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Cálculo numérico ST462 B / ST468 B Zero reais de funções reais Objetiva estudar métodos numéricos para a resolução de equações não lineares. Zero reais de funções reais Um número real ξ é um zero da função f(x) ou uma raiz da equação f(x) = 0 se f(ξ) = 0. Graficamente, os zeros reais são representados pelas abscissas dos pontos onde uma curva intercepta o eixo ox. Zero reais de funções reais Para uma função f(x) contínua em um intervalo I, denomina- se zero desta função todo x pertencente a I, tal que f(x) = 0. y = f(x) x a b c a, b e c são zeros de f(x) Zero reais de funções reais Para se encontrar os zeros de uma função são utilizados métodos que partem de uma aproximação inicial para a raiz e em seguida refinam essa aproximação por meio de um processo iterativo em duas fases: I. Isolamento das raízes: consiste em obter um intervalo que contém a raiz. II. Refinamento: melhora sucessivamente as aproximações iniciais a fim de se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão ε prefixada. Isolamento das raízes TEOREMA 1 Seja f(x) uma função num intervalo [a,b]. Se f(a)·f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = ξ entre a e b que é zero de f(x). x a b y Y = f(x) Isolamento das raízes Seja f(x) uma função contínua de a até b, se f(a) · f(b) < 0 então existe pelo menos um zero neste intervalo 0)()( >+⋅+→⋅ bfaf 0)()( <+⋅−→⋅ bfaf 0)()( <−⋅+→⋅ bfaf 0)()( >−⋅−→⋅ bfaf Isolamento das raízes Para se ter certeza que existe apenas um zero real no intervalo, onde f(a) · f(b) < 0 , deve-se verificar se a derivada da função f ’(x), neste intervalo [a,b] permanece com o mesmo sinal. Garantindo que f ’(x) conserva o sinal neste intervalo, pode- se afirmar que a função é estritamente crescente ou decrescente. Isolamento das raízes Outro recurso bastante empregado é a partir da equação f(x) = 0, obter a equação g(x) = h(x), e esboçar o gráfico destas funções, onde a intersecção fornece as raízes reais de f(x). )()()( xhxgxf =→ Isolamento das raízes Uma forma de se isolar as raízes de f(x) é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos intervalos em que f(x) mudou de sinal. Exemplo Para f(x) = x3 – 9x + 3 Nos intervalos [-4.-3], [0,1] e [2,3], existe pelo menos uma raiz real da função, e como a função trata-se de um polinômio de 3º grau, pode-se dizer que existe apenas uma raiz em cada intervalo x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) -25 3 13 11 3 -5 -7 3 075)3)(25()3()4( <−=−=−⋅− ff 015)5)(2()1()0( <−=−=⋅ ff 021)3)(7()3()2( <−=−=⋅ ff Isolamento das raízes Pode-se, também, chegar as mesmas conclusões, partindo de que f(x) = x3 – 9x + 3, se f(x) for igualado a zero, tem-se x3 – 9x + 3 = 0. Esta equação pode ser descrita da seguinte forma: g(x) = h(x), ou seja, x3 = 9x – 3. Esboçando g(x) e h(x) em um gráfico, tem-se as raízes como sendo a intersecção das curvas, ou seja, g(x) = h(x). Isolamento das raízes Ainda no exemplo de f(x) = x3 – 9x + 3, é possível utilizar outra forma de se garantir apenas uma raiz em cada intervalo, que é partindo do pressuposto que a derivada da função neste intervalo, deve manter o sinal. Derivando f(x) = x3 – 9x + 3 tem-se f ’(x) = 3x2 – 9 Refinamento Para realizar o refinamento de raízes, vários métodos iterativos são utilizados. Um método iterativo consiste em uma seqüência de instruções que são executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos. O diagrama de fluxos abaixo demonstram os passos do refinamento: Método da Bissecção Seja a função f(x) contínua no intervalo [a,b] e tal que f(a) · f(b)<0. Vamos supor, para simplificar, que o intervalo (a,b) contenha uma única raiz da equação f(x) = 0. O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até se atingir a precisão requerida: (b-a) < ε , usando para isto a sucessiva divisão de [a, b] ao meio. Iterações Método da Bissecção Algoritmo: 1. Dados iniciais: a) Intervalo inicial b) Precisão ε 2. Se (b-a) < ε, então escolha para qualquer x qualquer x ϵ [a, b]. FIM. 3. k=1 4. M= f(a) 5. . 