Estatística - Aluno

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Estatística
O que é estatística?
É a ciência que coleta, organiza e interpreta dados colhidos entre um
grupo aleatório de pessoas.
A estatística, hoje, está presente em quase todas as atividades do
homem, ainda mais com o desenvolvimento das máquinas de
calcular e dos computadores, que facilitaram e agilizaram os cálculos
matemáticos.
Divisão da estatística
Estatística geral: visa elaborar métodos gerais aplicáveis a todas as 
fases do estudo dos fenômenos de massa. A estatística geral ainda
pode ser dividida em dois subgrupos:
1. Estatística descritiva: diz respeito à coleta, organização,
classificação, apresentação e descrição dos dados a serem
observados.
2. Estatística indutiva: visa tirar conclusões sobre a população a
partir de amostras. Refere-se à maneira de estabelecer conclusões
para toda uma população observando apenas parte dela.
Conceitos
População: é todo o conjunto de elementos que possuam ao menos
uma característica comum observável.
Amostra: é uma parte da população que será avaliada por um
critério comum.
Dados estatísticos: são os valores associados às variáveis de
pesquisas.
A confederação baiana resolveu um campeonato entre Bahia, Vitória,
Galícia e Juazerense, sendo realizado em um único dia, na Fonte
Nova. Se quisermos saber qual é a composição da torcida que está no
estádio, podemos desenvolver o estudo, entrevistando-os.
Estatisticamente, qual a população e a amostra da afirmação acima?
População: o conjunto de todos os torcedores que estão presente no
estádio.
Amostra: o conjunto de todos os torcedores que foram entrevistados
O MÉTODO ESTATÍSTICO
A realização de uma pesquisa deve passar, necessariamente,
pelas fases resumidas no diagrama abaixo, quando se deseja
um resultado satisfatório e preciso:
Definição do 
problema
Planejamento Coleta de dados
Crítica dos dados
Apresentação dos 
dados
Tabelas e gráficos
Análise e 
interpretação dos 
dados
Definição do problema
Saber exatamente o que se pretende pesquisar é o
mesmo que definir corretamente o problema. Portanto, a
primeira fase consiste em uma definição ou formulação correta
do problema a ser estudado.
PLANEJAMENTO
Nele se determina o procedimento necessário para resolver o
problema, como levantar informações sobre o assunto objeto do
estudo.
Nesta fase é importante a escolha das perguntas, que, na
medida do possível, devem ser fechadas. No caso de um experimento,
deve-se atentar para os objetivos que se pretende alcançar.
O levantamento de dados pode ser de dois tipos:
censitário (quando envolve toda a população)
por amostragem (quando é utilizada uma fração da população)
Outros elementos do planejamento de uma pesquisa são:
cronograma das atividades, custos envolvidos, exame das informações
disponíveis, delineamento da amostra, etc..
Coleta de dados
Consiste na busca ou compilação dos dados. Quanto
ao tempo, ela pode ser classificada em:
a) Contínua: quando realizada permanentemente.
Ex.: inflação.
b) Periódica: quando é feita em intervalos de tempo.
Ex.: censo.
c) Ocasional: quando efetuada sem época preestabelecida.
Ex.: pesquisa de mercado, pesquisa eleitoral.
CRÍTICA DOS DADOS
Objetiva a eliminação de erros capazes de provocar
futuros enganos. Faz-se uma revisão crítica dos dados,
suprimindo os valores estranhos ao levantamento.
Apresentação de dados
A organização dos dados denomina-se Série
Estatística. Sua apresentação pode ocorrer por meio de
tabelas ou gráficos.
Análise e interpretação de dados
Esta fase consiste em tirar conclusões que auxiliem o
pesquisador a resolver seu problema, descrevendo o
fenômeno através do cálculo de medidas estatísticas,
especialmente as de posição e as de dispersão.
Frequência
Frequência absoluta: chamaremos de frequência absoluta de cada
variável, ou seja, o número de vezes que essa variável aparece no
conjunto considerado e é indicado por ni.
