FAJ - Apostila de Matemática para Engenharia I - Cálculo 1

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Faculdade de Jaguariúna 
Engenharia de Controle e Automação 
Tecnologia em Automação Industrial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática para Engenharia I 
 
 
 
Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor Miro Placido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
2 Prof. Miro Placido 
 
 
Apresentação-Introdução 
 
Neste curso, serão apresentados os principais conceitos de matemática básica usados em diferentes 
áreas do ensino superior. Os conceitos serão desenvolvidos de forma objetiva, privilegiando uma linguagem mais 
acessível do que as utilizadas nos livros de cálculo. Para que o estudante possa identificar a importância dos 
conteúdos, serão dados, ao longo da apostila, exemplos de aplicações cotidianas dos tópicos da ementa. 
Esta é uma compilação de exercícios e aplicações de números reais, equações, funções e introdução 
aos conceitos de limite e de derivada. O objetivo desse material é mostrar ao futuro engenheiro as possibilidades de 
aplicação desses conceitos no cotidiano profissional. 
 
Esta apostila originou-se das listas de exercícios que venho preparando para as aulas de Matemática 
para Engenharia desde 2006. No decorrer dos anos, surgiu a necessidade de organizar as atividades e aplicações 
propostas numa compilação agrupada por assunto e por aula. 
 
 Trata-se de uma apostila contendo um resumo teórico, exercícios, aplicações e gabaritos. Para 
trabalhar as unidades, o aluno precisará acompanhar e registrar a teoria desenvolvida em aula. Para facilitar o estudo 
extraclasse, cada unidade dessa apostila está organizada em três seções. Na primeira seção intitulada 
desenvolvendo a teoria são apresentados um breve resumo teórico e alguns exercícios resolvidos. Na seção 
fixando a teoria é apresentada uma lista de exercícios de fixação e aprendizagem das técnicas requeridas naquele 
conceito. Na seção a teoria na prática estão os exercícios de aplicação da teoria no cotidiano e na vida profissional 
dos futuros engenheiros. 
 
 O objetivo dessa coletânea de atividades é otimizar o aproveitamento da disciplina, uma vez que os 
enunciados das questões contextualizadas são longos, o que resultaria num grande desperdício de tempo com 
anotações em aula. 
 
 Para um bom aproveitamento desse material, recomenda-se fortemente que os estudantes sigam os 
seguintes passos de estudo: anotem a teoria desenvolvida em aula e os exercícios resolvidos, revisem em casa a 
teoria e refaçam os exercícios trabalhados em classe e, em seguida, resolvam os exercícios da unidade e os de 
revisão não trabalhados em classe. 
 
 As unidades dessa apostila estão organizadas da seguinte maneira: na unidade 1 são relembrados os 
conceitos de conjuntos numéricos, números reais e de intervalos da reta; Na unidade 2 são revisadas as técnicas de 
resolução de equações de primeiro e de segundo grau; Na unidade 3 são discutidos o conceito e as propriedades de 
funções do primeiro grau e suas aplicações; Na unidade 4 a mesma discussão é feita com função do segundo grau 
(função quadrática); As equações e funções exponenciais são revisadas na unidade 5; Na unidade 6 são revistas as 
propriedades e aplicações de logaritmos; Já na unidade 7 é feita uma abordagem sobre funções modulares, inversas e 
compostas; A revisão de trigonometria no triângulo retângulo e de funções trigonométricas é feita nas unidades 8 e 
9; A introdução aos conceitos de limite e de continuidade é feita na unidade 10; Na unidade 11 é apresentado o 
conceito de derivada de funções polinomiais e a aplicação de derivada como taxa de variação; Na unidade 12 são 
apresentadas as principais derivadas exponenciais e trigonométricas bem como as regras do produto e do quociente; 
 
As aplicações dos conceitos são feitas através de exercícios, problemas ou estudos de caso. O 
estudante que deseja um bom aproveitamento do curso deve dedicar bastante tempo ao estudo das aplicações 
(questões contextualizadas), uma vez que saber aplicar os conceitos estudados é uma das competências mais 
valorizadas em concursos e no mercado de trabalho. 
 
 Desejo a todos um bom curso e um excelente aproveitamento! 
 
 
Valdomiro Placido dos Santos 
miroplacido@uol.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
3 Prof. Miro Placido 
 
Unidade 1 – Números Reais: Conjuntos Numéricos e Intervalos da Reta 
 
DESENVOLVENDO A TEORIA – Apresentação dos conceitos, nomenclaturas e principais propriedades 
 
1. Números Reais 
 
Para entendermos a construção do conjunto dos números reais, precisamos relembrar o conceito de 
conjunto e de conjuntos numéricos. 
 
1.1 Conjuntos Numéricos 
 
Um conjunto é uma lista de elementos não repetidos, como por exemplo: 
Exemplo 1 
 ; ; ; ;A jan fev mar dez
; 
Exemplo 2 
 1;3;5;7;9B 
; 
Exemplo 3  
 2;4;6;8;C 
. 
 
Observe que, nos três exemplos, os conjuntos foram denotados por letras maiúsculas “A”, “B” e “C”. Um 
conjunto deve sempre ser nomeado por uma letra maiúscula. Outro fato importante a se observar é que a lista de 
elementos, nos três casos, foi colocada entre duas chaves “{“ e “}”. Para listar os elementos de um conjunto 
devemos sempre usar duas chaves (uma para abrir e outra para fechar a lista). Os elementos do conjunto devem ser 
separados por vírgula “,” ou por ponto-e-vírgula “;”. Quando o conjunto é infinito, usamos “ ” depois do último 
elemento listado para dizer que a lista não para ali, isto é, que ela continua indefinidamente seguindo o critério 
observado até aquele ponto. 
 
No exemplo 1 acima, o conjunto A é finito e tem 12 elementos, pois é o conjunto dos meses do ano. No 
exemplo 2, o conjunto B é finito e tem 5 elementos. Podemos dizer que ele é o conjunto dos números ímpares 
menores do que 10. No exemplo 3, o conjunto C é um conjunto infinito, ou seja, tem infinitos elementos, pois as 
reticências “ ” indicam que a lista continua indefinidamente. Podemos dizer que o conjunto C representa o conjunto 
dos números pares positivos. 
 
Os conjuntos B e C acima são exemplos de conjuntos numéricos, pois seus elementos são números, já o 
conjunto A não é um conjunto numérico, pois seus elementos não são números. Neste curso, nos interessam os 
conjuntos numéricos. 
 
Existem alguns conjuntos numéricos que, devido à grande utilização, recebem notação universal. A 
seguir, vamos listar esses conjuntos. 
 
 Conjunto dos Números Naturais 
 
É formado pelos números inteiros não negativos (observe que a expressão “não negativos” permite a 
inclusão do zero), isto é: 
 
 0;1;2;3;4;5;6;
 
 
 Conjunto dos Números Inteiros 
 
É formado pelos números naturais e pelos números inteiros negativos, isto é: 
 
 ; 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4;    
 
 
 Conjunto dos Números Racionais 
Um número é chamado de racional quando pode ser escrito na forma 
p
q
, sendo p e q números inteiros, 
com 
0q 
, pois, numa fração, não podemos ter denominador zero. Numa linguagem mais simples, podemos dizer 
que é o conjunto de todas as frações, como por exemplo: 7/2, 1/2, 5/7, -4/3, -123/10, 5/1 e assim por diante. 
Observe que a última fração tem como resultado um número inteiro, pois 
5
5
1

. Assim, todo número inteiro escrito 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
4 Prof. Miro Placido 
 
sobre 1 “vira” uma fração,isto é, todo número inteiro é também racional, mas nem todo número racional é (ou 
“vira”) um número inteiro, pois, por exemplo, 
7
3,5
2

 que não é um número inteiro. 
 
Resumindo, os números racionais são compostos pelas frações formadas por números inteiros. Observe 
que o número 
2
3
, embora seja uma fração, não é um número racional, pois não é formado pela divisão de dois 
números inteiros. 
 
Não é possível fazer uma lista ordenada dos números racionais, como fizemos para naturais e inteiros, 
pois não sabemos qual é o primeiro número racional maior do que zero. 
 
1 Conjunto dos Números Irracionais 
 
É formado por todos os números que “não são racionais”. Isto é, por números que não podem ser 
escritos por frações. Por exemplo: 

, 
2
, 
7
, 
12
, em outras palavras, todas as raízes de números inteiros que 
não têm resultado inteiro são números irracionais. 
 
Não é possível fazer uma lista ordenada dos números irracionais, pois não sabemos qual é o primeiro 
número irracional maior do que zero. 
 
 Conjunto dos Números Reais 
 
É formado pela união (junção) de todos os conjuntos anteriores, assim, “dentro do conjunto dos números 
reais” estão todos os números naturais, todos os números inteiros, todos os números racionais e todos os números 
irracionais – e mais nenhum outro número. 
 
1.2 A Reta Real (ou Reta dos Números Reais) 
 
Se distribuíssemos todos os números reais sobre uma reta (infinita) não restaria nenhum ponto da reta 
sem número e nenhum número real ficaria fora da reta. Isto é, os números reais preenchem completamente uma 
reta. 
 
Geometricamente, imagine uma reta (lembre-se de que toda reta é infinita nas duas direções). Marque 
nesta reta um ponto que será a origem (o zero da reta). Numa escala qualquer, logo à direita do zero, marque um 
ponto que representará o número “1”. Observe que, com esta escala que acabamos de criar, é possível localizar na 
reta os números 2, 3, 4 e assim por diante, bem como os números -1, -2, -3, -4, ... 
 
 
 
Além destes, que são números inteiros, podemos localizar todos os números racionais na reta. Para 
localizar o 
7
2
, por exemplo, basta localizar a metade do segmento que vai de 0 a 7, isto é, o número 3,5. 
 
A reta real é muito importante porque todas as funções a serem estudadas neste curso terão seus 
gráficos construídos sobre esta reta. 
 
