = °
 
 
= °
UNI AUTOATIVIDADE
1 (HIBBELER, 2009, p. 204) Represente grafi camente os diagramas de 
força cortante e momento fl etor para a viga mostrada na fi gura.
20
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
Resposta: A carga distribuída é substituída por sua força resultante.
A intensidade da carga triangular na seção é determinada por cálculo 
proporcional:
0 0 ou w ww wx L L= =
A resultante do carregamento distribuído é determinada pela área sob o 
diagrama:
( )
( )
2 20 0 0
2
0 0 0
10; 0 (1)
2 2 2
1 10; 0 (2)
3 2 2 3
y
w L w x w
F x V V L x 
L L
w L w L w x
M x x x M
L
 
+ ↑ = − − = ⇒ = − 
 
   
+ = − + + =   
  
∑
∑
O diagrama de força cortante representa a equação 1 e o momento fl etor 
representa a equação 2, conforme abaixo:
21
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
1)
UNI AUTOATIVIDADE:
1 (HIBBELER, 2009, p. 210 a 211) Represente grafi camente os diagramas 
de força cortante e momento fl etor para a viga.
UNI AUTOATIVIDADE:
1 (Beer et al., 2013, p. 510) Para a viga de madeira com o carregamento 
mostrado, trace os diagramas de força cortante e momento fl etor e 
determine a tensão máxima provocada pelo momento fl etor.
22
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
R.: Considerar a viga inteira como um corpo rígido, determinar as reações 
de apoio (BEER et al., 2013).
Bpara 0 : R 46 kN R 14 kNy B DF M= = = =∑ ∑
Aplicar a análise de equilíbrio no corpo livre para determinar as forças de 
cisalhamento interna e o momento fletor atuante (BEER et al., 2013).
( )( )
2 2
2 2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
0 20 kN 0 20 kN
0 20 kN 2.5m 0 50 kN m
26 kN 50 kN m
26 kN 28 kN m
14 kN 28 kN m
14 kN 0
yF V V
M M M
V M
V M
V M
V M
= − − = = −
= + = = − ⋅
= + = − ⋅
= + = + ⋅
= − = + ⋅
= − =
∑
∑
( )( )
1 1
1 1 1
0 20 kN 0 20 kN
0 20 kN 0 m 0 0
yF V V
M M M
= − − = = −
= + = =
∑
∑
Identificar a seção onde ocorre o máximo momento fletor (BEER et al., 2013).
26kN 50kN mm m BV M M= = = ⋅
Aplicar as fórmulas de flexão elástica para determinar a tensão normal 
máxima correspondente (BEER et al., 2013).
23
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
( )( )22
6 3
3
6 3
6
1 1 0.080 m 0.250 m
6 6
 833.33 10 m
50 10 N m
833.33 10 m
 60.0 10 Pa
B
m
m
S b h
M
S
σ
σ
−
−
= =
= ×
× ⋅
= =
×
= ×
24
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
TÓPICO 4 
1 (HIBBELER, 2009, p. 206) Represente grafi camente os diagramas de 
força cortante e momento fl etor para a viga mostrada a seguir:
R.: Duas regiões de x devem ser consideradas para se descreverem as 
funções de cisalhamento e momento da viga inteira.
( )
1
1 1
0 5 m,
0; 5,75 0 5,75 kN (1)
0; 80 5,75 0 5,75 80 kNm (2)
y
x
F V V
M x M M x
≤ <
+ ↑ = − = ⇒ =
+ = − − + = ⇒ = +
∑
∑
O diagrama de força cortante representa as equações 1 e 3 e o momento 
fl etor as equações 2 e 4:
25
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
( ) ( )
( )
( )
1
2 2
2
1 2
2
2 2
5 m 10 m,
0; 5,75 15 5 5 0 15,75 5 kN (3)
5
0; 80 5,75 15 5 5 0
2
 2,5 15,75 92,5 kNm (4)
y
x
F x V V x
x
M x x M
M x x
≤ <
+ ↑ = − − − − = ⇒ = −
 − 
+ = − − + + + − + = 
 
