Anotações Ronai Aula 03-IFC1-2015-1

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Capítulo 1
Tratamento matemático de medidas
No curso de física e em algum momento vamos fazer algumas medidas que en-
volvem as dimensões físicas: comprimento [L], massa [M ] e tempo [T ]. A quanti-
dade física, isto é, o valor medido provavelmente tem alguma imprecisão seja ela
sistemática ou aleatória, no mínimo. O método de medida, o aparelho de medida
(régua, balança e relógio), o número de medidas são fatores que interferem no
resultado da quantidade física. Esse é um material para consulta em caso de
dúvidas.
1.1 A apresentação de uma medida
O resultado de uma medida (M ) associada a alguma grandeza física (desloca-
mento, velocidade, aceleração, etc. ) é apresentada como
M = (m±∆m)u. (1.1)
onde m é a quantidade física, ∆m a confiabilidade da medida, isto é, o erro
provável da medidae u é a unidade padrão de uma dada dimensão física (m, m/s,
m/s2, etc.).
Uma medida pode ser feita direta ou indiretamente. Como exemplo, a medida
de uma massa desconhecida mx comparada com uma massa padrão mp em uma
balança de pratos, o resultado dessa comparação é uma medida direta da massa
mx. Porque fazemos uma comparação direta de um valor desconhecido com um
valor padrão conhecido de mesma dimensão. Por outro lado, se em vez da balança
de pratos, utilizarmos uma mola para medir a massa de mx, o resultado será uma
medida indireta. Isto porque não estamos comparando mesmas dimensões. Esta-
mos, na verdade, associando a variação do comprimento da mola com a unidade
de massa padrão. Obviamente, a mola foi calibrada com alguma massa padrão.
1
2 CAPÍTULO 1. TRATAMENTO MATEMÁTICO DE MEDIDAS
1.2 Algarismos significativos
A figura 1, apresenta, ao lado de uma barra, uma régua cuja menor divisão é de 1
cm, ou seja, uma régua graduada em centímetros.
O comprimento da barra está compreendido entre 4 e 5 cm. Qual o algar-
ismo que viria depois do número 4? Dependendo do experimentador, este poderia
avaliar o próximo número como sendo o 7, por exemplo. O resultado seria, para
esse avaliador, L = 4, 7 cm. Outro experimentador poderia ter avaliado o 8. As-
sim, o resultado seria, L = 4, 8 cm. Esse número é estimado e o chamamos
de algarismo duvidoso. Ninguém, poderia estimar, nesse instrumento o valor
L = 4, 78 cm porque o número 8 está além do número duvidoso ou além de um
décimo da escala do instrumento (um décimo do centímetro = 1/10 cm = 0,1 cm).
A regra geral é que se deve apresentar a medida com apenas os algarismos
de que se tem certeza mais um único algarismo duvidoso. Esses algarismos são
denominados algarismos significativos da medida.
A figura 2, apresenta, ao lado da mesma barra da figura 1, uma régua cuja
menor divisão é de 1 mm, ou seja, a régua tem uma graduação em milímetros.
Neste caso, a medida direta deve ser L = 4, 77 cm. Temos três algarismos signi-
ficativos como o resultado de uma medida exata (algarismos corretos) com de uma
medida duvidosa (algarismo duvidoso). Ninguém, poderia estimar, nesse instru-
mento o valor L = 4, 778 cm porque o número 8 está além do número duvidoso
ou além de um décimo da escala do instrumento (um décimo do milímetro = 1/10
mm = 0,1 mm).
