Física ENEM - Tópicos de Cinemática Escalar Movimento Circular

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Tópicos de 
cinemática 
vetorial: 
movimento circular 
uniforme e queda livre
Nesta aula estudaremos deslocamento, veloci-
dade e aceleração angulares. Serão introduzidas as 
noções de período e frequência e analisaremos um 
particular movimento em trajetórias circulares cha-
mado de movimento circular uniforme (MCU).
Espaço ou posição angular
Sabemos que radiano é o ângulo central que 
subentende um arco igual ao comprimento do raio.
Note:
= 1 rad.......s = 1R 
= rad......s = R , onde é o espaço angular e 
s o espaço linear. 
Conclusão: s = R
Velocidade angular
S = S – S0: variação de espaço linear.
 = – 0: variação de espaço angular.
R= raio da trajetória.
Chamamos velocidade angular média — ao
quociente entre a variação de espaço angular e o 
intervalo requerido para essa variação; ou seja:
— =
t
,
cuja unidade no SI é rad/s. Ao limite dessa velocidade 
quando o intervalo de tempo tende a zero chamamos 
velocidade angular e representamos por ; ou seja, 
 = lim
t 0 t
(No SI: rad/s)
1
v=lim1) 
t 0
 s
 t
=lim
t 0
R 
 t
= R.lim
 t
=R
Como velocidade é grandeza vetorial, a2)
velocidade angular, pela última igualdade,
também terá de ser; assim, escreve-se —
e se lê vetor velocidade angular. A figura
a seguir mostra a representação do vetor
velocidade angular: com os dedos da mão
direita acompanhando o giro do corpo móvel
em sua trajetória, o dedo polegar indicará o
vetor velocidade angular.
Movimentos periódicos
Um fenômeno qualquer é periódico quando se 
repete em iguais intervalos de tempo. Esse intervalo 
constante de tempo é chamado período. Por exemplo, 
os movimentos dos ponteiros de um relógio são movi-
mentos periódicos, pois as posições dos ponteiros se 
repetem, a partir de um instante t, nos tempos t + 1T, 
t + 2T, t + 3T etc. Matematicamente, considerando as 
posições como função do tempo, podemos escrever 
que f(t) = f (t + T), onde T é o período. Para o ponteiro 
das horas, T = 12h; para o dos minutos, T = 1h = 60 
min; para o dos segundos, T = 1min = 60s.
Período (T)1) : é o intervalo requerido de tempo
para a repetição do fenômeno periódico.
Frequência (f)2) : é o número de vezes que o
fenômeno periódico se repete na unidade de
tempo.
Se um corpo movimenta-se numa circunferência 
mantendo sua velocidade constante em módulo, seu 
movimento é periódico. Admitindo que ele execute 
duas voltas completas em 1 minuto, sua frequência é 
f = 2. Ora, se executa 2 voltas em 1 minuto, então o 
tempo para cada volta é a metade; ou seja, meio minu-
to. Acabamos de chegar a uma relação importante:
f = 2 T = 1
2
= 1
f
e f = 1
T
No SI, a unidade de T é segundo (s); a de fre-
quência é o hertz (Hz), que é igual a 1/s ou s-1. Como 
frequência é o número de repetições do fenômeno 
periódico na unidade de tempo, 1 hertz é igual a 1 
ciclo por segundo e, num movimento circular, 1 rota-
ção por segundo ou 1 rps.
Movimento 
circular uniforme (MCU)
No MCU, o corpo móvel executa sempre o mes-
mo número de voltas na unidade de tempo, pois o 
módulo de sua velocidade linear é constante. Dessa 
forma, são constantes a frequência (f), o período (T) 
e a velocidade angular ( ).
No MCU, tem-se: = = 
t
= 2
T 
rad 
s
Como já visto no tópico anterior, a velocidade 
é constante em módulo e varia em direção. Essa 
variação da velocidade em direção é caracteriza-
da pela aceleração centrípeta; inexiste aceleração 
tangencial, pois, se assim não fosse, o módulo da 
velocidade variaria.
A aceleração centrípeta é radial, orientada para 
o centro da trajetória e de módulo igual a
v2/R = ( R)2/R = 2R.
Mostra-se no exercício resolvido 1 que:
aN = 
v2
R
Equação do espaço angular (MCU)
 = 
—
 = 
t
= – 0
t – t0
= – 0
t 
 = 0 + t t0= 0
2
MCUV: caracterização
Apresenta-se na figura acima um movimento 
circular uniformemente acelerado. 
Há componente tangencial do vetor aceleração, 
sendo:
aR= at+ aN, onde aR = at
2 + aN
2 e at =|a|,
a = aceleração linear.
Como a velocidade linear está aumentando com 
o tempo (v0 < v1 < v2 < v3 ...), o mesmo ocorre com
o módulo da velocidade angular. A figura mostra
o crescimento desse módulo com o tempo nos ins-
tantes t0 < t1 < t2 < t3 ... Em virtude do crescimento 
em módulo da velocidade angular, há de existir uma 
aceleração no mesmo sentido de . Essa aceleração 
é a aceleração angular, de módulo constante, repre-
sentada na figura pelo vetor γ .
Se o movimento fosse no mesmo sentido que o 
da figura, porém retardado, o módulo estaria dimi-
nuindo e o vetor aceleração angular seria para baixo 
(sentido oposto ao da velocidade angular).
Se o sentido do movimento fosse no sentido 
horário (contrário ao mostrado na figura), o vetor 
velocidade angular seria para baixo; quanto ao 
vetor aceleração angular, seria também para baixo 
se o movimento fosse acelerado (ou para cima se o 
movimento fosse retardado). 
Equação 
da velocidade angular
Como é constante a aceleração angular, tem-se: 
γ = γ — =
t
= – 0
t – t0 
= – 0
t 
 t0 = 0
ω = ω0 + γ t
Equação do espaço angular
A figura a seguir representa o gráfico do módulo 
da velocidade angular versus tempo:
A área sob o gráfico representa a variação de 
espaço , desde t=0 até o instante t considerado. 
Observando que esta área é trapezoidal, podemos 
escrever:
ϕ – ϕ0=
(ω + ω0)
2 .t = 
(ω0 + γt + ω0)
2 .t = ω0t +
1
2 γt
2
Daí: ϕ = ϕ0+ ω0t +
1
2 γ
Equação de Torricelli 
(forma angular)
Explicitando a variável tempo na equação da 
velocidade angular tem-se: t = – 0 . Substituindo
essa expressão na equação do espaço angular e 
efetuando as devidas simplificações, exatamente 
da mesma forma como feito na aula de MRUV para 
obter a equação de Torricelli:
0= 2 2 +2
Correspondência 
entre os movimentos 
retilíneo e circular
No estudo de MCU já se viu que s = ϕR (o espa-
ço linear é igual ao espaço angular vezes o raio). Por 
isso, podemos concluir as demais correspondências, 
todas implicando na mesma proporcionalidade: o 
argumento linear é obtido multiplicando o corres-
pondente argumento angular pelo raio R. A tabela a 
seguir lista essas correspondências:
3
Grandeza Angular Linear
Posição
s = R
 s = R 
Velocidade
v = R
 v = R 
Aceleração = R
Em consequência do exposto, a mesma relação 
de correspondência se verifica entre as equações nos 
contextos linear e angular:
s = s0 + v0t + 
1
2 at
2 Espaço linear
ϕ = ϕ0+ ω0t +
1
2 γt
2 Espaço angular
v = v0 + at Velocidade linear
 = 0 + γ t Velocidade angular
v2 = v0
2 + 2 a s Torricelli (linear)
2 = 0
2 + 2 Torricelli (angular)
Atração gravitacional 
(força peso)
Pela Lei da Atração 
Gravitacional de Newton, 
dois corpos quaisquer se 
atraem mutuamente, sob a 
ação da chamada força de 
atração gravitacional. To-
dos os corpos na superfície 
da Terra, portanto, atraem 
para si o nosso planeta, e 
são por ele atraídos. A Ter-
ra, de massa muito maior que as dos demais corpos 
em suas imediações, se movimenta muito pouco 
pela ação de atração por eles exercidas. Qualquer 
um desses corpos, no entanto, cede prontamente à 
atração exercida pela Terra, que os atrai para o seu 
centro de gravidade. A essa força, com que todo 
corpo é atraído para o centro do planeta, chamamos 
peso do corpo.
