INE5108 - Estatística e Probabilidade para Ciências Exatas - Rogerio Cid Bastos - 2015-1 - Prova 2

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1. Uma máquina de apostas tem dois discos que funcionam independentemente um do outro. Cada 
disco tem 10 figuras: 4 maçãs, 3 bananas, 2 peras e 1 laranja. Uma pessoa paga $80,00 e aciona a 
máquina. Se aparecerem 2 maçãs, ganha $40,00. Se aparecerem 2 bananas ganha $80,00 e 
$140,00 se aparecerem 2 peras e ganha $180,00 se aparecerem 2 laranjas. Seja X: v. a. importância 
ganha. Determine a tabela de distribuição de probabilidades. Qual o lucro esperado do jogador? 
Interprete este resultado. 
Solução: 
Resultado Ganho (R$) R: Importância Ganha Probabilidade X * Probabildiade 
 
40,00 - 40,00 (4/10)2 = 0,16 - 6,40 
 80,00 0,00 (3/10)
2 = 0,09 0,00 
 
140,00 100,00 (2/10)2 = 0,04 4,00 
 
180,00 140,00 (1/10)2 = 0,01 1,40 
Outro -80,00 (pagou 
a aposta) 
- 80,00 0,7 -56,00 
Somatório 1,0 -57,00 
 
Resp. O Lucro esperado é de – R$ 57,00. Isto, ao permanecer jogando nesta máquina o jogador 
irá perder, em média, R$ 57,00. 
2. Uma ponte é construída sobre um rio e é suportada por dois pilares nas extremidades e um por um 
pilar central. Embora o projeto permita variações pequenas nos recalques das fundações, o 
engenheiro deve manter estes limites sob rígido controle. Assentamentos (ou recalques) causados 
por impactos de veículos em movimento e a soma das diversas cargas mortas podem ser assumidos 
como seguindo distribuição normal com a variabilidade decorrentes dos efeitos no solo pelas 
fundações. Ao correlacionar com resultados de testes em estruturas semelhantes e solo com as 
mesmas condições, obteve-se como estimativa da média e dos desvios-padrão dos assentamentos 
estimados para o pilar à esquerda, pilar central e pilar da direita: 3.0, 5.0 e 3,0 cm e 1.0, 1.5 e 1,0 cm, 
respectivamente. Supõe-se também como uma aproximação inicial que os assentamentos são 
independentes. Considere que 40 projetos deste tipo tenham sido executados no mundo. Qual a 
probabilidade de que no máximo 15 deles tenham tido uma resolução (assentamentos) máxima 
superior a 7,5 cm? 
Solução: 
X1 ~ N(3; 1) Pilar da Esquerda; X2 ~ N(5; 2,25)  Pilar Central ; X3 ~N(3, 1)  Pilar da 
Direita. 
Resolução do assentamento: RS = X1 + X2 + X3  que RS ~ N((3+5+3) ; (1+2,25+1)) 
Prob[ RS > 7 cm] = Prob [ 𝑍 >
(7−11)
√4,25
= −1,94] = 0,977 
Em 40, no máximo 15 tenha RS maior que 7cm, P[𝑋𝐵 ≤ 15] a qual pode ser aproximada pela 
Normal: 𝑃 [
𝑋𝑏−𝑁𝑝
√𝑁∗𝑝∗(1−𝑝)
≤
15,5−39,08
0,9448
= −24,87]~ 0,0% 
3. A produção de leite, em litros, fornecidas por associado a cooperativa A, segue uma distribuição 
normal com média 20,35 litros e desvio padrão 2,4 litros. Entre que valores estão compreendidos 95% a 
produção. Para a cooperativa B, os valores de produção, também seguem uma distribuição normal, só 
que com média 23,9 litros e variância 1,1025 litros². Para a cooperativa B, quais os limites que contém 
95% da produção. Com apoio de um gráfico, você pode afirmar que existe diferença entre as produções 
das cooperativas? Por quê? Quais suposições foram feitas para solucionar este problema. 
 
Solução: 
 
A ~ N(20,25; 5,76) ; B ~ N(23,9; 1,1025) 
Múltiplas soluções, pois há infinitos intervalos possíveis contendo 95% de valores. 
Admitindo igual afastamento da média, apenas um. 
 
 
 
 
Cooperativa A 
-1,96 = (Xi – 20,35)/2,4  Xi = 15,645 
 
 1,96 = (Xs – 20,35)/2,4  Xs = 25,05 
 
Intervalo [15,645;25,05] 
Cooperativa B 
-1,96 = (Xi – 23,9)/1,05  Xi = 21,84 
 
 1,96 = (Xs – 23,9)/1,05  Xs = 25,958 
 
Intervalo [21,84;25,958] 
Conclusão: Dispostos os intervalos 
sobre uma reta, as produções iriam se 
misturar no intervalo [21,84;25,05] não 
podendo identificar a origem do leite; 
 
 
4. Considere o peso de um puma macho adulto como uma variável aleatória com distribuição 
N(µ, σ
2
). Sabe-se que 33,0% destes animais tem peso inferior a 82.8kg e também que 
0,4% têm peso superior a 98.25kg. Calcule µ e σ. 
Solução: P[Peso < 82,8kg] = 0,33 e P[Peso > 98,25kg] = 0,004. O Peso segue distribuição 
normal. Assim é possível montar as seguintes igualdades: 
-0,4399 = (82,8 - µ)/  e 3,0902 = (98,25 - µ)/ , as quais resolvidas em termos de µ e de , 
conduzem a: µ = 84,725 kg e  = 4,377 kg. 
5. Um fornecedor de um produto de laboratório tem uma capacidade de armazenamento de 150 kg. No 
início de cada mês é reposto o estoque até à capacidade máxima de armazenamento. As vendas 
mensais deste produto em centenas de kg são dadas por uma variável aleatória X, cujo 
comportamento é bem descrito pela seguinte função densidade de probabilidade: 
 
Se a dada altura de um mês já foram vendidos 50 kg (x = 0,5) do produto, qual a probabilidade de se 
venderem mais de 100 kg no fim desse mês? Se o custo do quilo do produto for R$ 1.500,00, qual o lucro 
esperado mensal? 
Solução: 
X : Vendas no mês 
P[ X > 1 | X > 0,5] = P[X > 1] / P[X>0,5] (lembrar que a intersecção X > 1 com X > 0,5 é X >1). 
 
𝑃[𝑋 > 1] = ∫ 1𝑑𝑥
1,5
1
= 0,5 e 𝑃[𝑋 > 0,5] = ∫ 𝑥𝑑𝑥 +
1
0
∫ 1𝑑𝑥
1,5
1
= 0,875 
P[ X > 1 | X > 0,5] = 0,5/0,875 = 57,14%. 
 
E[X] = ∫ 𝑥2𝑑𝑥 +
1
0
∫ 𝑥𝑑𝑥
1,5
1
= 1,455 ou seja, 
Lucro Esperado será: 145,5 * R$ 1.500,00 = R$ 218.250,00