Zeros reais de funcoes reais

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Cálculo numérico 
ST462 B / ST468 B 
 
 
 
 
 
Zero reais de funções reais 
 
 Objetiva estudar métodos numéricos para a 
resolução de equações não lineares. 
 
 
 
 
 
Zero reais de funções reais 
 Um número real ξ é um zero da função f(x) ou uma raiz da 
equação f(x) = 0 se f(ξ) = 0. 
 Graficamente, os zeros reais são representados pelas abscissas 
dos pontos onde uma curva intercepta o eixo ox. 
 
 
 
 
 
Zero reais de funções reais 
 Para uma função f(x) contínua em um intervalo I, denomina-
se zero desta função todo x pertencente a I, tal que f(x) = 0. 
y = f(x) 
x a b c 
a, b e c são zeros de f(x) 
 
 
 
 
 
Zero reais de funções reais 
 Para se encontrar os zeros de uma função são utilizados 
métodos que partem de uma aproximação inicial para a raiz e 
em seguida refinam essa aproximação por meio de um 
processo iterativo em duas fases: 
I. Isolamento das raízes: consiste em obter um intervalo que 
contém a raiz. 
II. Refinamento: melhora sucessivamente as aproximações 
iniciais a fim de se obter uma aproximação para a raiz 
dentro de uma precisão ε prefixada. 
 
 
 
 
 
 
Isolamento das raízes 
TEOREMA 1 
 Seja f(x) uma função num intervalo [a,b]. Se f(a)·f(b) < 0 
então existe pelo menos um ponto x = ξ entre a e b que é 
zero de f(x). 
 
 
 
 
 x 
a b 
y 
Y = f(x) 
 
 
 
 
 
Isolamento das raízes 
 Seja f(x) uma função contínua de a até b, se f(a) · f(b) < 0 
então existe pelo menos um zero neste intervalo 
 
 
 
 
 
0)()( >+⋅+→⋅ bfaf
0)()( <+⋅−→⋅ bfaf
0)()( <−⋅+→⋅ bfaf
0)()( >−⋅−→⋅ bfaf
 
 
 
 
 
Isolamento das raízes 
 Para se ter certeza que existe apenas um zero real no 
intervalo, onde f(a) · f(b) < 0 , deve-se verificar se a 
derivada da função f ’(x), neste intervalo [a,b] permanece 
com o mesmo sinal. 
 Garantindo que f ’(x) conserva o sinal neste intervalo, pode-
se afirmar que a função é estritamente crescente ou 
decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isolamento das raízes 
 Outro recurso bastante empregado é a partir da equação 
f(x) = 0, obter a equação g(x) = h(x), e esboçar o gráfico 
destas funções, onde a intersecção fornece as raízes reais 
de f(x). 
 
 
 
)()()( xhxgxf =→
 
 
 
 
 
Isolamento das raízes 
 Uma forma de se isolar as raízes de f(x) é tabelar f(x) para 
vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de f(x) e o 
sinal da derivada nos intervalos em que f(x) mudou de sinal. 
Exemplo 
 Para f(x) = x3 – 9x + 3 
 
 
 
 
 Nos intervalos [-4.-3], [0,1] e [2,3], existe pelo menos uma raiz real da 
função, e como a função trata-se de um polinômio de 3º grau, pode-se 
dizer que existe apenas uma raiz em cada intervalo 
 
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) -25 3 13 11 3 -5 -7 3
075)3)(25()3()4( <−=−=−⋅− ff
015)5)(2()1()0( <−=−=⋅ ff 021)3)(7()3()2( <−=−=⋅ ff
 
 
 
 
 