= − + +
∑
∑
2 (Beer et al., 2013, p. 520) Trace os diagramas de força cortante e 
momento fletor para a viga e o carregamento mostrados.
26
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
R.: Considerando a viga inteira como um corpo livre, determine as reações 
em A e D.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
y
0
0 7,2 m 94 kN 1,8 m 54 kN 4,2 m 60 kN 8,4 m
125kN
F 0
0 94 kN 54 kN 125kN 60 kN
83kN
A
y
y
M
D
D
A
A
=
= − − −
=
=
= − − + −
=
∑
∑
Aplicar a relação entre força e força cortante para desenvolver o diagrama 
de força cortante.
dV w dV w dx
dx
= − = −
Inclinação zero entre as forças concentradas.
Variação linear ao longo do segmento da força distribuída.
27
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
Aplicar a relação entre força cortante e momento fletor para desenvolver o 
diagrama de momento fletor.
dM V dM V dx
dx
= =
- O momento fletor em A e E é igual a zero.
- Variação do momento fletor entre A, B, C e D é linear.
- Variação do momento fletor entre D e E é quadrática.
- Onde o diagramade força cortante passa pelo zero neste ponto haverá 
momento fletor máximo.
O somatório total de momento fletor em qualquer ponto da viga tem que ser 
zero.
28
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
3 (BEER et al., 2013, p. 529) A viga de aço simplesmente apoiada deve 
suportar as forças distribuídas e concentradas mostradas. Sabendo 
que a tensão normal admissível para a classe de aço a ser utilizado 
é de 160 MPa, selecione o perfil de mesa larga que deve ser usado.
29
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
R.: Considerando-se a viga inteira como um corpo livre, determine as reações 
em A e D.
( ) ( )( ) ( )( ) 0 5 m 60 kN 1.5 m 50 kN 4 m
 58.0 kN
 0 58.0 kN 60 kN 50 kN
 52.0 kN
A
y y
y
M D
D
F A
A
= = − −
=
= = + − −
=
∑
∑
Desenvolver o diagrama de força cortante e determinar o momento fletor 
máximo.
( )
52.0 kN
área sob a curva de força distribuída 60 kN
8 kN
A y
B A
B
V A
V V
V
= =
= = − = −
= −
Momento fletor máximo ocorre quando V = 0 ou x = 2.6 m.
( )máx área sob a curva da força cortante entre A e E
 67.6 kN
M =
=
30
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
Determine o módulo de resistência da seção mínimo aceitável. 
máx
min
6 3 3 3
67.6 kN m
160 MPa
 422.5 10 m 422.5 10 mm
adm
M
W
σ
−
⋅
= =
= × = ×
Escolha a melhor seção padrão que atenda a este critério.
360 32.9W ×
31
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
TÓPICO 1
1 (UFG, 2018) Para a resolução dessa questão, observe a figura a 
seguir que mostra uma viga de madeira formada por três tábuas 
pregadas entre si por meio de pregos espaçados de 25cm. Essa viga 
possui fluxo de cisalhamento constante na ligação entre as tábuas 
e momento de inércia em relação ao seu eixo neutro igual a 998cm4.
UNIDADE 2
Cada prego possui uma resistência ao cisalhamento de 20kgf. 
Desconsiderando quaisquer coeficientes de segurança, qual é o valor da 
força cortante máxima V que essa viga suporta de modo a não ocorrer 
falha na fixação entre a tábua vertical (alma) e as tábuas horizontais 
(mesas)?
a) (x) 12,3kgf.
b) ( ) 24,3kgf.
c) ( ) 36,3kgf.
d) ( ) 48,3kgf.
2 (CESGRANRIO, 2018) A viga prismática do Tipo I apresentada 
na figura a seguir está submetida a um esforço de cisalhamento 
transversal V = 230kN.
32
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
Se todas as dimensões da viga estão em milímetros, qual o valor da 
tensão de cisalhamento máxima, em MPa, na seção transversal dessa 
viga?
a) ( ) 20.
b) ( ) 30.
c) ( ) 40.
d) (x) 50.
e) ( ) 60.
3 (FADESP, 2018) O elemento mostrado na fi gura experimenta um 
estado plano de tensão, sendo σxx = – 15,0 MPa, σyy = 5,0 MPa e 
τyx = τxy = 0,0 MPa. Sabendo que a orientação indicada na fi gura 
representa a convenção positiva das tensões, determine, em valor 
absoluto, a tensão máxima da componente de cisalhamento, τmax.
τyx
τyx
τxy
τxy
σyy
σyy
σxxσxx
33
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
O resultado é:
a) ( ) τmax = 0,0 MPa.
b) ( ) τmax = 5,0 MPa.
c) (x) τmax = 10,0 MPa.
d) ( ) τmax = 15,0 MPa.
