EAD350-Aula3-2017-2sem revisão preço sombra e an_sen(1)

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EAD 350 
 Pesquisa Operacional 
Aula 03 – Parte 1 
Revisão Preço-Sombra e 
Análise de Sensibilidade 
Profa. Adriana Backx Noronha Viana 
(Participação Prof. Cesar Alexandre de Souza) 
 
backx@usp.br 
FEA/USP 
 
Bibliografia para Estudo 
• Programação Linear 
– Solução pelo método gráfico item 3.1 Livro 
Hillier e Lieberman 
 
• Análise de Pós-Ótimo 
– Preços-Sombra e Análise de Sensibilidade 
item 4.7 Livro Hillier e Lieberman 
 
Revisão de Geometria Analítica 
• Para esse processo, considere a utilização do geogebra 
• Considere a seguinte inequação: 
X1 + X2 ≤ 4 
que em geral são as restrições apresentadas nos 
problemas de PO 
• Para construir no gráfico, consideramos a igualdade: 
X1 + X2 = 4 
Ou ainda, podemos fazer como uma função, 
colocando X1 no eixo x e X2 no eixo Y; temos: 
X2 = 4 – X1, ou ainda 
f(x) = 4 – x 
 
 
x 
f(x) 
Plotando o 
gráfico com 
GeoGebra 
Equação da Reta 
• Observe que uma função linear tem duas 
partes: 
f(x) = 4 – x 
– onde 4 é a ordenada do ponto onde cruza o 
eixo y ou f(x) 
– e o -1 (valor que está multiplicando a 
variável x) é o coeficiente angular da reta, 
ou ainda, o valor que fornece base para 
cálculo da inclinação da reta. 
Equação da Reta 
• Observe que uma função linear tem duas 
partes: 
f(x) = 4 – x 
– onde 4 é a ordenada do ponto onde cruza o 
eixo y ou f(x) 
– e o -1 (valor que está multiplicando a 
variável x) é o coeficiente angular da reta, 
ou ainda, o valor que fornece base para 
cálculo da inclinação da reta. 
O que acontece quando 
variamos esses parâmetros ?? 
Equação da Reta 
• Modificações 
no valor da 
ordenada 
(igual a 4) 
• Cria retas 
paralelas 
g(x) = 6 – x 
h(x) = 2 – x 
• Valor da 
ordenada 
aumenta, a 
reta “sobe” 
• Quando 
diminui, a reta 
“desce” 
Equação da Reta 
• Modificações no 
coeficiente angular 
da reta (igual a -1) 
• Muda a inclinação da 
reta 
g(x) = 4 – 0,5*x 
h(x) = 4 – 2*x 
• Valor coef.ang 
aumenta, a reta 
“inclina” para 
esquerda 
• Quando diminui, a 
reta “inclina” para 
direita 
• Rotaciona no ponto 4 
Análise de “Pós-Ótimo” 
• Preço-Sombra 
– Analisa até que 
ponto é interessante 
aumentar a restrição 
de um recurso 
(escasso) 
– Análises são feitas 
na ordenada (retas 
paralelas às das 
restrições) 
Preços-Sombra 
• Os valores bi (quantidades máximas de recursos) 
podem ter sido definidos a partir de valores iniciais, 
mas com possível flexibilidade 
• Parte dos valores bi então poderia ser alterada 
(aumentando o consumo de recursos) se houver 
justificativa econômica para isso 
• O preço-sombra para o recurso bi mede o valor 
marginal desse recurso, isso é, a taxa em que Z 
poderia ser aumentada elevando-se ligeiramente o 
valor de bi ii
i
b
Z
b
Z
y






Relembrando…. Aula 1 – Exemplo 1 
Wyndor Glass Co. (Hillier e Lieberman, 2010) 
Fábrica 1 2
1 1 0 4
2 0 2 12
3 3 2 18
Lucro Por Lote 
(US$ 1.000) 3 5
Produto
Tempo de Produção 
(horas)
Tempo de 
Produção 
Disponível 
por SemanaModelo Matemático 
 
Função Objetivo 
 
Max Z (lucro)= 3X1 + 5X2 
 
 
Sujeito à (restrições): 
 