O peso de um corpo, na Terra, é uma força que 
atrai esse corpo para o centro de nosso planeta. É 
uma grandeza vetorial, cujo módulo é diretamente 
proporcional à massa do corpo. 
É devido a seu peso que um corpo, abandonado 
do alto de um prédio, como ilustrado na figura, cai em 
sentido vertical para baixo, aproximando-se do solo.
P = força peso
P = mg 
m = massa
g = aceleração da Gravidade
Aceleração da gravidadePela Lei da Atração Gravitacional, devida ao 
célebre físico inglês Isaac Newton (1642-1727), a ma-
téria atrai a matéria na razão direta das massas e na 
inversa do quadrado das distâncias: F = G Mm
d2
, onde 
G é a chamada “constante de gravitação universal”, 
M e m as massas dos corpos e d a distância que os 
separa. Por outro lado, como já se disse, peso de um 
corpo na Terra é a força com que o corpo é atraído
para o centro de gravidade do planeta, em virtude do 
quê podemos escrever: mg = G Mm
d2
ou g = GM
d2
.
Se o corpo está nas proximidades da superfície 
da Terra, a fórmula é g = GM
R2
, onde R é o raio da 
Terra. Para a maioria das situações, adota-se para 
g um valor médio, válido para todos os pontos da 
superfície da Terra: g=9,8 m/s2.
Queda livre: MRUV
Na queda livre de um corpo, o vetor aceleração 
é constante, assim, o corpo executará um movimen-
to retilíneo uniformemente variado (vide aula de 
MRUV).
Admitindo a hipótese de queda livre, ou seja, a 
inexistência de efeitos outros que não o do próprio 
peso, se você arremessar verticalmente para cima 
um corpo, ele subirá em movimento retilíneo unifor-
memente retardado, chegará ao ponto mais alto da 
trajetória, onde a velocidade instantaneamente se 
anula e, em seguida, cairá em movimento retilíneo 
uniformemente acelerado, até atingir o ponto de 
lançamento. 
Há alguns aspectos a enfatizar e que em mui-
to auxiliam a resolução de exercícios. Todos esses 
aspectos ligam-se ao fato de estarmos assumindo a 
4
inexistência de agentes outros, como a resistência do 
ar, que pudessem interferir nas velocidades do corpo.
O tempo total de subida é igual ao tempo •
total de descida, o mesmo ocorrendo quanto 
às distâncias.
Considerando um plano horizontal genérico, a •
velocidade com que o corpo atinge a sua cota
na subida tem módulo igual àquela com que
a atinge na descida. Prevalecem também as
igualdades nos tempos e distâncias envolvi-
das; assim, sendo t1 e s1 o tempo e a distân-
cia percorrida desde o lançamento até esse
plano; t2 e s2, o tempo e a distância para ir
daí até o ponto mais alto do trajeto, t3 e s3, o
tempo requerido e a distância para cair desde
esse ponto máximo até a cota considerada;
e, finalmente, t4 e s4, o tempo e a distância
para continuar daí até o solo, tem-se que t1=
t4, s1= s4, t2= t3 e s2= s3. A figura a 
seguir representa um lançamento vertical para
cima no vácuo, em que, para maior clareza,
acrescentamos um eixo dos tempos, a fim de
abri-la e de permitir mais fácil visualização do
que acabamos de dizer:
4 4
Deduza a expressão da aceleração centrípeta nos mo-1.
vimentos curvilíneos.
Solução: `
Como mostrado na figura, admi-
tamos o movimento de um corpo 
móvel que tem velocidade v no 
instante t e velocidade v’ num 
instante t’ muito próximo de t . 
Por ser t = t’ – t muito peque-
no, podemos admitir o arco AC 
como um arco de circunferência 
de centro em O e raio R; ainda, 
podemos assumir constantes at 
e aN entre t e t’. 
d
h
c
Consideraremos separadamente os efeitos das duas 
acelerações:
Se existisse somente at , entre t e t’ o corpo se desloca- •
ria de A até B em MRUV, percorrendo uma distância
AB = d. Aplicando a equação dos espaços, viria:
d = v . t + (1/2)at.( t)
2 ..........................................(1)
Admitamos agora que, ao chegar a B, a velocidade e •
at se anulem, passando a atuar somente aN. O corpo
viria de B a C, também em MRUV e teríamos:
h = (1/2)a~( t)2 ........................................................(2)
Como o triângulo OAB é retângulo, vem:
(R + h)2 = R 2 + d 2
d 2 = 2 Rh + h 2 ...........................................................(3)
Substituindo na equação (3) as expressões para d e h 
dadas pelas equações (1) e (2), vem:
V 2 . t 2 + vat . t 
3 + (1/4)at . t 
4 =
= R.aN t 
2 + (1/4) aN
2 . t4
Dividindo por ( t)2, tem-se:
V 2 + v. at . t + (1/4) at ( t)
2 = RaN + (1/4). aN
2 t 2
Finalmente, fazendo t tender a zero, vem:
v 2 = RaN, donde aN = v 
2/R.
(Unesp) Um cilindro oco de 3,0m de comprimento, cujas2.
bases são tampadas com papel fino, gira rapidamente
em torno de seu eixo, com velocidade angular cons-
tante. Uma bala disparada com velocidade de 600m/s,
paralelamente ao eixo do cilindro, perfura suas bases
em dois pontos, P na primeira base e Q na segunda. Os
efeitos da gravidade e da resistência do ar podem ser
desprezados.
Quanto tempo a bala levou para atravessar o cilindro?a)
Examinando as duas bases de papel, verifica-seb)
que entre P e Q há um deslocamento angular de
9°. Qual é a frequência de rotação do cilindro, em
hertz, sabendo que não houve mais do que uma ro-
tação do cilindro durante o tempo que a bala levou
para atravessá-lo?
Solução: `
a) Para perfurar as duas bases, a bala tem de percor-
rer uma distância igual ao comprimento do cilindro,
∆s = 3,0m/s; como sua velocidade é constante e
de módulo v = 600m/s, trata-se de MRU. Para
encontrar o tempo ∆t para atravessar o cilindro, basta
aplicar a equação da velocidade no MRU:
v = ∆s/∆t. Daí:
∆t = ∆s / v =3,0m / 600m/s = 0,005s
5
b) Sabe-se que = 2 f . Pelo que se viu no item an-
terior, o menor valor de f é 30rad/s e corresponde a
n = 1. Daí, tem-se ω= 2 f = 2 . 30 = 60 rad/s =
180rad/s.
c) A menor velocidade do carro corresponde à menor
frequência do MCU do pneu. Tem-se:
v = r = 2 fr, onde r é o raio do pneu. 
v = 2 . 30 . 0,3 = 18 m/s = 54m/s.
(UFMG) A figura mostra três engrenagens, E4. 1 , E2 e E3,
fixas pelos seus centros, e de raios, R1, R2 e R3, respec-
tivamente. A relação entre os raios é R1 = R3 < R2. A
engrenagem da esquerda (E1) gira no sentido horário
com período T1 .
Sendo T1 e T3 os períodos de E1 e E3 , respectivamente, 
pode-se afirmar que as engrenagens vão girar de tal 
maneira que:
Ta) 1 = T2 = T3, com E3 girando em sentido contrário a E1.
Tb) 1 = T3 T2, com E3 girando em sentido contrário a E1.
Tc) 1 = T2 = T3, com E3 girando no mesmo sentido de E1.
Td) 1 = T3 T2, com E3 girando no mesmo sentido de E1.
Solução: ` D
Pela figura, vê-se que E1, girando no sentido horário, faz 
com que E2 gire no anti-horário; em consequência, E3 gira 
no sentido horário, ou seja, no mesmo sentido de E1.
