Estatistica e Probabilidade - média , mediana, moda e desvio padrão

Prévia do material em texto

Média
Em estatística a média é o valor que aponta para onde mais se concentram os dados de uma distribuição. Pode ser considerada o ponto de equilíbrio das frequências, num histograma.
Média é um valor significativo de uma lista de valores. Se todos os números da lista são os mesmos, então este número será a média dos valores. Caso contrário, um modo simples de representar os números da lista é escolher de forma aleatória algum número da lista. Contudo, a palavra ‘média’ é usualmente reservada para métodos mais sofisticados. Em último caso, a média é calculada através da combinação de valores de um conjunto de um modo específico e gerando um valor, a média do conjunto.
Média aritmética é a forma mais simples de calcular uma média, mas existem outros métodos, como a mediana (usada quando a distribuição de valores é mal organizada, com grandes e pequenos valores, como valores de rendimento).
Exemplo:
Maria teve as seguintes notas nas provas de Português: 7,5; 9; 9,5 e 10. Calcule a média das notas.
Neste caso, basta somar todos os valores e dividir o resultado pela quantidade de valores somada para encontrarmos a média. Veja abaixo:
Mediana
Em teoria da probabilidade e em estatística, a mediana é uma medida de tendência central, um número que caracteriza as observações de uma determinada variável de tal forma que este número (a mediana) de um grupo de dados ordenados separa a metade inferior da amostra, população ou distribuição de probabilidade, da metade superior. Mais concretamente, 1/2 da população terá valores inferiores ou iguais à mediana e 1/2 da população terá valores superiores ou iguais à mediana.
Outra Definição para o que é Mediana: A Mediana de um conjunto de dados é o dado que fica no meio quando as entradas são colocadas em ordem crescente. Se o conjunto de dados tiver um número par de entradas a mediana será a média entre os dois pontos que estiverem no meio do conjunto. Depois de Ordenados os valores por ordem crescente e decrescente, a mediana é: O Valor que ocupa a posição central, se a quantidade desses valores for ímpar. A Média dos dois valores centrais se a quantidade desses valores for par
A mediana pode ser calculada para um conjunto de observações ou para funções de distribuição de probabilidade.
Exemplo 1:
Marcos obteve as seguintes notas no primeiro semestre: 4, 5, 7, 4, e 7. Determine a mediana.
Antes de calcularmos a mediana da proposta, vamos organizar os valores em ordem crescente ficando da seguinte maneira: 4,4,5,7,7.
Deste modo, podemos observar que o valor central é o número 5 no qual passar a ser definido como mediana.
É importante ressaltar que quando temos uma quantidade ímpar de números, definimos a mediana como o número central dos números apresentados conforme mostrado acima. Porém quando se tem uma quantidade par de números, definimos a mediana destes são definidas da seguinte forma: Somam-se os dois números centrais e calcula-se a media entre eles.
Exemplo 2:
Calcule a mediana dos valores: 1,2,3,3,5,7,8,10,10,10
Deste modo temos os valores 5 e 7 como centrais.
 Realizando a média entre eles, encontramos a mediana 6.
Moda
Em estatística descritiva, a moda é o valor que detém o maior número de observações, ou seja, o valor ou valores mais frequentes, ou ainda “o valor que ocorre com maior freqüência num conjunto de dados, isto é, o valor mais comum”.1
O termo moda foi utilizado primeiramente em 1895 por Karl Pearson, sob influência do termo moda referindo-se ao uso popular com o significado de objeto que se está usando muito no tempo presente.
A moda não é necessariamente única, ao contrário da média ou da mediana. É especialmente útil quando os valores ou observações não são numéricos, uma vez que a média e a mediana podem não ser bem definidas.3
Bimodal: possui dois valores modais.
Amodal: não possui moda.
Multimodal: possui mais do que dois valores modais.
EXEMPLOS:
A moda de {maçã, banana, laranja, laranja, laranja, pêssego} é laranja.
A série {1, 3, 5, 5, 6, 6} apresenta duas modas (BIMODAL): 5 e 6.
A série {1, 3, 2, 5, 8, 7, 9} não apresenta moda (AMODAL).
A série {1, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7} apresenta mais do que duas modas (MULTIMODAL): 5, 6 e 7
Deve-se observar que aquilo que se expressa como “maioria” num determinado conjunto de dados não necessariamente representa o valor que seja a moda estatística.4
A referência mais antiga conhecida do conceito da moda apresenta-se no cerco no inverno de 428 a.C. dos peloponésios e beócios aos plateus e atenienses. Os sitiados, necessitando construir escadas adequadas às muralhas inimigas, fizeram com que muitas pessoas contassem as fileiras de tijolos. Com tal estratagema, ainda que houvesse um número grande de erros, um número grande de contagem seria confiável.
Desvio padrão
Em Probabilidade e Estatística, o desvio padrão é a medida mais comum da dispersão estatística (representado pelo símbolo sigma, σ). Ele mostra o quanto de variação ou “dispersão” existe em relação à média (ou valor esperado). Um baixo desvio padrão indica que os dados tendem a estar próximos da média; um desvio padrão alto indica que os dados estão espalhados por uma gama de valores.
O desvio padrão define-se como a raiz quadrada da variância. É definido desta forma de maneira a dar-nos uma medida da dispersão que:
seja um número não-negativo;
use a mesma unidade de medida dos dados fornecidos inicialmente.
Faz-se uma distinção entre o desvio padrão σ (sigma) do total de uma população ou de uma variável aleatória, e o desvio padrão de um subconjunto em amostra
Exemplo:
Cláudia obteve as seguintes notas em determinada matéria: 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Determine o desvio padrão.
Passo 1 – Calcular a média dos valores apresentados. Deste modo temos:
Passo 2 – Calcular os desvios com base na média obtida. Sendo assim, calcularemos cada nota subtraindo cada valor individual pela média calculada.
Passo 3- Cada resultado obtido devemos elevar ao quadrado e em seguida obter a media dos quadrados.
Passo 4 – Após obter-se a média dos quadrados basta extrair a sua raiz quadrada, obtendo-se assim o desvio padrão.