1X1 + 0X2 <= 4 
0X1 + 2X2 <= 12 
3X1 + 2X2 < =18 
X1, X2 >= 0 
 
X1 – número de lotes do produto 1 produzido 
semanalmente (porta de vidro com esquadria de 
alumínio) 
X2 – número de lotes do produto 2 produzido 
semanalmente (janela com esquadria de madeira 
         










 
 
41 X
122 2 X
X2 
Preço Sombra: O preço sombra deve ser 
analisado considerando-se uma 
restrição limitante por vez, e: 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(Fábrica 1) 
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
36Z
C (2;6) 
i
i
b
Z
y



         










 
 
122 2 X
X2 
X1 
A 
B C 
D 
E 
(b2=12) 36Z
C 
?´Z
C´ (?;?) B´ 
132 2 X
(b2'=13) 
Preço Sombra: O preço sombra deve ser 
analisado considerando-se uma 
restrição limitante por vez, e: 
i
i
b
Z
y



Resolvendo para C´: 
0X1 + 2X2 = 13 
3X1 + 2X2 =18 
2X2 = 13  X2 = 13/2 
3X1 + 2(6,5) =18  
X1 = (18-13)/3 = 5/3 
Z´ = 3X1 + 5X2 = 3.(5/3)+5.(13/2)=37,5 2
2
b
Z
y



C´ (5/3;6,5) 
B´ 
5,1
1213
365,37
2
2 






b
Z
y
         










 
 
1923 21  XX
(b´3=19) 
X2 
Preço Sombra: O preço sombra deve ser 
analisado considerando-se uma 
restrição limitante por vez, e: 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(b3=18) 
36Z
C 
i
i
b
Z
y



D´ 
C´ (?;?) 
?Z
Resolvendo para C´: 
0X1 + 2X2 = 12 
3X1 + 2X2 =19 
2X2 = 12  X2 = 6 
3X1 + 2(6) =19  
X1 = (19-12)/3 = 7/3 
Z´ = 3X1 + 5X2 = 3.(7/3)+5.(6)=37 
1
1819
3637
3
3 






b
Z
y
Preço-Sombra: Resumo 
Descrição Restrições 
Solução ótima (2, 6) 
Z = 36 
Fábrica 2 
Fábrica 3 
Aumentando uma unidade de 
recurso na fábrica 2 
Nova solução ótima: (5/3, 6,5) 
Z = 37,5 
 
Fábrica 2 
Fábrica 3 
Aumentando uma unidade de 
recurso na fábrica 3 
Nova solução ótima: (7/3, 6) 
Z = 37 
Fábrica 2 
Fábrica 3 
 
 
 
122 2 X
1823 21  XX
132 2 X
1823 21  XX
5,1
1213
365,37
2
2 






b
Z
y
122 2 X
1923 21  XX
1
1819
3637
3
3 






b
Z
y
Acrescentar uma hora de tempo de produção por semana na Fábrica 2 
para esses dois produtos novos incrementaria o lucro total em U$1500 
por semana. 
Análise de Sensibilidade da P.O. 
• Trata-se de verificar se variações nos valores dos 
parâmetros ci podem modificar a solução ótima 
• Para essa análise utilizando o gráfico, considere 
que duas retas são paralelas se elas tiverem o 
mesmo coeficiente angular 
• No caso da Reta Z, reescrevendo em função de X2, 
o coeficiente angular é: 
 
21 53 XXZ 
1
2
1
2
2 X
c
c
c
Z
X 
2
1
c
c

2211 XcXcZ 
No nosso exemplo 
12
5
3
5
X
Z
X 
Plotando no gráfico a função 
Diminuindo o coeficiente angular 
Reta gira no sentido 
horário 
Rotaciona em Oy 
Diminuindo o coeficiente angular 
Para deslocar 
para o ponto 
ótimo (2,6) 
Diminuindo o coeficiente angular 
Aumentando o coeficiente angular 
Reta gira no sentido 
anti-horário 
Rotaciona em Oy 
Retornando a reta para o ponto 
ótimo (2,6) 
Para deslocar 
para o ponto 
ótimo (2,6) 
Aumentando o coeficiente angular 
Relembrando…. Aula 1 – Exemplo 1 
Wyndor Glass Co. (Hillier e Lieberman, 2010) 
Fábrica 1 2
1 1 0 4
2 0 2 12
3 3 2 18
Lucro Por Lote 
(US$ 1.000) 3 5
Produto
Tempo de Produção 
(horas)
Tempo de 
Produção 
Disponível 
por SemanaModelo Matemático 
 