Considerando o contato instantâneo de uma engrenagem 
de E1 com outra de E2, as velocidades nesse ponto de 
contato serão as mesmas para ambas as engrenagens. 
Daí, tem-se 1 . R1 = 2.R2 e, por ser R1 < R2, vem que 
1 > 2 , donde T1 < T2.
A velocidade na periferia de E2 é a mesma na de E1 
e, sendo R1 = R3 , decorre de imediato que 1= 3 e, 
portanto, T1 = T3.
(Unicamp) A descoberta das luas de Júpiter por Galileu5.
Galilei, em 1610, representa um marco importante na
mudança da concepção do sistema solar. Observações
posteriores dessas luas permitiram as primeiras medidas
da velocidade da luz, um dos alicerces da Física moderna.
O esquema a seguir representa as órbitas da Terra, Jú-
piter e Ganimedes (uma das luas de Júpiter). Considere
as órbitas circulares, = 3 e 1 dia = 90 000s.
b) Tem-se que o deslocamento angular é
∆ϕ = 9°= 9 /180rad = / 20rad.
O cilindro está em MCU. Daí:
ω = ∆ϕ / ∆t = ( /20) / 0,005 =10 rad/s.
No MCU tem-se ω = 2 / T = 2 f ; daí, vem
f = ω/ 2 = 10 / 2 = 5Hz.
(Unicamp)3.
O quadro (a), refere-se à imagem de televisão de um carro 
parado, em que podemos distinguir claramente a marca 
do pneu (“PNU”). Quando o carro está em movimento, 
a imagem da marca aparece como um borrão em volta 
de toda a roda, como ilustrado em (b).
A marca do pneu volta a ser nítida, mesmo com o carro 
em movimento, quando este atinge uma determinada 
velocidade. Essa ilusão de movimento na imagem 
gravada é devido à frequência de gravação de 30 
quadros por segundo (30Hz). Considerando que o 
diâmetro do pneu é igual a 0,6m e = 3,0, responda:
Quantasvoltas o pneu completa em um segundo,a)
quando a marca filmada pela câmara aparece pa-
rada na imagem, mesmo estando o carro em mo-
vimento?
Qual a menor frequência angular b) do pneu em
movimento, quando a marca aparece parada?
Qual a menor velocidade linear (em m/s) que o car-c)
ro pode ter na figura (c)?
Solução: `
a) Deseja-se a frequência em hertz (número de voltas
em 1s) do pneu para que sua marca permaneça
conforme mostrado na figura c. Essa marca estará
parada na imagem quando a frequência do MCU
do pneu for um múltiplo de 30Hz. Assim, f ={30n /
n N*}, onde N* representa o conjunto dos naturais
não-nulos ( o valor zero de n corresponde ao carro
parado – figura a).
6
A distância de Ganimedes à Júpiter é de R(G) =a)
106km e o período da órbita de Ganimedes em tor-
no de Júpiter é de 7 dias. Calcule a aceleração cen-
trípeta de Ganimedes em m/s2.
No século XVII era possível prever os instantes exa-b)
tos em que, para um observador na Terra, Ganime-
des ficaria oculta por Júpiter. Esse fenômeno atrasa
1 000s quando a Terra está na situação de máximo
afastamento de Júpiter. Esse atraso é devido ao
tempo extra despendido para que a luz refletida por
Ganimedes cubra a distância equivalente ao diâme-
tro da órbita da Terra em torno do Sol. Calcule a ve-
locidade da luz, em km/s, sabendo que a distância
da Terra ao Sol é de 1,5 x 108km.
Solução: `
Ganimedes realiza MCU ao redor de Júpiter. Assim, 
tem-se:
aN = 
2.R = (2 / T)2.R = (2 / (7 x 90 000))2.106.103 = 
(36 / (49 x 81 x 108).109 = 360 / (49 x 81) = 0,091 m/
s2= 9,1.10-2m/s2.
Sendo a distância da Terra ao Sol de 1,5 x 108km, o diâmetro 
da órbita da Terra ao redor do Sol é o dobro desse valor; 
ou seja, 3,0 x 108km. A luz trafega retilineamente em mo-
vimento uniforme e, de acordo com os dados do problema, 
leva 1 000s para cobrir essa distância. Daí, tem-se:
v = s / t = (3,0 x 108) / 1 000 = 3,0 . 105km/s
(UFC)6.
Uma partícula descreve trajetória circular, de raio r =1,0m, 
com velocidade variável. A figura acima mostra a partícula 
em um dado instante de tempo em que sua aceleração 
tem módulo a = 32m/s2 e aponta na direção e sentido 
indicados. Nesse instante, o módulo da velocidade da 
partícula é:
2,0m/sa)
4,0m/sb)
6,0m/sc)
8,0m/sd)
10,0m/se)
Solução: ` B
Trata-se de movimento circular acelerado em que o vetor 
aceleração instantânea está defasado de 600 da direção 
radial; ou seja, do vetor aceleração centrípeta, pois este 
tem sempre a direção radial e aponta para o centro de 
curvatura da trajetória. Projetando o vetor aceleração 
sobre a direção radial, obtém-se o módulo aN do vetor 
aceleração centrípeta; ou seja:
aN = a cos 60° = a .1/2 = 32 .1/2 = 16m/s
2.
Como o módulo da aceleração normal ou centrípeta vale 
v 2/r, tem-se: aN = v
2 / r e v2 = aN. r = 16 . 1 = 16m
2/s2
v = 4,0m/s.
(UFPI-adap.) A figura a seguir mostra um bloco se deslo-7.
cando sobre um trilho semicircular no plano vertical PQR,
tendo partido do repouso em R. O atrito e a resistência
do ar podem ser desprezados. Ao atingir o ponto Q, a
aceleração do bloco tem módulo máximo.
Pede-se:
1) Sendo g o valor da aceleração gravitacional no lo-
cal, quando o bloco atingir o ponto mais alto no
trajeto de Q a P sua aceleração resultante será:
g, apontando para R.a)
2g, apontando o centro.b)
nula.c)
g, apontando verticalmente de cima para baixo.d)
2g, apontando para baixo.e)
2) Qual a aceleração do bloco ao atingir o ponto Q?
3) O bloco executa um MCUV no trajeto RQ?
7
Solução: `
1) Se inexiste qualquer agente que dissipe energia, o
bloco terá de alcançar na subida a mesma altura de
onde saiu; assim, ele chegará ao ponto P. Ao sair
de R, a única força atuando sobre o corpo era seu
próprio peso, vetor vertical para baixo, igual ao pro-
duto da massa m do corpo pelo vetor aceleração
da gravidade (vertical para baixo). Ao sair de R,
portanto, a aceleração resultante era g, apontando
verticalmente de cima para baixo. O mesmo ocorre
quando chega em P. (Letra D)
2) Adotaremos uma solução intuitiva, pois não estuda-
mos ainda vários assuntos necessários a uma solu-
ção mais imediata da questão.
Inexistindo atrito, o único efeito do trilho semicircular
é desviar o corpo móvel, fazendo com que o mesmo,
ao chegar ao nível do ponto Q, esteja com velocida-
de horizontal. Essa velocidade, portanto, tem módulo
igual àquela com que o corpo impactaria o solo, se
caísse em queda livre a partir de R. Nessa hipótese,
essa velocidade seria dada pela equação de Torricelli:
V2 = v0
2 + 2 g . ∆s, donde V 2 = 2gR.
Durante o movimento do corpo, existe em cada
ponto a tendência de puxá-lo no sentido de descida;
essa tendência anula-se em Q, pois o corpo está no
nível mais baixo da trajetória, e é máxima em P e R.
Por isso, inexiste em Q componentes tangenciais de
quaisquer efeitos atuando no corpo e ele só possui,
nesse ponto, aceleração centrípeta, cujo módulo é
dado por aN = v 
2/R = 2gR / R = 2g. Esse é o máxi-
mo valor de aceleração adquirida pelo bloco.