Frequência relativa: chamaremos de frequência relativa de cada
variável, ou seja, a razão entre a sua frequência absoluta e o
número total de torcedores. Em geral, a frequência relativa é
escrita em porcentagem.
n
n
f ii 
Distribuição da frequência
Algumas coletas com muitos dados não favorecem a elaboração de
tabelas detalhadas. Nesses casos, é mais interesse agrupar os
valores em determinados intervalos de classe que apresentam a
mesma amplitude.
Em uma olimpíada estudantil, com alunos do 1º grau, foi medida a 
altura de cada um dos cinquenta participantes, encontrando-se os 
seguintes valores, em centímetros:
152 155 167 176 155 156 166 178 153 162
155 160 155 160 162 158 178 162 152 160
163 161 155 160 164 158 179 162 160 167
151 150 152 174 167 156 154 166 162 152
156 152 171 161 170 157 151 153 172 157
Primeiro: organizamos todas as medidas (dados brutos) em ordem
crescente ou decrescente. Essa relação, assim organizada, chama-
se rol.
150 152 154 155 157 160 162 163 167 174
151 152 155 156 158 160 162 164 167 176
151 152 155 156 158 160 162 166 170 178
152 153 155 156 160 161 162 166 171 178
152 153 155 157 160 161 162 167 172 179
Segundo: notamos que a menor estatura é 150 cm e a maior é 179 
cm. Assim, a variação é de 179 cm – 150 cm = 29 cm. Esse valor é 
chamado de amplitude total (H).
Terceiro: agrupamos os valores em intervalos de classe. Podemos
considerar, por exemplo, a classe de 150 (inclusive) à 154
(exclusive). Em símbolos, é denotada por 150 154. Nesse caso,
150 é o limite inferior e 154 o limite superior da classe.
A diferença entre o limite superior e o limite inferior é igual à
amplitude da classe (h).
TABELA DE CLASSES
Estatura (cm)
Freqüência simples ou 
absoluta
Freqüência relativa ou 
percentual
150 154 10 0,20 ou 20%
154 158 11 0,22 ou 22%
158 162 09 0,18 ou 18%
162 166 07 0,14 ou 14%
166 170 05 0,10 ou 10%
170 174 03 0,06 ou 6%
174 178 02 0,04 ou 4%
178 182 03 0,06 ou 6%
Total 50 100%
A matriz abaixo nos mostra as notas dos alunos de um terceiro ano de
um colégio, obtidas na prova de Matemática.
Disciplina Matemática Turma 3º ano 
Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Nota 5 4 6 8 3 5 7 6 8 4 6 9 7 5 7 5 6 8 7 9 4 6 6 8 7
Determine a frequência absoluta acumulada e a frequência relativa
acumulada.
Nota Frequência 
absoluta
Frequência 
relativa (%)
F.A.A F.R.A (%)
Os números seguintes mostram as idades de 26 funcionários
administrativos de uma firma : 26, 29, 37, 28, 25, 41, 46, 42, 39, 37,
30, 25, 51, 49, 57, 53, 33, 28, 45, 50, 37, 48, 55, 22, 28, 29. Nessas
condições, escolha um intervalo com amplitude conveniente e elabore
um quadro completo de distribuição de frequência.
Rol
TABELA DE STURGES
n Nº de classes
3 5 3
6 11 4
12 22 5
23 46 6
47 90 7
91 181 8
182 362 9
Como calcular a amplitude da classes?
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 =
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒𝑠
Como calcular a quantidade de classes?
Quadro da distribuição de frequência
n i xi F.A F.A.A F.R F.R.A
Total
1
2
3
4
5
6
Histograma
Um histograma é uma ferramenta de análise e representação de
dados quantitativos, agrupados em classes de frequência que permite
distinguir a forma, o ponto central e a variação da distribuição, além
de outros dados como amplitude e simetria na distribuição dos dados.
Numa fábrica de motores elétricos, o gerente de produção precisa
avaliar o problema de ruído excessivo do motor. Uma das possíveis
causas está associada com variações no diâmetro do eixo. Assim, o
gerente de produção mediu o diâmetro do eixo de 200 motores e o
resultadoestá apresentado na Tabela a seguir. Os valores estão em
milésimos de milímetros.