1.3 Intervalos da Reta 
 
Chegamos agora a um dos conceitos mais importantes de números reais, os intervalos da reta real, pois, 
na resolução de muitos problemas, a resposta é um “pedaço” contínuo da reta, que chamamos de intervalo. No 
exemplo abaixo, a parte destacada representa um intervalo da reta. 
 
Exemplo 4  
 
Desenhando, é bem fácil destacar um intervalo da reta. Veja que, no exemplo 4 acima, fica fácil perceber 
quais números pertencem ao intervalo destacado e quais não pertencem. Podemos dizer que todos os números reais 
com valor de 2 até 5 pertencem ao intervalo I acima. Em matemática, usamos a notação 

para indicar que um 
determinado número pertence a um intervalo considerado e a notação 

para indicar que o número não pertence ao 
intervalo considerado. Assim, se chamarmos de I o intervalo do exemplo 4 acima, podemos escrever: 
 
 
3
, pois o número 3 pertence ao intervalo I; 
 
6
, pois o número 6 não pertence ao intervalo I; 
 
4,2
, pois o número 4,2 pertence ao intervalo I; 
 
 
, pois o número 

 pertence ao intervalo I (lembre-se de que 
3,14 
); 
2 5 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
5 Prof. Miro Placido 
 
 
3
, pois o número 
3
 não pertence ao intervalo I (uma vez que 
3 1,73
); 
 
Apesar de o intervalo desenhado ser de fácil visualização, é de difícil digitação. Para resolver este 
problema, os matemáticos criaram a notação de intervalo. Esta notação usa apenas colchetes, isto é, os símbolos “[“ 
e “]”. Usando esta notação, o intervalo do exemplo 4 acima pode ser escrito assim: 
 
Exemplo 5  I = [2, 5] 
 
Esta notação representa que pertencem ao intervalo I todos os números reais entre 2 e 5, inclusive o 2 e 
o 5, pois colchetes fechados indicam que os pontos extremos também pertencem ao intervalo. No entanto, se 
escrevermos: 
 
Exemplo 6  J = ]2, 5] 
 
O intervalo J vai ser muito parecido com o intervalo I, com a diferença de que o primeiro extremo, o 2, 
não vai pertencer ao intervalo J, mas todos os números reais maiores do que 2 e menores ou iguais a 5 irão. 
Desenhando o intervalo J, temos: 
 
 
 
Observe que o colchete aberto no 2 indica que este valor foi suprimido do intervalo. Note que agora 
2 J
, enquanto que, por exemplo, 
2,001 J
. 
 
Se seguirmos o mesmo raciocínio, podemos construir os seguintes exemplos: 
 
Exemplo 7  Se K = ]2, 5[, então, desenhando o intervalo K, teremos: 
 
 
 
 
Vejamos outra notação utilizada para intervalos. Note que o intervalo I, representado na reta abaixo, é 
composto de números reais que são simultaneamente maiores ou iguais a dois e menores ou iguais a 5. 
 
 
 
 
Traduzindo isto para uma simbologia ou notação matemática, temos: 
 
I { | 2 5}x x   
 
A leitura da representação acima é feita assim: I é o conjunto dos números reais x que são maiores ou 
iguais a 2 e menores ou iguais a 5. 
 
Como você pode ver, esta notação é menos simpática que a anterior, pois é muito mais fácil escrever I = 
[2, 5]. Fique à vontade para utilizar qualquer uma das duas notações. Fique atento apenas para utilizar esta notação I 
= [2, 5] apenas quando se tratar de um intervalo (“pedaço” contínuo) da reta. Não use para conjuntos. Lembre-se de 
que a notação A = {2, 5} não representa um intervalo e sim um conjunto formado por apenas dois números: o 2 e o 
5. Veja que a troca de um símbolo muda completamente o sentido da notação. Fique atento! 
 
FIXANDO A TEORIA – Exercícios de fixação, aprendizagem e domínio da técnica 
 
1) Represente, na reta real, o intervalo 
{ | 2 8}I x x   
, ou seja, 
[2,8]I 
. 
 
2) Represente, na reta real, o intervalo 
{ | 2 8}F x x   
, ou seja, 
]2,8]F 
. 
 
3) Represente, na reta real, o intervalo 
{ | 2 8}G x x   
, ou seja, 
]2,8[G 
 
 
4) Descreva o intervalo abaixo usando uma simbologia (notação) matemática. 
 
 
5) Descreva o intervalo abaixo usando uma simbologia (notação) matemática. 
 
 
 
 
 
2 5 
2 5 
2 5 
3 9 
3 9 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
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6) Descreva o intervalo abaixo usando uma simbologia (notação) matemática. 
 
 
 
7) Dado o intervalo I abaixo, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada uma das afirmações 
 
 
 
 
 a)
2 I
 b)
2,0001 I
 c)
I 
 d) 
10
3
I
 e)
20 I
 f)
8 I
 
 
8) Dados os números reais a e b representados na reta real abaixo, classifique em verdadeiro ou falso cada item a 
seguir. 
 
 
 
 
 a)
a b
 b)
0a b 
 c)
0a b 
 d) 
0b a 
 e)
0a b 
 f)
. 0a b 
 
 
 
A TEORIA NA PRÁTICA – Aplicando a teoria no cotidiano e na vida profissional 
 
9) O número x de dispositivos que podem ser conectados a certa placa é no máximo 12. Descreva os possíveis 
valores de x usando uma notação matemática simbólica. 
 
10) O tempo t de vida útil de certo equipamento é de 10 a 20 anos. Escreva este intervalo de tempo usando uma 
das notações simbólicas da matemática. 
 
11)O tempo t de vida útil de um dispositivo é sempre maior ou igual a 5 anos. Escreva este intervalo de tempo 
usando uma das notações simbólicas da matemática. 
 
12) Como podemos descrever o tempo de vida útil de uma lâmpada usando uma das notações simbólicas da 
matemática? Lembre-se de que uma lâmpada pode queimar na instalação (vida útil zero). 
 
GABARITO 
 
 
1) 
 
 
2) 
 
3) 
 
 
4) 
{ | 3 9} ou [3,9]I x x I    
 
5) 
{ | 3 9} ou ]3,9] ou (3,9]I x x I I     
 
6) 
{ | 3 9} ou ]3,9[ ou (3,9)I x x I I     
 
7) a) F b) V c) F d) V e) V f) F 
8) a) V b) V c) V d) V e) V f) F 
9) 
{ | 12}x x 
 
10) 
{ |10 20}t x  
ou 
[10,20]t
 
11) 
{ | 5}t t 
ou 
[5, [t 
 
12) 
{ | 0}t t 
ou 
[0, [t 
 
 
 
 
 
 
 
3 9 
2 8 
a 0 b 
2 8 
2 8 
2 8 
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Unidade 2 – Equações e Inequações do 1º e do 2º Grau 
 
DESENVOLVENDO A TEORIA – Apresentação dos conceitos, nomenclaturas e principais propriedades 
 
2. Equações 
 
Neste tópico, estudaremos as equações e inequações do primeiro grau (ou lineares), também serão 
vistas nesta seção as equações quadráticas (equações de segundo grau) e suas técnicas de resolução, com destaque 
para a fórmula de Bhaskara. As inequações quadráticas serão vistas no tópico funções quadráticas. 
 
2.1 Equações Lineares (ou Equações do 1º Grau) 
 
2.1.1 Identificação de uma Equação do 1º Grau 
 
Uma equação é de primeiro grau quando pode ser escrita na forma 
0ax b 
 
onde x é a variável (incógnita) da equação e a e b são dois números reais quaisquer, com a condição de que a não 
seja zero, isto é, 
0a 
. As constantes a e b são chamadas de coeficientes (ou parâmetros) da equação. A variável x 
pode ser substituída por qualquer outra variável, por exemplo, 
0at b 
. Veja na tabela abaixo alguns exemplos de 
equações de primeiro grau: 
 
Exemplo 8 
 Equação Coeficientes 
a 
2 7 0x 
 
2; 7a b 
 
b 
3 12 0x 
 
3; 12a b  
 
b 
5 20 0x  
 
5; 20a b  
 
c 
6 0x 
 
1; 6a b 
 
d 
5 0x 
 
5; 0a b 
 
e 
3
0,2 0
5
x  
 
3
0,2; 
5
a b 
 
f 
2 5
0
7 8
x
 
 
2 5
; 
7 8
a b  
 
g 
5 12x 
 
5; 12a b  
, pois 
5 12x  5 12 0x  
 
h 
4 3 7x 
 
4; 10a b  
, pois 
4 3 7x  4 3 7 0x    4 10 0x  
 
i 
21 7 0x 
 
7; 21a b  
 
j 
10 40 0t  
 
10; 40a b  
, pois t está ocupando o lugar da variável x 
 
Note que para uma equação ser de primeiro grau a variável x precisa ter expoente igual a 1. Assim, as 
equações 
22 12 0x  
e 
2 24 0x  
 não são do primeiro grau. 
 
2.1.2 Resolução de Equações do 1º Grau 
 
Para resolver uma equação de primeiro grau do tipo 
0ax b 
, você deve ter em mente que o seu 
objetivo é isolar a variável x na equação. Isto pode ser feito em dois passos. 
 
Exemplo 9  Vamos resolver a equação: 
3 12 0x 
 
 
Primeiro  Passa-se o b para o outro lado da igualdade, no exemplo 
12b 
. Nessa passagem, 
invertemos a operação que b estava realizando (se estava somando, passa subtraindo e se estava subtraindo, passa 
somando). No exemplo acima, o 12 estava somando (pois é positivo), então passa subtraindo, isto é, passa negativo. 
Assim a equação fica: 
3 12x  
. 
 
Segundo  Passa-se o a para o outro lado da igualdade, no exemplo 
3a 
. Nessa passagem, 
exatamente como na anterior, invertemos a operação que a estava realizando (se estava multiplicando, passa 
dividindo e se estava dividindo, passa multiplicando). No exemplo acima, o 3 estava multiplicando a variável x, então 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
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passa dividindo tudo o que estiver do outro lado da igualdade. Assim, a equação fica: 
12
3
x


, logo, efetuando a 
divisão, temos 
4x  
. Concluímos então que a solução da equação 
3 12 0x 
é 
4x  
. 
 
