questoes aula 1

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1. 
 
 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2). 
 
 
 
-7 
 
 
-11 
 
 
-3 
 
 
2 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias 
funções. Por exemplo, que função é definida pela sentença: 
função f definida de R em R na qual a todo x pertencente ao 
domínio R associa o elemento y de valor igual 
a ax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R) 
 
 
 
Função linear. 
 
 
Função exponencial. 
 
 
Função afim. 
 
 
Função logaritma. 
 
 
Função quadrática. 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2). 
 
 
 
- 3/4 
 
 
- 4/3 
 
 
4/3 
 
 
3/4 
 
 
- 0,4 
 
 
 
Explicação: 
(1/2)² - 1 = 1/4 - 1 = -3/4 
 
 
 
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4. 
 
 
Sendo f e g funções de R em R, definida por f(x) = 3x - 4 e g(x) = 4x -
3 calcule f(3) +g(2) . 
 
 
 
 6 
 
 
10 
 
 
 7 
 
 
 9 
 
 
14 
 
 
 
Explicação: 
f(3) = 3.3 -4 = 5 e g(2) = 4.2 -3 = 5 , então f(3) +g(2) = 5 + 5 = 10 . 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Uma loja vende um produto por R$50,00, cada unidade, e cobra a taxa de 
R$5,00 pela entrega, independentemente da quantidade comprada pelo cliente. 
Determine a expressão do valor total a ser pago em reais, V(x), em função da 
quantidade x comprada incluindo a taxa de entrega. 
 
 
 
V(x) = 50x +5 
 
 
V(x) = 55 
 
 
V(x) = 50(x+5) 
 
 
V(x) = x50 + 5 
 
 
V(x) = 50x + 5 
 
 
 
Explicação: 
Aplicação da função de 1º grau : y = ax + b. Parte proporcional à quantidade vendida = preço unitário 
x quantidade = 50 x . Preço fixo de entrega = 5 . 
Então o valor total é V(x) = 50x +5. 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal igual a: 
 
 
 
1084 
 
 
1085 
 
 
10085 
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10860 
 
 
1086 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
 
 
 
3 
 
 
-11 
 
 
2 
 
 
-3 
 
 
-7 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real 
faturado nas vendas. Sendo x o valor em reais correspondente às vendas 
mensais da referida vendedora, expresse seu salário em função de x. 
 
 
 
1000 + 50x 
 
 
1000 
 
 
1000 - 0,05x 
 
 
1000 + 0,05x 
 
 
50x 
1. 
 
 
Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, qual o 
valor da raiz após a primeira iteração. 
 
 
 
1,00 
 
 
1,85 
 
 
0,55 
 
 
1,56 
 
 
1,14 
 
 
 
Explicação: 
Função f(x) = x3 - 2x e o intervalo [1, 3]. . Valor da raiz após a primeira iteração - o método da falsa 
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posição. 1,14 
Confirmando a existência de raiz : f(1) = 1-2 = -1 .. f(3) = 27 - 6 = +21 , então como f(1) . f(3) < 0 
, há ao menos uma raiz nesse intervalo . 
x = [a. f(b) - b. f(a) ] / [f(b) - f(a) ] , 
Cálculo de x0 : a=1 , b= 3, f(b) = f(3) = 21 , f(a)= f(1) = - 1 , 
substituindo na expressão de x , resulta x0 = [1. 21 - 3(-1)] / [ 21 - (-1)] = 24 / 22 = 1,0909 
Testando novo intervalo : f(x0) = 1,09093 - 2 .1,0909 = 1,2982 - 2,1818 = - 0,8835 ,sinal diferente de 
f(b), então intervlo da raiz é [x0 e 3] 
Então na fórmula de x : a = x0 = 1,0909 , b = 3 , f(a) = f(x0) = -0,8835 , f(b) = 21 
substituindo na expressão de x , 
resulta x1 = [1,0909 x 21 - 3(-0,8835)] / [ 21 - (-0,8835)] = (22,9089 + 2,6505 =25,5594 ) / 
21,8835 = 1.1679 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que 
acontece em 0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado: 
 
 
 
De modelo 
 
 
Relativo 
 
 
Absoluto 
 
 
Percentual 
 
 
De truncamento 
 
 
 
Explicação: 
Em matemática e ciência da computação, o truncamento é a limitação do número de dígitos à direita da 
vírgula decimal 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos 
sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a 
sequência de iteração. 
 