Monte a distribuição de frequências e construa o histograma
correspondente.
Diâmetro do eixo de 200 motores
4,8 4,2 5,1 5,2 4,8 4,7 4,9 4,5 4,9 4,5 4,9 5,1 4,8
4,9 4,8 5,0 5,3 4,9 5,5 5,2 5,1 4,6 4,9 4,8 5,1 4,6
4,3 4,9 4,7 5,2 4,8 4,4 5,6 5,0 5,0 5,0 4,8 5,2 4,5
5,1 4,9 4,8 4,8 5,0 4,8 5,1 5,4 4,2 5,1 4,9 4,6 5,4
4,9 4,3 4,6 4,7 4,7 5,3 4,4 4,7 4,8 5,2 4,5 5,1 4,6
5,7 4,9 5,2 4,8 4,9 4,9 4,4 4,7 4,8 5,1 5,4 5,0 4,4
5,1 4,9 4,9 5,1 5,2 4,7 4,8 4,6 5,2 5,5 5,2 4,2 4,9
4,9 4,8 4,2 5,2 5,1 4,7 5,5 4,7 4,7 4,4 4,8 4,2 5,2
5,0 5,2 4,2 4,9 5,1 4,6 5,4 4,6 4,8 5,2 5,1 4,7 5,2
4,8 5,1 4,6 4,8 5,2 4,5 4,9 4,5 5,4 4,5 4,9 4,6 4,7
4,8 4,2 5,1 5,2 4,8 4,7 4,9 4,7 4,9 4,5 4,7 5,2 5,5
4,9 5,1 4,8 4,9 4,8 5,0 5,3 4,9 5,5 5,2 5,2 4,7 4,8
5,1 4,6 4,9 4,3 4,9 4,7 5,2 4,8 4,4 5,6 4,9 4,9 4,9
5,0 5,0 5,0 5,1 4,9 4,8 4,8 5,0 4,8 5,1 5,1 4,8 5,1
5,4 4,2 5,1 4,9 4,3 4,6 4,7 4,8 5,3 4,4 4,9 4,4 4,7
5,8 4,9 5,2 4,8 4,9
TABELA DE STURGES
n Nº de classes
3 5 3
6 11 4
12 22 5
23 46 6
47 90 7
91 181 8
182 362 9
Como calcular a amplitude da classes?
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 =
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒𝑠
Como calcular a quantidade de classes?
Quadro da distribuição de frequência
n i xi F.A F.A.A F.R F.R.A
Total
1
2
3
4
5
6
7
8
Representação Gráfica
Foi feita uma Pesquisa a 400 alunos de uma escola sobre as atividades
esportivas que gostariam de ter na escola. O resultado foi o seguinte:
Atividade 
Esportiva
Nº de alunos
Freqüência 
Absoluta
Freqüencia 
relativa
Voleibol 80 20%
Basquetebol 120 30%
Futebol 160 40%
Natação 40 10%
Total 400 100%
Setores Circulares (Pizza) 
Preferência 
20%
30%
40%
10%
Volei
Basquete
futebol
natação
Colunas 
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
Voleibol Basquetebol Futebol Natação
Preferência
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45%
Voleibol
Basquetebol
Futebol
Natação
Preferência
Barras 
Medidas de Tendência Central
Média Aritmética Simples
Média Aritmética ( X ) - É o quociente da divisão da soma dos
valores da variável pelo número deles:
n
x...xx
x n21


A tabela abaixo representa a poupança bruta do Brasil, de 2006 a
2012.
Ano Poupança nacional bruta (em reais)
2006 417
2007 481
2008 569
2009 515
2010 661
2011 714
2012 650
Calcule a média da poupança nacional bruta nesse período.