Isolamento das raízes 
 Pode-se, também, chegar as mesmas conclusões, partindo de que f(x) 
= x3 – 9x + 3, se f(x) for igualado a zero, tem-se x3 – 9x + 3 = 0. 
Esta equação pode ser descrita da seguinte forma: g(x) = h(x), ou 
seja, x3 = 9x – 3. Esboçando g(x) e h(x) em um gráfico, tem-se as 
raízes como sendo a intersecção das curvas, ou seja, g(x) = h(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isolamento das raízes 
 Ainda no exemplo de f(x) = x3 – 9x + 3, é possível utilizar outra 
forma de se garantir apenas uma raiz em cada intervalo, que é 
partindo do pressuposto que a derivada da função neste intervalo, 
deve manter o sinal. 
 Derivando f(x) = x3 – 9x + 3 tem-se f ’(x) = 3x2 – 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Refinamento 
 Para realizar o refinamento de raízes, vários métodos iterativos são 
utilizados. Um método iterativo consiste em uma seqüência de 
instruções que são executadas passo a passo, algumas das quais são 
repetidas em ciclos. 
 O diagrama de fluxos abaixo demonstram os passos do refinamento: 
 
 
 
 
 
Método da Bissecção 
 Seja a função f(x) contínua no intervalo [a,b] e tal que f(a) · f(b)<0. Vamos 
supor, para simplificar, que o intervalo (a,b) contenha uma única raiz da 
equação f(x) = 0. 
 O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo que contém a 
raiz até se atingir a precisão requerida: (b-a) < ε , usando para isto a 
sucessiva divisão de [a, b] ao meio. 
 Iterações 
 
 
 
 
 
Método da Bissecção 
 Algoritmo: 
1. Dados iniciais: 
a) Intervalo inicial 
b) Precisão ε 
2. Se (b-a) < ε, então escolha para qualquer x qualquer x ϵ [a, b]. FIM. 
3. k=1 
4. M= f(a) 
5. . 
 
6. Se Mf(x) >0, faça a = x. Vá ao passo 8. 
7. b=x 
8. Se (b-a) < ε, então escolha para x qualquer x ϵ [a, b]. FIM. 
9. k = k +1. Volte para o passo 5. 
 Terminando o processo, teremos um intervalo [a,b] que contém a raiz (e tal 
que (a-b) < ε) e uma aproximação x para a raiz exata. 
 
2
bax +=
 
 
 
 
 
Método da Bissecção 
 Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Então x = .337402344 em dez iterações. Observe que neste exemplo 
escolhemos 
 
 
2
bax +=
 
 
 
 
 
Método da Posição Falsa 
 Seja a função f(x) contínua no intervalo [a,b] e tal que f(a) · f(b)<0. Vamos 
supor, para simplificar, que o intervalo (a,b) contenha uma única raiz da 
equação f(x) = 0. 
 Este método toma a média aritmética ponderada entre a e b com pesos |f(b)| 
e |f(a)|, respectivamente: 
 
)()(
)()(
)()(
)()(
afbf
abfbaf
afbf
afbbfa
x
−
−
=
+
+
=
visto que f(a) e f(b) têm sinais opostos. 
 
 
 
 
 
Método da Posição Falsa 
 Graficamente, este ponto x é a intersecção entre o eixo ox e a reta r(x) que 
passa por (a, f(a)) e (b,f(b)). Representando as iterações, têm-se: 
 
 
 
 
 
 
Método da Posição Falsa 
Exemplo: 
O método da posição falsa aplicado a xlog(x) – 1 em [a0, b0] = [2,3], fica: 
 
 
 
 
 
 
Método da Posição Falsa 
 Algoritmo: 
1. Dados iniciais: 
a) Intervalo inicial 
b) Precisão ε1 e ε2 
2. Se (b-a) < ε1 , então escolha para qualquer x qualquer x ϵ [a, b]. FIM. 
 se |f(a)| < ε2 
 ou se |f(b)| < ε2 
3. k=1 
4. M= f(a) 
5. . 
6. Se |f(x)| < ε2 , escolha x = x. FIM. 
7. Se Mf(x) >0, faça a = x. Vá ao passo 9. 
8. b=x 
9. Se (b-a) < ε1, então escolha para x qualquer x ϵ [a, b]. FIM. 
10. k = k +1. Volte para o passo 5. 
)()(
)()(
afbf
abfbafx
−
−
=
Escolha a ou b como x. FIM. 
 