6. Se Mf(x) >0, faça a = x. Vá ao passo 8. 7. b=x 8. Se (b-a) < ε, então escolha para x qualquer x ϵ [a, b]. FIM. 9. k = k +1. Volte para o passo 5. Terminando o processo, teremos um intervalo [a,b] que contém a raiz (e tal que (a-b) < ε) e uma aproximação x para a raiz exata. 2 bax += Método da Bissecção Exemplo: Então x = .337402344 em dez iterações. Observe que neste exemplo escolhemos 2 bax += Método da Posição Falsa Seja a função f(x) contínua no intervalo [a,b] e tal que f(a) · f(b)<0. Vamos supor, para simplificar, que o intervalo (a,b) contenha uma única raiz da equação f(x) = 0. Este método toma a média aritmética ponderada entre a e b com pesos |f(b)| e |f(a)|, respectivamente: )()( )()( )()( )()( afbf abfbaf afbf afbbfa x − − = + + = visto que f(a) e f(b) têm sinais opostos. Método da Posição Falsa Graficamente, este ponto x é a intersecção entre o eixo ox e a reta r(x) que passa por (a, f(a)) e (b,f(b)). Representando as iterações, têm-se: Método da Posição Falsa Exemplo: O método da posição falsa aplicado a xlog(x) – 1 em [a0, b0] = [2,3], fica: Método da Posição Falsa Algoritmo: 1. Dados iniciais: a) Intervalo inicial b) Precisão ε1 e ε2 2. Se (b-a) < ε1 , então escolha para qualquer x qualquer x ϵ [a, b]. FIM. se |f(a)| < ε2 ou se |f(b)| < ε2 3. k=1 4. M= f(a) 5. . 6. Se |f(x)| < ε2 , escolha x = x. FIM. 7. Se Mf(x) >0, faça a = x. Vá ao passo 9. 8. b=x 9. Se (b-a) < ε1, então escolha para x qualquer x ϵ [a, b]. FIM. 10. k = k +1. Volte para o passo 5. )()( )()( afbf abfbafx − − = Escolha a ou b como x. FIM. Método da Posição Falsa Algoritmo: 1. Dados iniciais: a) Intervalo inicial b) Precisão ε1 e ε2 2. Se (b-a) < ε1 , então escolha para qualquer x qualquer x ϵ [a, b]. FIM. se |f(a)| < ε2 ou se |f(b)| < ε2 3. k=1 4. M= f(a) 5. . 6. Se |f(x)| < ε2 , escolha x = x. FIM. 7. Se Mf(x) >0, faça a = x. Vá ao passo 9. 8. b=x 9. Se (b-a) < ε1, então escolha para x qualquer x ϵ [a, b]. FIM. 10. k = k +1. Volte para o passo 5. )()( )()( afbf abfbafx − − = Escolha a ou b como x. FIM. Método da Posição Falsa Exemplo: Para Aplicando o método da posição falsa temos: E portanto, x = 0.337635046 e f(x) = – 2 .25 · 10-4 Método da Ponto Fixo (MPF) Seja a função f(x) contínua no intervalo [a,b] e tal que f(a) · f(b)<0. Vamos supor, para simplificar, que o intervalo (a,b) contenha uma única raiz da equação f(x) = 0. O MPF consiste em transformar esta equação em uma equação equivalente x = φ(x) e a partir de uma aproximação inicial x0 gerar a seqüência {xk} de aproximações para ξ pela relação xk+1 = φ(x), pois a função φ(x) é tal que f(ξ) = 0 se e somente se φ(ξ) = ξ. Transformando assim o problema de encontrar um zero de f(x) no problema de encontrar um ponto fixo de φ(x). Uma função φ(x) que satisfaz a condição acima é chamada de função de iteração para a equação f(x)=0. Método da Ponto Fixo (MPF) TEOREMA 2 Seja ξ uma raiz da equação f(x) = 0, isolada num intervalo I centrado em ξ. Seja φ(x) uma função de iteração para a equação f(x) = 0. Se i) φ(x) e φ’(x) são contínuas em I, ii) . iii) x0 ϵ I, Então a sequencia {xk} gerada pelo processo iterativo xk+1 = φ(xk) converge para ξ. IxMx ∈∀<≤ 1)(ϕ Método do Ponto Fixo (MPF) Algoritmo: 1. Dados iniciais: a) x0: aproximação inicial; b) Precisão ε1 e ε2 2. Se se |f(x0)| < ε1, faça x = x0. FIM 3. k=1 4. x1= φ(x0) 