1.3 Notação exponencial
Para representar números muito grandes ou pequenos devemos empregar a no-
tação exponencial (ou notação científica, em algumas literaturas). Para escrever
um resultado em notação exponencial, o número antes da vírgula não pode ser
1.4. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO 3
menor que 1 (um) nem maior que 9 (nove). Exemplos:
• 3,0 m = (3,0 × 102) cm = (3,0 × 103) mm;
• 5,000 0 m = (5,000 0 × 102) cm; = (5,000 0 × 103) cm;
• 0,000 000 000 91 m = (9,1 × 10−10) m
1.4 Critérios de arredondamento
Quando efetua-se alguma operação matemática com grandezas expressas com
diferentes números de algarismos significativos, é necessário exprimir os resul-
tados segundo a norma de que o número obtido pode ter apenas um algarismo
duvidoso. Assim sendo, é preciso arredondar o resultado obtido no primeiro al-
garismo duvidoso. Os critérios são:
1- Se os algarismos que vierem após o primeiro algarismo duvidoso formarem
números superiores a 5, 50, 500, etc., aumenta-se de uma unidade o primeiro
algarismo duvidoso e desprezam-se os demais:
• 787,672 cm3⇒ 787,7 cm3.
• 24,9287 cm⇒ 24,93 cm.
• 0,002 615 cm2⇒ 0,002 62 cm2.
2- Se os algarismos que vierem após o primeiro algarismo duvidoso formarem
números inferiores a 5, 50, 500, etc., os algarismos significativos que restam
não se modificam:
• 761,05 cm⇒ 761 cm.
• 0,093 1 cm⇒ 0,09 cm.
• 6,930 5 cm⇒ 6,9 cm.
3- Se os algarismos que vierem após o primeiro algarismo duvidoso formarem
números iguais a 5, 50, 500, etc., faz-se com que o número fique par (caso
o último algarismo que fica seja ímpar, soma-se a ele uma unidade para
torná-lo par):
• 2,735 00 cm⇒ 2,74 cm.
• 0,075 5 cm⇒ 0,076 cm.
4 CAPÍTULO 1. TRATAMENTO MATEMÁTICO DE MEDIDAS
• 539,50 cm⇒ 540 cm.
• 45, 185 cm⇒ 45,18 cm.
1.5 Operações com algarismos significativos
A operação com algarismos significativos é dificultada devido a necessidade de
medir várias grandezas físicas iguais ou diferentes, com aparelhos de classes de
precisão diferentes, e reuni-las através de uma equação matemática de forma a
obter o valor da grandeza procurada. Vamos ver alguns critérios para as quatro
operações matemáticas fundamentais:
1- Adição e Subtração
• Arredonda-se a soma na casa decimal da parcela mais pobre em decimais,
após efetuar a operação:
• 27,8 cm+ 1,326 cm + 0,66 cm = 29,786 cm = 29,79 cm.
• 127,36 cm - 68,297 cm = 59,063 cm = 59,06 cm
2- Multiplicação e Divisão
• O produto de duas ou mais medidas deve possuir, em geral, o mesmo número
de algarismos significativos da medida mais pobre em algarismos significa-
tivos:
• 3,27251 cm x 1,32 cm = 4,3197132 cm2 = 4,32 cm2.
• 63,72 cm / (23,1 s) = 2,758441558 cm/s = 2,76 cm/s
3- Radiciação, potenciação, logaritmação, etc.
• Efetua-se a operação e mantém-se o número de algarismos significativos da
grandeza operada.
• √29, 69 cm2 = 5,44885 cm = 5,449 cm
• (8,75 cm)2 = 76,6625 cm2 = 76,6 cm2
• log (62,874) = 1,798471091 = 1,7985
1.6. ERROS DE UMA MEDIDA 5
1.6 Erros de uma medida
Vamos voltar para a apresentação de uma medida dada pela equação (1.1).
M = (m±∆m)u. (1.2)
O erro da medida ∆m não é simples de ser obtido. A maior dificuldade reside
no fato de que no processo de medida há uma combinação de inúmeros fatores
que incluem, de forma decisiva, no seu resultado. Uma vez que é impossível
a determinação de como cada fator influi no processo, o erro "real"da medida
permanece desconhecido, sendo possível somente uma estimativa do erro máximo
aceitável para o processo em questão. Os erros podem ser:
• Escala: é o máximo erro aceitável cometido pelo operador devido ao limite
de resolução da escala do instrumento de medida. Os exemplos das réguas
em centímetro e milímetro já mostrados.
