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Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios Es1C3e01 CDCI/CMCD (01) Calcular o integral S dS).z,y,x(f , onde S é a superfície do parabolóide )yx(2z 22 tomado acima do plano yOx e 22 yx)z,y,x(f . Resposta: 30 149 dS).z,y,x(f S . Solução: Sabendo-se que: D 22 22 S dy.dx. y )z,y,x(f x )z,y,x(f 1).yx(dS).z,y,x(f Idy.dx.y4x41).yx( D 2222 , tem-se que: D 22222 d.d.)(cos4)(sen41..I d.d.41 23 2 0 2 0 . Pois, tem-se que: 2z0 20 20 :D , zz )sen(.y )cos(.x e dz.d.d. )z,,( )z,y,x( ).z,,(Fdz.dy.dx).z,y,x(F 1 RR 1 , onde o Jacobi- ano de x, y, z em relação a , e z é dado por: yy xx )z,,( )z,y,x( . Resolva-se, então, o integral duplo em questão segundo dois métodos. Primeira Solução de I: Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios Es1C3e01 CDCI/CMCD Tomando-se 22 u41 , tem-se que: 1u du.u . 2 1 d1u. 2 1 2 2 . Como 3u2 1u0 , então resulta, necessariamente, que: d. 1u.2 du.u .u. 8 )1u( d.d.41 2 2 32 3 1 2 0 23 2 0 2 0 30 149 . 240 596 d. 3 u 5 u . 16 1 d.du).uu(. 16 1 2 0 3 1 352 0 24 3 1 2 0 . Segunda Solução de I: A partir do método de substituição de variáveis trigonométricas, considere o triângulo retângulo de hipotenusa 241 e de catetos 1 e 2 . Seja 2 o cateto oposto ao ângulo no triângulo retângulo em questão. Logo, tem-se que: d).(sec. 2 1 d )(tg. 2 1 2)(tg 2 e 2 2 41)sec( 41 1 )cos( . Portanto, resulta que: d).sec().(sec.2 1 ).(tg. 8 1 d.41 2323 d).(tg].1)().[sec(sec.16 1 d).(sec).(tg. 16 1 2333 d)).(tg).(sec)(tg).((sec.16 1 35 Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios Es1C3e01 CDCI/CMCD ))(sec(d).(sec.16 1 )(sec(d).(sec. 16 1 d).(tg).sec( 2 d).(tg).sec( 4 C 3 )(sec 5 )(sec . 16 1 35 C)41).41.( 3 1 41.)41.( 5 1 . 16 1 22222 . Conseqüentemente, tem-se que: d. 1u.2 du.u .u. 8 )1u( d.d.41 2 2 32 3 1 2 0 23 2 0 2 0 d.)41).41.(3 1 41.)41.( 5 1 . 16 1 2 0 22222 2 0 30 149 . 240 596 d. 240 596 d 3 26 5 242 . 16 1 2 0 2 0 2 0 . Portanto: 30 149 dS).z,y,x(f S . (02) Calcular, através de Integrais de Superfície, a área da superfície S da esfe- ra de raio R e centro na origem do espaço real tridimensional 3 . Resposta: .)a.u(R4A 2S . Observação: Antes de apresentar a solução do problema, leve-se em conta as seguintes considerações. Seja 3S uma superfície bilateral gerada pela função vetorial de posi- ção definida por k.zj.yi.x)z,y,x(R (a função posição de S). Admita-se que x, y e z sejam definidas pelas equações paramétricas: Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios Es1C3e01 CDCI/CMCD )v,u(hz )v,u(gy )v,u(fx , com ]b,a[u e ]d,c[v . Logo, tem-se que k).v,u(hj).v,u(gi).v,u(f)v,u(R , onde (u,v) des- loca-se sobre a região D do plano uOv. Seja dA a região infinitesimal na superfície 3S . Portanto, como dA é gerado pelos vetores du. u )v,u(R PQ e dv. v )v,u(R PW , sendo o ângulo entre PQ e PW , tem-se que: )sen(.PW.PQPWXPQdA dv. v )v,u(R Xdu. u )v,u(R . Mas, da Geometria, sabe-se, também, que: 222 PW.PQPW.PQPWXPQ . Conseqüentemente, vem que: 222 PW.PQPW.PQPWXPQdA 222 dv. v )v,u(R .du. u )v,u(R dv. v )v,u(R .du. u )v,u(R dv.du. v )v,u(R . u )v,u(R v )v,u(R . u )v,u(R 222 . Mas, como D dAA . Portanto, resulta que: Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios Es1C3e01 CDCI/CMCD dv.du. v )v,u(R . u )v,u(R v )v,u(R . u )v,u(R A 222 D S , fórmula esta que permite a determinação da área de superfícies 3S . Disto posto, determine-se a área da superfície da esfera de raio e centro em 3)0,0,0(O . Solução: Sabendo-se que a equação vetorial da esfera é determinada por: k.zj.yi.x)z,y,x(R , tem-se, para coordenadas esféricas, que x, y e z são dadas pelas seguintes equações paramétrica; quais sejam: )cos(.Rz )(sen).