Flexão de Vigas - Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor

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Resistência dos Materiais II
UNIDADE 4 – FLEXÃO
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Revisão – E Q U I L Í B R I O D E E S T R U T U R A S
Pelas Equações de Equilíbrio da Estática foi possível determinar as
REAÇÕES NO APOIOS e as CARGAS INTERNAS RESULTANTES.
REAÇÕES NOS APOIOS: as forças de superfície que se
desenvolvem nos apoios ou pontos de contato entre corpos.
CARGA INTERNA RESULTANTE: através do método das
seções pode-se determinar a força resultante (Normal e Vertical)
e o momento atuante no interior do corpo, necessários para
manter o corpo unido quando submetido a cargas externas.
Introdução
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 Elementos delgados (longos e retos) que suportam carregamentos
aplicados perpendicularmente ao seu eixo longitudinal são denominados
vigas. Elas podem ser classificadas em:
Viga simplesmente apoiada
Viga em balanço
Viga apoiada com uma extremidade em balanço
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 Para projetar adequadamente uma viga, é importante conhecer a
variação do cisalhamento e do momento fletor ao longo de seu eixo, de
modo a determinar os pontos onde os valores são MÁXIMOS.
Diagrama de Esforço Cortante
Diagrama de Momento Fletor
1. Diagramas de força cortante e momento fletor
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Perpendicular ao eixo da barra
1. Diagramas de força cortante e momento fletor
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Perpendicular ao eixo da barra
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Esforço que “enverga” a barra
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Esforço que “enverga” a barra
1. Diagramas de força cortante e momento fletor
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 Com a determinação de um convenção de sinal para cisalhamento e
momentos positivos, o cisalhamento e o momento na viga podem ser
determinados em função de sua posição x, e esses valores podem ser
representados em gráficos denominados diagramas de força cortante e
momento fletor.
1. Diagramas de força cortante e momento fletor
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Exercício 1: Represente graficamente os diagramas de força cortante e
momento fletor para o eixo. Os mancais em A e B exercem somente reações
verticais no eixo.
1. Diagramas de força cortante e momento fletor
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Exercício 2: Represente graficamente os diagramas de força cortante e
momento fletor para o eixo. Os mancais em A e B exercem somente reações
verticais sobre o eixo.
1. Diagramas de força cortante e momento fletor
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Método gráfico para construir diagramas de esforço cortante e momento fletor.
Quando uma viga está sujeita à vários carregamentos diferentes, determinar V e M em função
de x e representar essas equações em gráfico pode ser bastante tedioso.
Nesses e nos demais casos pode-se então usar um método baseado em duas relações
diferenciais que existem entre carga distribuída.
1. Diagramas de força cortante e momento fletor
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Método gráfico para construir diagramas de esforço cortante e momento fletor.
Dividindo por ∆𝑥 e calculando o limite quando ∆𝑥 → 0, essas duas equações tornam-
se em:
1. Diagramas de força cortante e momento fletor
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Método gráfico para construir diagramas de esforço cortante e momento 
fletor.
𝑉(𝑥) = −𝑤 𝑥 𝑑𝑥
𝑴(𝒙) = 𝑽 𝒙 𝒅𝒙
Esforço cortante caso se 
tenha uma carga 
distribuída w(x)
Momento de Inércia 
para qualquer caso
1. Diagramas de força cortante e momento fletor
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Método gráfico para construir diagramas de esforço cortante e momento 
fletor.
Exemplos:
1. Diagramas de força cortante e momento fletor
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Exemplos:
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Exercício 3: Represente graficamente os diagramas de força cortante e
momento fletor para o suporte mostrado abaixo. Considere que as colunas em A
e B exercem somente reações verticais no suporte.
1. Diagramas de força cortante e momento fletor
1. Diagramas de força cortante e momento fletor
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Exercício 4: Expresse o esforço cortante e momento de inércia com relação a x
e represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor
para a viga mostrada abaixo.
2. Deformação por flexão de um elemento reto
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2. Deformação por flexão de um elemento reto
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2. Deformação por flexão de um elemento reto
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O eixo neutro é submetido a tensão nula e ele passa pelo centroide da
área da seção transversal quando o material é linear elástico.
2. Deformação por flexão de um elemento reto
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A deformação longitudinal varia linearmente de zero no eixo neutro a máxima 
nas fibras externas da viga. Contanto que o material seja homogêneo e a lei de 
Hooke se aplique, a tensão também varia linearmente na seção transversal.
2. Deformação por flexão de um elemento reto
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2. Deformação por flexão de um elemento reto
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Fórmula da Flexão
A fórmula da flexão baseia-se no fato de que o momento resultante na seção
transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão
normal em torno do eixo neutro.
𝜎𝑚á𝑥 = Tensão normal máxima no elemento, que ocorre em um ponto na área da seção
transversal mais afastado do eixo neutro.
M = momento fletor interno máximo.
I = momento de inércia da área da seção transversal calculada em torno do eixo neutro
(eixo por onde passa o centroide).
c = distância perpendicular do eixo neutro a um ponto mais afastado do eixo neutro onde
𝜎𝑚á𝑥 age.
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Exercício 5: A viga tem seção transversal retangular e está sujeita à um
momento interno M = 2,88 kN.m na seção transversal 60x120mm. Determine a
distribuição de tensão na viga causada por esse momento e o valor da tensão
normal máxima.
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Exercício 6: A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal
mostrada abaixo. Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e
represente a distribuição de tensão na seção transversal nessa localização.
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Exercício 6 (Resolução)
2. Deformação por flexão de um elemento reto
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Exercício 7: Se a viga for submetida a um momento de flexão de M = 75 kN.m,
determine a tensão de flexão nos pontos C e B e a distribuição de tensão na
viga causada por esse momento.
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Exercício 8: A peça de mármore, que podemos considerar como um material
linear elástico frágil, tem peso específico de 24 kN/m³ e espessura de 20 mm.
Calcule a tensão de flexão máxima na peça se ela estiver apoiada (a) em seu
lado e (b) em suas bordas. Se a tensão de ruptura for 𝜎𝑟𝑢𝑝 = 1,5 𝑀𝑃𝑎, explique
as consequências de apoiar a peça em cada uma das posições.
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Exercício 9: A alavanca de controle é usada em um cortador de grama de
empurrar. Determine a tensão de flexão máxima na seção a-a da alavanca se
uma força de 100 N for aplicada ao cabo. A alavanca é suportada por um pino
em A e um cabo em B. A seção a-a é quadrada, 6 mm por 6 mm.
2. Deformação por flexão de um elemento reto
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Exercício 10: A travessa ou longarina de suporte principal da carroceria do
caminhão está sujeitaà carga distribuída uniforme. Determine a tensão de
flexão nos pontos A e B.
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Exercício 10 (resolução)
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Exercício Proposto: Determine o momento M que deve ser aplicado à viga de
modo a criar uma tensão de compressão no ponto D igual a 𝜎𝐷 = 30 𝑀𝑃𝑎. Além
disso, trace um rascunho da distribuição de tensão que age na seção
transversal e calcule a tensão máxima desenvolvida na viga.
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Exercício Proposto (Resposta)
2. Deformação por flexão de um elemento reto
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Exercício 11: A viga tem a seção transversal retangular mostrada na figura. Se
P = 1,5 kN, determine a tensão de flexão máxima na viga. Faça um rascunho da
distribuição de tensão que age na seção transversal.
2. Deformação por flexão de um elemento reto
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Exercício 11 (Resolução)
Determinação do momento fletor
máximo pelo método gráfico 