Resolução com HP 12C
Um recenseador de terrenos quer calcular a relação entre a área construída
e a área do terreno de oito casas localizadas na sua vizinhança. Inicialmente
ele precisa saber a média para ambos parâmetros. Suas medidas
permitiram-lhe construir o seguinte quadro:
Área do Terreno (m2) Área Construída (m2)
12.000 3.120
10.000 2.560
11.000 2.920
14.000 3.300
9.000 2.080
10.000 2.700
13.000 3.280
12.000 3.080
Resolução com HP 12C
Média Aritmética Ponderada
Média Ponderada ( 𝑥 ): É a média aritmética, ou seja, é o
quociente da soma dos valores da amostra em partes iguais.
Em uma prova de concurso, as disciplinas têm graus de importância
distintos, ou seja, possuem pesos diferentes. A prova de matemática,
de peso 2, um candidato tirou 6 em 10 e na prova de Língua
Portuguesa, de peso 3, o mesmo candidato tirou 5, também de 10.
Qual foi a nota final desse candidato?
Resolução com HP 12C
O cálculo da média aritmética ponderada é muito importante para o
entendimento e a solução de cálculos utilizando a matemática financeira. É praxe
no comércio a condição de vendas a 30 dias. Nota-se sempre, que o preço de
venda no prazo de 30 dias é o mesmo que na condição 1+2 parcelas. Isto ocorre
porque, o prazo médio da condição 1+2 é de 30 dias, considerando que as
prestações sejam iguais. Ou seja, pagar R$ 900,00 daqui a 30 dias, equivale a
pagar uma entrada de R$ 300,oo e mais duas parcelas de R$ 300,00 em 30 e 60
dias. Como as parcelas são iguais, o prazo médio é calculado utilizando-se uma
média aritmética simples com os prazos: ( 0 + 30 + 60 ) / 3 = 30.
Por outro lado, quando se quer calcular um prazo médio e tendo-se valores
diferentes, deve-se calcular a média ponderada. Por exemplo: Uma compra a ser
paga em três parcelas: R$ 300,00 em 30 dias, R$ 250,00 em 42 dias e R$ 650,00
em 65 dias. Qual o prazo médio?
Resolução com HP 12C
O Departamento de Comércio Exterior do Banco Central possui 30
funcionários com a seguinte distribuição salarial em reais.
Quantos funcionários que recebem R$ 3 600,00 devem ser contratados para que a 
média dos salários seja de R$ 3 400,00? 
A) 8 
B) 11 
C) 9 
D) 10 
E) 4 
Média Geométrica
Esse tipo de média tem várias aplicações. É muito utilizada na área de
finanças e de engenharia. Lembrando que a média geométrica de um
conjunto é sempre menor ou igual a média aritmética, vários problemas de
desigualdades como na geometria são resolvidos através dela.
A média geométrica de um conjunto de números positivos é definida como
o produto de todos os membros do conjunto elevado ao inverso do número
de membros
Este tipo de média é calculada multiplicando-se todos os valores e
extraindo-se a raiz de índice n deste produto.
A fórmula desse tipo de média é:
n
n21 ......x.xxx 
Determine a média geométrica positiva entre os números 2, 24, 27 e
625.
Resolução com HP 12C
Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial
de 20% após um mês, 14% após dois meses e 7% após três meses.
Qual o percentual médio mensal de aumento desta categoria?
Resolução com HP 12C
Média Harmônica
A média harmônica está relacionada ao cálculo matemático das situações
envolvendo as grandezas inversamente proporcionais. Como exemplo,
temos a relação entre velocidade e tempo.
Dados os números reais não nulos x1, x2, x3, ..., xn, a média harmônica
desses números é definida por:
Calcular a média harmônica dos números 15 e 5.
(UEL-PR) Um automóvel subiu uma ladeira a uma velocidade média de
60 km/h e, em seguida, desceu a mesma ladeira à velocidade média
de 100 km/h. A velocidade média desse veículo no percurso inteiro foi
de:
A) 72 km/h.
B) 75 km/h.
C) 78 km/h.
D) 80 km/h.
E) 84 km/h.
Mediana
Mediana é o valor que ocupa a posição central em um conjunto ordenado.