(sen.Ry )cos().(sen.Rx , com 0 e 20 . Logo, tem-se que: k).cos(.Rj).sen().sen(.Ri).cos().sen(.R),(R , , k).sen(.Rj).sen().cos(.Ri).cos().cos(.R ),(R j).cos().sen(.Ri).sen().sen(.R ),(R , 2 2 R ),(R , )(sen.R ),(R 222 e 0 ),(R . ),(R 2 . Assim sendo, resulta que: d.d. ),(R . ),(R),(R . ),(R A 222 D S , Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios Es1C3e01 CDCI/CMCD onde: 20 0 . Assim, vem que: d.d. ),(R . ),(R),(R . ),(R A 222 D S d.d).sen(.Rd.d.)(sen.R 2 0 2 0 24 0 2 0 d.)0cos()cos(.Rd.)cos(.R 2 0 2 0 2 0 2 .)a.u(R42.R2d.R2d).11(.R 22 2 0 2 2 0 2 . (03) Calcular, através de Integrais de Superfície, a área da parte do plano defi- nido por a2zyx situada no primeiro octante e limitada por 222 ayx , com a . Resposta: .)a.u( 4 .3a A 2 S . Observação: Antes de se resolver, propriamente,o exercício leve-se em conta as seguin- tes considerações. Seja uma superfície 3S determinada por )y,x(fz e que se projeta sobre um domínio 2D . Se k.zj.yi.x)z,y,x(R é a equação vetorial de S, então resulta afir- mar que: k.y,x(fj.yi.x)y,x(R . Mas, é sabido que: Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios Es1C3e01 CDCI/CMCD dv.du. v )v,u(R . u )v,u(R v )v,u(R . u )v,u(R A 222 D S . Logo, tem-se que: .dy.dx. y )y,x(R . x )y,x(R y )y,x(R . x )y,x(R A 222 D S Mas, observe que: k).y,x(fj.yi.x)y,x(R , x )y,x(f j.0i x )y,x(R , y )y,x(f ji.0 y )y,x(R , 2 2 x )y,x(f 1 x )y,x(R , 22 y )y,x(f 1 y )y,x(R e 2 2 y )y,x(f . x )y,x(f y )y,x(R . x )y,x(R . Portanto, resulta que: dy.dx.y )y,x(R . x )y,x(R y )y,x(R . x )y,x(R A 222 D S dy.dx. y )y,x(f x )y,x(f 1 22 D . Observe, porém, que o Integral de Superfície de 3S determinada pela função real de variáveis reais )y,x(fz e que se projeta sobre um domí- nio 2D , com w = g(x,y,z) definida e contínua S)z,y,x( , é dado por: dy.dx. y )y,x(f x )y,x(f 1).z,y,x(gdS).z,y,x(g 22 DS . Solução: Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios Es1C3e01 CDCI/CMCD Do imediatamente considerado, resulta que: dy.dx. x z x z 1A 22 D S , onde: 22 xay0 ax0 :D , sendo S: z = 2a – x – y, D)y,x( . Se z = 2a – x – y, então resulta que: 1 x z e 1 x z . Portanto, vem que: dx.dy.111dy.dx. x z x z 1A 22 xa 0y a 0x 22 D S .)a.u( 4 .3a a. 4 1 .3A.3dy.dx.3dx.dy.3 2 2 D D xa 0y a 0x 22 . Observe que D dy.dx (no desenvolvimento acima) é numericamente igual a 1/4 da área do círculo de raio a e com centro na origem do plano cartesi- ano, ou seja: 2a. 4 1 . Não sendo, portanto, necessário o seu cálculo. Todavia, não se observando tal fato, dever-se-ia proceder conforme a se- guir é apresentado. dx.dy.3dy.dx. x z x z 1A 22 xa 0y a 0x 22 D S dx.xa.3dxy.3 22 a 0x xa 0y a 0x 22 a 0x 22 2 xa. 2 x a x arcsen. 2 a .3 00arcsen. 2 a .3aa. 2 a 1arcsen. 2 a .3 2 22 2 Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios Es1C3e01 CDCI/CMCD .)a.u( 4 .3.a 2 . 