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Esta é a representação gráfica de um método conhecido com: 
 
 
 
Bisseção 
 
 
Newton Raphson 
 
 
Gauss Jacobi 
 
 
Gauss Jordan 
 
 
Ponto fixo 
 
 
 
Explicação: 
 No método da BISSEÇÃO divide-se o intervalo ao meio e testa-se em qual deles está a raiz . Então 
divide-se esse novo intervalo e refaz-seo teste repetindo divisões sucessivas até um valor próximo da 
raiz , conforme erro pré estabelecido 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Deseja-se buscar a raiz de uma equação f(x) =0 no intervalo [1,5] . Pelo 
método da bisseção o intervalo a ser testado para a raiz na 1ª iteração deve ser 
escolhido como: 
 
 
 
[1,3] se f(1). f(3) > 0 
 
 
[3,5] se f(3). f(5) > 0 
 
 
 [1,2 ] se f(1). f(2) < 0 
 
 
 [1,3] se f(1). f(3) < 0 
 
 
 [2,5] se f(2).f(5) >0 . 
 
 
 
Explicação: 
Deve ser calculado o ponto médio do intervalo x= (1+5)/2 , donde x=3. . 
Então os intervalos a serem testados podem ser [1,3] ou [3,5] .. 
Entretanto o produto f(1).f(3) ou f(3) .f(5) tem que ser < 0 pelo teorema de Bolzano, para que 
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contenham ao menos uma raiz. 
Só há uma opção que atende , citando intervalo [1,3] com f(1).f(3) < 0 . 
As opções com x=2 não atendem ao método que prevê usar o ponto médio x =3.. 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Analisando a função y = 2x3 - 4 , usando o teorema de Bolzano , a 
conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ 0, 2 ] é : 
 
 
 
 
tem nº par de raízes pois f(0) .f(2) < 0 
 
 
não tem raízes nesse intervalo. 
 
 
tem nº par de raízes pois f(0) .f(2) > 0 
 
 
tem nº ímpar de raízes pois f(0) .f(2) > 0 
 
 
 
tem nº ímpar de raízes pois f(0) .f(2) < 0 
 
 
 
Explicação: 
f(0) = 0 -4 = - 4 negativo e f(2) = 2.8 - 4 = 12 positivo. 
De acordo com o teorema de Bolzano : 
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo [a,b] . 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Analisando a função y = 3x4 - 1 , usando o teorema de Bolzano, a 
conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ -1, 0 ] é: 
 
 
 
tem nº ímpar de raízes pois f(-1) .f(0) > 0 
 
 
tem nº ímpar de raízes pois f(-1) .f(0) < 0 
 
 
tem nº par de raízes pois f(-1) .f(0) < 0 
 
 
não tem raízes nesse intervalo 
 
 
tem nº par de raízes pois f(-1) .f(0) > 0 
 
 
 
Explicação: 
f(-1) = 3 - 1= 2 positivo e f(0) = 0 - 1= - 1 negativo Então f(-1) . f(0) < 0 . 
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De acordo com o teorema de Bolzano : 
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo [a,b] .7. 
 
 
Usando um método iterativo para buscar a raiz da equação f(x) = 0 são 
encontrados os valores: x1= 2,79 x2 = 2,75 x3= 2,74 x4 
= 2,735 x5=2,734. Considerando que o critério de parada é obter um valor 
para a raiz cujo erro absoluto seja menor que 0,01, qual o maior valor que 
pode ser adotado para a raiz ? 
 