2.1.3 Simplificação de Expressões e Operações com Fração 
 
Numa fração 
p
q
 qualquer, usamos a seguinte nomenclatura: 
Numerador
Denominador
p
q



 
 
Ou seja, p é chamado de numerador e q é chamado de denominador. 
 
Exemplo 10  Vamos resolver a equação: 
1 3
5 5
x  
 
 
Lembre-se de que o seu objetivo é isolar a variável x na equação. Então, vamos começar passando o 
1
5

 para o outro lado da igualdade. Observe que a operação vai ser invertida (de - para +). Assim, a equação fica 
3 1
5 5
x  
. 
 
Para determinar o valor de x, basta somarmos as frações. Como o denominador das duas frações é o 
mesmo, no caso 5, a soma das frações é feita preservando o denominador e somando os numeradores, isto é, 
3 1
5
x


. Logo, o valor de x é 
4
5
x 
. 
Exemplo 11  Vamos resolver a equação: 
1 4
2 3
x  
 
 
Lembre-se de que o seu objetivo é isolar a variável x na equação. Então, vamos começar passando o 
1
2

para o outro lado da igualdade. Observe que a operação vai ser invertida (de - para +). Assim, a equação fica 
4 1
3 2
x  
. 
 
Para determinar o valor de x, basta somarmos as frações. A melhor técnica para somar ou subtrair 
frações, quando os denominadores são diferentes, é usar o MMC (mínimo múltiplo comum). O objetivo desta técnica 
é reduzir as frações a um mesmo denominador, para que possamos subtrair ou somar os numeradores como fizemos 
no exemplo 10 acima. Como os denominadores são 3 e 2, o MMC deles é 6. Trocamos então os denominadores por 6 
e usamos o raciocínio de “dividir pelo de baixo e multiplicar pelo de cima”. Assim a equação fica: 
2.4 3.1 8 3 11
6 6 6
x x x
 
    
. Logo, a solução da equação 
1 4
2 3
x  
 é 
11
6
x 
. 
 
A TEORIA NA PRÁTICA – Aplicando a teoria no cotidiano e na vida profissional 
 
2.1.4 Aplicações de Equações de 1º Grau 
 
Exemplo 12  Uma fábrica de cadeiras tem um custo fixo mensal de R$800,00 (funcionários e outras 
despesas) e um custo de R$30,00 por cadeira produzida (matéria prima). Assim, se a fábrica produzir num mês x 
cadeiras, o custo total C, em reais, será 
30 800C x 
. Num determinado mês, o custo total da fábrica foi de 
R$2.360,00. Quantas cadeiras foram fabricadas no referido mês? 
 
Resolução  Como o custo total foi 2360, então C = 2360. Substituindo na equação do custo, temos: 
2360 30 800x 
. Agora, basta resolvermos a equação: 
1560
2360 30 800 2360 800 30 1560 30 30 1560 52
30
x x x x x x            
 
Portanto, foram fabricadas 52 cadeiras no referido mês. 
 
 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
9 Prof. Miro Placido 
 
 
Exemplo 13  Uma indústria, especializada em fabricar canetas e lápis, produz mensalmente 6400 
peças. Em um determinado mês, a produção de canetas deverá ser quatro vezes maior que a produção de lápis. 
Nesse caso, qual será a quantidade de lápis produzida? 
 
Resolução  A quantidade de lápis é a variável, a incógnita. Seja x a quantidade de lápis. Como a 
quantidade de caneta é quatro vezes maior, ela será 4x. Mas a quantidade de lápis x somada coma a quantidade de 
canetas 4x deverá dar o total de 6400 peças. Dessa relação, escrevemosa equação: 
4 6400x x 
. Agora basta 
resolver esta equação. 
6400
4 6400 5 6400 1280
5
x x x x x       
. 
Portanto, serão produzidos 1.280 lápis no referido mês. 
 
Exemplo 14  Rogério e Dagoberto desejam, juntos, comprar um terreno. Rogério tem 1/2 do valor do 
terreno e Dagoberto, 1/3. Se juntarem, ao que possuem, R$ 3.000,00, terão o valor exato do terreno. Qual o valor do 
terreno? 
 
 
Resolução  O valor do terreno é a incógnita. Então, seja x o valor do terreno. Como Rogério possui 
1/2 do valor, podemos escrever que ele possui 
1
2
x
. Já Dagoberto possui 1/3 do valor do terreno, então podemos 
escrever que o que ele possui é 
1
3
x
. Mas o enunciado diz que se somarmos o que Rogério possui (que é 
1
2
x
), com o 
que Dagoberto possui (que é 
1
3
x
) e juntarmos mais R$3.000, dará o valor do terreno (que é x). Colocando isso 
numa equação, fica: 
 
1 1
3000
2 3
x x x  
 
Note que esta equação pode ser escrita como 
3000
2 3
x x
x  
. Lembre-se que o objetivo é isolar x. 
Passando todos os termos que têm x para o lado esquerdo da igualdade, fica 
3000
2 3
x x
x   
. Como precisamos 
somar frações, vamos “tirar o MMC” dos três termos do lado esquerdo. Note que os denominadores do lado esquerdo 
são 2, 3 e 1, na ordem. Portanto, o MMC é 6. 
3 2 6
3000
6
x x x 
 
. Resolvendo esta equação, obtemos: 
3 2 6 5 6
3000 3000 300
6 6 6
x x x x x x   
       
 
Multiplicando a última equação por (-1), fica: 
3000
6
x

. Agora, para isolar o x, basta passar o 6 para o 
outro lado da igualdade multiplicando, pois ele está dividindo no lado esquerdo. Assim a equação fica 
6 300 18.000x x   
. Logo, o valor do terreno é de R$18.000. 
 
FIXANDO A TEORIA – Exercícios de fixação, aprendizagem e domínio da técnica 
 
Resolva as equações abaixo: 
 
1) 
2 7 31x 
 
2) 
12 3 3x 
 
3) 
0,1 5 3x 
 
4) 
3 7 17x 
 
5) 
2 5
7 7
x  
 
6) 
7
4
3 3
x
 
 
7) 
3 2
5 7
x  
 
8) 
2 2
2
7 3
x
x x

  
 
 
A TEORIA NA PRÁTICA – Aplicando a teoria no cotidiano e na vida profissional 
 
9) O lucro mensal de uma determinada fábrica de camisetas é dado pela fórmula 
25 750L x 
, onde L representa 
o lucro, em reais, e x é a quantidade de camisetas vendidas. Se num determinado mês o lucro foi de R$4.250,00, 
qual foi a quantidade x de camisetas vendidas? 
 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
10 Prof. Miro Placido 
 
 
10) Uma pequena empresa, especializada em fabricar mesas e cadeiras, produz mensalmente 1240 peças. Em um 
determinado mês, a produção de cadeiras foi três vezes maior que a produção de mesas. Nesse caso, qual foi a 
quantidade de cadeiras produzidas nesse mês? 
 
11) Numa fábrica de peças, 7/8 da produção diária são distribuídos no Brasil e as outras 220 peças que restam são 
exportadas. Quantas peças são produzidas diariamente? 
 
GABARITO 
 
1) 19 
2) 3 
3) 80 
4) 10/3 
5) 3/7 
6) 19 
7) 31/35 
8) 1/3 
9) 200 
10) 930 
11) 1.760 
 
DESENVOLVENDO A TEORIA – Apresentação dos conceitos, nomenclaturas e principais propriedades 
 
2.2 Equações Quadráticas (Ou Equações do 2º Grau) 
 
2.2.1 Identificação de uma Equação Quadrática 
 
Uma equação é quadrática (do 2º grau) quando pode ser escrita na forma 
2 0ax bx c  
 
Onde x é a variável (incógnita) da equação e a, b e c são números reais quaisquer, com a condição de 
que a não seja zero, isto é, 
0a 
. As constantes a, b, e c são chamadas de coeficientes (ou parâmetros) da 
equação. A variável x pode ser substituída por qualquer outra variável, por exemplo, 
2 0at bt c  
. Veja na tabela 
abaixo alguns exemplos de equações de segundo grau: 
 
Exemplos de Equações Quadráticas 
 Equação Coeficientes 
a 
22 3 7 0x x  
 
2; 3; 7a b c  
 
b 
2 3 10 0x x  
 
1; 3; 10a b c   
 
b 
23 12 5 0t t   
 
3; 12; 5a b c    
 
c 
2 4 0x x  
 
1; 4; 0a b c   
, note que c = 0, pois o termo independente não existe 
d 
2 16 0x  
 
1; 0; 16a b c   
, note que b = 0, pois o termo bx não aparece na equação 
e 
2 6 8x x 
 
1; 6; 8a b c    
, note que c = -8, pois 
2 26 8 6 8 0x x x x     
 
f 
21 33 0
2 7
x x  
 
1 3
; 3; 
2 7
a b c   
 
g 
22 6 0x x  
 
1; 6; 2a b c   
, pois 
22 6 0x x   2 6 2 0x x   
 
h 
20,23 0,018 0x x  
 
0,23; 1; 0,018a b c   
 
Note que, para uma equação ser de segundo grau, ela precisa conter uma variável com expoente igual a 
2, e não pode ter expoente maior do que 2. Assim, as equações 
2 12 0x 
e 
3 210 24 5 0x x x   
 não são do 
segundo grau, a primeira por não ter expoente 2 e a segunda por ter um expoente maior do que 2. 
 
2.2.2 Técnicas de Resolução de Equações Quadráticas 
 
Resolver uma equação quadrática é determinar suas raízes. As raízes (ou zeros) de uma equação 
quadrática são os valores que satisfazem a equação, isto é, que tornam a equação verdadeira. 
 