e) ( ) τmax = 20,0 Mpa.
TÓPICO 2
1 (ESAF, 2013) O estado plano de tensões em um ponto é representado 
pela combinação de dois componentes de tensão normal, σx, σy, e 
um componente de tensão de cisalhamento, τxy, atuantes sobre as 
quatro faces do elemento como mostra a figura a seguir. Analise os 
itens a seguir e assinale a opção INCORRETA:
σy
σxσx
σy
τxy
a) (x) As equações de transformação para o estado plano de tensões 
para ângulos de rotação de elementos menores que 45º tem uma 
solução gráfica chamada de Círculo de Mohr.
b) ( ) As tensões principais representam a tensão normal e a mínima no 
ponto.
c) ( ) O estado plano de tensão também é representado em termos de 
tensão de cisalhamento máxima no plano. Nesse caso, também atuará 
sobre o elemento uma tensão normal média.
d) ( ) Quando o estado de tensão é representado pelas tensões principais, 
nenhuma tensão de cisalhamento atua sobre o elemento.
e) ( ) O elemento que representa a tensão de cisalhamento máxima no 
plano com as tensões normais médias associadas é orientado a 45º 
do elemento que representa as tensões principais.
34
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
2 (FUNDEP, 2018) O Círculo de Mohr, assim denominado em memória 
de seu idealizador, Christian Otto Mohr, é um método gráfico 
bidimensional representativo da lei de transformação do tensor tensão 
de Cauchy. Em relação ao Círculo de Mohr, é INCORRETO afi rmar que:
a) (x) O estudo geométrico do estado triaxial de tensões não pode ser 
feito com seu uso, que é limitado ao estado biaxial de tensões.
b) ( ) Sua utilização como ferramenta de cálculo tem-se reduzido bastante, 
por causa da disponibilidade de calculadoras eletrônicas programáveis.
c) ( ) Ele é utilizado para a visualização gráfi ca e qualitativa de como as 
tensões variam de acordo com a defi nição dos planos que passam pelo 
ponto em estudo.
d) ( ) Ele pode ser utilizado para representar o estado plano de deformações, 
uma vez que as equações de transformação são as mesmas.
3 Existem algumas calculadoras on-line do Círculo de Mohr. Pesquise 
na internet uma calculadora on-line e calcule os parâmetros para o 
estado plano de tensões do elemento mostrado a seguir:
σx = 10
σx = 10
Element
σy = 20
x
y
τxy = 30
R.: Para esse exercício usou-se a URL: https://bendingmomentdiagram.com/
es/free-calculator/mohrs-circle-calculator/.
Entrar com os dados de tensões normais nos eixos x e y e de esforço cortante 
no plano xy, conforme acima e clicar em calcular Círculo de Mohr.
35
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
O software irá gerar uma tabela e o Círculo de Mohr com os resultados 
mostrados conforme a fi gura a seguir:
36
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
OBS.: outras calculadoras online poderão ser pesquisadas e usadas pelos 
alunos, como por exemplo: http://valdivia.staff .jade-hs.de/mohr3d_es.html, 
http://www.cvac.eng.br/vismohr/e http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/etools/
mohr/.
TÓPICO 3
1 (CESPE - PETROBRÁS – 2004) Um reservatório de forma esférica e 
parede com espessura t muito menor que seu raio r foi preenchido 
com gás até que o reservatório atingisse uma pressão p. Em relação 
a esse reservatório, julgue os itens a seguir.
I- Como o vaso de pressão tem parede com espessura t muito menor que 
seu raio r, é correto admitir que a tensão de membrana varie linearmente 
ao longo da espessura.
( ) Certo.
(x) Errado.
II- A tensão de membrana F observada na parede do reservatório pode ser 
corretamente calculada por meio da fórmula
2
pr
t
σ =
37
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
(x) Certo.
( ) Errado.
2 (HIBBELER, 2009, p. 327) O tanque tem raio interno de 600mm e uma 
espessura de 12mm. Está cheio até em cima com água cujo peso 
específi co é γágua = 10 kN/m3. Se o tanque for feito de aço com 
peso específi co de γaço = 78 kN/m3, determine o estado de tensão 
no ponto A. A parte superior do tanque é aberta.
R.: O peso do tanque é:
( )
2 2
aço aço aço
612 60078 1 3,56 kN
1.000 1.000
W Vγ π π
    