2 a .3 22 . Saliente-se que a solução acima considerada foi abreviada, pois tomou-se dx.xa 22 como imediato; ou seja: Cxa. 2 x a x arcsen. 2 a dx.xa 22 2 22 . Entretanto, não se conhecendo o integral imediato em questão dever-se-ia deduzir a correspondente solução. Então, por substituição de variáveis trigonométricas, tome-se o triângulo retângulo de catetos x e 22 xa e hipotenusa a, com o cateto x oposto ao ângulo . Logo, tem-se que: )cos(.axaa/)xa()cos( d).cos(.adx)sen(.axa/x)sen( 2222 . Portanto, resulta que: d).(cosad).cos(.a).cos(.adx.xa 2222 . Novamente depara-se com semelhante problema, pois embora o integral de cos 2 (x).dx seja imediato, não lembrar do resultado implicará em neces- sárias deduções. Diversas são as maneiras de se deduzir o correspondente resultado. Tome- se, entretanto, a Integração por Partes para se deduzir a solução. Logo, tem-se que: se )sen(d).cos(vd).cos(dv d).sen(du)cos(u , en- tão du.vv.ud).cos(.)cos(d).(cos dvu 2 Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios Es1C3e01 CDCI/CMCD d).sen().sen(d).cos().sen( d).(sen)cos().sen( 2 d)).(cos1()cos().sen( 2 d).(cosd)cos().sen( 2 . Assim, tem-se que: d).(cosd)cos().sen(d).(cos 22 . Conseqüentemente, resulta que: )cos().sen(d)cos().sen(d).(cos.2 2 22 )cos().sen( d).(cos 2 a x arcsen. 2 1 2 a xa . a x 22 . a x arcsen. 2 1 a.2 xa.x 2 22 Disto posto, resulta, então, que: a x arcsen. 2 1 a.2 xa.x .ad).(cos.adx.xa 2 22 22222 a x arcsen. 2 a xa. 2 x 222 . Portanto: dx.xa.3dx.dy.3A 22 a 0x xa 0y a 0x S 22 = a 0 2 22 a x arcsen. 2 a xa. 2 x .3 a 0 arcsen. 2 a 0a. 2 0 .3 a a arcsen. 2 a aa. 2 a .3 2 22 2 22 Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios Es1C3e01 CDCI/CMCD .)a.u( 4 .3.a 2 1 . 2 a .3)1arcsen(. 2 a .3 222 (04) Calcular S dS).zyx( onde S é a superfície do cubo definido por 1x0 , 1y0 e 1z0 . Solução: Calcule-se a soma dos integrais de superfície tomados sobre a face superi- or do cubo (z = 1) e sobre a face inferior do mesmo (z = 0): 3dy.dx).1y2x2(dy.dx).yx(dy.dx).1yx( 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . É evidente, entretanto, que o integral de superfície em questão será três vezes maior; ou seja: 9dS).zyx( S . Resposta: 9dS).zyx( S . (05) Calcular o integral S dS).z,y,x(f , onde S é a superfície definida por )yx(2z 22 e z3)z,y,x(f . Resposta: 10 111 dS).z,y,x(f S . Solução: Sabendo-se que: D 22 22 S dy.dx. y )z,y,x(f x )z,y,x(f 1).yx2.(3dS).z,y,x(f Idy.dx.y4x41).yx2.(3 D 2222 , tem-se que: Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios Es1C3e01 CDCI/CMCD D 22222 d.d..)(cos4)(sen41).2(.3I d.d..41).2(.3 22 2 0 2 0 . Pois,tem-se que: 2z0 20 20 :D , zz )sen(.y )cos(.x e dz.d.d. )z,,( )z,y,x( ).z,,(Fdz.dy.dx).z,y,x(F 1 RR 1 , onde o Jacobi- ano de x, y, z em relação a , e z é dado por: yy xx )z,,( )z,y,x( . Fazendo 22 .41u , tem-se que: 1u du.u . 2 1 d1u. 2 1 2 2 . Como 3u2 1u0 , então resulta, necessariamente, que: d.d..41).2(.3 22 2 0 2 0 d. 1u.2 du.u . 2 1u .u. 4 1u 2(.3 2 2 2 23 1 2 0 d. 5 u 3 u.9 . 16 3 d.du).uu.9(. 16 3 3 1 532 0 42 3 1 2 0 Cálculo Diferencial e Integral Lista de Exercícios Es1C3e01 CDCI/CMCD d. 5 1 1.3 5 243 27.3. 16 3 2 0 10 .111 5 148 . 8 .3 5 242 78. 8 .3 .2. 5 242 381. 16 3 . Ou seja: 10 111 dS).z,y,x(f S .
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