Vamos tomar como exemplo a equação 
2 4 3 0x x  
. As raízes dessa equação são os valores de x que 
tornam a igualdade verdadeira, ou seja, fazem o valor da expressão ser zero. Vamos experimentar alguns valores: 
 Se x = 0, a expressão fica  
20 4.0 3 0 0 3 3     
. Ou seja, O não é raiz da equação; 
 Se x = 1, a expressão fica  
21 4.1 3 1 4 3 3 3 0        
. Ou seja, 1 é raiz da equação; 
 Se x = 2, a expressão fica  
22 4.2 3 4 8 3 4 3 1         
. Ou seja, 2 não é raiz da equação; 
 Se x = 3, a expressão fica  
23 4.3 3 9 12 3 3 3 0        
. Ou seja, 3 é raiz da equação; 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
11 Prof. Miro Placido 
 
 
Podemos parar por aqui a procura por raízes da equação, pois já encontramos duas raízes distintas 
 1 21 e 3x x 
e sabemos que uma equação do segundo grau nunca tem mais do que duas raízes 
diferentes. 
 
Note que encontramos as raízes da equação acima por tentativa e erro. No entanto, na maioria das 
equações, essa metodologia pode ser complicada e demorada, se tornando praticamente impossível de ser usada. 
Para eliminar esse problema, lançamos mão da fórmula de Bhaskara, que é uma técnica muito prática para 
determinar as raízes de uma equação quadrática. 
 
Fórmula de Bhaskara 
 
Dada uma equação quadrática na forma: 
2 0ax bx c  
 
 
As raízes 
1x
 e 
2x
 dessa equação são obtidas pela fórmula: 
 
2
b
x
a
  

, isto é, 
1
2
b
x
a
  

 e 
2
2
b
x
a
  

, onde 
2 4b ac  
. 
 
Observe que, para determinar as raízes, basta conhecermos os coeficientes a, b e c da equação, pois a 
fórmula de Bhaskara depende apenas desses parâmetros da equação. 
 
Vamos resolver novamente o exemplo anterior, mas agora usando a fórmula de Bhaskara. 
 
Exemplo 15  Resolva a equação 
2 4 3 0x x  
 
 
Resolução  Note que os coeficientes da equação são 
1; 4 e 3a b c   
. Para determinar as raízes, 
basta substituir estes parâmetros na fórmula de Bhaskara. 
Como 
 
22 4 4 4.1.3 16 12 4b ac           
. 
Como ( 4) 4 4 2
2 2.1 2
b
x x x
a
      
    
, logo 
1 1 1
4 2 2
1
2 2
x x x

    
 e 
2 2 2
4 2 6
3
2 2
x x x

    . Portanto, as raízes são 1 e 3. Ou seja, o conjunto solução da equação é 
 1;3
. 
 
Apesar de prática, a fórmula de Bhaskara nem sempre é a melhor técnica para resolver uma equação 
quadrática. Em certos casos, existem maneiras mais diretas para determinar as raízes da equação. Vamos analisar 
dois dos casos mais comuns: 
 
1º Caso: quando a equação não tem o termo bx, isto é, quando 
0b 
. 
 
Exemplo 16  Resolva a equação 
2 25 0x  
 
 
Resolução  Note que nesta equação o coeficiente b = 0, pois ela não tem o termo bx. Neste caso, 
para resolver a equação, basta isolar o termo 
2x
. Passando 25 para o lado direito da igualdade, temos: 
2 225 0 25 25 5x x x x         
 
Logo, as raízes da equação são -5 e 5. 
 
Exemplo 17  Resolva a equação 
248 3 0x 
 
 
Resolução  Note que esta equação é quadrática e não contém o termo bx. Isolando o termo 
2x
, 
teremos: 
2 2 2 24848 3 0 3 48 16 16 4
3
x x x x x x

              

 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
12 Prof. Miro Placido 
 
 
Logo, as raízes da equação são -4 e 4. 
 
2º Caso: quando a equação não tem o termo constante, isto é, quando 
0c 
. 
 
Exemplo 18  Resolva a equação 
23 12 0x x 
 
 
Resolução  Note que, neste exemplo, o termo c da equação é zero, ou seja, a equação não contém o 
termo independente. Neste caso, para determinar as raízes, podemos colocar o fator comum aos dois termos em 
evidência. Observe que os dois termos da equação (
23x
 e 
12x
) são múltiplos de 3 e ambos contêm a variável x, isto 
é, o fator comum aos dois termos é 
3x
. Colocando este fator em evidência, fica: 
23 12 0 3 ( 4) 0x x x x    
 
Lembre-se de que uma regra básica da matemática diz que se um produto é igual a zero, então pelo 
menos um dos fatores é igual a zero. Isto é, se M.N = 0, então M = 0 ou N = 0. 
 
Na expressão acima, temos 
3 ( 4) 0x x 
. Podemos pensar o 
3x
 como M e o 
4x
 como N. Assim, para 
resolver a equação quadrática, basta resolvermos as duas equações lineares (equações de 1º grau: 
3 0 e 4 0x x  
). Resolvendo as equações, obtemos: 
0
3 0 0
3
x x x    
 
4 0 4x x   
 
Logo, as raízes da equação são 0 e 4. 
 
Exemplo 18  Resolva a equação 
25 40 0x x  
 
 
Resolução  Note que o fator comum é 
5x
. Colocando este fator em evidência, obtemos: 
25 40 0 5 ( 8) 0x x x x      
 
Como o produto 
5 ( 8)x x 
é igual a zero, devemos ter 
5 0x 
ou 
8 0x  
. Resolvendo essas duas 
equações lineares, temos: 
0
5 0 0
5
x x x    
 
8 0 8x x     
. Multiplicando ambos os lados da equação por (-1), fica: 
8x 
. 
Logo, as raízes da equação são 0 e 8. 
 
Observação 
 
Nos dois casos estudados acima, podemos usar a fórmula de Bhaskara para determinar as raízes. Mas 
recomendamos fortemente o uso das técnicas expostas, pois, em geral, o aluno que opta pela fórmula de Bhaskara, 
nesses dois casos, acaba errando as contas, devido à falta de um dos coeficientes. Recomendamos o uso da fórmula 
de Bhaskara apenas quando a equação for completa, isto é, quando todos os coeficientes (a, b e c) forem diferentes 
de zero. 
 
A TEORIA NA PRÁTICA – Aplicando a teoria no cotidiano e na vida profissional 
 
2.2.3 Aplicações de Equações Quadráticas 
 
Exemplo 19  O diretor de uma empresa tomou conhecimento de que o lucro y para certo produto que 
ele comercializa varia em função do preço unitário de venda de acordo com a fórmula: 
2 30y x x  
 
Onde 
x
é o preço de venda, em reais, de cada unidade e 
y
é o lucro total diário, em reais. 
a) Qual será o lucro diário se o preço unitário de venda for de 15 reais? 
b) Qual deve ser o preço unitário de venda para que o lucro total diário seja de 216 reais? 
 
Resolução 
a) Como o preço unitário de venda é representado pela variável x, basta substituir 15 no lugar de x na 
fórmula. Assim, a fórmula fica: 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
13 Prof. Miro Placido 
 
2 230 (15) 30.15 225 450 225y x x y y y            
 
Como y representa o lucro total diário, podemos concluir que, se o preço unitário de venda for de 15 
reais, o lucro total diário será de 225 reais. 
 
Resposta: se o preço unitário de venda for de 15 reais, o lucro total diário será de 225 reais. 
 
b) Como o lucro total diário é representado pela variável y, basta substituir 216 no lugar de y na fórmula. 
Assim, a fórmula fica: 
2 230 216 30y x x x x      
 
Note que chegamos a uma equação quadrática. Passando todos os termos para o primeiro membro, fica: 
2 2216 30 30 216 0x x x x      
. 
Assim, a expressão fica escrita na forma geral de uma equação quadrática. Agora, para encontrar os 
possíveis valores de x, devemos determinar as raízes da equação acima. Veja que os coeficientes da equação são 
1; 30 e 216a b c   
. Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos: 
2 24 ( 30) 4.1.216 900 864 36b ac           
. 
Como ( 30) 36 30 6
.
2 2.1 2
b
x x x
a
      
    
 
Assim, 
1 1 1
30 6 24
12
2 2
x x x

    
 e 
2 2 2
30 6 36
18.
2 2
x x x

    
 
 
Logo, as raízes da equação são 12 e 18, ou seja, os valores de x que satisfazem a equação são 12 e 18. 
Como x representa o preço unitário de venda, concluímos que o lucro total diário será de 216 reais se o preço unitário 
de venda for de 12 reais ou de 18 reais. 
 
Resposta: para que o lucro total diário seja de 216 reais, o preço unitário de venda dever ser de 12 reais 
ou de 18 reais. 
 
Exemplo 20  A variação da temperatura y de uma caldeira, ao longo do tempo de aquecimento, pode 
ser aproximada pela fórmula 
20,4 20y x x  
, onde y é a temperatura, em 0C, e x é o tempo de aquecimento da 
caldeira, em minutos. 
a) Qual é a temperatura após dez minutos de aquecimento? 
b) Em que instantes a temperatura irá atingir a marca de 2400 C? 
 
Resolução 
a) Como o tempo de aquecimento é representado pela variável x, basta substituir 10 no lugar de x na 
fórmula. Assim, a fórmula fica: 
2 20,4 20 0,4.10 20.10 0,4.100 200 40 200 160y x x y y y y                
 
Como y representa a temperatura, podemos concluir que, após 10 minutos de aquecimento, a 
temperatura será de 1600C. 
 
b) Como a temperatura é representada pela variável y, basta substituir 240 no lugar de y na fórmula. 
Assim, a fórmula fica: 
2 20,4 20 240 0,4 20y x x x x      
 
Note que chegamos a uma equação quadrática. Passando todos os termos para o primeiro membro, fica: 
2 2240 0,4 20 0,4 20 240 0x x x x      
. 
Assim, a expressão fica escrita na forma geral de uma equação quadrática. Agora, para encontrar os 
possíveis valores de x, devemos determinar as raízes da equação acima. Veja que os coeficientes da equação são 
0,4; 20 e 240a b c   
. Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos: 
2 24 ( 20) 4.(0,4).240 400 384 16b ac           
. 
Como ( 20) 16 20 4
2 2.(0,4) 0,8
b
x x x
a
      
    
. 
Assim 
1 1 1
20 4 16
20
0,8 0,8
x x x

    
 e 
2 2 2
20 4 24
30.
0,8 0,8
x x x

    
 
 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
14 Prof. Miro Placido 
 
 
Como x representa o tempo de aquecimento, concluímos quea temperatura irá atingir a marca de 2400C 
nos instantes 20 minutos e 30 minutos. 
 