= = − =    
     
A pressão do tanque no nível A é: 
( )( )água 10 1 10 kPap zγ= = =
38
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
( )
( )
( ) ( )
600
1.000
1 12
1.000
aço
2 2 2612 600aço 1.000 1.000
10
500 kPa (Resposta)
3,56 77,9 kPa (Resposta)
pr
t
W
A
σ
σ
π
= = =
= = =
 −  
Para tensão circunferencial e longitudinal, temos:
3 (GERE, 2003, p. 413) Um tanque de ar comprimido tendo um diâmetro 
interno de 18 polegadas e uma espessura de parede de 1/4 de 
polegada é formado soldando-se dois hemisférios de aço, conforme 
a fi gura a seguir: 
a) Se a tensão de tração admissível no aço for 14.000 psi, qual é a máxima 
pressão do ar permitida pa, no tanque?
b) Se a tensão de cisalhamento admissível no aço for 6.000 psi, qual é a 
máxima pressão permitida pb?
c) Se a deformação normal na superfície externa do tanque não deve exceder 
0,0003, qual é a máxima pressão permitida pc? (Assuma que a Lei de 
Hooke seja válida e que omódulo de elasticidade para o aço seja 29 x 
106 psi e o coefi ciente de Poisson seja 0,28).
d) Testes nos sulcos soldados mostram que a falha ocorre quando a carga 
de tração nas soldas excede 8,1kips por polegada de solda. Se o fator de 
segurança contra falha exigido for 2,5, qual é a pressão máxima permitida 
pd?
e) Considerando os quatro fatores anteriores, qual é a pressão admissível 
padm no tanque?
R.: (a) Pressão admissível baseada na tensão de tração no aço. A máxima 
tensão de tração na parede do tanque é dada pela fórmula (σ = pr/2t). 
Resolvendo essa equação para a pressão em termos da tensão admissível, 
obtemos:
pa = 2tσadm/r = 2(0,25 in)(14000psi)/9in = 777,8 psi
39
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
Dessa forma, a máxima pressão admissível baseada na tração na parede 
do tanque é Pa = 777 psi. Obs.: Note que, em um cálculo desse tipo, 
arredondamos para baixo e não para cima.
(b) Pressão admissível baseada na tensão de cisalhamento no aço. A tensão 
de cisalhamento máxima na parede do tanque é dada pela Equação τadm=pr/4t, 
da qual obtemos a seguinte equação para a pressão:
pb = 4tτadm/r = 4(0,25 in)(6000psi)/9in = 666,7 psi
Por isso, a pressão admissível baseada no cisalhamento é Pb = 666 psi.
(c) Pressão admissível baseada na deformação normal no aço. A deformação 
normal é obtida a parti r da Lei de Hooke para tensão biaxial:
( )1x x yvE σ σ∈ = −
Substituindo σx = σy = σ = pr/2t, obtemos:
( ) ( )1 1
2x
prv v
E tE
σ
∈ = − = −
Essa equação pode ser resolvida para a pressão pc:
Dessa maneira, a pressão admissível baseada na deformação normal na 
parede é pc = 671 psi.
(d) Pressão admissível baseada na tração na solda. A carga de tração 
admissível na solda é igual à carga da falha dividida pelo fator de segurança:
Tadm = Tfalha/n = 8,1/ 2,5 = 3,24 k/in = 3240 lb/in
A tensão de tração admissível correspondente é igual à carga admissível 
em uma polegada de comprimento de solda dividida pela área de seção 
transversal de uma polegada de comprimento de solda:
σadm = Tadm(1,0 in)/(1,0 in).t = (3240 lb/in)(1,0 in) / (1,0 in)(0,25 in) = 12960 psi
pd = 2t σadm/r = 2(0,25in)(12960psi) / 9 in = 720 psi
( )
( )( )( )
( )( )
62 0,25 in. 29 10 psi 0,00032
671,3 psi
1 9,0 in. 1 0,28
adm
c
tE
p
r v
×∈
= = =