Se o número de elementos do conjunto for par, a mediana será a média
aritmética dos dois valores centrais.
Moda
É o valor que apresenta maior frequência em um conjunto (aparece um
maior número de vezes).
Calcular a média aritmética, a mediana e a moda da seguinte
distribuição de notas de uma turma.
Mediana
Moda
(UFU-MG) Uma empresa seleciona 16 funcionários fumantes e promove um ciclo
de palestras com os mesmos para esclarecimentos sobre os efeitos prejudiciais
do cigarro à saúde. Após essas palestras, são coletados dados sobre a quantidade
de cigarros que cada um desses fumantes está consumindo diariamente. Tais
dados são expressos da seguinte maneira:
10, 1, 10, 11, 13, 10, 34, 13, 13, 12, 12, 11, 13, 11, 12, 12
Os dados 1 e 34 são chamados discrepantes, pois são dados muito menores ou
muito maiores que a maioria dos dados obtidos. Segundo essa coleta de dados,
pode-se afirmar que
A) os cálculos da média, da mediana e da moda não sofrem influência dos dados
discrepantes.
B) o cálculo da mediana sofre influência dos dados discrepantes que surgiram.
C) o cálculo da moda sofre influência dos dados discrepantes que surgiram.
D) o cálculo da média sofre influência dos dados discrepantes que surgiram.O Departamento de Comércio Exterior do Banco Central possui 30
funcionários com a seguinte distribuição salarial em reais.
Quantos funcionários que recebem R$ 3 600,00 devem ser demitidos para que a 
mediana desta distribuição de salários seja de R$ 2 800,00? 
A) 8 
B) 11 
C) 9 
D) 10 
(UFU-MG–2006) As 10 medidas colhidas por um cientista num determinado
experimento, todas na mesma unidade, foram as seguintes:
1,2; 1,2; 1,4; 1,5; 1,5; 2,0; 2,0; 2,0; 2,0; 2,2 
Ao trabalhar na análise estatística dos dados, o cientista esqueceu-se, por descuido,
de considerar uma dessas medidas. Dessa forma, comparando os resultados
obtidos pelo cientista em sua análise estatística com os resultados corretos para
esta amostra, podemos afirmar que
A) a moda e a média foram afetadas.
B) a moda não foi afetada, mas a média foi.
C) a moda foi afetada, mas a média não foi.
D) a moda e a média não foram afetadas.
Medidas de Dispersão
Fornecem informações a respeito da concentração dos valores
estudados em torno das medidas de tendência central.
Amplitude
É a diferença entre o maior e o menor valores de um dado
conjunto.
Desvio
É a diferença entre um valor qualquer e a média aritmética do
conjunto.
Variância
É a média aritmética dos quadrados dos desvios.
Desvio padrão
É a raiz quadrada da variância.
Sobre a distribuição dos lucros de uma empresa nos quatro primeiros
meses, representada na tabela a seguir, calcular:
a) a amplitude.
b) os desvios de cada mês.
c) a variância.
d) o desvio padrão.
A seguinte distribuição de frequências nos mostra as terras cultivadas
dos sítios e fazendas de uma determinada região, em hectare.
Nessas condições, determine:
a) a média aritmética
b) o desvio médio
c) a variância
d) o desvio padrão
a) Classe Frequência Média da Classe
2 ; 8
8 ; 14
14 ; 20
20 ; 26
26 ; 32
Resolução com HP 12C
Classes xi fi f . xi xi − 𝑥 𝑓 . xi − 𝑥 xi − 𝑥
𝟐 𝒇. xi − 𝑥
𝟐
2 ; 8
8 ; 14
14 ; 20
20 ; 26
26 ; 32
b)
c)
d)
Resolução com HP 12C
(FUVEST-SP) A distribuição dos salários de uma empresa é dada na
tabela a seguir:
a) Qual é a média e qual é a mediana dos salários dessa
empresa?
b) Suponha que sejam contratados dois novos funcionários com
salários de R$ 2 000,00 cada. A variância da nova distribuição de
salários ficará menor, igual ou maior que a anterior?