Apostila Circuitos Elétricos Cap. 8

Prévia do material em texto

CAPÍTULO VII – ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Fontes senoidais. 
 
Fontes de tensão (corrente) senoidal produzem uma tensão (corrente) que varia 
com o tempo. 
 
wtIti p sen)(  wtVtv p cos)( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
obs.: 
 
 A função senoidal é uma função periódica isto é ela se repete em 
intervalos regulares. 
 Um ciclo da função é um trecho que começa em uma certa amplitude e 
termina na mesma amplitude. 
 O tempo necessário para percorrer um ciclo é chamado período. 
 A freqüência é o número de ciclo por segundo 
][
1
Hz
T
f 
 ou ciclo/s. 
 Freqüência angular 
]/[
2
2 srad
T
wwt
 
 
 
 Função cosseno defasado 
)cos()(  wtAtf
 
Onde  é o ângulo de fase da função cosenoidal e é geralmente apresentado 
em graus. 
 
Ex.: 
)302cos(20)(  ttv
 
 
 
 
)
180
.30
1.2cos(20)1(

v
 
 
 
rad/s 
Transformação para radianos 
0 1.5708 3.1416 4.7124 6.2832 7.854 9.4248
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
wt
v(t)
Vp x
rad
 
0 1.5708 3.1459 6.28324.7124 6.2832 7.854 9.4248
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
wt
i(t)
1 ciclo 
Ip x
rad
 
 Para determinar a defasagem entre 2 funções senoidais. 
 
Seja 
 
)cos()( 11  wtVtv p
 e 
)cos()( 22  wtVtv p
 
então, 
 
)(1 tv
 está adiantado de 
 
 em relação à 
)(2 tv
 
 
Ex.: 
1( ) 100 (7 30 )v t sen t 
 
 
)107cos(40)(2
 ttv
 
 
 
 
 
)1207cos(100)90307cos(100)(1
  tttv
 
 
)1007sen(40)10907cos(40)(2
  tttv
 
 
)(1 tv
 está adiantada de  13010030  em relação à 
)(2 tv
. 
ou 
)(1 tv 
está atrasada de 130 em relação à 
)(2 tv
. 
 
 
2. Respostas senoidais 
 
 
 
)()(cos tvtVwtV LRp 
 
Obter uma resposta em Regime Permanente senoidal corresponde a obter a 
solução particular da equação diferencial (1). 
 
A solução particular da equação diferencial tem a mesma forma que a fonte de 
excitação, então vamos supor que 
( ) cos( )pi t I wt  
. 
 
Objetivo: determinar 
pI
 e 

. 
 
)sen()()cos(.cos   wtIwLwtIRwtV ppp 
Ora 
RV
wtVp cos
LV )(ti
LR
 
Hipótese: circuito está em 
regime permanente 
dt
tdi
LtiRwtVp
)(
)(.cos 
 
(1) 
o 
ABBABA cos.sencos.sen)sen( 
 
o 
BABABA sen.sencos.cos)cos( 
 
 
]cos.sencos.[sen]sen.sencos.[cos.cos wtwtLwIwtwtIRwtV ppp  
wtwLIRIwtLwIRI pppp sen].cos.sen.[cos].sen.cos.[   
 
Por identificação de variável 
 
ppp VwLIRI   sencos
 (2) 
 
0cossen   pp wLIRI
 (3) 
 
 fazendo as eqs. (2)2 + (3)2, temos: 
 
 
22222 )( ppp VIwLIR 
  
22 )(LwR
V
I
p
p


 
 e da eq. 3 temos, 
 
 
 cossen pp wLIRI 
 
  
R
wL
arctg
 
 portanto, 
 
 
)cos(.
)(
)(
22 R
wL
arctgwt
LwR
V
ti
p



 
 
podemos constatar que a corrente está atrasada de  em relação à tensão. 
 
 
3. Fasores. 
 
 Definição: Fasor é um número complexo que representa uma tensão ou uma 
corrente alternada, cuja parte real representa uma grandeza co-senoidal em t=0. 
 