 
 
 x4 
 
 
 x2 
 
 
x5 
 
 
x1 
 
 
x3 
 
 
 
Explicação: 
Observa-se que de x2 para x3 o módulo da diferença ( 2,75 - 2,74) = 0,01 igual ao erro absoluto 0,01 
,não é menor . De x3 para x4 o módulo da diferença ( 2,74 -2,735 ) = 0,005 que é o primeiro erro menor 
que 0,01 , portanto pode-se parar no valor x4 como valor da raiz. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x3 - 9x + 3 
utilizando o Método da Bisseção. Realize 2 iterações. Intervalo inicial de x0=0 e 
x1=0.5. Após a realização das iterações diga o valor encontrado para x3. 
 
 
0.765625 
 
 
0,4 
 
 
0.25 
 
 
0, 375 
 
 
1 
 
 
 
Explicação: 
 f(x) = x3 - 9x + 3 ... x0 =0 e x1 =0,5 . 
f(0 ) = +3 positivo e f(0,5) = 0,125 - 4,5 +3 = -1,375 negativo ( há pelo menos uma raiz) 
Primeiro x médio : x2 = 0,25 ... f (0,25) = 0,253 - 9. 0,25 +3 = 0,0156 + 0,75 = + 0,7656 valor 
positivo . então novo intervalo com raiz é ( x2, 0,5 ) 
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Segundo x médio x3 = ( 0,25 + 0,5 ) /2 = 0,75/ 2 = 0,375 ..iteração pediada. 
 
1. 
 
 
O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através 
de: 
 
 
 
Uma expressão fi(x) baseada em f(x). 
 
 
Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x). 
 
 
Uma aproximação da reta tangente f(x). 
 
 
Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x). 
 
 
Uma reta tangente à expressão f(x). 
 
 
 
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao 
invés da f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação. 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere a função polinomial f(x) = 4x3 - 5x. Existem vários métodos iterativos 
para se determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson -
 Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 1, a próxima 
iteração (x1) será: 
 
 
1,143 
 
 
1,243 
 
 
3,243 
 
 
2,143 
 
 
2,443 
 
 
 
Explicação: 
Newton_Raphson: 
x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) 
x0 = 1 
f(x) = 4x3 - 5x 
f'´(x) = 12x2 - 5 
Para x0 = 1 
f(1) = 4.13 - 5.1 = -1 
f'´(1) = 12.12 - 5 = 7 
Assim, x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) = x1 = 1 - (-1)/ 7 = 1,1428 = 1,143 
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3. 
 
 
Uma equação f(x) = 0 é resolvida por um método iterativo. Dois valores 
consecutivos, a quinta e sexta iterações, valem, respectivamente 1,257 e 1,254. 
Considerando como critério de parada o erro absoluto igual a 0,01, marque a 
afirmativa correta. 
 
 
 
É verdade que f(0) = 1,254 
 
 
Qualquer um dos dois valores pode ser arbitrado para ser raiz aproximada da equação f(x) = 0. 
 
 
O valor 1,254 não pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez 
que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01. 
 
 
O valor 1,254 pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 
1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01. 
 
 
É verdade que f(1,257) - f(1,254) = 0,01 
 
 
 
Explicação: 
Se o critério de parada é o erro, devemos sempre que encontrarmos uma nova solução aproximada 
comparar com a anterior e avaliar se é menor que o critério. No exercício, x5 = 1,257 e x6 = 1,254. 
Assim, como módulo (1,257 - 1,254) = 0,003 é menor que o erro (0,01), 1,254 é uma raiz aproximada 
de f(x) = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz 
real desta equação em que intervalo? 
 