− −
40
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
Esse resultado fornece a pressão admissível baseada na tração na solda.
(e) Pressão admissível. Comparando os resultados anteriores para pa, pb, 
pc e pd vemos que as tensões de cisalhamento na parede governam e a 
pressão admissível no tanque é:
padm = 666psi
Esse exemplo ilustra como várias tensões e deformações entram no 
dimensionamento de um vaso de pressão esférico.
Nota: Quando a pressão interna está no seu máximo valor admissível (666 
psi), as tensões de tração na casca são
σ = pr/2t = (666psi)(9,0in) / (2(0,25in) = 12000psi
Dessa forma, na superfície interna da casca a razão da tensão principal na 
direção z (666 psi) em relação às tensões principais no plano (12.000 psi) é 
apenas 0.056. Por isso, nossa suposição de que podemos desconsiderar a 
tensão principal σ3 na direção z e considera toda a casca como estando em 
tensão biaxial é justificada.
UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 (CETREDE, 2018) A equação de deformação de uma viga disposta ao 
longo do eixo x e sujeita a um carregamento Q(x) é dado por:
( )
4
4
d yEI Q x
dx
=
Então, podemos afirmar:
a) ( ) O módulo de elasticidade I e o momento de inércia E variam ao longo 
da viga.
b) ( ) A deformação Q(x) é dada pela derivada quarta da carga.
c) ( ) O modulo de elasticidade E é constante ao longo da viga e indica 
material heterogêneo.
41
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
d) ( ) A derivada quarta do momento fl etor y é igual à carga aplicada
e) (x) Em termos de magnitude, a derivada segunda do momento fl etor 
vezes o momento de inercia I, vezes o modulo de elasticidade E será 
igual ao carregamento ao longo da vigaQ(x).
2 (HIBBELER, 2009, p. 469) Determinar a defl exão máxima da viga 
mostrada na fi gura abaixo. Considere EI constante.
R.: 
42
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
3 (FADESP, 2018) A viga biapoiada apresentada na fi gura é solicitada 
por uma carga uniformemente distribuída q0 ao longo do seu vão L 
e por um momento M0. Manuseando a teoria elástica de defl exão, 
E·I·d2y(x)/dx2 = M(x), assinale a rotação θA no apoio A, em valor 
absoluto. Nessa expressão, M(x) fi gura o momento fl etor mobilizado 
na viga e o produto E·I exprime a rigidez à fl exão da viga, sendo E o 
módulo de elasticidade do material da viga e I o momento de inércia 
da seção transversal da viga. Ademais, ressalta-se que a linha elástica 
da viga é representada pela linha tracejada na fi gura.
43
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
a) ( ) θA = (M0·L – q0·L3 )/(8·E·I).
b) ( ) θA = (M0·L – q0·L3 )/(12·E·I).
c) (x) θA = (M0·L – q0·L3 )/(24·E·I).
d) ( ) θA = (3·M0·L – q0·L3 )/(12·E·I).
e) ( ) θA = (3·M0·L – q0·L3 )/(24·E·I).
TÓPICO 2
1 (BEER et al., 2013, p. 622) Para a viga uniforme, (a) determinar 
a reação em A, (b) determinar a equação da linha elástica e (c) 
determinar a inclinação em A. (Note que a viga é estaticamente 
indeterminada com um grau de indeterminação).
R.: Desenvolver a equação diferencial para a linha elástica (será 
funcionalmente dependente da reação em A).
Considere o momento atuando na seção D:
2
0
3
0
0
1 0
2 3
6
D
A
A
M
w x xR x M
L
w x
M R x
L
=
 