3) Sabemos que no MCUV o módulo da aceleração
tangencial deve ser igual ao da aceleração linear
(at = ω), o qual tem de ser uma constante.
Considerando a figura a seguir, vê-se que o módulo
da aceleração tangencial é variável, sendo nulo em
Q e máximo em P e R:
P senω θ = mgsen θ
at = g sen θ
Como at varia desde um valor máximo g em R até zero 
em Q, não se trata de MCUV.
A Física estuda determinados fenômenos que ocorrem 
no Universo. Para a construção do conhecimento desses 
fenômenos, utiliza o chamado método experimental, 
que consiste no seguinte: (1) observar repetidamente 
o fenômeno, destacando fatos notáveis e identificando
as principais grandezas envolvidas; (2) medir essas
grandezas, usando adequados instrumentos de medida;
(3) buscar, considerando as medidas realizadas, alguma
relação existente entre aquelas grandezas, tentando
descobrir alguma lei ou princípio que rege o fenômeno
estudado.
Há situações em que, mesmo em se tratando de 
fenômenos já conhecidos, não podemos prescindir 
de medições para a correta avaliação das grandezas 
envolvidas, como ilustrado no exercício a seguir. 
(PUC-SP) Para calcular a aceleração tangencial média de8.
um corpo em movimento circular cujo raio de curvatura
é m, você dispõe de uma tabela que relaciona, a partir
do repouso e do instante t = 0, o número de voltas
completas e o respectivo intervalo de tempo.
n.º de voltas 
completas
intervalo 
de tempo
1.º tomada de dados 20 1s
2.º tomada de dados 80 2s
3.º tomada de dados 180 3s
O valor da aceleração angular média sofrida pelo corpo 
durante essa experiência é:
20m/sa) 2
40m/sb) 2
40voltas/sc) 2
80voltas/sd) 2
100voltas/se) 2
Solução: ` C
ω = . ωt + 
γ
2 t
2
40 = 
γ
2
. 12 y = 80 rad/s2.
γ = 40 voltas/s2
(Fatec) Um objeto em queda livre move-se de modo que9.
sua altura h (em metros), medida em relação ao chão, no
instante t (em segundos), é dada pela equação:
h = 100 – 5t2.
A velocidade inicial, a aceleração do movimento e o
módulo da velocidade média entre os instantes t=0s e
t=2s são, respectivamente:
nula, 5m/sa) 2 e 45m/s
nula, 10m/sb) 2 e 10m/s
8
5m/s, 10m/sc) 2 e 40m/s
100m/s, 5m/sd) 2 e 45m/s
100m/s, 10m/se) 2 e 10m/s
Solução: ` B
Fazendo uma comparação da equação dada com a equação 
h = h0 + v0∆t + 
a
2
 ∆t2, temos:
h0 = 100m, v0 = 0 e a = 
–10m
S2
Em t = 2s, temos:
h = 100 – 5 . 22
h = 100 – 20
h = 80
Logo Vm = 
∆h
∆t = 
80 – 100
2
 = – 10m/s
(PUC-Minas) Dois corpos de pesos diferentes são10.
abandonados no mesmo instante de uma mesma altu-
ra. Desconsiderando-se a resistência do ar, é correto
afirmar:
Os dois corpos terão a mesma velocidade a cadaa)
instante, mas com acelerações diferentes.
Os corpos cairão com a mesma aceleraçãoe suasb)
velocidades serão iguais entre si a cada instante.
O corpo de menor volume chegará primeiro ao solo.c)
O corpo de maior peso chegará primeiro ao solo.d)
Solução: `
a) Errado: a aceleração sobre eles é a da gravidade.
b) Correto: na queda livre a velocidade a cada instante
independe da massa do corpo; depende apenas da
velocidade inicial e do tempo.
c) Errado: as velocidades serão as mesmas a cada ins-
tante e os corpos chegarão juntos ao solo.
d) Errado: as velocidades serão as mesmas a cada ins-
tante e os corpos chegarão juntos ao solo.
(UFRJ) Um corpo é abandonado de uma altura H (em11.
relação ao solo) em queda livre e, ao passar por um
ponto A da trajetória retilínea, possui uma velocidade
escalar de 10m/s. Um observador fixo na terra poderá
afirmar, quanto ao módulo do vetor velocidade em um
ponto B situado a 2,2m abaixo de A, que o módulo
desse vetor:
depende da massa do corpo.a)
é de 12m/s.b)
é proporcional ao quadrado do tempo.c)
é um vetor cujo módulo é constante.d)
vale 15m/s.e)
Solução: ` B
Errado: o módulo do vetor velocidade só dependea)
da velocidade inicial e do tempo (v = v0 + gt).
c e d) Errados: v é função linear do tempo (v = v0+ gt).
Pelo exposto, resta-nos calcular a velocidade em B para 
sabermos a opção correta: ou b ou e. 
Como não nos interessa o tempo nesse aspecto, a equa-
ção de Torricelli é a melhor equação a utilizar, conside-
rando ainda que foi fornecido o deslocamento s = 2,2m 
entre A e B e, também , a velocidade em A, v0 = 10m/s. 
Vem: v2 = v0
2 + 2g s = 102 + 2 . 10 . 2,2 = 144 (m/s)2, 
donde v = 12m/s.
(UFSM) O gráfico a seguir representa a velocidade de12.
um objeto lançado verticalmente para cima, desprezan-
do-se a ação da atmosfera.
Assinale a afirmativa incorreta.
O objeto atinge, 2 segundos após o lançamento, oa)
ponto mais alto da trajetória.
A altura máxima atingida pelo objeto é 20 metros.b)
O deslocamento do objeto, 4 segundos após o lan-c)
çamento, é zero.
A aceleração do objeto permanece constante du-d)
rante o tempo observado e é igual a 10m/s2.
A velocidade inicial do objeto é igual a 20m/s.e)
Solução: ` D
a) Correto: em t = 2s a velocidade é nula, o que cor-
responde ao ponto mais alto da trajetória.
b) Correto: a altura máxima corresponde ao ∆s na su-
bida, que é numericamente igual à área do triângulo
acima do gráfico (2x20) / 2 = 20m.
c) Correto: em t = 4s o objeto está com velocidade
de –20m/s, o que representa a velocidade com que
impacta o solo. O deslocamento, portanto, é nulo.
9
d) Errado: a aceleração é constante e dirigida para bai-
xo, sentido este contrário ao da velocidade na subi-
da. Como na subida o movimento é uniformemente
retardado e a velocidade é positiva, a aceleração
tem de ser negativa. O correto –10m/s2.
e) Correto: de acordo com o gráfico, em t = 0 tem-se
v = 20m/s.
Acerca do 13. paraquedismo, há notícias de usos
esparsos e individuais na China por volta do ano de
1100 e de inventores como Leonardo da Vinci na Itália
terem planejado o desenvolvimento de dispositivos
semelhantes a paraquedas. As honras de primeiro
paraquedista, no entanto, são atribuídas ao inventor
francês André-Jacques Garnerin que, em 1797, em
Paris, saltou de paraquedas de um balão estacionário.
O uso de paraquedas em aeronaves só teve início após
1903, quando os irmãos Wright realizaram o primeiro
voo em aeroplano. O paraquedismo teve a partir daí
desenvolvimento acelerado, impulsionado pelo das
aeronaves; o primeiro emprego dessa atividade para fins
militares ocorreu com a Primeira Guerra Mundial, atingindo
o ápice na Segunda Grande Guerra, quando tropas aliadas
saltaram na retaguarda inimiga, surpreendendo-a e
facilitando o desembarque anfíbio no dia-D.
Após a Segunda Guerra Mundial difundiu-se o para-
quedismo, aperfeiçoamentos nos paraquedas foram
realizados visando a uma maior manobrabilidade, até
transformar-se no difundido esporte radical (“skydiving”)
dos dias atuais.