 
 
(-2, -1) 
 
 
(1, 2) 
 
 
(2, 3) 
 
 
(-1, 0) 
 
 
(0, 1) 
 
 
 
Explicação: 
Determinação dos valores numéricos do polinômio P(x) para os extremos de cada intervalo: 
P(-2) = (-2)3 - 3.(-2)2 + 3.(-2) - 3 = - 29 
P(-1) = (-1)3 - 3.(-1)2 + 3.(-1) - 3 = - 10 
P(0) = (0)3 - 3.(0)2 + 3.(0) - 3 = - 3 
P(1) = (1)3 - 3.(1)2 + 3.(1) - 3 = - 2 
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P(2) = (2)3 - 3.(2)2 + 3.(2) - 3 = - 1 
P(3) = (3)3 - 3.(3)2 + 3.(3) - 3 = 6 
Como P(2) x P(3) = -6 < 0, o teorema de Bolzano afirma que existe um número ímpar de raízes reais no 
intervalo considerado, isto é, (2, 3) 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Qual método procura a aproximação para o valor da raiz usando a derivada da 
função? 
 
 
 
 
Newton Raphson 
 
 
Gauss Jordan 
 
 
Gauss Jacobi 
 
 
Ponto fixo 
 
 
Bisseção 
 
 
 
Explicação: 
Pelo método de Newton Raphson escolhe-se uma aproximação inicial para a raiz e após isso calcula-se a 
função da reta tangente aplicando a derivada da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das 
abcissas, buscando encontrar uma aproximação para a raiz. Repete-se o processo, em um método 
iterativo, para encontrar a raiz da função . 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Considere a função f(x) = ex - 10 e o intervalo (0, 3). Utilizando o método de 
Newton Raphson, com uma única iteração, determine aproximadamente a raiz 
real da equação f(x) =0 no intervalo considerado. 
Dados: x0 = 2 / e2 = 7,3875 
 
 
2,854 
 
 
2,354 
 
 
3,104 
 
 
2.154 
 
 
3,254 
 
 
 
Explicação: 
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f(x) = ex - 10 / f '(x) = ex 
f(2) = e2 - 10 = -2,6124 / f '(2) = e2 = 7,3875 
x1 = x0 - f(x0)/f '(x0) 
x1 = 2 - (-2,6124)/(7,3875) = 2,354 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da 
equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do 
método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais 
para as iterações) 
 
 
 
 
1.0746 
 
 
1.0909 
 
 
1.0245 
 
 
1.0800 
 
 
1.9876 
 
 
 
Explicação: 
f(x) = 3x4-x-3 , utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações para a raiz . 
xn+1 = xn - [ f(xn) / f' (xn) ] 
x1 = x0 - [f(x0) / f"(x0)] 
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 = -1 ... f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11 
daí : x1 = 1 - (-1) / 11 = 12/11 = 1,0909 
x2 = x1 - [f(x1) / f"(x1)] 
 f(x1) = 3. 1,09094 - 1,0909 - 3 = 0,1578 ... f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 = 14,578 
daí x2 = 1,0909 - ( 0,1578 ) / 14,578 = 1,0909 - 0,0108 = 1,0801 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o 
Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 
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2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1. 
 
 
2 
 
 
-2 
 
 
-1 
 
 
1.75 
 
 
1 
 
 
 
Explicação: 
Como f'(x)= 2x. e x0 =1 , temos após a realização dessa iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 
 
 
 
 
A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação 
a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:Existem critérios que mostram se há convergência ou não. 
 
 
Apresentam um valor arbitrário inicial. 
 
 
Sempre são convergentes. 
 
 
Consistem em uma sequência de soluções aproximadas 
 
 
As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo. 
 
 
 
Explicação: 
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são convergentes." Nem 
sempre a solução converge ou tende a um valor como resposta. 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação 
polinomial de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. 
Considerando este método como referência, determine o "polinômio" que melhor 
representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5). 
 