• Sistemático: é aquele que, sem praticamente variar durante a medida, entra
de igual modo em cada resultado desta, fazendo com que seu valor se afaste
do valor real em um sentido definido. O erro sistemático é o que aparece
seguindo alguma regra definida; descoberta sua origem, é possível eliminá-
lo. Por exemplo, um relógio que marca sempre 5 s em excesso a cada 2 min
de medida.
• Aleatório: é aquele que decorre de perturbações estatísticas imprevisíveis,
acontecendo, portanto, em qualquer sentido. Os erros aleatórios não seguem
qualquer regra definida. Assim sendo, não se pode evitá-los
O erro máximo (E) de uma medida, também chamado de desvio da medida
∆m é a soma de todos os erros, ou seja,
∆mt = Esistematico + Ealeatorio + Eescala (1.3)
Em alguma medida alguns desses erros podem ser ignorado quando for muito
menor que o outro. Isto é, um dos tipos de erro predomina sobre os demais. É
usual, assumir como desvio o erro predominante.
1.7 Cáculo do erro
A análise dos erros aleatóriosé possível utilizando-se um tratamento estatístico.
Vamos abordar apenas alguns deles e deixaremos a teoria dos erros para o curso
de Estatística:
6 CAPÍTULO 1. TRATAMENTO MATEMÁTICO DE MEDIDAS
• O valor mais provável
É média aritmética das diversas medidas da grandeza, sendo representada
por x :
x =
1
n
n∑
i=1
xi . (1.4)
• O desvio da média
É a diferença entre o valor de uma medida individual (xi) da grandeza e seu
valor mais provável (x), sendo representado por
∆xi = xi − x . (1.5)
• O desvio padrão
É um dos fatores utilizados pela estatística para indicar a tendência das me-
didas de se distribuírem em torno do seu valor mais provável. Pode ser
obtido matematicamente através da expressão:
σ =
√∑
(∆xi)2
n− 1 . (1.6)
onde n é o número de medidas.
• O desvio padrão da média
Tendo-se M conjuntos de n medidas de uma grandeza, obtém-se, para cada
conjunto, uma média m. O desvio padrão da média, σm, é um dos indi-
cadores da tendência do conjunto de M médias m se distribuir em torno do
seu valor médio. A expressão é
σm =
√∑
(∆xi)2
n(n− 1) . (1.7)
onde n é o número de medidas.
Daí, o erro aleatório Ealeatorio da equação (1.3), nesse curso, será numerica-
mente igual ao desvio padrão da média, σm. Como exemplo, o conjunto de dados
de tempo (em segundos) de uma medida feita com um mesmo cronometro com
precisão de 4 algarismos significativos.
Dados [s]:
1.8. ERRO DE ESCALA 7
• 1,326; 1,338; 1,326; 1,308; 1,322; 1,334; 1,344; 1,314; 1,322; 1,316.
• O valor mais provável:
T =
1
n
10∑
i=1
Ti = 1, 325 s . (1.8)
• O desvio padrão da média:
σm =
√ ∑
(∆Ti)2
10(10− 1) =
√
1122× 10−6
90
= 3, 530816× 10−3 s . (1.9)
Daí, o erro aleatório é Ea = ∆T = 3, 530816 × 10−3 s. O resultado para as
medidas deve ser escrito de acordo com a teoria de erros, ou seja,
T = (T ±∆T ) s. (1.10)
ou
T = (1, 325± 0, 004) s. (1.11)
onde arredodamos o erro aleatório para um algarismo significativo apenas, uma
vez que o erro de uma medida indica a posição do algarismo duvidoso dessa me-
dida.
1.8 Erro de escala
Cada medida realizada com um instrumento deve ser apresentada como
M = (m±∆m)u (1.12)
como já sabemos. O valor ∆m, nesse caso, é o erro de escala. Os instrumentos
podem ser analógicos e não analógicos. No primeiro caso, o algarismo duvidoso
é avaliado. No último caso, o algarismo duvidoso é lido.