I. (UFRJ) Um paraquedista radical pretende atingir a velo-
cidade do som. Para isto seu plano é saltar de um balão
estacionário na alta atmosfera, equipado com roupas
pressurizadas. Como nessa altitude o ar é muito rarefeito,
a força de resistência do ar é desprezível. Suponha que
a velocidade inicial do paraquedista em relação ao balão
seja nula e que a aceleração da gravidade seja igual a
10m/s2. A velocidade do som nessa altitude é 300m/s.
Calcule:
em quanto tempo ele atinge a velocidade do som;a)
a distância percorrida nesse intervalo de tempo.b)
Solução: `
a) Basta aplicar a equação da velocidade na queda livre:
v = v0 + g t. Daí: 300 = 0 + 10 t , donde t = 30s
b) Sendo v0 = 0, a equação do espaço toma a forma
∆s = g t 2 / 2 = 10 x 302 / 2 = 4 500m
II. (Unesp) Ao executar um salto de abertura retardada,
um paraquedista abre seu paraquedas depois de ter
atingido a velocidade, com direção vertical, de 55m/s.
Após 2s, sua velocidade cai para 5m/s.
Calcule o módulo da aceleração média do paraquedista 
nesses 2s.
Sabendo que a massa do paraquedista é 80kg, calcule o 
módulo da força de tração média resultante nas cordas 
que o sustentam durante esses 2s.
(Despreze o atrito do ar sobre o paraquedista e considere 
g =10m/s2.) 
Solução: `
a) O módulo da aceleração média é igual ao quociente
da variação da velocidade escalar pelo intervalo de
tempo durante o qual se deu essa variação. Daí:
5 – 55
2
—= v
t 
= = – 25m/s2
A aceleração média do paraquedista tem módulo
25m/s2, sendo vertical para cima.
b) A força resultante sobre o paraquedista é:
T1 – P e, pela segunda lei de Newton, iguala o pro-
duto da massa pela aceleração. Daí:
T1 – P = ma ou T1 = P + ma
T1 = 80 . 10 + 80 . 25
T1 = 2 800N
Essa força T1 é exercida pelas cordas do paraquedas sobre 
o homem que, reagindo, exerce sobre elas uma força de
módulo igual e em sentido contrário (para baixo).
A força exercida sobre as cordas do paraquedas tem 
módulo 2,8kN, direção vertical e sentido para baixo.
(Cesgranrio) O período, em segundos, de um motor que1.
executa 3 000rpm é:
0,02a)
0,18b)
0,3c)
0,5d)
0,05e)
10
(PUC-Rio) A velocidade angular do movimento do 2. 
ponteiro das horas vale:
h/rad
24
πa)
h/rad
12
πb)
h/rad
6
πc) 
h/rad
4
πd) 
h/rad
3
π
e) 
(UFRRJ) Considerando-se o movimento circular3.
uniforme descrito por um avião, na horizontal, é possível
afirmar que:
a aceleração resultante é nula.a)
a velocidade vetorial do avião é constante.b)
não se desenvolve esse movimento em um sistemac)
inercial.
a aceleração gravitacional é nula.d)
o raio da circunferência descrita é constante.e)
(Ufes) Uma partícula em movimento circular uniforme4.
realiza 4 rotações por segundo. O período do movimento,
em segundos, é:
8a) π
4b)
4
πc)
4
1d) 
2
πe) 
(UFF) No parque de diversões a mãe leva o filho para5.
andar no carrossel que gira com certa velocidade an-
gular. Por precaução, senta-se com a criança no colo,
próximo do eixo de rotação do carrossel. Essa decisão
foi tomada porque:
a velocidade angular e a linear são menores pertoa)
do eixo do carrossel.
a velocidade angular é menor perto do eixo do car-b)
rossel, enquanto a linear é a mesma em qualquer
ponto do carrossel.
a velocidade angular é menor perto do eixo do car-c)
rossel, enquanto a linear é maior.
a velocidade angular é a mesma em qualquer pontod)
do carrossel, enquanto a linear é menor perto do
eixo do carrossel.
a velocidade angular e a linear são iguais em qual-e)
quer ponto do carrossel.
(USS) Qual é o valor correto da velocidade angular da6.
Terra em torno de seu eixo?
πa) rad/h
24b) πrad/h
πc) /24rad/h
πd) /12rad/h
12e) πrad/h
(Cesgranrio) Um disco 7. long-play é colocado em uma
vitrola a 33 3
1
 rpm (rotações por minuto). Ele leva apro-
ximadamente 24 minutostocando. Qual é a ordem de
grandeza do número de voltas que ele dá neste intervalo
de tempo?
10a)
10b) 2
10c) 3
10d) 4
10e) 5
(UFRJ) Calcular quantos graus a Terra descreve em 1 hora,8.
no seu movimento de rotação ao redor do seu eixo.
(Fuvest) Um tronco vertical de um eucalipto é cortado9.
rente ao solo e cai, em 5s, num terreno plano e horizontal,
sem se desligar por completo de sua base.
Qual a velocidade angular média do tronco, durantea)
a queda?
Qual a velocidade escalar média de um ponto dob)
tronco de eucalipto, a 10m da base?
(Unesp) Segundo uma estatística de tráfego, nas vés-10.
peras de feriado passam por certo posto de pedágio 30
veículos por minuto, em média.
Determine a frequência média de passagem de ve-a)
ículos. (Dê a resposta em hertz).
Determine o período médio de passagem de veícu-b)
los. (Dê a resposta em segundos).
(USS) Na figura estão representados, em um dado ins-11.
tante t, os vetores velocidade v

 e aceleração a

 de uma
partícula de massa m.
Nessa situação, quanto à forma da trajetória da partícula 
e ao comportamento do módulo de sua velocidade, é 
correto afirmar que:
11
Forma da 
trajetória
Módulo da 
velocidade
(A) Retilínea Diminui com o tempo
(B) Retilínea Aumenta com o tempo
(C) Curvilínea Diminui com o tempo
(D) Curvilínea Aumenta com o tempo
(E) Curvilínea Não varia com o tempo
(Unirio) O mecanismo apresentado na figura abaixo é12.
utilizado para enrolar mangueiras após terem sido usa-
das no combate a incêndios. A mangueira é enrolada
sobre si mesma, camada sobre camada, formando um
carretel cada vez mais espesso.
Considerando ser o diâmetro da polia A maior que o 
diâmetro da polia B, quando giramos a manivela M 
com velocidade constante, verificamos que a polia B 
gira _____ que a polia A, enquanto a extremidade P da 
mangueira sobe com movimento ______.
Preenche corretamente as lacunas acima a opção:
mais rapidamente – acelerado.a)
mais rapidamente – uniforme.b)
com a mesma velocidade – uniforme.c)
mais lentamente – uniforme.d)
mais lentamente – acelerado.e)
(FOA-RJ) Um móvel percorre em Movimento Uniforme-13.
mente Variado uma trajetória circular de raio igual a 10 m
obedecendo a função v = 2 + 3t (m/s). O módulo da sua
aceleração centrípeta no instante t = 4s vale:
12,4m/sa) 2
8,6m/sb) 2
15,7m/sc) 2
19.6m/sd) 2
24,5m/se) 2
Um disco de 2,00m de raio, inicialmente em repouso, gira14.
em torno de seu centro, com uma aceleração angular
constante igual a 4,00rad/s2. Determine, 10,0s após o
início do movimento, a velocidade escalar de um ponto
qualquer situado na borda do disco.
20,0m/sa)
60,0m/sb)
80,0m/sc)
100,0m/sd)
40,0m/se)
(Fatec-SP) Na figura representa-se um bloco em mo-15.
vimento sobre uma trajetória curva, bem como o vetor
velocidade v , o vetor aceleração a e seus componentes
intrínsecos, aceleração tangencial a t e aceleração normal
an. Analisando-se a figura, conclui-se que:
o módulo da velocidade está aumentando.a)
o módulo da velocidade está diminuindo.b)
o movimento é uniforme.c)
o movimento é necessariamente circular.d)
o movimento é retilíneo.e)
(UERJ) A velocidade angular 16. ω de um móvel é inversa-
mente proporcional ao tempo T e pode ser representada
pelo gráfico a seguir. Quando ω é igual a 0,8π rad/s, T,
em segundos, corresponde a:
ω
2,0a)
2,3b)
2,5c)
2,7d)
Esta explicação refere-se às questões 17 e 18.