FIXANDO A TEORIA – Exercícios de fixação, aprendizagem e domínio da técnica 
 
Resolva as equações quadráticas a seguir: 
 
12) 
2 121 0x  
 
 
13) 
2800 2 0x 
 
 
14) 
2 12 0x x 
 
 
15) 
215 3 0p p  
 
 
16) 
20,2 14 0x x 
 
 
17) 
2 7 12 0x x  
 
 
18) 
2 12 35 0x x  
 
 
19) 
210 24x x 
 
 
20) 
25 50 80 0x x  
 
 
21) 
2 1 0x x  
 
A TEORIA NA PRÁTICA – Aplicando a teoria no cotidiano e na vida profissional 
 
22) A variação da temperatura y de certo dispositivo eletrônico, ao longo do tempo de funcionamento, pode ser 
aproximada pela fórmula 
20,25 10y x x  
, onde y é a temperatura, em 0C, e x é o tempo de funcionamento 
do dispositivo, em minutos. 
a) Qual é a temperatura após cinco minutos de funcionamento? 
b) Em que instantes a temperatura irá atingir a marca de 750 C? 
 
23) O faturamento diário F de certa empresa para determinado produto é calculado pela fórmula 
2 50F p p  
, 
onde F é o faturamento diário, em reais, e p é o preço unitário de venda deste produto, também em reais. 
a) Qual será o faturamento se o preço de venda for R$23,00? 
b) Qual será o faturamento se o preço de venda for R$28,00? 
c) Quais os preços que fazem o faturamento ser de R$600,00? 
 
GABARITO 
 
12) 
1 2
11; 11x x  
 
13) 
1 2
20; 20x x  
 
14) 
1 2
0; 12x x 
 
15) 
1 2
0; 5x x 
 
16) 
1 2
70; 0x x  
 
17) 
1 2
3; 4x x 
 
18) 
1 2
5; 7x x 
 
19) 
1 2
4; 6x x 
 
20) 
1 2
2; 8x x 
 
21) 
1 2
; 
1 5 1 5
2 2
x x 
  
 
22) a) 43,750 C b) 10min e 30min 
 
23) a) R$621,00 b) R$S616,00 c) R$20 e R$30
 
2.3 Inequação Lineares (ou Inequações do 1o Grau) 
 
Listamos abaixo algumas formas de inequações lineares: 
 
0ax b 
; 
0ax b 
; 
0ax b 
; 
0ax b 
. 
 
Para resolver uma equação linear, basta isolar a variável x. Veja alguns exemplos: 
 
Exemplo 21  Resolva a inequação 
2 6 0x 
 
 
Resolução  
2 6 0 2 6x x    
. Dividindo-se os dois membros da inequação por 2, obtemos: 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
15 Prof. Miro Placido 
 
2 6
3
2 2
x
x

   
. 
 
Exemplo 22  Resolva a inequação 
4 62 0x 
 
 
Resolução  
4 62 0 4 62x x   
. Dividindo-se os dois membros da inequação por 4, obtemos: 
4 62
15,5
4 4
x
x  
. 
 
Exemplo 23  Resolva a inequação 
3 12 0x  
 
 
Resolução  
3 12 0 3 12x x     
. Devemos agora dividir os dois membros da inequação por -3. 
No entanto, fique atento ao fato de que, quando dividimos ou multiplicamos os membros de uma inequação por 
um número negativo, o sinal de desigualdade deve ser invertido. Assim, ao dividirmos a inequação acima por -
3, obtemos: 
3 12
3 12 4
3 3
x
x x
 
      
 
. 
 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
16 Prof. Miro Placido 
 
 
Unidade 3 – Funções de uma Variável Real: Função do 1º Grau 
 
DESENVOLVENDO A TEORIA – Apresentação dos conceitos, nomenclaturas e principais propriedades 
 
3. O Conceito de Função 
 
De agora em diante, passaremos a estudar as funções de uma variável. Essas funções têm larga 
aplicação em diferentes áreas do conhecimento. Quando modelamos matematicamente fenômenos econômicos, 
físicos ou sociais, dentre outros, precisamos fazer uso de funções de pelo menos uma variável. Essas funções, para 
melhor compreensão, são representadas graficamente. Para isso, usamos o plano cartesiano. 
 
3.1. O plano Cartesiano 
 
Uma das finalidades do plano cartesiano é ilustrar a relação entre duas variáveis. Essa relação, em geral, 
é estudada ponto a ponto. Para representar um ponto P(x, y) no plano cartesiano, marcamos o valor da coordenada x 
no eixo horizontal (eixo das abscissas) e o valor da coordenada y, no eixo vertical (eixo das ordenadas). Assim, a 
representação do ponto P(3, 4) no plano cartesiano, é: 
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
3
4
5
6
 
Na representação do ponto P(3, 4) feita acima, dizemos que a abscissa do ponto vale 3 e a ordenada vale 
4. Ou seja, a abscissa do ponto representa a posição que ele está no eixo x, enquanto a ordenada representa a 
posição (altura) que ele está no eixo y. 
] 
3.2. Pares Ordenados 
 
Um par ordenado (x, y) com duas coordenadas x e y sempre representa um ponto no plano cartesiano. 
Do mesmo modo, qualquer ponto do plano cartesiano pode ser representado por um par ordenado. 
 
Note que o ponto A(3, 4) é diferente do ponto B(4, 3), pois ocupam lugares diferentes no plano 
cartesiano. É por isso que dizemos que eles são pares ordenados, uma vez que a mudança de ordem entre as 
coordenadas altera o ponto representado. 
 
3.3. Representação de Expressões Algébricas e Equações no Plano Cartesiano 
 
Toda expressão algébrica envolvendo duas variáveis pode ser representada no plano cartesiano. Para 
isso, basta tratarmos uma das variáveis como x (abscissa) e outra como y (ordenada). 
 
Exemplo 24  Determine todos os pontos (x, y) do plano cartesiano tais que 
5x y 
, sabendo que x e 
y são números inteiros não negativos. Represente, no plano cartesiano, todos os pontos encontrados. 
 
Resolução  Se 
5x y 
, então 
5y x  
. Observe que, para cada valor atribuído a x, podemos 
determinar o respectivo valor para y. Como x não pode ser negativo, e deve ser inteiro, vamos começar com 
0x 
: 
 Se 
0x 
, como 
5 0 5 5y x y y        
. Obtemos assim o ponto (0, 5); 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
17 Prof. Miro Placido 
 
 Se 
1x 
, como 
5 1 5 4y x y y        
. Obtemos assim o ponto (1, 4); 
 Se 
2x 
, como 
5 2 5 3y x y y        
. Obtemos assim o ponto (2, 3); 
 Se 
3x 
, como 
5 3 3 2y x y y        
. Obtemos assim o ponto (3, 2); 
 Se 
4x 
, como 
5 4 5 1y x y y        
. Obtemos assim o ponto (4, 1); 
 Se 
5x 
, como 
5 5 5 0y x y y        
. Obtemos assim o ponto (5, 0); 
 Se 
6x 
, como 
5 6 5 1y x y y         
. Como 
1y  
é um número inteiro negativo, o 
ponto obtido não satisfaz à condição do enunciado de que x e y devem ser não negativos. 
 
Representando os seis pontos obtidos no plano cartesiano, temos: 
 
       








x
y
 
 
Note que, na equação 
5y x  
, a variável y depende da variável x. Em outras palavras, dizemos que 
y é uma função de x. Isso significa que, a cada valor atribuído a x, encontramos um valor (resultado) para y. Observe 
que os pontos que atendem à condição (equação) do enunciado 
5y x  
 estão todos sobre uma mesma reta. Isto 
significa que, se procurarmos mais pontos do plano que atendam à equação, estes também estarão sobre a mesma 
reta. 
 
Exemplo 25  Determine todos os pontos (x, y) do plano cartesiano tais que 
2 6y x 
. Represente, no 
plano cartesiano, os pontos encontrados. 
 
Resolução  Observe que agora não há a condição de que x e y devem ser números inteiros. Note 
também que x e y podem ser negativos. 
 
Vamos começar atribuindo alguns valores arbitrários para x. 
 Se0x 
, como 
2 6 2.0 6 0 6 6y x y y y         
. Obtemos assim o ponto (0, 6); 
 Se 
1x 
, como 
2 6 2.1 6 2 6 8y x y y y         
. Obtemos assim o ponto (1, 8); 
 Se 
2x 
, como 
2 6 2.2 6 4 6 10y x y y y         
. Obtemos assim o ponto (2, 10); 
 Se 
3x 
, como 
2 6 2.3 6 6 6 12y x y y y         
. Obtemos assim o ponto (3, 12); 
Com os valores atribuídos acima, já é possível perceber que, a cada unidade aumentada na variável 
x (na abscissa), o y aumenta 2 unidades. 
Podemos também atribuir valores negativos à variável x, por exemplo: 
 Se 
1x  
, como 
2 6 2.( 1) 6 2 6 4y x y y y           
, e o ponto obtido é (-1, 4); 
 Se 
2x  
, como 
2 6 2.( 2) 6 4 6 2y x y y y           
, e o ponto obtido é (-2, 2). 
 