O erro de escala Eescala em instrumentos analógicos é determinado através da
expressão que fornece o máximo erro possível
Eescala = ±menor divisao de escala
2
= ±MDE
2
(1.13)
Visto que o erro em uma medida define a posição do algarismo duvidoso desta,
qualquer erro, deve ter, necessariamente, apenas um algarismo significativo.
Exemplos:
8 CAPÍTULO 1. TRATAMENTO MATEMÁTICO DE MEDIDAS
1) Em um termômetro graduado em divisões de 1o C, o erro de escala será 0, 5o
C. Assim, qualquer leitura será da forma,
t = 36, 5± 0, 5 o C.
2) Seja um instrumento qualquer que tenha como menor divisão de escala o
número 0,0005. Possíveis estimativas de uma medida seriam então 0,875;
0,874; 0,879. A discordância está no algarismo duvidoso. O erro de escala
será Eesc = ±0, 00025 onde neste caso devemos arredondar para Eesc =
0, 0002; por outro lado, o que se pode determinar é o máximo erro cometido.
Deve-se arredondar o valor inicialmente obtido para cima, isto é, Eesc =
±0, 0003. Daí,
ρ = (0, 874± 0, 003)u
O erro de escala em instrumentos não analógicos, o erro de escala é dado pela
expressão: Eesc = ±MDE. Isto é, o erro é a menor divisão da escala.
Exemplos:
1) Uma balança digital cuja MDE é 0,01g. Um valor lido seria
m = (149, 19± 0, 01) g
1.9 Erro relativo
O erro relativo percentual é dado por
E% =
∣∣∣∣x− xx
∣∣∣∣× 100 (1.14)
onde x é o valor medido e x é o valor de referência.
1.10 Propagação de erros
Tem-se as quantidades:
x = x±∆x
e
y = y ±∆y ,
queremos encontrar os desvios das novas quantidades:
S = x+ y;
1.11. APÊNDICE 9
D = x− y;
P = xy;
Q = x/y .
De modo geral, para a soma ou subtração com erro explícito:
S =
n∑
i
Si ±
√√√√ n∑
i
(∆xi)2 (1.15)
Exemplo:
S = (2, 352±0, 015)+(−1, 345±0, 013)+(0, 322±0, 016)+(2, 357±0, 011),
temos
S = 3, 686± 0, 028 .
Para a multiplicação (P) e divisão (Q), teremos:
M = P (1± ∆P
P
) (1.16)
onde
∆P
P
= ±
√(
∆x
x
)2
+
(
∆y
y
)2
.
Exemplo:
M = (2, 352± 0, 015)× (−1, 345± 0, 013)/(0, 322± 0, 016)
temos
M = −9, 82± 0, 05 .
1.11 Apêndice
Para medir uma grandeza, podemos fazer apenas uma ou várias medidas repetidas,
dependendo das condições experimentais particulares ou ainda da postura adotada
diante do experimento. Em qualquer caso, deve-se extrair do processo de medida
um valor que melhor represente a grandeza e, ainda, um limite de erro, dentro do
qual deve estar compreendido o valor real.
Se x1, x2, ·xn são os valores de uma série de n medidas de uma grandeza, o
valor mais provável da grandeza medida é dado pela média aritmética ou valor
médio do conjunto de medidas, ou seja,
x =
x1 + x2 + ·+ xn
n
=
1
n
n∑
i=1
xi . (1.17)
10 CAPÍTULO 1. TRATAMENTO MATEMÁTICO DE MEDIDAS
O desvio absoluto de cada medida ou erro da medida é definido como o módulo
da diferença entre a medida considerada e o valor médio da grandeza,
∆xi = |xi − x| . (1.18)
O desvio relativo de cada medida é definido como ∆xi/xi. Muitas vezes, o
desvio relativo é apresentado como desvio relativo percentual, ou seja (∆xi/xi.100%).