 
 
 
 
Método da Posição Falsa 
 Algoritmo: 
1. Dados iniciais: 
a) Intervalo inicial 
b) Precisão ε1 e ε2 
2. Se (b-a) < ε1 , então escolha para qualquer x qualquer x ϵ [a, b]. FIM. 
 se |f(a)| < ε2 
 ou se |f(b)| < ε2 
3. k=1 
4. M= f(a) 
5. . 
6. Se |f(x)| < ε2 , escolha x = x. FIM. 
7. Se Mf(x) >0, faça a = x. Vá ao passo 9. 
8. b=x 
9. Se (b-a) < ε1, então escolha para x qualquer x ϵ [a, b]. FIM. 
10. k = k +1. Volte para o passo 5. 
)()(
)()(
afbf
abfbafx
−
−
=
Escolha a ou b como x. FIM. 
 
 
 
 
 
Método da Posição Falsa 
 Exemplo: 
 
Para 
 
Aplicando o método da posição falsa temos: 
 
 
 
 
 
 
E portanto, x = 0.337635046 e f(x) = – 2 .25 · 10-4 
 
 
 
 
 
 
Método da Ponto Fixo (MPF) 
 Seja a função f(x) contínua no intervalo [a,b] e tal que f(a) · f(b)<0. Vamos 
supor, para simplificar, que o intervalo (a,b) contenha uma única raiz da 
equação f(x) = 0. 
 O MPF consiste em transformar esta equação em uma equação equivalente 
x = φ(x) e a partir de uma aproximação inicial x0 gerar a seqüência {xk} de 
aproximações para ξ pela relação xk+1 = φ(x), pois a função φ(x) é tal que 
f(ξ) = 0 se e somente se φ(ξ) = ξ. Transformando assim o problema de 
encontrar um zero de f(x) no problema de encontrar um ponto fixo de φ(x). 
 Uma função φ(x) que satisfaz a condição acima é chamada de função de 
iteração para a equação f(x)=0. 
 
 
 
 
 
 
Método da Ponto Fixo (MPF) 
TEOREMA 2 
 Seja ξ uma raiz da equação f(x) = 0, isolada num intervalo I centrado em ξ. 
 Seja φ(x) uma função de iteração para a equação f(x) = 0. 
Se 
i) φ(x) e φ’(x) são contínuas em I, 
ii) . 
iii) x0 ϵ I, 
 Então a sequencia {xk} gerada pelo processo iterativo xk+1 = φ(xk) 
converge para ξ. 
IxMx ∈∀<≤ 1)(ϕ
 
 
 
 
 
Método do Ponto Fixo (MPF) 
 Algoritmo: 
1. Dados iniciais: 
a) x0: aproximação inicial; 
b) Precisão ε1 e ε2 
2. Se se |f(x0)| < ε1, faça x = x0. FIM 
3. k=1 
4. x1= φ(x0) 
5. Se |f(x1)| < ε1 
 ou se |x1-x0| < ε2 
6. x0 = x1 
7. k = k +1. Volte para o passo 4. 
Então faça x =x1. FIM. 
 
 
 
 
 
Método do Ponto Fixo (MPF) 
 Exemplo: 
 
Para 
 
Aplicando o método do ponto fixo temos: 
 
 
 
 
 
 
E portanto, x = 0.3376233 e f(x) = – 0.12 · 10-3 
 
 
 
 
 
 
Método Newton-Raphson 
 O método de Newton escolhe para a função de iteração a função φ(x) tal 
que φ’(ξ) = 0, a fim de garantir e acelerar a convergência do MPF. 
 Geograficamente, dado o ponto (xk, f(xk)) traçamos a reta Lk(x) tangente à 
curva neste ponto: 
 Lk(x) = f(xk) + f’(xk)(x – xk). 
Lk(x) é um modelo linear que aproxima a função f(x) numa vizinhança de xk. 
Encontrando o zero deste modelo, obtemos: 
 
 
Fazemos então xk+1 = x. 
 
)´(
)(0)(
k
k
kk xf
xfxxxL −=⇔=
 
 
 
 
 
Método Newton-Raphson 
 
 
 
Graficamente 
 
 
 
 
 
Método Newton-Raphson 
 Considere f(x) = x2 + x – 6, ξ2 = 2 e x0 = 1.5 
 
 
Temos pois, 
 
 
 
 
Assim, trabalhando com cinco casas decimais, x = x3 = ξ. 
 
