Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Cálculo numérico ST462 B / ST468 B • É o método mais difundido para se obter estimativas de valores intermediários entre dados precisos. • Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função g(x) é então usada em substituição à função f(x). Interpolação • A necessidade de se efetuar esta substituição surge em várias situações, como por exemplo: i. Quando são conhecidos somente valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado; ii. Quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem realizadas. Interpolação • Consideremos (n+1) pontos distintos: x0, x1,...xn, chamados nós da interpolação, e os valores de f(x) nesses pontos: f(x0), f(x1),...f(xn). • A forma de interpolação de f(x) consiste em se obter uma determinada função g(x) tal que: Interpolação )()( )()( )()( )()( 22 11 00 nn xfxg xfxg xfxg xfxg • Para n = 5, temos graficamente: Interpolação • A interpolação polinomial consiste em determinar o único polinômio de grau n que passa pelos n+1 pontos dados. Esse polinômio, então, fornece uma fórmula para calcular valores intermediários, ou seja, dados os pontos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)),..., (xn, f(xn)), portanto (n+1) pontos, queremos aproximar f(x) por um polinômio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que: Interpolação Polinomial nkxpxf knk ...,2,1,0 )()( TEOREMA 1 Existe um único polinômio pn(x), de grau ≤ n, tal que: pn(xk) = f(xk), k = 0,1,2,...,n desde que xk ≠ xj, j ≠ k. • Para se obter pn(x) existem algumas formas, entre elas a resolução de sistema linear, a forma de Lagrange e de Newton. • Teoricamente estas três formas conduzem ao mesmo polinômio. A escolha entre elas depende de condições com estabilidade do sistema linear, tempo computacional entre outros. Interpolação Polinomial Exemplo: Encontrar o polinômio de grau ≤ 2 que interpola os pontos da tabela. Temos que p2(x) = a0 + a1x + a2x 2; p2(x0) – f(x0) ↔ a0 – a1 +a2 = 4 p2(x1) – f(x1) ↔ a0 = 1 p2(x2) – f(x2) ↔ a0 – 2a1 + 4a2 = – 1 Resolvendo o sistema linear obtemos: a0 = 1, a1 = – 7/3 e a2 = 2/3. Assim, p2(x) = 1 – 7/3x + 2/3x 2 é o polinômio que interpola f(x) em x0 = – 1, x1 = 0 e x2 = 2. Interpolação Polinomial Sistema Linear x -1 0 2 f(x) 4 1 -1 • Sejam x0, x1,..., xn, (n+1) pontos distintos e yi = f(xi), i = 0,...,n. • Seja pn(x) o polinômio de grau ≤ n que interpola f em x0,...,xn. Podemos representar pn(x) na forma pn(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + ... + ynLn(x), onde os polinômios Lk(x) são de grau n. Para cada i, a condição pn(xi) = yi deve ser satisfeita, ou seja: pn(xi) = y0L0(xi) + y1L1(xi) + ... + ynLn(xi) = yi. • Lk(x) é um polinômio de grau n e, assim, pn(x) é um polinômio de grau menor ou igual a n. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange • Temos, então, a forma de Lagrange para o polinômio interpolador representado por: onde: Interpolação Polinomial Forma de Lagrange n k kkn xLyxp 0 )()( . )( )( )( ,0 ,0 jk n kjj j n kjj k xx xx xL EXEMPLO Seja a tabela: Pela forma de Lagrange, temos que: Interpolação Polinomial Forma de Lagrange x -1 0 2 f(x) 4 1 -1 6)02)(12( )0)(1( )1)(( ))(( )(L 2 2 )20)(10( )2)(1( ))(( ))(( )(L 3 2 )21)(01( )2)(0( ))(( ))(( )(L :onde )()()()( 2 202 10 2 2 2101 20 1 2 2010 21 0 2211002 xxxx xxxx xxxx x xxxx xxxx xxxx x xxxx xxxx xxxx x xLyxLyxLyxp EXEMPLO (Continuação) Assim, pela forma de Lagrange temos: Agrupando os termos semelhantes, obtemos que: p2(x) = 1 – 7/3x + 2/3x 2 Interpolação Polinomial Forma de Lagrange 6 )1( 2 2 1 3 2 4)( 222 2 xxxxxx xp • A forma de Newton para o polinômio pn(x) que interpola f(x) em x0, x1,...,xn, (n+1) pontos distintos é a seguinte: Interpolação Polinomial Forma de Newton ))((...)()()( 1012010 nnn xxxxdxxdxxddxp • Seja f(x) uma função tabelada em n+1 pontos distintos x1,x2,...,xn. Definimos o operador das diferenças divididas por: Interpolação Polinomial Forma de Newton • Dizemos que f[x0,x1,...,xk] é a diferença dividida de ordem k da função f(x) sobre os k+1 pontos: x0,x1,...,xk . Dada uma função f(x) e conhecidos os valores que f(x) assume nos pontos distintos x0,x1,...,xn, podemos construir a tabela: Interpolação Polinomial Forma de Newton EXEMPLO) Usando a forma de Newton, o polinômio p2(x), que interpola f(x) nos pontos Interpolação Polinomial Forma de Newton x -1 0 2 f(x) 4 1 -1 Agrupando os termos semelhantes, obtemos que: p2(x) = 1 – 7/3x + 2/3x 2 • Como já observamos, ao se aproximar uma função f(x) por um polinômio interpolador de grau ≤ n, comete-se um erro, ou seja En(x) = f(x) – pn (x) para todo x no intervalo [x0,xn]. • O estudo do erro é importante para sabermos quão próximo f(x) está de pn(x). Estudo do erro na interpolação • Este caso ilustra a importância de estudarmos o erro no caso da interpolação linear • O mesmo polinômio p1(x) interpola f1(x) e f2(x) em x0 e x1. Contudo, o erro: • Observamos ainda que o erro, neste caso, depende da concavidade das curvas, ou seja, de Estudo do erro na interpolação ).,(),()( quemaior é )()( 1012 2 111 1 1 xxxxpxfxExpxfxE ).