Um móvel parte do repouso e percorre uma trajetória 
circular de raio 100m, assumindo movimento uniformemente 
acelerado de aceleração escalar 1m/s2.
12
(PUC-SP) As componentes tangencial e centrípeta da17.
aceleração valem, respectivamente, após 10s:
1m/sa) 2 e 10m/s2
10m/sb) 2 e 1m/s2
10m/sc) 2 e 10m/s2
10m/sd) 2 e 100m/s2
1m/se) 2 e 1m/s2
(PUC-SP) O ângulo formado entre a aceleração total e18.
o raio da trajetória no instante t = 10s vale:
180ºa)
90ºb)
60ºc)
45ºd)
30ºe)
Uma partícula percorre uma circunferência de raio igual a19.
20cm segundo a função horária ângular θ = 2t
6
t
24
π+π+π
(no S.I.).
Determinar:
A velocidade angular após 12s.a)
A velocidade linear após 12s.b)
Quantas voltas a partícula percorrer até após 12s.c)
O gráfico a seguir representa a velocidade escalar em20.
função do tempo. A partícula descreve uma circunfe-
rência de raio igual a 4,0m. Determinar:
v
A distância percorrida pela partícula no intervalo dea)
0 a 8s.
O número de voltas completas realizadas de 0 a 12s.b)
A aceleração centrípeta no instante 4s.c)
(Unirio) O astronauta Neil Armstrong foi o primeiro homem21.
a pisar na superfície da Lua, em 1969. Na ocasião realizou
uma experiência que consistia em largar, ao mesmo tempo
e a partir do repouso, um martelo e uma pena, deixando-os
cair sobre a superfície lunar, e observou que:
o martelo caiu e a pena subiu.a)
o martelo caiu mais rápido que a pena.b)
os dois corpos ficaram flutuando em repouso.c)
os dois corpos tocaram o solo lunar ao mesmo tempo.d) 
os dois corpos começaram a subir, afastando-se dae)
superfície lunar.
(Uerj) Foi veiculada na televisão uma propaganda de22.
uma marca de biscoitos com a seguinte cena: um jovem
casal estava num mirante sobre um rio e alguém deixava
cair lá de cima um biscoito. Passados alguns segundos, o
rapaz se atira do mesmo lugar de onde caiu o biscoito e
consegue agarrá-lo no ar. Em ambos os casos, a queda é
livre, as velocidades iniciais são nulas, a altura de queda
é a mesma e a resistência do ar é nula.
Impossível, porque a altura da queda não era gran-a)
de o suficiente.
Possível, porque o corpo mais pesado cai com maiorb)
velocidade.
Possível, porque o tempo de queda de cada corpoc)
depende de sua forma.
Impossível, porque a aceleração da gravidade nãod)
depende da massa dos corpos.
(Cesgranrio) Qual dos gráficos abaixo melhor representa23.
o espaço percorrido (ordenada), a partir do repouso,
por um corpo em queda livre na Lua, em função do
tempo (abcissa)?
a)
b) 
c) 
d) 
e) 
(UFF) Uma bolinha metálica, abandonada de uma certa24.
altura H, atinge o solo em 5,0s. Considere g = 10m/s2.
Assinale a opção que apresenta o valor da velocidade
média da bolinha durante o último segundo da queda.
25m/sa)
45m/sb)
50m/sc)
80m/sd)
90m/se)
13
(Cesgranrio) Um corpo em queda livre a partir do re-25.
pouso possui velocidade v após percorrer uma altura
h. A velocidade do corpo, nas mesmas condições, após
4h, será: (Desprezar a resistência do ar e supor que a
aceleração da gravidade no local é constante)
va)
2vb)
4vc)
8vd)
16ve)
(Uerj) Um chaveiro, largado de uma varanda de altura h,26.
atinge a calçada com velocidade v. Para que a velocidade
de impacto dobrasse de valor, seria necessário largar
esse chaveiro de uma altura maior, igual a:
2ha)
3hb)
4hc)
6hd)
(UFF) Duas pequenas esferas X e Y possuem o mesmo27.
raio e massas respectivamente iguais a mX e my = 2mX.
Essas esferas são, simultaneamente, lançadas na direção
vertical, para cima, com a mesma velocidade inicial, a
partir do solo. Desprezando-se a resistência do ar, é
correto afirmar que:
X atinge altura maior do que Y e volta ao solo de-a)
pois de Y.
X atinge uma altura maior do que Y e volta ao solob)
ao mesmo tempo que Y.
X atinge uma altura igual à de Y e volta ao solo an-c)
tes de Y.
X atinge uma altura igual à de Y e volta ao solo aod)
mesmo tempo que Y.
(UFRJ) Uma pedra é lançada do solo verticalmente28.
para cima e, 4,0s após, retorna ao ponto de lançamento.
Considere a resistência do ar desprezível e g = 10m/s2.
Calcule a altura máxima atingida pela pedra.
(UFRJ) Um paraquedista radical pretende atingir a velo-29.
cidade do som. Para isto seu plano é saltar de um balão
estacionário na alta atmosfera, equipado com roupas
pressurizadas. Comonessa altitude o ar é muito rarefei-
ro, a força de resistência do ar é desprezível. Suponha
que a velocidade inicial do paraquedista em relação ao
balão seja nula e que a aceleração da gravidade seja
igual a 10m/s2. A velocidade do som nessa altitude é
300m/s. Calcule:
Em quanto tempo ele atinge a velocidade do som.a)
A distância percorrida nesse intervalo de tempo.b)
(Fuvest) Adote: g = 10m/s30. 2
Uma pessoa sentada num trem, que se desloca numa
trajetória retilínea a 20m/s, lança uma bola verticalmente
para cima e a pega de volta no mesmo nível de
lançamento. A bola atinge uma altura máxima de 0,80m
em relação a este nível. Ache:
O valor da velocidade da bola, em relação ao solo,a)
quando ela atinge a altura máxima.
O tempo durante o qual a bola permanece no ar.b)
(Unirio) Na figura abaixo, um sistema mecânico é for-1.
mado por uma roda R, uma haste H e um êmbolo E,
que desliza entre as guias G1 e G2. As extremidades da
haste H são articuladas em P e P’, o que permite que o
movimento circular da roda R produza um movimento
de vaivém de P’, entre os pontos A e B, marcados no
eixo x.
Considerando-se que a roda R descreve 240 rotações 
por minuto, o menor intervalo de tempo necessário para 
que o ponto P’ se desloque de A até B é:
2sa)
1sb)
c) 
1
4
s
d) 
1
8
s
e) 
1
16
s
(Fuvest) Um disco de raio r gira com velocidade angular2.
ω constante. Na borda do disco, está presa uma placa
fina de material facilmente perfurável. Um projétil é dis-
parado com velocidade v

 em direção ao eixo do disco,
conforme mostra a figura, e fura a placa no ponto A.
Enquanto o projétil prossegue sua trajetória sobre o
disco, a placa gira meia circunferência, de forma que
o projétil atravessa mais uma vez o mesmo orifício que
havia perfurado.