− − =  
 
= −
∑
44
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
A equação diferencial para a linha elástica:
32
0
2 6A
w xd yEI M R x
Ldx
= = −
Integrar duas vezes e aplicar condições de contorno para resolver a reação em 
A e para obter a linha elástica.
42
2 0
12
5
3 0
1 2
1
2 24
1 
6 120
A
A
w xd yEI EI R x C
Ldx
w x
EI y R x C x C
L
θ= = − +
= − + +
Aplicar condições de contorno:
2
3
2 0
1
4
3 0
1 2
Para 0, 0 : 0
1Para , 0 : 0
2 24
1Para , 0 : 0
6 120
A
A
x y C
w L
x L R L C
w L
x L y R L C L C
θ
= = =
= = − + =
= = − + + =
Resolva a reação em A:
3 4
0
0
1 1 0
3 30
1
10
A
A
R L w L
R w L
− =
= ↑
45
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
Substituir C1, C2, e RA na equação da linha elástica:
( )
5
3 30
0 0
5 2 3 40
1 1 1 
6 10 120 120
2
120
w x
EI y w L x w L x
L
w
y x L x L x
EIL
   
= − −   
   
= − + −
Diferenciar uma vez para encontrar a inclinação:
( )4 2 2 40 5 6120
wdy x L x L
dx EIL
θ = = − + −
Para x = 0:
3
0
120A
w L
EIL
θ =
2 (HIBBELER, 2009, p. 502) Determine as reações no apoio de rolete B 
da viga mostrada na Figura (a) e trace os diagramas de força cortante 
e momento fletor. EI é constante.
R.: Por inspeção, a viga é estatisticamente indeterminada de primeiro grau.
46
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
Considerando o deslocamento positivo para baixo, a equação de 
compatibilidade em B é:
( ) 0 'B Bv v+ ↓ = −
Deslocamentos podem ser obtidos diretamente da tabela da Leitura 
Complementar.
( ) ( )( )
( ) ( )
4 3
4 3
3
3 3
3
5
8 48
6 kN / m 3 m 5 6 kN 3 m 83,25 kN m
8 48
3 m 9 m
'
3 3
y y
B
wL PLvB
EI EI
EI EI EI
B BPLv
EI EI EI
= +
⋅ ⋅
= + = ↓
= = = ↑
47
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
Substituindo na Eq. 1 e resolvendo, obtemos:
Resposta
983,250
9,25 kN
y
y
B
EI EI
B
= −
=
3 (HIBBELER, 2009, p. 503) Determine as reações na viga mostrada na 
Figura (a). Devido à carga e à má construção, o apoio de rolete em B 
cede 12 mm. Considere E = 200GPa e I = 80(106) mm4.
R.: Por inspeção, a viga é indeterminada de primeiro grau.
Com referência ao ponto B, utilizando unidades métricas, exige-se que:
( ) 0,012 m 'B Bv v+ ↓ = −
48
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
Utilizando a tabela no Apêndice C do livro do Hibbeler (2009):
( )( )
( )
4
4 3
3 33
5 24 kN / m 8 m5 640 kN m
768 768
8 m 10,67 m
'
48 48
B
y y
B
wLv
EI EI EI
B BPLv
EI EI EI
⋅
= = = ↓
= = = ↑
Portanto, a Equação 1 torna-se:
0,012 640 10,67 yEI B= −
49
RESISTÊNCIA DOS MATERIAISAVANÇADA
Substituindo E I, temos:
( )( ) ( )6 60,012 200 10 80 10 640 10,67
42,0 kN
y
y
B
B
−  = − 
= ↑ Resposta
Nós podemos calcular as reações em A e C usando as equações de equilíbrio.
Resposta
Resposta
( ) ( ) ( ) 0; 96 kN 2 m 42,0 kN 4 m 8 m
3,00 kN
0; 96 kN 42,0 kN 3,00 kN 0
51 kN
A y
y
y y
y
M C
C
F A
A
+ Σ = − + +
= ↑
+ ↑ Σ = − + + =
= ↑
TÓPICO 3 
1 (CESGRANRIO, 2018) Considere uma barra carregada axialmente. O 
estado de tensões gerado para um ponto qualquer da barra é tal que 
σx ≠ 0, σy = 0 e σz = 0. Para essa situação, não será(ão) nula(s) a(s) 
deformação(ões)
a) ( ) ε x, apenas.
b) ( ) εy, apenas.
c) ( ) εz, apenas.
d) ( ) εx e εy, apenas.
e) (x) εx, εy e εz.
50
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AVANÇADA
2 (CESPE, 2004) Para as colunas prismáticas idênticas A e B 
representadas na fi gura a seguir, carregadas axialmente, a carga 
necessária para provocar a fl ambagem da coluna B é menor que a 
carga necessária para provocar a fl ambagem da coluna A.
a) (x) Certo.
b) ( ) Errado.
3 (FUMARC, 2018) Um tubo de aço, como mostrado na fi gura, deve ser 
usado como uma coluna presa por pinos na extremidade.
Qual carga máxima admissível que permite que não haja flambagem, 
considerando Eaço=200 GPa?
a) ( ) 2,28 kN.
b) ( ) 22,82 kN.
c) (x) 228,2 kN.
d) ( ) 228,2 N.