Representando os pontos obtidos no plano cartesiano, temos: 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
18 Prof. Miro Placido 
 
      














x
y
 
 
A representação acima contempla apenas 6 pontos. No entanto, o enunciado permite que valores não 
inteiros sejam substituídos na equação. Como podemos ver pelo gráfico e pela equação, se atribuirmos novos valores 
a x, os valores respectivos encontrados para y estarão sobre uma mesma reta, como sugerem os pontos já 
representados. Assim, para representarmos todos os pontos que atendem à equação
2 6y x 
, basta desenharmos 
uma reta sobre os pontos já representados. Ou seja, os pontos que satisfazem a equação 
2 6y x 
 são todos os 
pontos da reta representada abaixo. 
      














x
y
 
 
Exemplo 26  Represente, no plano cartesiano, a equação 
2y x
. 
 
Resolução  Representar a equação 
2y x
 no plano cartesiano significa encontrar (ilustrar 
graficamente) os pontos (x, y) do plano que satisfazem tal equação. Para isso, vamos atribuir valores arbitrários a x. 
 Se 
0x 
, como 
2 20 0y x y y    
. Obtemos assim o ponto (0, 0); 
 Se 
1x 
, como 
2 21 1y x y y    
. Obtemos assim o ponto (1, 1); 
 Se 
2x 
, como 
2 22 4y x y y    
. Obtemos assim o ponto (2, 4); 
 Se 
3x 
, como 
2 23 9y x y y    
. Obtemos assim o ponto (3, 9); 
Observe que podemos também atribuir valores negativos a x: 
 Se 
1x  
, como 
2 2( 1) 1y x y y     
. Obtemos assim o ponto (-1, 1); 
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 Se 
2x  
, como 
2 2( 2) 4y x y y     
. Obtemos assim o ponto (-2, 4); 
 Se 
3x  
, como 
2 2( 3) 9y x y y     
. Obtemos assim o ponto (-3, 9); 
 
Representando estes pontos no plano cartesiano, temos: 
     









x
y
 
 
Observe que os pontos estão dispostos de tal maneira que formam um arco de parábola. Assim, para 
representar todos os pontos do plano que satisfazem a equação 
2y x
, basta ligarmos os pontos acima. A curva 
formada pela junção de todos os pontos da equação acima é chamada de parábola. Veja gráfico abaixo: 
 
     









x
y
 
 
Os exemplos que acabamos de ver (exemplos 24, 25 e 26) são exemplos de funções e este será o 
assunto das próximas seções. 
 
3.4. O conceito de Função e Notação para Funções 
 
Uma função é, em geral, representada por uma equação envolvendo duas variáveis. No entanto, nem 
toda equação envolvendo duas variáveis é uma função. 
 
De um modo bem simplificado e informal, podemos dizer que uma equação nas variáveis x e y, por 
exemplo, é uma função se, para todo valor atribuído a x se obtém um - e apenas um - valor respectivo para y. 
 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
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Veja que as equações dos exemplos 24, 25 e 26 são funções, pois, para cada valor atribuído a x se 
obtém um único valor correspondente para y. Reveja os exemplos. 
 
Notação para Funções 
 
No exemplo 24, a equação 
5y x  
 representa uma função. Isso significa que a variável y é uma 
função de x, isto é, 
( )y f x
. Esta notação serve para “dizer” que y é calculado a partir do valor de x, em outras 
palavras, y depende de x. Ao invés de escrevermos 
5y x  
, podemos também escrever 
( ) 5f x x  
, uma vez 
que conceitualmente 
( )f x y
. 
 
Assim, quando pedimos para calcular 
(3)f
, por exemplo, significa que estamos pedindo para calcular o 
valor da função (valor de y) quando x = 3. Logo, para calcular 
(3)f
, basta substituir 3 no lugar da variável x na 
equação. Ou seja, como
( ) 5 (3) 3 5 (3) 2f x x f f        
. 
 
Exemplo 27  Dada a função 
( ) 3 12f x x 
, calcule 
(2)f
e 
( 2)f 
 
 
Resolução  Como 
( ) 3 12 (2) 3.2 12 (2) 6 12 (2) 18f x x f f f         
. 
Do mesmo modo, como 
( ) 3 12 ( 2) 3.( 2) 12 ( 2) 6 12 ( 2) 6f x x f f f              
. 
 
3.5. Funções Lineares (ou Funções do 1º Grau) 
 
As funções do primeiro grau são aquelas em que o gráfico é uma reta inclinada (crescente ou 
decrescente). As equações dos exemplos 24 e 25 são funções do primeiro grau (funções lineares), pois os gráficos 
resultaram em retas inclinadas. 
Devido à grande utilidade e aplicabilidade das funções de primeiro grau, vamos definir e estudar de 
maneira mais formal este tipo de função. 
 
3.5.1. Identificação de uma Função do Primeiro Grau 
 
Uma função é classificada como função do primeiro grau quando pode ser escrita na forma 
y ax b 
, ou seja, 
( )f x ax b 
 
Onde a e b são números reais com a condição de que a não seja nulo, isto é, com 
0a 
. Os números a e 
b são chamados de coeficientes (ou parâmetros) da função. É muito importante saber identificar corretamente os 
coeficientes a e b, pois eles são muito úteis para construir o gráfico da função. 
 
Exemplos de Função do Primeiro Grau 
 Função Coeficientes 
a 
( ) 2 7f x x 
 
2; 7a b 
 
b 
3 12y x 
 
3; 12a b  
 
b 
( ) 5 20f x x  
 
5; 20a b  
 
c 
( ) 6f x x 
 
1; 6a b 
 
d 
( ) 2f x x
 
2; 0a b 
 
e 
3
0,2
7
y x  
 
3
0,2; 
7
a b  
 
f 
2 5
( )
7 8
x
f x  
 
2 5
; 
7 8
a b  
 
g 
5 10y x 
 
5; 10a b 
, pois 
5 10y x  5 10y x  
 
h 
3 12v t 
 
3; 12a b 
, pois 
3 12v t 
equivale a
3 12y x 
 
i 
0,2 20M n 
 
0,2; 20a b 
, pois 
0,2 20M n 
 equivale a 
0,2 20y x 
 
j 
( ) 4f t t  
 
1; 4a b  
, pois 
( ) 4f t t  
equivale a 
( ) 4f x x  
 
k 
( ) 1f x x 
 
1; 1a b  
, pois 
( ) 1f x x 
equivale a 
( ) 1f x x  
 
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Note que o expoente da variável x (ou variável equivalente a x) é sempre igual a 1 na função de primeiro 
grau. Essa é a principal característica desse tipo de função. 
 
3.5.2. Gráfico de uma Função do Primeiro Grau 
 
Como o gráfico de uma função do primeiro grau é sempre uma reta, e para se desenhar uma reta sãonecessários apenas dois pontos, fica fácil representar graficamente esse tipo de função. 
Exemplo 28  Faça o gráfico da função 
( ) 2 6f x x 
 
Um dos pontos mais úteis para se fazer o gráfico de uma função do primeiro grau é o ponto em que a 
variável x é nula, isto é, o ponto em que 
0x 
. Para encontrar este ponto, basta substituir 
0x 
 na expressão da 
função. 
No exemplo 28, a função é 
( ) 2 6f x x 
 ou 
2 6y x 
. Para se obter o ponto em que 
0x 
, 
substituímos 
0x 
 na função e obtemos 
2.0 6 0 6 6y y y      
, ou seja, quando 
0x 
, se tem 
6y 
. 
Obtemos assim um ponto do gráfico, o ponto (0, 6). 
 
Outro ponto muito importante do gráfico de uma função do primeiro grau é o ponto em que a variável y é 
nula, ou seja, o ponto em que 
0y 
. Para encontrar este ponto, basta substituir 
0y 
 na expressão da função. 
Substituindo 
0y 
 na função 
2 6y x 
, temos: 
0 2 6x 
. Note que chegamos a uma equação do primeiro grau, 
assunto já estudado em seção anterior. Resolvendo a equação 
0 2 6x 
, vem: 
6
0 2 6 6 2 3
2
x x x x

         
 
Ou seja, para se ter 
0y 
, devemos ter 
3x  
, dito de outra forma, descobrimos que quando 
3x  
, 
se tem 
0y 
. Obtemos assim o ponto (-3, 0). 
 
Como já temos dois pontos do gráfico – os pontos (0, 6) e (-3, 0) – basta representar esses dois pontos 
no plano e desenhar uma reta passando por eles. 
Representando os pontos (0, 6) e (-3, 0) no plano cartesiano, temos: 
           














x
y
 
O gráfico da função 
( ) 2 6f x x 
 é a reta que passa por esses dois pontos. Assim, o gráfico fica: 
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           














x
y
 
 
3.5.3. Raiz de Uma Função do Primeiro Grau 
 
Raiz (ou zero) de uma função é o valor de x que anula o valor da função, isto é, raiz é o valor de x que 
faz com que o valor de y seja zero. 
Note que, para descobrir a raiz (ou zero) de uma função do primeiro grau, basta substituir 
0y 
 na 
equação. O valor encontrado para x é a raiz da função. 
 
Exemplo 29  Determine a raiz da função 
( ) 3 12f x x 
 
 
Resolução  Como raiz é o valor de x quando 
0y 
, substituindo 
0y 
, na função, temos: 
12
0 3 12 12 3 4
3
x x x x       
. 
Ou seja, quando 
4x 
 o valor da função é zero (
0y 
), então 4 é a raiz da função. 
Graficamente este dado é muito importante, pois a raiz da função é o ponto em que o gráfico intercepta o 
eixo x. Ou seja, o gráfico da função 
( ) 3 12f x x 
 vai cortar o eixo x no ponto 
4x 
. 
 
Volte ao exemplo 28 e veja que, quando fizemos 
0y 
, obtivemos 
3x  
. Isto significa que o -3 é a 
raiz daquela função. Olhe no gráfico do exemplo 28 e veja que este corta o eixo x no ponto 
3x  
. 
 
A conclusão importante que tiramos daqui é que o gráfico da função de primeiro grau sempre passa pelo 
ponto (raiz, 0), onde raiz significa o valor da raiz da função. 
 