 O conceito fasor é baseado na identidade de Euler: 
  sencos je j  
 
A transformada fasorial de uma tensão senoidal é feita da seguinte forma: 
 
 
 
 jwtjp
jwtjwt
p
wtj
p
p
eeVe
eeeV
eeV
wtVv







 )(
)cos(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 sencos pp jVV 
 
 
 
 
 
 
 Transformada fasorial transfere a função senoidal do domínio do tempo para o 
domínio da freqüência. 
 
Ex.: 
)502cos(100)(1  ttv
 [V] 
 63202 V
 [V] 
 
 
501001 V

 [V] 
)63cos(20)(2
 wttv
 [V] 
 
 
4. Excitação Complexa 
 
 
v(t)
rede
linear
i(t)
 
 
 
 
)cos()(1 vp wtVtv 
  
)cos()(1 ip wtIti 
 
 
)sen()(2 vp wtjVtv 
  
)sen()(2 ip wtjIti 
 
Utilizando o conceito de superposição 
 
  )(21 )sen()cos()()()( v
wtj
pvvp eVwtjwtVtvtvtv
  
 
 
  )(21 )sen()cos()()()( i
wtj
piip eIwtjwtItititi
  
 
Fasor tensão 
  pjp VeVV
 
Forma retangular 
Forma polar 
 
rede
linear
)( vwtj
peV
 )( iwtj
peI

 
 
 Fator jwte aparece em todos os termos, o mesmo pode então ser suprimido 
ficando subentendido. 
 
 Assim o circuito no domínio da freqüência é: 
 
rede
linear
vj
peV
 ij
peI

 
 
 
 
 
5. Elementos passivos no domínio da freqüência 
 
5.1) Para o resistor. 
 
 
)(tv
)(ti
R
 
 
 Aplicando a Lei de Ohm 
 
 
)(.)( tiRtv 
  
)()(
. iv
wtj
p
wtj
p eIReV
  
 
 
 
iv j
p
j
p eIReV

.
  no domínio da freqüência: 
 
IRV  .
 
 O circuito no domínio da freqüência é 
 
Utilizando uma excitação complexa do tipo 
)(
)( v
wtj
peVtv

 
teremos uma corrente do tipo 
)(
)( i
wtj
peIti

 
 
V
I
R
 
 
 
5.2) Para o indutor 
 
 
)(tv
)(ti
L
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No indutor, a corrente esta atrasada de 90 em relação à tensão. 
 
 
 5.3) Para o capacitor 
 
 
 
 
 
 
VjCwI  
 
Tensão e corrente em fase 
dt
tdi
Ltv
)(
)( 
 
 
)()( iv wtj
p
wtj
p eI
dt
d
LeV
  
 
 
)( iwtj
pejLwI

 
 
iv j
p
j
p eIjLweV

.
 
 90..  ILwIjLwV 
V
I
jLw
 
dt
tdv
Cti
)(
)( 
 
)()()(
][ vvi
wtj
p
wtj
p
wtj
p ejCwVeV
dt
d
CeI
  
 
)(tv
)(ti
C
 
vj
p
j
p ejCwVeI
i  
 
V
I
jCw
1
 
 
 
I
jwC
V 
1

 
 
 


 90
Cw
I
V
 
 
 No capacitor, a corrente está adiantada de 90 em relação à tensão. 
 
Exemplo: Determinar i(t) em regime permanente. 
wtVp cos
)(ti
LR
 
No domínio da freqüência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Impedância (
Z
) e admitância (
Y
) 
 
a) Impedância(
Z
) 
 
É a razão entre o fasor tensão e o fasor corrente. 
 
 
() 
 
 
 
 
0pV
I
jLwR
 
R
Lw
arctgwLR
V
jwLR
V
I
pp






22 )(
00 
 
22 )(
0
wLR
R
Lw
arctgV
I
p





 
)cos(
)(
)(
22 R
Lw
arctgwt
LwR
V
ti
p



 
I
V
Z



 
V
I
Z
 
Z é um número complexo mas não é um fasor 
jBAZZ   
 
 
  reatânciaBZm
aresistênciAZe

 
 
As impedâncias se associam da mesma forma que as resistências.Série 
neq ZZZZ  ...21
 
Paralelo 
neq ZZZZ
1
...
111
21

 
 
b) Admitância (
Y
) 
 
É a razão entre o fasor corrente e o fasor tensão em um elemento. 
 