Função Objetivo 
 
Max Z (lucro)= 3X1 + 5X2 
 
 
Sujeito à (restrições): 
 
1X1 + 0X2 <= 4 
0X1 + 2X2 <= 12 
3X1 + 2X2 < =18 
X1, X2 >= 0 
 Vamor aplicar a 
Análise de sensibilidade 
         










 
 
X2 
Análise de Sensibilidade 
da PO: 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
122 2 X
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
C (2;6) 
Verificam-se os limites de “rotação” para a 
reta Z, considerando as retas limite e 
variando os parâmetros ci um de cada vez 
36Z
         









 
 
X2 
Análise de Sensibilidade 
da PO: 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
122 2 X
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
C (2;6) 
Verificam-se os limites de “rotação” para a 
reta Z, considerando as retas limite e 
variando os parâmetros ci um de cada vez 
36Z
Observar que os limites de 
rotação são as retas de recurso 
da Fábrica 2 (rotação anti-
horário) e Fábrica 3 (rotação 
horário) 
         










 
 
X2 
Análise de Sensibilidade 
da PO: 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(Fábrica 3) 
C (2;6) 
12
2
3
2
18
XX 
a) “Girando” no sentido horário, a 
reta limite será a da Fábrica 3 
Ou seja, o coef. Angular é -3/2 
No limite, teremos as duas retas (Z e 
fábrica 3) praticamente paralelas e 
os coef. angulares muito próximos 
2
3
2
1 
c
c
36Z
12
5
3
5
X
Z
X 
Ou seja, o coef. 
Angular é: -3/5 
 
 ou 
2
1
c
c
 Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros ci um de cada vez 
Variando um ci de cada vez, 
ou seja, c1 = 3 e c2 =5 na 
desigualdade acima 
teremos os valores de ci 
Calculando…. 
         










 
 
X2 
Análise de Sensibilidade 
da PO: 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(Fábrica 3) 
C (2;6) 
12
2
3
2
18
XX 
a) “Girando” no sentido horário, a 
reta limite será a da Fábrica 3 
Ou seja, o coef. Angular é -3/2 
No limite, teremos as duas retas (Z e 
fábrica 3) praticamente paralelas e 
os coef. angulares muito próximos 
2
3
2
1 
c
c
36Z
12
5
3
5
X
Z
X 
Ou seja, o coef. 
Angular é: -3/5 
 
 ou 
2
1
c
c
 Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e 
variando os parametros ci um de cada vez 
Segue-se que: 2
15
1 c
22 c
e 
         










 
 
X2 
Análise de Sensibilidade 
da PO: 
X1 
A 
B C 
D 
E 
122 2 X
(Fábrica 2) 
C (2;6) 
b) “Girando” agora no sentido 
anti-horário, a reta limite será a 
da Fábrica 2 
Verificam-se os limites de “rotação” para a 
reta Z, considerando as retas limite e 
variando os parametros ci um de cada vez 12
5
3
5
X
Z
X 
Ou seja, o coef. 
Angular é: -3/5 
 
 ou 
2
1
c
c

         










 
 
X2 
Análise de Sensibilidade 
da PO: 
X1 
A 
B C 
D 
E 
C (2;6) 
b) “Girando” agora no sentido 
anti-horário, a reta limite será a 
da Fábrica 2 12
0
2
12
XX 
Ou seja, o coef. Angular é 0 
No limite, teremos as duas retas (Z 
e fáb. 2) paralelas e os coeficientes 
angulares muito próximos 
0
2
1 
c
c
122 2 X
(Fábrica 2) 
Segue-se que: 
01 c 02 c
e 
12
5
3
5
X
Z
X 
Ou seja, o coef. 
Angular é: -3/5 
 
 ou 
2
1
c
c
 Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e 
variando os parametros ci um de cada vez 
Calculando…. 
         