14
Considere a velocidade do projétil constante e sua trajetória 
retilínea. O módulo da velocidade v

 do projétil é:
ωa) r/π
2b) ωr/π
ωc) r/2π
ωd) r
πωe) /r
(UFJF) Um velocímetro comum de carro mede, na re-3.
alidade, a velocidade angular do eixo da roda e indica
um valor que corresponderia à velocidade do carro. O
velocímetro para um determinado carro sai da fábrica
calibrado para uma roda de 20 polegadas de diâmetro
(isso inclui o pneu). Um motorista resolve trocar as
rodas do carro para 22 polegadas de diâmetro. Assim,
quando o velocímetro indica 100km/h, a velocidade real
do carro é:
100km/ha)
200km/hb)
110km/hc)
90km/hd)
160km/he)
(EsPCEx) Um ciclista percorre uma pista circular de 200m4.
de diâmetro, com movimento circular uniforme, efetuando
20 voltas em 40 minutos. Os valores da velocidade
angular e linear são, respectivamente:
2a) π/20rad/s e 7π/10m/s
πb) /60rad/s e 5 π/3m/s
πc) /40rad/s e 3π/4m/s
2d) π/13rad/s e 7π/8m/s
6e) π/17rad/s e 7π/8m/s
(UFJF) Dois discos encontram-se acoplados em um mes-5.
mo eixo que gira com velocidade angular constante ω. Eles
estão separados por uma distância igual a “d”. Dispara-se
uma arma de fogo de modo a perfurar os dois discos.
Os raios que passam pelas perfurações formam entre si
um ângulo θ. A velocidade do projétil, admitindo ser seu
movimento entre os dois discos uniforme, é dada por:
v = da) θ/ω
v = b) θ/ωd
v = c) ωd/θ
v = d) ωθ/d
v = e) ω/dθ
Um automóvel descreve a trajetória abaixo com velocidade6.
de módulo constante. Compare as acelerações nos pontos
(1) e (2) e verifique se .
Justifique sua resposta.
(Fuvest) Uma cinta funciona solidária com dois cilindros7.
de raios 10cm e 50cm. Supondo que o cilindro maior
tem uma frequência de rotação igual a 60rpm:
Qual a frequência de rotação do cilindro menor?a)
Qual a velocidade linear da cinta?b)
(UFOP) Um ponto material descreve uma trajetória8.
circular de raio igual a 20m, com velocidade escalar
constante igual a 4πm/s. Determine:
A velocidade angular da partícula.a)
O módulo da aceleração centrípeta.b)
O número de voltas efetuadas pelo ponto materialc)
a cada segundo.
(Unesp) O comprimento da banda de rodagem (cir-9.
cunferência externa) do pneu de uma bicicleta é de
aproximadamente 2m.
Determine o número N de voltas (rotações) dadasa)
pela roda da bicicleta, quando o ciclista percorre
uma distância de 6,0km.
Supondo que essa distância tenha sido percorridab)
com velocidade constante de 18km/h, determine,
em Hertz, a frequência de rotação da roda durante
o percurso.
(Unicamp) O quadro (a) a seguir refere-se à imagem de10.
televisão de um carro parado, em que podemos distin-
guir claramente a marca do pneu (“PNU”). Quando o
carro está em movimento, a imagem da marca aparece
como um borrão em volta de toda a roda, como ilustra-
do em (b). A marca do pneu volta a ser nítida, mesmo
com o carro em movimento, quando esta atinge uma
15
determinada velocidade. Essa ilusão de movimento na 
imagem gravada é devido à frequência de gravação de 
30 quadros por segundo (30Hz).
Considerando que o diâmetro do pneu é igual a 0,6m e 
π = 3,0, responda:
Quantas voltas o pneu completa em um segundo,a)
quando a marca filmada pela câmera aparece pa-
rada na imagem, mesmo estando o carro em mo-
vimento?
Qual a menor frequência angular b) ω do pneu em
movimento quando a marca aparece parada?
Qual a menor velocidade linear (em m/s) que o car-c)
ro pode ter na figura (c)?
(UFRJ) O olho humano retém durante 1/24 de segundo11.
as imagens que se formam na retina. Essa memória
visual permitiu a invenção do cinema. A filmadora bate
24 fotografias (fotogramas) por segundo. Uma vez
revelado, o filme é projetado à razão de 24 fotografias
por segundo. Assim o fotograma seguinte é projetado
no exato instante em que o fotograma anterior está
desaparecendo de nossa memória visual, o que nos dá
a sensação de continuidade.
Filma-se um ventilador cujas pás estão girando no sentido
horário. O ventilador possui quatro pás simetricamente
dispostas, uma das quais pintada de cor diferente, como
ilustra a figura.
Ao projetarmos o filme, os fotogramas aparecem na tela 
na seguinte sequência,
o que nos dá a sensação de que as pás estão girando
no sentido anti-horário.
Calcule quantas rotações por segundo, no mínimo, as 
pás devem estar efetuando para que isso ocorra.
(Unicamp) Considere as três engrenagens acopladas12.
como na figura a seguir. A engrenagem A tem 50 den-
tes e gira no sentido horário, indicado na figura, com
frequência de 100rpm (rotações por minuto). A engre-
nagem B tem 100 dentes e a C tem 20 dentes.
Qual é o sentido de rotação da engrenagem C?a)
Quanto vale a velocidade tangencial da engrena-b)
gem A em dentes/min.?
Qual é a frequência (em rpm) da engrenagem B?c)
(FEI-SP) Um móvel em trajetória circular de raio r = 5m13.
parte do repouso com aceleração angular constante de
10rad/s2. Quantas voltas ele percorre nos 10 primeiros
segundos?
500a)
250/b) π
100c) π
500/d) π
500e) π
(Mackenzie) Um disco inicia um movimento unifor-14.
memente acelerado a partir do repouso e, depois de
10 revoluções, a sua velocidade angular é de 20rad/s.
Podemos concluir que a aceleração angular da roda, em
rad/s2, é mais aproximadamente igual a:
3,5a)
3,2b)
3,0c)
3,8d)
4,2e)
O gráfico abaixo representa a velocidade angular, em 
função do tempo, de uma polia que gira ao redor de 
um eixo.
Com base no gráfico, responda às questões 15 e 16.
(UFBA) A aceleração angular da polia é igual a:15.
2a) πrad/s2
15b) πrad/s2
16
20c) πrad/s2
100d) πrad/s2
200e) πrad/s2
(UFBA) O número de voltas realizadas pela polia, de 016.
a 40s, é igual a:
3,0 a) . 102
4,0 b) . 102
8,0 c) . 102
1,2 d) . 102
1,6 e) . 102
(Fesp) Em determinado instante, a velocidade17.
vetorial e a aceleração vetorial de uma partícula estão
representadas na figura abaixo.
Qual dos pares oferecidos representa, no instante 
considerado, os valores da aceleraçãoescalar α e do 
raio de curvatura R da trajetória?
αa) = 4,0m/s2 e R = 0
αb) = 4,0m/s2 e R → ∞
αc) = 2,0m/s2 e R = 29m
αd) = 3,4m/s2 e R = 29m
(UFPR) Uma esfera presa à extremidade de um fio de18.
massa desprezível e comprimento igual a 10cm parte
do repouso da posição x, conforme mostra a figura a
seguir. Determine, em rad/s, a velocidade angular da
mesma na posição y, desprezando a resistência do ar.
(g = 10m/s2).
(Fuvest) Uma partícula efetua seu movimento de tal19.
modo que em dado instante a velocidade vetorial tem
módulo igual a 3m/s e direção que faz com a ace-
leração vetorial um ângulo de 60º. Sendo o módulo
dessa aceleração igual a 20m/s2, determine o módulo
da aceleração escalar da partícula bem como o raio da
trajetória naquele instante.
(UFPE) A parte mais externa de um disco, com 0,25m de20.
raio, gira com uma velocidade linear de 15m/s. O disco
começa então a desacelerar uniformemente até parar, 
em um tempo de 0,5min. Qual o módulo da aceleração 
angular do disco em rad/s2?
(Fuvest) Uma bicicleta parte do repouso e percorre 20m21.
em 4s, com aceleração constante.
Qual a aceleração de translação da bicicleta?a)
Sabendo-se que as rodas da bicicleta têm 40cmb)
de raio, com que frequência estarão girando no fim
daquele percurso.
(ITA) Uma partícula descreve um movimento circular de22.
raio R, partindo do repouso no instante t = 0 e com uma
aceleração tangencial ta

 cujo módulo é constante.
