Prova 2 Resolvida - Samuel

Prévia do material em texto

UFRGS - Instituto de Matema´tica
Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
MAT01169 - Ca´lculo Nume´rico
Prova 2 - 22/05/2015 - Turma B2
Prof. Samuel Volkweis Leite
1 2 3 4 Total
Nome: Carta˜o:
Questa˜o 1
Observe a matriz abaixo:
A =
 1, 00 x 0, 99y 2, 40 1, 78
9, 00 −3, 15 z

Determine os intervalos de valores de x, y e z que tornam a matriz A diagonal dominante.
Devemos ter:
|1| > |x|+ |0, 99| ⇒ |x| < 0, 01⇒ x ∈ (−0, 01; 0, 01);
|2, 4| > |y|+ |1, 78| ⇒ |y| < 0, 62⇒ y ∈ (−0, 62; 0, 62);
|z| > |9|+ | − 3, 15| ⇒ |z| > 12, 15⇒ z ∈ (−∞;−12, 15) ∪ (12, 15;∞).
Questa˜o 2
Se o Me´todo de Jacobi associado a uma matriz A na˜o converge, podemos afirmar que:
(a) O raio espectral de Tj e´ 1.
Falso: O raio espectral de Tj pode ser maior que 1.
(b) A soma das entradas das linhas da matriz Tj sa˜o menores que 1.
Falso: Se Tj =
(
1 −1
−1 1
)
, a soma das entradas sa˜o 0, mas Tj diverge pois ρ(Tj) = 2.
(c) A soma dos mo´dulos dos autovalores associados a´ matriz Tj e´ menor que 1.
Falso: Veja o exemplo acima.
(d) O maior autovalor associado a` matriz A e´ menor que 1.
Falso: Se A =
(
0.5 0
0 0.5
)
, 0.5 e´ o maior autovalor associado a matriz A. Mais ainda Tj =
(
0 0
0 0
)
e´
convergente.
(X) nenhuma das anteriores.
Verdadeiro
Questa˜o 3
Considere as matrizes
B =
 3 0 00 0 2
0 −2 0
 , A =
 a2 a 1b2 b 1
c2 c 1

para a, b, c ∈ R.
Determine se as seguintes condic¸o˜es sa˜o verdadeiras ou falsas, assinalando com V ou F .
(F) Se a = 1, b = −1 e c = 0, enta˜o A e´ convergente.
Neste caso os autovalores de A sa˜o 1,
√
2 e −√2.
(V) ‖A‖∞ > 1 para todo a, b, c ∈ R distintos.
Podemos supor, sem perda de generalidade, que a 6= 0. Temos que ‖A‖∞ ≥ |a2|+ |a|+ 1 > 1.
(F) A e´ diagonal dominante para certos a, b, c ∈ R distintos.
Para ser diagonal dominante, em particular, deve valer |b| > |b2|+ |1| = b2 +1, ou seja, 0 > b2± b+1.
O que na˜o ocorre, pois as para´bolas p(x) = x2 + x+ 1 e q(x) = x2 − x+ 1 na˜o possuem ra´ızes reais.
(V ) det(A) 6= 0.
A e´ a matriz associada ao sistema polinomial de equac¸o˜es P (a) = y0, P (b) = y1 e P (c) = y2, para um
certo polinoˆmio P de grau menor ou igual a dois. Vimos em aula que existe apenas UM polinoˆmio
satisfazendo estas treˆs equac¸o˜es, o que equivale a dizer que det(A) 6= 0.
(–) Suponha que a, b e c sa˜o distintos e considere P (x) = ax2 + bx+ c. Se A · (x1, x2, x3)T = (x1, x2, x3)T ,
para todo x1, x2, x3 ∈ R, enta˜o P (x) = x+ 1.
ANULADA
(V) A sequeˆncia {Bk · (0, 1, 1)T}k∈N produz um problema computacional conhecido como “overflow”.
Note que B · (0, x, y)T = (0, 2y,−2x)T , B2 · (0, x, y)T = (0,−4x,−4y)T , B3 · (0, x, y)T = (0,−8y, 8x)T
e B4 · (0, x, y)T = (0, 24 ·x, 24 · y)T . Em geral B4r · (0, x, y)T = (0, 24r ·x, 24r · y)T . Para x = 1 e y = 1,
como limr→∞ 24r · 1 =∞, teremos problemas de overflow.
(F) A sequeˆncia {vk}k∈N, onde vk = Bk·(0,1,1)T‖Bk·(0,1,1)T ‖ e´ tal que (vTk ·B · vk) converge para 0, 5.
A sequeˆncia definida e´ a sequeeˆncia do Me´todo das Poteˆncias, o qual converge para o maior autovalor
real de B, que e´ 3.
(F) O Me´todo de Pivoteamento por Escala, aplicado ao sistema linear B · v = (1, 1, 1)T , sugere a troca
da primeira e segunda linhas.
Como max{ |3||3| , |0||2| , |0||−2|} = 1 = a11s1 , na˜o e´ sugerida a troca de linhas.
(V) O Me´todo de Pivoteamento Parcial, aplicado ao sistema linear B · v = (0, 3, 2)T , na˜o sugere troca de
linhas.
Como max{|3|, |0|, |0|} = 3 = |a11|, na˜o e´ sugerida a troca de linhas.
(F) O Me´todo das Poteˆncias aplicado a` matriz B tem erro da ordem de O((0, 5)k) na k-e´sima iterac¸a˜o.
Como os autovalores de B sa˜o 3,±2i, o Me´todo das Poteˆncias aplicado a` matriz B tem erro da ordem
de O
(( |3|
|2i|
)k)
= O
(
(1, 5)k
)
na k-e´sima iterac¸a˜o.
(V) Suponha que b > c, b > a e b > 1. O Me´todo de Pivoteamento Completo, aplicado ao sistema linear
A · v = (0, 0, 0)T , sugere a troca da primeira e segunda linhas.
Neste caso b2 e´ o maior valor encontrado na matriz. Como ele ocorre na segunda linha, o Me´todo
de Pivoteamento Completo, aplicado ao sistema linear A · v = (0, 0, 0)T , sugere a troca da primeira
e segunda linhas.
(V) A matriz B e´ divergente.
ρ(B) = 3 ≥ 1.
(F) λ = 0 e´ autovalor de A.
Ter´ıamos A · v = 0 · v = 0, para algum vetor na˜o nulo v. No entanto, como det(A) 6= 0, o sistema
linear A · v = 0 tem soluc¸a˜o u´nica, a saber v = (0, 0, 0)T .
Questa˜o 4
Considere a func¸a˜o F : R2 → R2 dada por F (x, y) = (f1(x, y), f2(x, y))T com
f1(x, y) = −x(2x+ 2) + y − 0, 5
f2(x, y) = (x− 0, 5)2 + y2 − 13
(i) Verifique o determinante da matriz Jacobiana JF (x, y) de F nunca se anula em ([1; 1, 5] × [3; 4]) ∪
([−2, 5;−1, 5]× [2, 3]).
Soluc¸a˜o:
Temos
JF (x, y) =
( −2(2x+ 1) 1
2x− 1 2y
)
Logo det(JF (x, y)) = −4y(2x+ 1)− (2x− 1). Ele se anula se, e somente se, x e y satisfazem
y = −1
4
· 2x− 1
2x+ 1
=: f(x)
Para x ∈ [1; 1, 5] ou x ∈ [−2, 5;−1, 5], temos sempre f(x) < 0, e portanto f(x) /∈ [3; 4] e f(x) /∈ [2, 3],
em particular, a equac¸a˜o y = f(x) na˜o e´ satisfeita para pontos dos conjuntos ([1; 1, 5] × [3; 4]) e
([−2, 5;−1, 5]× [2, 3]).
(ii) Determine a inversa da matriz Jacobiana de F para os pontos em que ela existe.
Soluc¸a˜o:
J−1F (x, y) =
(
2y −1
−2x+ 1 −2(2x+ 1)
)
· 1
(−4y(2x+ 1)− (2x− 1))
(iii) Escreva a iterac¸a˜o do Me´todo de Newton para F .
Soluc¸a˜o:
(
x(n+1)
y(n+1)
)
=
(
x(n)
y(n)
)
−
(
2y(n) −1
−2x(n) + 1 −2(2x(n) + 1)
)
·