O desvio médio absoluto do conjunto de n medidas de uma grandeza é a
média aritmética do módulo dos desvios absolutos de cada medida, que se calcula
pela equação (1.18):
∆x =
1
n
|
n∑
i=1
∆xi| (1.19)
Utilizando-se as equações (1.17) e (1.18), pode-se concluir que:
a) A soma dos desvios absolutos de cada medida é nula, de fato,∑
∆xi =
n∑
1
(xi − x) =
n∑
1
xi −
n∑
1
x = nx− nx = 0 . (1.20)
b) A soma dos quadrados dos desvios é um mínimo com relação ao valor mé-
dio, ou seja, se
S =
n∑
1
(∆xi)
2 =
n∑
1
(xi − x)2 = nx2 − 2x
n∑
1
xi +
n∑
1
x2i ,
então
dS
dx
= 2nx− 2
n∑
1
xi = 0 .
Como
d2S
dx2
= 2n > 0 ,
conclui-se que S é um mínimo com relação a x.
Define-se o erro médio quadrático ou desvio médio quadrático como:
m = ±
√
1
n
[(∆x1)2 + (∆x2)2 + · · ·+ (∆xn)2] = ±
√√√√ 1
n
n∑
i=1
(xi − x)2 . (1.21)
Essa grandeza indica simplesmente como um conjunto de n valores desvia-se de
sua média. Um segundo conjunto de n medidas geralmente não fornecerá um
valor médio idêntico ao primeiro nem um conjunto idêntico de desvios.
1.11. APÊNDICE 11
Utilizando a equação (1.20) e definindo
1
n
(x21 + x
2
2 + ·+ x2n) = x2 ,
a equação (1.21) se reduz a
m = ±
√
x2 − x2 . (1.22)
Logo,m é independente do número de medidas, sempre que este não for muito
reduzido (o número de medidas n é elevado). Se x é o verdadeiro valor da
grandeza que estamos medindo, denominamos erro verdadeiro da grandeza a
diferença δxi = xi − x e erro absoluto do valor médio a diferença σx = x− x.
Combinando a equação (1.18) e δxi, encontramos ∆xi = δxi − σx. Portanto,
considerando a equação (1.20) concluímos que:
n∑
i
δxi = nσx .
logo,
n2σ2x = (
∑
δxi)
2 =
∑
i
(δxi)
2 . (1.23)
Da equação (1.21) tem-se
m2 =
1
n
∑
i
(xi − x)2 = 1
n
∑
i
(δxi)
2 − σ2x . (1.24)
Das equações (1.23) e (1.24), encontramos o desvio padrão da medida do con-
junto de n medidas, dado por
σx =
m√
n− 1 = ±
√√√√ 1
n− 1
n∑
i
(∆xi)2 . (1.25)
O significado do desvio padrão da medida é que ele indica o erro que teríamos
caso fizéssemos uma única observação. Isto é, sabemos determinar a partir de
n observações o desvio padrão de uma medida ou sabemos estimar a partir da
análise de n observações o erro que teríamos,com uma dada probabilidade, caso
houvéssemos realizado uma única determinação.
Logo, o verdadeiro valor da grandeza será
x = x± σx, .
12 CAPÍTULO 1. TRATAMENTO MATEMÁTICO DE MEDIDAS
O desvio padrão da medida é calculado para uma série de medições de uma
mesma grandeza física e caracteriza a dispersão dos resultados. Na equação (1.21)
temos que ∆xi = x − xi representa a diferença entre o resultado da medida e a
média aritmética dos n resultados considerados.
Na equação (1.25), se: n→∞, então σx → 0 e x→ x. Se n� 1 e tendo em
conta a equação (1.18), σx → ±∆x, portanto, x = x±∆x.