 
 
X2 
Análise de Sensibilidade 
da PO: 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
122 2 X
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
C (2;6) 
Sintetizando os limites da 
análise de sensibilidade: 
A solução permanece 
inalterada enquanto 
2
15
0 1  c
22 c
e 
12
5
3
5
X
Z
X 
Ou seja, o coef. 
Angular é: -3/5 
 
 ou 
2
1
c
c

Análise de Sensibilidade: Resumo 
Descrição Restrições Coeficientes 
Solução ótima (2, 6) 
Z = 36 
Fábrica 2 
Fábrica 3 
Z = 3X1 + 5X2 
 
 
Rotacionando a reta 
no sentido horário 
A reta limite será a restrição 
da Fábrica 3 
 
Rotacionando a reta 
no sentido anti-
horário 
A reta limite será a restrição 
da Fábrica 2 
 
 
 
 
 
 
122 2 X
1823 21  XX
A solução ótima continuará no ponto (2,6), desde que sejam 
considerados os limites acima. O valor de Z poderá modificar. 
2
15
1 c
22 c
Veja a planilha em Excel para visualizar as modificações 
2
15
0 1  c
22 c
Aula 1 – Enunciado 1 
• Um fabricante deseja maximizar a receita bruta de vendas de 
ligas de metal. A tabela abaixo ilustra o consumo de matéria 
prima por unidade de liga, seus preços de venda e as 
disponibilidades de matéria-prima. 
 Itens / 
Atividades 
Liga Tipo A LigaTipo B Matéria-prima 
disponível 
Cobre 2 1 16 
Zinco 1 2 11 
Chumbo 1 3 15 
Proço unitário de 
venda 
R$30,00 R$50,00 
 A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema 
 B) Resolva o problema pelo método gráfico. 
Análise pós-Otimo – Aula 1 En 1 
 Função Objetivo 
 Max R = 30x1 + 50x2 
 Restrições 
 2x1 + x2 < 16 Cobre 
 x1 + 2x2 < 11 Zinco 
 x1 + 3x2 < 15 Chumbo 
 x1, x2 > 0 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 
x2 
x1 
F 
G 
Z = 30x1 + 50x2 
Z = 310 
O ponto D (7; 2) é o ponto de máximo. 
As coordenadas (x1=7; x2=2) podem ser 
verificadas graficamente 
Ou, podem ser obtidas a partir da 
solução do par de equações das retas 
limites das restrições de Cobre e Zinco: 
 x1 + 2x2 = 11 (Zn) 
 2x1 + x2 = 16 (Cu) 
 
 
 
 
 
Solução Gráfica – Aula 1 En 1 
Preço Sombra – Aula 1 En 1 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 
x2 
x1 
F 
G 
(Cu) 162
(Zn) 112
21
21


xx
xx
Preço Sombra – Aula 1 En 1 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 
x2 
x1 
F 
G 
(Cu) 162
(Zn) 112
21
21


xx
xx
Restrição Zinco 
Preço Sombra – Aula 1 En 1 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 
x2 
x1 
F 
G 
(Cu) 162
(Zn) 122
21
21


xx
xx
Restrição Zinco 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
Restrição Cobre 
G 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 
Preço Sombra – Aula 1 En 1 
(Cu) 162
(Zn) 112
21
21


xx
xx
Zinco: x1 + 2x2 < 11 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
Restrição Cobre 
G 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 
Preço Sombra – Aula 1 En 1 
(Cu) 172
(Zn) 112
21
21


xx
xx
Zinco: x1 + 2x2 < 11 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
G 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 
Preço Sombra – 
Limites de Validade 
da Análise 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
G 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 
Preço Sombra – 
Limites de Validade 
da Análise 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
G 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 
D´ 
Preço Sombra – 
Limites de Validade 
da Análise 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
G 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 
D´ 
Preço Sombra – 
Limites de Validade 
da Análise 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1F 
G 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 
D´ 
Preço Sombra – 
Limites de Validade 
da Análise 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
G 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 
D´ 
0;11
0 
112
21
2
21



xx
x
xx
No ponto G: 
Preço Sombra – 
Limites de Validade 
da Análise 
(Cobre) 22
2201122
1
21