5. Se |f(x1)| < ε1 ou se |x1-x0| < ε2 6. x0 = x1 7. k = k +1. Volte para o passo 4. Então faça x =x1. FIM. Método do Ponto Fixo (MPF) Exemplo: Para Aplicando o método do ponto fixo temos: E portanto, x = 0.3376233 e f(x) = – 0.12 · 10-3 Método Newton-Raphson O método de Newton escolhe para a função de iteração a função φ(x) tal que φ’(ξ) = 0, a fim de garantir e acelerar a convergência do MPF. Geograficamente, dado o ponto (xk, f(xk)) traçamos a reta Lk(x) tangente à curva neste ponto: Lk(x) = f(xk) + f’(xk)(x – xk). Lk(x) é um modelo linear que aproxima a função f(x) numa vizinhança de xk. Encontrando o zero deste modelo, obtemos: Fazemos então xk+1 = x. )´( )(0)( k k kk xf xfxxxL −=⇔= Método Newton-Raphson Graficamente Método Newton-Raphson Considere f(x) = x2 + x – 6, ξ2 = 2 e x0 = 1.5 Temos pois, Assim, trabalhando com cinco casas decimais, x = x3 = ξ. 12 6 )(' )()( 2 + −+ −=−= x xxx xf xfxxϕ .00000.2)( 00076.2)( 0625.2)( 5.1 23 12 01 0 == == == = xx xx xx x ϕ ϕ ϕ Método Newton-Raphson TEOREMA Sejam f(x), f’(x) e f’’(x) contínuas num intervalo I que contém a raiz x = ξ de f(x) = 0. Suponha que f’(ξ) = 0. Então existe um intervalo contendo a raiz ξ, tal que se x0 ϵ I, a sequencia {xk} gerada pela fórmula recursiva convergirá para a raiz. II ⊂ )(' )( 1 k k kk xf xfxx −=+ Método Newton-Raphson Algoritmo: Seja a equação f(x) = 0. Suponha que o Teorema de Newton-Rapshon seja satisfeito. 1. Dados iniciais: a) x0: aproximação inicial; b) Precisão ε1 e ε2 2. Se |f(x0)| < ε1, faça x = x0. FIM 3. k=1 4. x1= x0 – f(x0) / f ’(x0) 5. Se |f(x1)| < ε1 ou se |x1-x0| < ε2 6. x0 = x1 7. k = k +1. Volte para o passo 4. Então faça x =x1. FIM. Método Newton-Raphson Exemplo: Para Aplicando o método de Newton temos: E portanto, x = 0.337606838 e f(x) = – 0.18 · 10-5 Método da Secante Uma desvantagem do método de Newton é a necessidade de se obter f’(x) e calcular seu valor numérico a cada iteração. Uma forma de resolver esse problema é substituir a derivada f’(x) pelo quociente das diferenças: onde xk e xk+1 são duas aproximações da raiz. O método da secante que utiliza duas aproximações para as raízes. Pode-se dizer que o método da secante é uma aproximação para o método de Newton. Assim sendo, as condições para a convergência do método são praticamente as mesmas; acrescente-se ainda que o método pode divergir se f(xk) ≈ f(xk-1). 1 1)()()(' − − − − ≈ kk kk k xx xfxfxf Método da Secante Geograficamente A partir de duas aproximações xk-1 e xk, o ponto xk+1 é obtido como sendo a abcissa do ponto de intersecção do eixo ox e da reta secante que passa por (xk-1, f(xk-1)) e xk, f(xk)): Método da Secante Algoritmo: Seja a equação f(x) = 0. Método da Secante Exemplo: Para Aplicando o método da Secante temos: E portanto, x = 0.337634621 e f(x) = – 2.2 · 10-4 Cálculo numérico�ST462 B / ST468 B Zero reais de funções reais Zero reais de funções reais Zero reais de funções reais Zero reais de funções reais Isolamento das raízes Isolamento das raízes Isolamento das raízes Isolamento das raízes Isolamento das raízes Isolamento das raízes Isolamento das raízes Refinamento Método da Bissecção Método da Bissecção Método da Bissecção Método da Posição Falsa Método da Posição Falsa Método da Posição Falsa Método da Posição Falsa Método da Posição Falsa Método da Posição Falsa Método da Ponto Fixo (MPF) Método da Ponto Fixo (MPF) Método do Ponto Fixo (MPF) Método do Ponto Fixo (MPF) Método Newton-Raphson Método Newton-Raphson Método Newton-Raphson Método Newton-Raphson Método Newton-Raphson Método Newton-Raphson Método da Secante Método da Secante Método da Secante Método da Secante
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