 
 
 ( S ou ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Admitâncias se associam da mesma forma que as capacitâncias. 
 
 Série 
neq YYYY
1
...
111
21

 
 
 Paralelo 
neq YYYY  ...21
 
 
Observação: 
jbaZ 
 
 
22
11
ba
jba
BjG
jbaZ
Y





 
 
 
aG 
 
22 ba
a
G


 
 
bB 
 
22 ba
b
B


 
V
I
Y



 
VYI   
Z
Y
1

 
jBGYY y   
Condutância Susceptância 
V
I
Y
 
 
 
7. Análise de circuitos alimentados por fontes senoidais. 
 
 Determinar o circuito equivalente no domínio da freqüência do circuito 
estudado. 
 
7.1) Análise nodal 
 Mesmo procedimento que no capítulo 4. 
 
7.2) Análise de malha 
 Idem capitulo 4. 
7.3) Transformação de fontes 
 Ver capítulo 4. 
 
7.4) Teorema de Thèvenin ou Norton 
 obs.: fonte teste = fonte de amplitude 
TI
 e fase 0. 
 
 0 TT II
 
 
7.5) Superposição 
)30
10cos(10

t
)(tvR 20
5
H2
V15
)60
20sen(20

t
 
 
sradw /10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sradw /0
 
 3010
)20//20(5
5
1 


j
V
 
VV  69,377,21 
 
3010
1V

20
5
20j
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sradw /20
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



 111 VVVVR
 pois não estão na mesma freqüência. 
 
VtttvR )7,6520sen(98,315)69,310cos(77,2)(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1V
 20
5
V15
 

1V

20
40j
6020
 
VV 151 

 
 6020
)40//5(20
40//5
1 




j
j
V
 
VV  7,6598,31 
 
8. Diagramas fasoriais 
 
São representações no plano complexo de todos os fasores de tensão e de 
corrente que aparecem num circuito. Elas permitem visualizar a defasagem entre os 
fasores tensões e correntes. 
 
 Regra para construção dos diagramas: 
 
 No resistor a corrente está em fase com a tensão. 
 
 No indutor a corrente está atrasada de 90 em relação a V. 
 
 No capacitor a corrente está adiantada de 90 em relação a V. 
 
 
 
Exemplo 1: 
 
LI CI RI
mH2,0 RF8000I V
 
 
sradw /5000
 
 
o L C RI I I I  
 
C
I
S
I
L
I
LC
II  
R
V
I P
R

V
p
V3
45
45
 
P
P
V
R
V
tg
3
45 
  
R
V
V PP 3
  
 333.0R
 
 
Use um ou mais diagramas 
fasoriais para determinar R para 
que a corrente no resistor 
RI
 
fique atrasada de 45 em relação 
à corrente da fonte 
0I
. 


 90
102,05000
0
3




 p
p
L
L V
j
V
Z
V
I
 


 904  p
C
C V
Z
V
I
 
R
V
I
p
R


0

 
)2(1 AI)20( VV

)5(2 AI I
SV
XV
93,26XV
fRe
65 65
38
i
V
i
i
50
 
Exemplo 2: 
 
 No circuito abaixo, o amperímetro indica 5 A. Adotando o fasor 
V
 como 
referência, desenhar o diagrama fasorial e determinar 
SV

. 
 
A
5
10
4j
SV

I
1I

2I

XV

V
 
 
 
 
VIjV 20544 2 

 
 
A
V
I 2
10
20
10
1 

 AI 52  
 
21 III
 
 
 
39,525 22
2
2
2
1  III

 


2.68
2
5
1
2


 arctg
I
I
arctgi
 
93,2639,555  IVX

 
 
VVV XS
 
 
 
Componente horizontal de 
VVVV iXS 30)2,68cos(93,2620cos 
  
Componente vertical de 
VVV iXS 25)2,68sen(93,26sen 
  
 
VVS 05,39)25(30
22 
 
 
8,39
30
25


 arctg
SV

 
][8,3905,39 VVS
 