( e )( '' 2 '' 1 xfxf TEOREMA Sejam x0 < x1<x2< ... <xn, (n+1) pontos Seja f(x) com derivadas até ordem (n+1) para todo x pertencente ao intervalo [x0,xn]. Seja pn(x) o polinômio interpolador de f(x) nos pontos x0, x1,...,xn. Então em qualquer ponto x pertence ao intervalo [x0,xn], o erro é dado por: onde ξx ϵ [x0,xn] Estudo do erro na interpolação )!1( ))...()()(()()( )1( 210 n f xxxxxxxxxpxfE x n nnn TEOREMA Este teorema mostra claramente a relação entre a diferença dividida de ordem (n+1) e a derivada de ordem (n+1) da função f(x). Estudo do erro na interpolação ).,( e ),(, )!1( ],,...,,[ 0x0 )1( 10 nn x n n xxxxx n f xxxxf A fórmula para o erro: tem uso limitado na prática, dado que serão raras as situações em que conheceremos f(n+1)(x) e o ponto ξx nunca é conhecido. A importância da fórmula exata para En(x) é teórica, uma vez que é usada na obtenção das estimativas de erro para as fórmulas de interpolação, diferenciação e integração numérica. Estudo do erro na interpolação )!1( ))...()()(()()( )1( 210 n f xxxxxxxxxpxfE x n nnn • Se a função f(x) é dada na forma de tabela, o valor absoluto do erro |En(x)| só pode ser estimado. Isso porque, neste caso, não é possível calcular Mn+1; mas, se construirmos a tabela de diferenças divididas até ordem n+1, podemos usar o maior valor (em módulo destas diferenças como uma aproximação para Neste caso dizemos que: Estimativa para o erro na interpolação |).1n ordem de divididas diferenças |máx(|))...()()((||)(| 210 nn xxxxxxxxxE ].,[ intervalo no )!1( 0 1 n n xx n M • EXEMPLO Seja f(x) na forma: Estimativa para o erro na interpolação • EXEMPLO Seja f(x) na forma: Estimativa para o erro na interpolação Tabela das diferenças Estimativa para o erro na interpolação • Deve-se escolher três pontos de interpolação. Como 0.47 ϵ (0.4, 0.52), dois pontos deverão ser 0.4 e 0.52. O outro pode ser 0.34 como 0.6. Escolheremos x0= 0.4, x1= 0.52 e x2 = 0.6. a) p2(0,47) = 0.2780 ≈ f(0.47) b) |E(0.47)| ≈ (0.41 – 0.4)(0.47 – 0.52)(0.47 – 0.6)| |18.2492| ≈ 8.303 × 10-3 Estimativa para o erro na interpolação • Dada a tabela • O problema da interpolação inversa consiste em: dado y ϵ (f(x0),f(xn)), obter x, tal que f(x) = y. • Formas de resolver o problema: i. Obter pn(x) que interpola f(x) em x0, x1,...,xn e em seguida encontrar x tal que pn(x) = y; ii. Interpolação inversa. Interpolação Inversa Exemplo forma i) Interpolação Inversa Neste caso, não conseguimos nem mesmo fazer uma estimativa do erro cometido, pois o que sabemos é medir o erro em se aproximar f(x) por pn(x), e aqui queremos medir o erro cometido sobre x e não sobre f(x). Forma ii) • Se f(x) for invisível num intervalo contendo y, então faremos uma interpolação de x = f-1(y) = g(y). • Uma condição para que uma função contínua num intervalo [a,b] seja inversível é que seja monótona crescente (ou decrescente) neste intervalo. • Se f(x) for dada na forma de tabela, supondo que f(x) é contínua em (x0,xn), então f(x) será admitida como monótona crescente se f(x0) < f(x1) < ...< f(xn) e decrescente se f(x0) > f(x1) > ...> f(xn). Interpolação Inversa EXEMPLO Forma ii) Interpolação Inversa EXEMPLO Forma ii) Tabela das diferenças divididas Interpolação Inversa EXEMPLO Forma ii) (continuação) Interpolação Inversa EXEMPLO Forma ii) (continuação) Interpolação Inversa • A tabela de diferenças divididas junto com a relação entre a diferença dividida de ordem k e derivada de ordem k podem nos auxiliar na escolha do grau do polinômio que usaremos para interpolar uma função f(x) dada. • Deve-se em primeiro lugar, construir a tabela de diferenças divididas. Em seguida, examinar as diferenças divididas da função na vizinhança do ponto de interesse. Se nesta vizinhança as diferenças divididas de ordem k forem praticamente constantes (ou se as diferenças de ordem (k+1) variarem em torno de zero) poderemos concluir que um polinômio interpolador de grau k será o que melhor se aproximará a função na região considerada na tabela. Escolha do grau do polinômio interpolador EXEMPLO) Escolha do grau do polinômio interpolador EXEMPLO) (continuação) Escolha do grau do polinômio interpolador EXEMPLO) (continuação) Escolha do grau do polinômio interpolador constantes Assim, no intervalo [1,1.05] dizemos que um polinômio de grau 1 é uma boa aproximação para f(x) =
Compartilhar