 
 
y=x3+1 
 
 
y=2x 
 
 
y=x2+x+1 
 
 
y=2x-1 
 
 
y=2x+1 
 
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javascript:duvidas('1124037','6743','2','3641326','2');
 
 
Explicação: 
Substituindo nas funções questionadas os valores de x e de y dos pontos (x,y) dados , observamos que 
apenas a função y=2x+1 atende a todos os valores dos pares x e y . 
Por exemplo, para (1,3) temos x=1 , y =3 e substitundo nessa função , confirma-se a igualdade : 3 
= 2.1 + 1 ... 
O mesmo ocorre para os demais pontos (x=4, y =9 ) , ( x=3 , y =7) e (x=2, y =5) .. 
As demais opções de função não confirmam a igualdade , quando se substituem todos os valores (x, y). 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2: 
5x1 + 4x2 = 180 
4x1 + 2x2 = 120 
 
 
 
 
x1 = 10 ; x2 = -10 
 
 
x1 = -20 ; x2 = 15 
 
 
x1 = 20 ; x2 = 20 
 
 
x1 = 18 ; x2 = 18 
 
 
x1 = -10 ; x2 = 10 
 
 
 
Explicação: 
Multiplicando a segunda por ( -2 ) e somando com a primeira elimina-se o x2 e resulta : 
-3x1 = -60 ..donde x1 = 20 . 
Substituindo x1 na primeira ( ou na segunda) calcula-se x2 : 
5.20 + 4 x2 = 180 ... 4 x2 = 180 -100 = 80 ... x2 = 20. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-
Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações 
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javascript:duvidas('1023903','6743','4','3641326','4');
 
elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: Considere como 
exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um valor qualquer. 
 
 
 
1 0 0 | * 
0 1 0 | * 
0 0 1 | * 
 
 
0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
 
 
1 1 1 | * 
0 1 1 | * 
0 0 1 | * 
 
 
1 0 0 | * 
1 1 0 | * 
1 1 1 | * 
 
 
1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
 
 
 
Explicação: 
O objetivo é fazer operações de modo a obter uma matriz com 1 apenas na diagonal e o restante zero . . 
Desse temos imediatamente, em cada linha, o valor solução para cada variável lido na última coluna. 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao 
fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A 
respeito deste sistema podemos afirmar que: 
 
 
 
apresenta infinitas soluções 
 
 
não apresenta solução 
 
 
nada pode ser afirmado. 
 
 
apresenta uma única solução 
 
 
apresenta ao menos uma solução 
 
 
 
Explicação: 
A representação gráfica de uma equação do primeiro grau é uma reta. No exercício, as duas retas 
concorrem. Assim, o sistema apresenta solução única ( o ponto de concorrência). Portanto, o sistema é 
possível e determinado. 
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javascript:duvidas('617162','6743','5','3641326','5');
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss: 
 
 
 
Nenhuma das Anteriores. 
 
 
É utilizado para encontrar a raiz de uma função. 
 
 
Utiliza o conceito de matriz quadrada. 
 
 
É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares. 
 
 
É utilizado para fazer a interpolação de dados. 
 
 
 
Explicação: 
Observando a teoria , o Método Eliminação de Gauss é usado na resolução de sistema de equações 
lineares. Não usa conceito de matriz quadrada., e não é usado para cálculo de raiz de função. nem para 
fazer interpolação de dados .Então só a opção correspondente está correta. 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Os valores de x1,x2 e x3 são: 
 
 
 
1,2,-3 
 
 
2,-1,3 
 
 
-1,2, 3 
 
 
-1, 3, 2 
 
 
1,-2,3 
 
 
 
Explicação: 
Aplicando-se o método indicado, são determinados os valores das incógnitas 
 
 
 
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javascript:duvidas('1016325','6743','6','3641326','6');
javascript:duvidas('3041747','6743','7','3641326','7');
 
 
 
 
8. 
 
 
Uma maneira de resolver um sistema linear é utilizando a eliminação de Gauss. 
Este método pode ser resumido como: 
 
 
 
Determinar uma matriz equivalente com determinante nulo 
 
 
Determinar uma matriz equivalente não inversível 
 
 
Encontrar uma matriz equivalente com (n-1) linhas 'zeradas'. 
 
 
Encontrar uma matriz equivalente escalonada 
 
 
Determinar uma matriz equivalente singular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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javascript:duvidas('281704','6743','8','3641326','8');