−x(n)(2x(n) + 2) + y(n) − 0, 5
(−4y(n)(2x(n) + 1)− (2x(n) − 1))
(x(n) − 0, 5)2 + (y(n))2 − 13
(−4y(n)(2x(n) + 1)− (2x(n) − 1))

(iv) Calcule duas iterac¸o˜es do Me´todo de Newton usando a aproximac¸a˜o inicial (−2; 2, 5)T .
Soluc¸a˜o:
(
x(1)
y(1)
)
=
( −2
2, 5
)
−
(
2 · 2, 5 −1
−2 · (−2) + 1 −2(2(−2) + 1)
)
·

−(−2)(2(−2) + 2) + 2, 5− 0, 5
(−4(2, 5)(2(−2) + 1)− (2(−2)− 1))
((−2)− 0, 5)2 + (2, 5)2 − 13
(−4(2, 5)(2(−2) + 1)− (2(−2)− 1))

(
x(1)
y(1)
)
=
( −2
2, 5
)
−
(
5 −1
5 6
)
·

(−2
35
)
(−0, 5
35
)
 = ( −22, 5
)
−
( −0.271428571
−0, 371428571
)
(
x(1)
y(1)
)
=
( −1, 728571429
2, 871428571
)
(
x(2)
y(2)
)
=
( −1, 728571429
2, 871428571
)
−
(
5, 742857142 −1
4, 457142858 4, 914285716
)
·

−0, 147346941
32, 67918368
0, 2116326525
32, 67918368

(
x(2)
y(2)
)
=
( −1, 728571429
2, 871428571
)
−
( −0, 0323699972
0, 0117284739
)
(
x(2)
y(2)
)
=
( −1, 696201431
2, 8597000971
)
(v) Calcule duas iterac¸o˜es do Me´todo de Newton usando a aproximac¸a˜o inicial (1, 4; 3, 5)T .
Soluc¸a˜o:
(
x(1)
y(1)
)
=
(
1, 4
3, 5
)
−
(
7 −1
−1, 8 −7, 6
)
·

(−3, 72
−55
)
(
0, 06
−55
)
 = ( 1, 43, 5
)
−
(
0, 4745454545
−0, 1134545454
)
(
x(1)
y(1)
)
=
(
0, 9254545455
3, 6134545454
)
(
x(2)
y(2)
)
=
(
0, 9254545455
3, 6134545454
)
−
(
7, 2269090908 −1
−0, 850909091 −5, 701818182
)
·

−0, 450386777
−42, 05743074
0, 2380653219
−42, 05743074

(
x(2)
y(2)
)
=
(
0, 9254545455
3, 6134545454
)
−
(
0, 08305237751
0, 02316277910
)
(
x(2)
y(2)
)
=
(
0, 8424021679
3, 5902917663
)