12
6
)('
)()(
2
+
−+
−=−=
x
xxx
xf
xfxxϕ
.00000.2)(
00076.2)(
0625.2)(
5.1
23
12
01
0
==
==
==
=
xx
xx
xx
x
ϕ
ϕ
ϕ
 
 
 
 
 
Método Newton-Raphson 
 TEOREMA 
 Sejam f(x), f’(x) e f’’(x) contínuas num intervalo I que contém a raiz x = ξ de 
f(x) = 0. 
 Suponha que f’(ξ) = 0. Então existe um intervalo contendo a raiz ξ, tal 
que se x0 ϵ I, a sequencia {xk} gerada pela fórmula recursiva 
 convergirá para a raiz. 
 
 
 
 
II ⊂
)('
)(
1
k
k
kk xf
xfxx −=+
 
 
 
 
 
Método Newton-Raphson 
 Algoritmo: 
 
Seja a equação f(x) = 0. Suponha que o Teorema de Newton-Rapshon seja satisfeito. 
1. Dados iniciais: 
a) x0: aproximação inicial; 
b) Precisão ε1 e ε2 
2. Se |f(x0)| < ε1, faça x = x0. FIM 
3. k=1 
4. x1= x0 – f(x0) / f ’(x0) 
5. Se |f(x1)| < ε1 
 ou se |x1-x0| < ε2 
6. x0 = x1 
7. k = k +1. Volte para o passo 4. 
Então faça x =x1. FIM. 
 
 
 
 
 
Método Newton-Raphson 
 Exemplo: 
 
Para 
 
Aplicando o método de Newton temos: 
 
 
 
 
 
 
E portanto, x = 0.337606838 e f(x) = – 0.18 · 10-5 
 
 
 
 
 
 
Método da Secante 
 Uma desvantagem do método de Newton é a necessidade de se obter f’(x) e 
calcular seu valor numérico a cada iteração. Uma forma de resolver esse 
problema é substituir a derivada f’(x) pelo quociente das diferenças: 
 
 
 
 
onde xk e xk+1 são duas aproximações da raiz. 
 
 
 O método da secante que utiliza duas aproximações para as raízes. Pode-se 
dizer que o método da secante é uma aproximação para o método de 
Newton. Assim sendo, as condições para a convergência do método são 
praticamente as mesmas; acrescente-se ainda que o método pode divergir se 
f(xk) ≈ f(xk-1). 
 
 
 
 
1
1)()()('
−
−
−
−
≈
kk
kk
k xx
xfxfxf
 
 
 
 
 
Método da Secante 
Geograficamente 
 A partir de duas aproximações xk-1 e xk, o ponto xk+1 é obtido como sendo a abcissa do ponto de intersecção do eixo ox e da reta secante que passa por 
(xk-1, f(xk-1)) e xk, f(xk)): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método da Secante 
 Algoritmo: 
 
Seja a equação f(x) = 0. 
 
 
 
 
 
Método da Secante 
 Exemplo: 
 
Para 
 
Aplicando o método da Secante temos: 
 
 
 
 
 
 
 
E portanto, x = 0.337634621 e f(x) = – 2.2 · 10-4 
 
	Cálculo numérico�ST462 B / ST468 B
	Zero reais de funções reais
	Zero reais de funções reais
	Zero reais de funções reais
	Zero reais de funções reais
	Isolamento das raízes
	Isolamento das raízes
	Isolamento das raízes
	Isolamento das raízes
	Isolamento das raízes
	Isolamento das raízes
	Isolamento das raízes
	Refinamento
	Método da Bissecção
	Método da Bissecção
	Método da Bissecção
	Método da Posição Falsa
	Método da Posição Falsa
	Método da Posição Falsa
	Método da Posição Falsa
	Método da Posição Falsa
	Método da Posição Falsa
	Método da Ponto Fixo (MPF)
	Método da Ponto Fixo (MPF)
	Método do Ponto Fixo (MPF)
	Método do Ponto Fixo (MPF)
	Método Newton-Raphson
	Método Newton-Raphson
	Método Newton-Raphson
	Método Newton-Raphson
	Método Newton-Raphson
	Método Newton-Raphson
	Método da Secante
	Método da Secante
	Método da Secante
	Método da Secante