Sendo Ca

 a aceleração centrípeta no instante t, podemos 
afirmar que
t
C
a
a


 é igual a:
R
ta t
2 .a)
R
aC . t
2
b) 
R
v2c) 
R
tat .d)
.
R
ta 2te)
(Uerj) Utilize os dados abaixo para resolver as questões23.
A e B.
Uma das atrações típicas do circo é o equilibrista sobre
monociclo.
O raio da roda do monociclo utilizado é igual a 20cm, e 
o movimento do equilibrista é retilíneo.
O equilibrista percorre, no início de sua apresen-a)
tação, uma distância de 24π metros. Determine o
número de pedaladas, por segundo, necessárias
para que ele percorra essa distância em 30s, consi-
derando o movimento uniforme.
Em outro momento o monociclo começa a se moverb)
a partir do repouso com aceleração constante de
0,50m/s2. Calcule a velocidade média do equilibris-
ta no trajeto percorrido nos primeiros 6,0s.
(UERJ) O motorista, ao sair de um pedágio da estrada,24.
acelera uniformemente o carro durante 10 segundos a
17
partir do repouso, num trecho plano horizontal e retilíneo, 
até atingir a velocidade final de 100km/h. Considere 
desprezível a quantidade de combustível no tanque.
Admitindo-se que as rodas não patinam e que tenham 
um raio de 0,5m, calcule a velocidade e a aceleração 
angular das rodas, no momento em que o carro atinge 
os 100km/h.
(PUC-RS) Um objeto cai, a partir do repouso de uma25.
altura de 320m, sendo g = 10m/s2. Dividindo-se essa
altura em duas partes que devem ser percorridas em
intervalos de tempo iguais, seus valores são de:
160m e 160m.a)
140m e 180m.b)
80m e 240m.c)
60m e 260m.d)
40m e 280m.e)
(Cesgranrio) Você deixa cair, a partir do repouso, uma26.
bilha de aço de uma altura h1, e mede um tempo t1, até
ela atingir o solo. De que altura, h2, você deve deixar
cair esta bilha, também a partir do repouso para que o
tempo de queda seja 2t1?
ha) 2 = 2h1
hb) 2 = 4h1
hc) 2 = 2
1 h1
hd) 2 = 4
h1
he) 2 = 6h1
(AFA) Deixou-se cair uma pedra livremente em um poço27.
de 405m de profundidade. Supondo-se que a velocidade
do som seja de 324m/s, depois de quanto tempo se
ouvirá o choque da pedra contra o fundo? Desprezar a
resistência do ar e considerar g = 10m/s2.
(FEI-SP) Um observador vê um corpo cair e passar por28.
sua janela com velocidade de 10m/s. Um outro obser-
vador 75m abaixo vê o mesmo objeto passar por ele em
queda livre. Pergunta-se:
A velocidade do móvel ao passar pelo segundo ob-a)
servador.
O tempo que leva o corpo para ir de um a outrob)
observador.
A que distância do solo encontra-se o primeiro ob-c)
servador, sabendo-se que o móvel chega ao solo
1,0s depois de passar pelo segundo observador.
(g = 10m/s2)
(Uenf) A figura ilustra um encanamento, a uma altura29.
de 1,80m do solo, que desprende gotas de óleo em
intervalos de tempo iguais.
Foi observado que, numa sequência de três gotas 
consecutivas, a terceira gota se desprende quando a 
primeira toca o solo.
Sendo g = 10m/s2 e desprezando-se a influência do ar 
sobre as gotas, calcule:
O tempo de queda de cada gota.a)
A distância entre a 2.ª e 3.ª gota quando a primeirab)
toca o solo.
(Cesgranrio) Uma bolinha sofre uma queda livre de uma30.
altura de 8m. No mesmo instante uma segunda bolinha
é lançada verticalmente para cima. Sabendo-se que as
duas bolinhas atingem o solo ao mesmo tempo, pode-
mos afirmar que a altura máxima atingida pela segunda
bolinha é igual a:
8ma)
6mb)
4mc)
2md)
1me)
(AFA) Um balão sobe verticalmente com movimento31.
uniforme. 6 segundos após a partida o piloto abandona
uma pedra que alcança o solo 9s após a saída do ba-
lão. Determine, em metros, a altura em que a pedra foi
abandonada: (g = 10m/s2).
2a)
30b)
36c)
54d)
60e)
(Uerj) Um malabarista consegue manter cinco bolas em32.
movimento, arremessando-as para cima, uma de cada
vez, a intervalos de tempo regulares, de modo que todas
saem da mão esquerda, alcançam uma mesma altura,
igual a 2,5m, e chegam à mão direita.
Desprezando a distância entre as mãos, determine o
tempo necessário para uma bola sair de uma das mãos do
malabarista e chegar à outra, conforme o descrito acima.
(Unicamp) Uma atração que está se tornando muito33.
popular nos parques de diversão consiste em uma pla-
taforma que despenca, a partir do repouso, em queda
livre de uma altura de 75m. Quando a plataforma se
18
encontra 30m acima do solo, ela passa a ser freada 
por uma força constante e atinge o repouso quando 
chega ao solo.
Qual é o valor absoluto da aceleração da plataformaa)
durante a queda livre?
Qual é a velocidade da plataforma quando o freio éb)
acionado?
Qual é o valor da aceleração necessária para imobi-c)
lizar a plataforma?
(UFRJ) Um corpo é lançado verticalmente para cima34.
com velocidade inicial v. Calcular a distância percorrida
no último segundo da subida. (g = 10m/s2).
(Unesp) Uma experiência simples, realizada com a35.
participação de duas pessoas, permite medir o tempo
de reação de um indivíduo. Para isso, uma delas segura
uma régua de madeira de 1m de comprimento, por
uma de suas extremidades, mantendo-a pendente na
direção vertical. Em seguida pede ao colega para colocar
os dedos em torno da régua sem tocá-la, próximos da
marca correspondente a 50cm, e o instrui para agarrá-la
tão logo perceba que foi solta. Mostre como, a partir da
aceleração da gravidade g e da distância d percorrida
pela régua na queda, é possível calcular o tempo de
reação dessa pessoa.
Um corpo em queda livre a partir do repouso percorre36.
nos 3 últimos segundos de queda 25
9
 da altura total. 
Calcular o tempo de queda.
19
A1.
C2.
E3.
D4.
D5.
D6.
C7.
158. o
9.
a) rad/s
v = b) πm/s
10. 
0,5Hza)
2sb)
D11.
A12.
D13.
C14.
B15.
C16.
E17.
D18.
19.
a) rad/s
90b) πcm/s
15 voltasc)
20. 
80ma)
3 voltasb)
25m/sc) 2
D21.
D22.
20
D23.
B24.
B25.
C26.
D27.
20m28.
29.
t = 30sa)
∆b) s = 4 500m
30. 
Temos na altura máxima: Va) Y = 0 e V = Vx = 20m/s
0,8sb)
D1.
B2.
C3.
B4.
C5.
a6. 1 < a2
7.
fa) 1 = 300rpm
πb) m/s
8. 
a) rad/s
≅b) 8m/s2
0,1 r.p.sc)
9. 
3 000 voltasa)
2,5Hzb)
10. 
30, 60, 90, ...a)
180rad/sb)
54m/sc)
18 voltas/s11.
12.
horárioa)
5 000 dentes/minb)
fc) B = 50rpm
B13.
B14.
A15.
C16.
C17.
10rad/s18.a19. T = 10m/s
2; R = 0,1 3m
2rad/s20. 2
21.
2,5m/sa) 2
f b) ≅ 4Hz
E22.
23.
f a) = 2Hz (2 pedaladas/s)
1,5m/sb)
24. 
a) α ≅ 5,6rad/s2
b) ω ≅ 56rad/s
C25.
B26.
t27. T = 10,25s
28.
V = 40m/sa)
3sb)
120mc)
29. 
t = 0,6sa)
0,45mb)
D30.
B31.
232. s
33.
10m/sa) 2
v = 30m/sb)
a = –15m/sc) 2
5m34.
∆35. t = 2d
g
t = 15s36.
21
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