Quando tendo realizado n determinações o melhor valor dispornível é a sua
média x, e portanto estaremos mais interessados em estimar o erro em x. Com
esse propósito, poderíamos então realizar vários conjuntos de n determinações,
calcular os valores das respectivas médias e em seguida a média das médias e este
desvio padrão da média das médias seria mais preciso.
Este raciocínio poderia ser utilizado novamente, calculando-se a média das
médias e assim indefinidamente, sem um fim lógico? Felizmente é possível prever
teoricamente o erro a que está sujeita a média de n valores medidos, sem ter
que repetir o conjunto de medidas. Este desvio é chamado de desvio padrão da
média:
σx =
σx√
n
= σx =
m√
n(n− 1) = ±
√√√√ 1
n(n− 1)
n∑
i
(∆xi)2 . (1.26)
Note que, quanto maior o número de observações n, menos será o desvio
padrão da média e portanto, maior a precisão do resultado. Este é um princípio
fundamental da estatística.
Vemos, então, que o desvio padrão da medida e o desvio padrão da média
têm significados análogos. O significado do desvio padrão da medida (desvio
padrão da média) de um dado conjunto de n determinações é que a medida (o
valor médio) tem 68% de chance de estar dentro do intervalo ±σ (±σ) em torno
do valor médio (do valor verdadeiro), 95% no intervalo ±2σ (±2σ), etc.
Resumindo: A partir de um conjunto de n determinações de uma quantidade
x a melhor estimativa para o valor verdadeiro será dada pela sua média aritmética
x e pelo desvio padrão da média ±σ: x = x± σ, onde o intervalo x− σ a x + σ
delimita uma faixa que tem 68, 27% de probabilidade de conter o valor verdadeiro.
Na prática, o intervalo ±∆x do valor final da grandeza corresponde ao maior
valor, entre o desvio médio absoluto e o desvio avaliado absoluto, sendo que
o desvio avaliado absoluto é normalmente o valor correspondente à metade da
menor divisão da escala do instrumento (analógico) utilizado nas medidas ou o
valor indicado no próprio instrumento (digital), quando este é de precisão. Isso
faz que este desvio tenha somente um único algarismo significativo.
Por exemplo, após fazer várias medidas do diâmetro médio de um olho hu-
mano, chega-se ao valor (2, 87 ± 0, 05) cm, então, o o desvio absoluto dessas
1.12. BIBLIOGRAFIA 13
medidas é ±0, 05. Isso significa ser pouco provável que o verdadeiro valor seja
menor que 2,82 cm ou maior que 2,92 cm. O termo provável é empregado aqui
em termos estatísticos.
Teremos uma precisão maior quanto menor for o desvio absoluto. Sempre é
desejável obter a maior precisão possível. Se ao fazer a medida de uma grandeza
encontramos um desvio absoluto muito grande e o diminuímos arbitrariamente,
então pode acontecer que a redução arbitrária da faixa de desvio lance dúvidas
sobre a certeza de que o valor da medida feita estará dentro da nova faixa de
valores, pois esta se tornou mais estreita. Portanto, precisão e incertezas estão
relacionadas, e não podemos modificar arbitrariamente uma delas sem que a outra
seja modificada.
1.12 Bibliografia
[1] Piacentini, J.J, Grandi, B. C. C., Hofmann, M. P., Lima, F. R. R. de, Zimmer-
mann, E., Introduçao ao laboratório de Física, 3a. edição, ed. UFSC.
[2] José Enrique Rodas Duram, Biofísica, Conceitos e Aplicações, 2a. edição, ed.
Pearson.
[3] ITA, Lab. de Fís. 24, http://www.fis.ita.br/labfis24/erros/
errostextos/teor_erros1.htm, acessado em 10/02/2015.
	Tratamento matemático de medidas
	A apresentação de uma medida
	Algarismos significativos
	Notação exponencial
	Critérios de arredondamento
	Operações com algarismos significativos
	Erros de uma medida
	Cáculo do erro
	Erro de escala
	Erro relativo
	Propagação de erros
	Apêndice
	Bibliografia