b
xx
Substituindo os valores na 
restrição do Cobre: 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
G 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 
D´ 
Preço Sombra – 
Limites de Validade 
da Análise 
4;3
153
112
21
21
21



xx
xx
xx
No ponto C: 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 
(Cobre) 10
104322
1
21


b
xx
Substituindo os valores na 
restrição do Cobre: 
5 
10 
15 
5 10 15 
A 
B 
C 
D 
E 
x2 
x1 
F 
G 
Cobre: 2x1 + x2 < 16 
D´ 
Preço Sombra – 
Limites de Validade 
da Análise 
2210 1  b
Sintetizando, o intervalo 
para o parâmetro b1 para o 
qual o preço sombra do 
Cobre identificado pode ser 
considerado é: 
Chumbo: x1 + 3x2 < 15 
Zinco: x1 + 2x2 < 11 
         










 
 
X2 
Análise de Sensibilidade da PO: 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D (4,3) 
E 
122 2 X
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
C (2;6) 
36Z
Z = 3X1 + 5X2 
X2 = Z/5 -3/5 X1 
C1=3 ; C2 = 5 
         










 
 
X2 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
E 
122 2 X
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
C (2;6) 
51Z
Z = 9X1 + 5X2 
X2 = Z/5 -9/5 X1 
C1=9 ; C2 = 5 
D (4,3) 
Imaginando uma 
situação em que 
C1 tivesse outro 
valor: 
A pergunta da Análise de 
sensibilidade é então: quais 
os limites para o valor de C1 
(e C2) que ainda manteriam a 
mesma solução (X1=2; X2=6) 
Análise de Sensibilidade da PO: 
         










 
 
X2 
Análise de Sensibilidade 
da PO: 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(Fábrica 3) 
C (2;6) 
12
2
3
2
18
XX 
a) “Girando” no sentido horário, a 
reta limite será a da Fábrica 3 
Ou seja, o coef. Angular é -3/2 
No limite, teremos as duas retas (Z e 
fábrica 3) praticamente paralelas e 
os coef. angulares muito próximos 
2
3
2
1 
c
c
12
5
3
5
X
Z
X 
Ou seja, o coef. 
Angular é: -3/5 
 
 ou 
2
1
c
c

122 2 X
(Fábrica 2) 
Verificam-se os limites de “rotação” para a 
reta Z, considerando as retas limite e 
variando os parametros ci um de cada vez 
Segue-se que: 
2
15
1 c
22 c
e 
         










 
 
X2 
Análise de Sensibilidade 
da PO: 
X1 
A 
B C 
D 
E 
122 2 X
(Fábrica 2) 
1823 21  XX
(Fábrica 3) 
C (2;6) 
b) “Girando” agora no sentido 
anti-horário, a reta limite será a 
da Fábrica 2 
Verificam-se os limites de “rotação” para a 
reta Z, considerando as retas limite e 
variando os parametros ci um de cada vez 
12
5
3
5
X
Z
X 
Ou seja, o coef. 
Angular é: -3/5 
 
 ou 
2
1
c
c

         










 
 
X2 
Análise de Sensibilidade 
da PO: 
X1 
A 
B C 
D 
E 
C (2;6) 
b) “Girando” agora no sentido 
anti-horário, a reta limite será a 
da Fábrica 2 
12 0
2
12
XX 
Ou seja, o coef. Angular é 0 
No limite, teremos as duas retas (Z 
e fáb. 2) paralelas e os coeficientes 
angulares muito próximos 
0
2
1 
c
c
122 2 X
(Fábrica 2) 
Segue-se que: 
01 c
02 c
e 
12
5
3
5
X
Z
X 
Ou seja, o coef. 
Angular é: -3/5 
 
 ou 
2
1
c
c

Verificam-se os limites de “rotação” para a 
reta Z, considerando as retas limite e 
variando os parametros ci um de cada vez 
1823 21  XX
(Fábrica 3) 
         










 
 
X2 
Análise de Sensibilidade 
da PO: 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
122 2 X
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
C (2;6) 
Sintetizando os limites da 
análise de sensibilidade: 
A solução permanece 
inalterada enquanto 
2
15
0 1  c
22 c
e