De agora em diante, quando precisarmos construir o gráfico de uma função do primeiro grau, podemos 
usar a raiz (ponto de interseção com o eixo x) como um dos pontos do gráfico. 
 
Outro ponto por onde o gráfico de uma função do primeiro grau sempre passa é o ponto (0, b), ou seja, 
quando substituímos 
0x 
 na função, o resultado é sempre o “b”. Como exemplo, observe a função 
( ) 3 12f x x 
, 
onde o “b” vale -12. Se substituirmos 
0x 
 nessa função, o valor obtido para y será -12. Isto significa que a função 
passa pelo ponto (0 ,-12), isto é, pelo ponto (0, b). 
Observe que temos então dois pontos do gráfico, os pontos (raiz, 0) e (0, b). 
Resumo 
 
O gráfico de uma função do primeiro grau sempre passa pelos pontos (raiz, 0) e (0, b). Na maioria 
absoluta dos casos, esses são os pontos mais indicados para se usar na construção do gráfico. 
 
3.5.4. Como construir o gráfico de uma função do primeiro grau usando o “b” e a “raiz” 
 
Vamos construir o gráfico de uma função como exemplo 
 
Exemplo 30  Represente graficamente a função 
( ) 4 20f x x  
 
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Resolução  Note que o “b” da função é 20. Como o gráfico de uma função linear sempre passa pelo 
ponto (0, b) e, nesse caso 
20b 
, o gráfico de 
( ) 4 20f x x  
 passa pelo ponto (0, 20). Substitua 
0x 
 na 
função e verifique. 
 
Também sabemos que o gráfico de uma função do primeiro grau sempre passa pelo ponto (raiz, 0). 
Vamos então encontrar a raiz de 
( ) 4 20f x x  
. Para isso, basta fazer 
0y 
, isto é, 
( ) 0f x 
. Assim, temos: 
20
0 4 20 20 4 4 20 5
4
x x x x x           
 
Ou seja, a raiz dessa função é 5. Como o gráfico passa pelo ponto (raiz, 0), temos mais um ponto do 
gráfico, o ponto (5, 0). 
 
Marcando esses dois pontos (0, 20) e (5, 0) no plano, temos: 
            







x
y
 
 
Para desenhar o gráfico, basta marcar a reta passando por esses dois pontos. 
            







x
y
 
 
Observe que os valores dessa função diminuem à medida que o valor de x aumenta. Neste caso, dizemos 
que a função é decrescente. Quando os valores da função aumentam com o aumento de x, dizemos que a função é 
crescente. Veja que a função do exemplo 28 é crescente. No entanto, não é necessário construir o gráfico de uma 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
24 Prof. Miro Placido 
 
 
função do primeiro grau para identificar se ela é crescente ou decrescente. O sinal do coeficiente “a” da função 
informa a variação da mesma. 
 
Dada uma função de primeiro grau 
( )f x ax b 
, aplicamos a seguinte regra: 
 Se 
0 ( )a f x 
 é uma função crescente; 
 Se 
0 ( )a f x 
 é uma função decrescente. 
Note que o coeficiente “a” representa a taxa de variação da função: 
 Se 
2a 
, por exemplo, significa que, para cada unidade aumentada em x, o valor de y aumenta 2 
unidades; 
 Se 
2a  
, por exemplo, significa que, para cada unidade aumentada em x, o valor de y diminui 2 
unidades. 
 
A TEORIA NA PRÁTICA – Aplicando a teoria no cotidiano e na vida profissional 
 
3.5.5. Aplicações de Função do Primeiro Grau 
 
Muitos fenômenos cotidianos são modelados (ilustrados) por funções do primeiro grau. Vamos resolver 
alguns exemplos. 
 
Exemplo 31  O valor y (em reais) de um determinado equipamento, em função do tempo de uso x (em 
meses), tem variação dada pela função 
20 1200y x  
. Neste modelo, 
0x 
representa o momento da compra. 
a) Represente graficamente a função. 
b) Qual é o valor do equipamento após 24 meses de uso? 
c) Em quantos meses de uso o equipamento atinge o valor de R$480,00? 
d) Qual é a vida útil, em meses, desse equipamento? 
 
Resolução  a) Note que a função 
20 1200y x  
 é de primeiro grau, com coeficientes 
20a  
e 
1200b 
. Para representar graficamente a função, podemos usar o fato de que o gráfico de uma função do primeiro 
grau sempre passa pelos pontos (0, b) e (raiz, 0). Ou seja, precisamos determinar o “b”da função e a raiz. Como 
podemos ver na equação, 
1200b 
, então o gráfico passa pelo ponto (0, 1200). Para determinar a raiz, basta fazer 
0y 
. Assim temos: 
1200
0 20 1200 20 1200 60
20
x x x x        
. 
Ou seja, a raiz é 60. Logo, o gráfico passa pelo ponto (60, 0). Basta então marcarmos os pontos (0, 
1200) e (60, 0) no plano e desenhar o gráfico. 
 
        














x
y
 
 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
25 Prof. Miro Placido 
 
 
Veja que o gráfico não foi prolongado além dos eixos. Isto se deve ao fato de que, no contexto desse 
problema, as variáveis x e y não podem assumir valores negativos. 
b) Para calcular o valor y após 24 meses de uso, basta substituir 
24x 
 na função. Assim fica: 
20.24 1200 480 1200 720y y y        
. 
Ou seja, após 24 meses de uso o valor y do equipamento será de R$720,00. 
c) Atingir o valor de R$480,00 significa que 
480y 
. Substituindo 
480y 
 na função, temos: 
720
480 20 1200 20 1200 480 20 720 36
20
x x x x x           
 
Logo, valor de 480 reais é atingido após 36 meses de uso. 
d) A vida útil de um equipamento acaba quando seu valor é zero, ou seja, pelo gráfico, vemos que o 
valor do equipamento é zero após 60 meses de uso (raiz). Assim, a vida útil desse equipamento é de 60 meses. 
 
FIXANDO A TEORIA – Exercícios de fixação, aprendizagem e domínio da técnica 
 
1) Dada a função de primeiro grau 
2 8y x 
, ou seja, 
( ) 2 8f x x 
, faça o que se pede: 
a) Determine o coeficiente angular a da função. 
b) Determine o coeficiente linear b da função. 
c) Esta função é crescente ou decrescente? 
d) Qual é a raiz (zero) dessa função? 
e) Em que ponto essa função corta o eixo x? 
f) Em que ponto essa função corta o eixo y? 
 
2) O custo total de fabricação de x unidades de um produto é dado por 
( ) 10 400C x x 
, onde x é o número de 
unidades fabricadas e C(x) é o custo total, em reais. 
a) Qual é o custo total de fabricação de 200 unidades? 
b) Com R$1000,00 é possível fabricar quantas unidades? 
 
3) Represente graficamente a função 
( ) 6 90f x x  
. 
 
A TEORIA NA PRÁTICA – Aplicando a teoria no cotidiano e na vida profissional 
4) O custo de operação C(x) de determinada empresa, em reais, em função do número de horas trabalhadas x, é 
dado pela fórmula 
( ) 240 6000C x x 
. 
a) Qual é o custo de operação dessa empresa se forem trabalhadas 24 horas? 
b) Quantas horas precisam ser trabalhadas para se atingir o custo de R$18.000,00 
5) Vários sistemas automáticos funcionam em movimento retilíneo uniforme (MRU). A função horária do movimento 
retilíneo uniforme é uma função de primeiro grau. Portanto, se chamarmos de t o tempo de deslocamento, em 
segundos, e de S a posição, em centímetros, podemos representar a função horária por uma expressão da forma 
S at b 
, que é a expressão geral de uma função de primeiro grau. Um elevador pneumático se movimenta em 
MRU. Portanto, sua equação horária pode ser descrita por uma função da forma acima, onde 
S
 representa a 
altura, em centímetros, e 
t
, o tempo de elevação, em segundos. O gráfico abaixo ilustra a posição em dois 
instantes de um elevador pneumático se deslocando em MRU. 
 
 
 
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Avalie as afirmações a seguir: 
I – A equação horária desse sistema é 
50 30S t 
. 
II – Após 6 segundos de elevação, o elevador estará na altura de 175 cm. 
III – A velocidade de deslocamento desse elevador é de 25 cm/s. 
IV – A posição inicial (instante t = 0) desse elevador é de 30 cm. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Todas as afirmativas são verdadeiras. 
b) Todas as afirmativas são falsas. 
c) Apenas a afirmativa III é verdadeira. 
d) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. 
e) Apenas as afirmativas II, III e IV são verdadeiras. 
6) A variação do valor V (em reais) de um determinado equipamento em função do tempo de uso t (em meses) 
pode ser modelada pela função 
( ) 120 4.800V t t  
. Onde t é o tempo em meses e V(t) é o valor do 
equipamento no tempo t. 
a) Represente graficamente a função V(t). 
b) Qual é o valor do equipamento após 15 meses de uso? 
c) Em quantos meses de uso o equipamento atinge o valor de R$3.360,00? 
d) Qual é a vida útil, em meses, desse equipamento? 
7) Num reservatório, inicialmente cheio, uma bomba é acionada e começa escoar a água a uma razão constante. 
Chamando de V o volume de água, em litros, restante no reservatório e de t o tempo decorrido, em segundos, é 
possível modelar a situação acima pela função linear 
( ) 3 1800V t t  
, onde V(t) é o volume de água no 
reservatório no tempo t. 
a) Qual era o volume inicial de água no reservatório (ou seja, no tempo 
0t 
)? 
b) Quantos segundos são necessários para esvaziar este reservatório? 
8) Uma barra de ferro com temperatura inicial de -10°C foi aquecida até 30°C. O gráfico anterior representa a 
variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nessa experiência. 
a) Denotando como x o tempo, em minutos, e como y a temperatura, obtenha a expressão da função. 
b) Calcule em quanto tempo (minutos e segundos), após o início da experiência, a temperatura da barra atingiu 
0°C. 
 
9) Uma bomba foi ligada para esvaziar um reservatório. Sabe-se que o volume está decaindo linearmente com o 
tempo. O volume V de água restante no reservatório foi medido em dois instantes diferentes. Após 100 segundos, 
o volume restante era de 1800 litros. Trezentos segundos após o início do escoamento, o volume restante no 
reservatório era de 1200 litros, conforme mostra o gráfico abaixo: 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
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       



t :segundos
V(t):Volume -litros
 
 
a) Determine a taxa de vazão da água em litros por segundo. 
b) Determine a expressão da função linear 
( )V t at b 
. 
c) Após quantos segundos de escoamento o volume restante chegará a 600 litros? 
d) Após quantos segundos de escoamento o reservatório será esvaziado? 
 
10) Suponha que o nível de concentração y, em mg, de uma determinada vitamina no organismo decai linearmente 
com o tempo x decorrido após a ingestão, em horas, conforme o gráfico abaixo. Este decaimento pode ser 
representado por uma função da forma 
y ax b 
. 
 
a) Determine a expressão da função acima. 
b) Qual é a concentração imediatamente após a ingestão? 
c) Quantas horas após a ingestão o nível de concentração atinge 42 mg? 
d) Quantas horas após a ingestão o nível de concentração é zerado? 
11) Num projeto de automação industrial, um engenheiro está construindo um dispositivo que controla 
eletronicamente o resfriamento de uma máquina. Toda vez que este dispositivo é acionado, a temperatura da 
máquina decai linearmente com o tempo. O engenheiro fez um experimento para determinar a função 
( ) .T t a t b 
que representa a temperatura 
T
da máquina, em 0C, em função do tempo 
t
 de funcionamento do 
dispositivo, em minutos. Ele anotou os dados na tabela mostrada abaixo: 
 
 
 
4 13 
30 
84 
x: tempo (em h) 
y: concentração (em mg) 
Matemática para Engenharia I – Apostila de Teoria, Exercícios e Aplicações 
 
 
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ANÁLISE DA VARIAÇÃO DA TEMPERATURA 
t
: tempo de funcionamento do dispositivo (em min) 2 5 
T
: temperatura da máquina (em 0C) 108 72 
Fonte: QSRMC. 
a) Qual é a taxa de decaimento da temperatura em graus por minuto, quando o dispositivo está em 
funcionamento? 
b) Determine a expressão da função 
( ) .T t a t b 
que representa o decaimento da temperatura devido ao 
acionamento do dispositivo. 
c) Qual era a temperatura da máquina no instante em que o dispositivo foi acionado? 
d) O engenheiro deve programar o dispositivo para desligar automaticamente quando a temperatura da máquina 
se igualar à temperatura mínima de funcionamento, que é de 510C. Quanto tempo (em minutos e segundos), 
após o início do funcionamento, o dispositivo deverá desligar? 
 
GABARITO 
 
1) a) 2; b) 8; c) crescente; d) -4; e) (-4, 0); f) 
(0, 8). 
 
2) a) R$2.400,00 b) 60 unidades. 
 
3) Gráfico: raiz = 15; b= 90. 
                        










x
f(x)
 
 
4) a) R$11.760,00; b) 50 horas. 
 
5) D 
 
6) a) Gráfico a seguir 
 
     













t :meses
V(t):Valor (em R$)
 
 
 b) R$3.000,00; c) 12 meses; d) 40 meses. 
 
7) a) 1.800 litros; b) 600 segundos. 
8) a) y = 8x -10 b) 1,25 min = 1min e 15 seg. 
9) a) a = -3litros/seg. b) V(t) = -3t + 2100 c) 
500 segundos d) 700 segundos 
10) a) f(x)=-6x+108 b) 108mg c) Após 11h d) 
Após 18h 
11) a) a=-12oC/min b) T(t) = -12t + 132 c) 
1320C d) 6,75min = 6min e 45 seg. 
 
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Unidade 4 – Funções de uma Variável Real: Função do 2º Grau (Função Quadrática) 
 
DESENVOLVENDO A TEORIA – Apresentação dos conceitos, nomenclaturas e principais propriedades 
 
4. Funções Quadráticas (ou Funções do 2º Grau) 
 
A segunda classe de funções mais usuais no cotidiano é a das funções quadráticas. Nessa seção, 
estudaremos as propriedades mais relevantes das funções do segundo grau. 
 
4.1. Identificação de uma Função Quadrática 
 
Uma função é do segundo grau (quadrática) quando pode ser escrita na forma 
2( )f x ax bx c  
 ou 
2y ax bx c  
 
Onde a, b e c são números reais com a não nulo, isto é, 
0a 
. 
 
Exemplos de Funções Quadráticas 
 Função Coeficientes 
a 
22 3 7y x x  
 
2; 3; 7a b c  
 
b 
2( ) 3 10f x x x  
 
1; 3; 10a b c   
 
b 
2( ) 3 12 5f t t t   
 
3; 12; 5a b c    
 
c 
2( ) 4f x x x  
 
1; 4; 0a b c   
, note que c = 0, pois o termo independente não existe 
d 
2( ) 16f x x 
 
1; 0; 16a b c   
, note que b = 0, pois o termo bx não aparece na expressão 
e 
2( ) 20R p p p  
 
1; 20; 0a b c   
 
f 
21 3( ) 3
2 7
f x x x  
 
1 3
; 3; 
2 7
a b c   
 
g 
2( ) 2 6p x x x  
 
1; 6; 2a b c   
, pois 
2( ) 2 6p x x x   2( ) 6 2p x x x   
 
h 
2( ) 0,23 0,018v x x x  
 
0,23; 1; 0,018a b c   
 
 
4.2. Valor Numérico de uma Função Quadrática 
 
 Dada uma função quadrática, como por exemplo 
2( ) 3 10f x x x  
, para cada valor atribuído à variável x, 
obteremos um respectivo valor para a função (variável y), este valor é chamado de valor numérico da função. Veja o 
exemplo abaixo: 
 
Exemplo 32  Dado
2( ) 3 10f x x x  
, qual é o valor numérico dessa função quando 
2x 
? 
Resolução: substituindo esse valor na função, temos: 
Se 
22 (2) 2 3.2 10 (2) 4 6 10 (2) 0x f f f          
 
 Ou seja, o valor numérico da função é 0 quando 
2x 
. 
 
 Em alguns problemas, é dado determinado valor numérico da função e nos é(são) solicitado(s) o(s) valor(es) 
de x que faz(em) a função atingir aquele valor numérico. Veja o exemplo a seguir: 
 
Exemplo 33  Na função 
2( ) 3 10f x x x  
, quais são os valores de x que fazem a função atingir o valor 
numérico 30? 
Resolução: para encontrar este(s) valor(es), precisamos resolver a equação
( ) 30f x 
, ou seja, queremos 
saber qual é a solução da equação 
2 3 10 30x x  
. Note que estamos diante de uma equação quadrática, pois 
2 23 10 30 3 40 0x x x x      
. Os coeficientes da equação são 
1; 3; 40a b c   
. 
Calculando o discriminante (delta) da equação, temos 
2(3) 4.1.( 40) 9 160 169        
. 
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Substituindo na fórmula de Bhaskara: 
2
b
x
a
  

, temos: 
1 2
3 169 3 13
8; 5
2.1 2
x x x x
   
      
 
 
 Logo, os valores de x que fazem o valor numérico da função ser 30 são -8 e 5. 
 
4.3. Raízes (ou Zeros) de uma Função Quadrática 
 
 Raízes (ou zeros) de uma função quadrática são os valores de x que fazem o valor numérico da função ser 
zero. Ou seja, são as soluções da equação 
( ) 0f x 
. Isto significa que, para determinar as raízes (zeros) de uma 
função quadrática, basta igualar a expressão da função a zero e resolver esta equação usando, por exemplo, a 
fórmula de Bhaskara. 
 
 Exemplo 34  Determine as raízes (zeros) da função quadrática 
2( ) 4 5f x x x   
. 
 
Resolução: como determinar as raízes é obter os valores de x que fazem o valor numérico da função ser zero, 
basta igualarmos a expressão da função a zero, isto é: 
2 4 5 0x x   
 
 Note que estamos diante de uma equação do segundo grau com parâmetros 
1; 4; 5a b c   
. Aplicando a 
fórmula de Bhaskara, temos: 
24 4.( 1).5 16 20 36        
. Como 
1 2
4 36 4 6
1; 5
2 2.( 1) 2
b
x x x x x
a
      
        
 
 
Logo, as raízes (ou zeros) da função acima são -1e 5. Note que, quando substituímos estes dois valores na função, o 
valor numérico obtido é O. Verifique esta afirmação como exercício. 
 
 Alertamos o leitor para o fato de que as raízes de uma função quadrática são dados muito úteis no momento 
de se construir o gráfico (a parábola) da função. 
 
4.4. Gráfico de uma Função Quadrática (Função do Segundo Grau) 
 
 As funções quadráticas têm inúmeras aplicações em diferentes áreas do conhecimento. Na maioria das 
aplicações a leitura dos resultados é feita a partir do gráfico da função quadrática. Nessa seção, vamos dar algumas 
dicas, as mais abrangentes, para se representar graficamente uma função quadrática. 
 
 Vamos começar pela análise de dois gráficos de duas funções quadráticas. 
 
 Exemplo 35  Observe o gráfico da função 
2( ) 8 12f x x x  
. 
 
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31 Prof. Miro Placido 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
x
f(x)
 
 
 Nesse gráfico, alguns pontos destacados merecem atenção especial, pois são os pontos que nos auxiliarão na 
construção de novos gráficos de funções quadráticas. 
 
 Observe que a função intercepta (corta) o eixo x nos pontos (2, 0) e (6, 0), ou simplesmente nos pontos x = 
2 e x = 6. Estes pontos são de grande utilidade na construção do gráfico. Observe que eles (2 e 6) são as raízes da 
função quadrática (aplique a fórmula de Bhaskara e verifique). Isto significa que,