Aula 02-Estudo dos Vetores Força

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ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
©2004 by Pearson Education
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Prof. Dr. Rodrigo Barros
TURMA 
ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Prof. Dr. Rodrigo Barros
TURMA 2014.2
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
AULA 02
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REVISÃO DE VETORES 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
AULA 02
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REVISÃO DE VETORES 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
O que é Mecânica?
“O ramo das ciências físicas
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“O ramo das ciências físicas
estado de repouso ou de movimento
à ação de forças”
• A Mecânica é uma ciência aplicada,
encontrado em algumas ciências.
• A Mecânica constitui a base de muitas
sendo pré-requisito indispensável para
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
O que é Mecânica?
físicas dedicado ao estudo do
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físicas dedicado ao estudo do
movimento de corpos submetidos
aplicada, e não apresenta o empirismo
muitas ciências da engenharia,
para o estudo dessas ciências.
Mecânica dos 
corpos rígidos
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Mecânica dos 
fluidos
Mecânica
Mecânica dos corpos 
deformáveis
Mecânica dos 
corpos rígidos
Estática e
cinemática
Dinâmica
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Mecânica dos 
Mecânica dos corpos 
deformáveis
Dinâmica
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Idealizações
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Idealizações
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Grandezas
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Grandezas
Básicas
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
GRANDEZAS ESCALARES x GRANDEZAS VETORIAIS
Uma grandeza escalar é caracterizada
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
A MAIORIA DAS QUANTIDADES FÍSICAS, EM MECÂNICA, 
PODEM SER EXPRESSAS MATEMATICAMENTE POR: 
Uma grandeza escalar é caracterizada
Exemplo: tempo, massa, volume,
Uma grandeza vetorial é caracterizada
três elementos fundamentais, possuindo
direção e sentido. Exemplo: força,
GRANDEZAS ESCALARES x GRANDEZAS VETORIAIS
caracterizada por um número real.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
A MAIORIA DAS QUANTIDADES FÍSICAS, EM MECÂNICA, 
PODEM SER EXPRESSAS MATEMATICAMENTE POR: 
caracterizada por um número real.
volume, comprimento.
caracterizada pela dependência de
possuindo módulo (intensidade),
força, momento, aceleração.
FORÇA
-Pode ser definida como uma ação
outro corpo...
- 3ª Lei de Newton: Para toda
reação que apresenta o mesmo
porém com sentido contrário;
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
porém com sentido contrário;
- No sistema internacional de unidades
de força é o Newton (N);
- 1N representa a força necessária
massa de 1 kg apresente uma aceleração
1 kgf ≈ 10 N 
ação que um corpo aplica em
toda ação haverá sempre uma
mesmo módulo, mesma direção,
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unidades (SI), a unidade básica
necessária para que um corpo com
aceleração igual a 1 m/s².
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Unidades Derivadas
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Unidades Derivadas
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
REPRESENTAÇÃO VETORIAL
Flecha (intensidade, direção e sentido)
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
REPRESENTAÇÃO VETORIAL
Flecha (intensidade, direção e sentido)
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
EXEMPLOS DE REPRESENTAÇÃO VETORIAL
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
EXEMPLOS DE REPRESENTAÇÃO VETORIAL
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OPERAÇÕES VETORIAIS Adição vetorial
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Vetor resultante: Regra do Paralelogramo
Um conjunto
aplicadas em
substituído
que é o vetor
das forças aplicadas!
Adição vetorial
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Vetor resultante: Regra do Paralelogramo
conjunto de forças concorrentes
em uma partícula pode ser
por uma única força resultante
vetor equivalente à soma vetorial
aplicadas!
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Subtração Vetorial
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Subtração Vetorial
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
ADIÇÃO DE FORÇAS VETORIAIS
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
ADIÇÃO DE FORÇAS VETORIAIS
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OPERAÇÕES VETORIAIS
- Aplicação direta: Lei dos senos
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
- Aplicação direta: Lei dos cossenos
- A adição de vetores é comutativa
PQQP


OPERAÇÕES VETORIAIS
Aplicação direta: Lei dos senos
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
B
B
C
C
Aplicação direta: Lei dos cossenos
A adição de vetores é comutativa
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Exemplo 01
O parafuso está sujeito a duas
intensidade e a direção da força
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Exemplo 01
duas forças F1 e F2. Determine a
força resultante.
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
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EXEMPLO 02
- O parafuso mostrado na figura
e F2. Determinar o módulo e a
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
figura está sujeito a duas forças F1
direção da força resultante.
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
R: FR = 298 N 
α=39°; β=71°
EXEMPLO 03
- Duas lanchas rebocam um
encontra com problemas em seus
força resultante é igual a 30kN,
nas direções AC e BC
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
barco de passageiros que se
seus motores. Sabendo-se que a
kN, encontrar as componentes
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R: FAC = 20,52 kN
FBC = 15,96 kN
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Exemplo 04
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Exemplo 04
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Exemplo 05
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Exemplo 05
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Exemplo 06
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Exemplo 06
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
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OPERAÇÕES COM 3 OU MAIS VETORES
- Pode ser resolvido pela aplicação
paralelogramo, calculando dois
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
- Resolvido pela soma vetorial
OPERAÇÕES COM 3 OU MAIS VETORES
aplicação sucessiva da regra do
dois a dois os vetores resultantes.
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
MÉTODO DAS COMPONENTES RETANGULARES
-Observa-se que, quanto maior
envolvidos num sistema, maior
aplicação da regra do paralelogramo
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
aplicação da regra do paralelogramo
-Uma opção é trabalhar com as
segundo dois eixos perpendiculares
modo, um sistema de forças colineares,
dos vetores;
MÉTODO DAS COMPONENTES RETANGULARES
maior o número de forças
será o tempo necessário para
paralelogramo;
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
paralelogramo;
as componentes de cada vetor
perpendiculares entre si, formando, desse
colineares, facilitando a soma
Vetores Unitários
yx FFF


Define-se os vetores unitários 
que são paralelos aos eixos 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
As componentes
como produtos
intensidades dos
Fx e Fy são chamados
.
que são paralelos aos eixos 
Unitários
yF

vetores unitários perpendiculares 
que são paralelos aos eixos x e y.
j e i

MECÂNICA DOS SÓLIDOS
componentes de um vetor podem ser expressos
produtosdos vetores unitários pelas
dos componentes do vetor.
chamados de componentes escalares de 
jFiFF yx


F

que são paralelos aos eixos x e y.
PR


• Deseja
forças
iRx


• Para
componentes
MECÂNICA DOS SÓLIDOS

x PR
• Os componentes
iguais
correspondentes
• Para encontrar a intensidade e a direção da 
resultante,
SQP


Deseja-se obter a resultante de 3 ou mais
forças concorrentes,
    jSQPiSQP
jSiSjQiQjPiPjR yxyxyxy 



isso, decompõe-se cada força em
componentes retangulares
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
    jSQPiSQP yyyxxx




x
xxx
F
SQP
componentes escalares da resultante são
iguais à soma dos componentes escalares
correspondentes das forças dadas.


y
yyyy
F
SQPR
x
y
yx
R
R
RRR arctg22  
Para encontrar a intensidade e a direção da 
resultante,
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
FORÇAS COPLANARES
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
FORÇAS COPLANARES
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Determine os componentes x e y
lança.
Exemplo 07
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
y de F1 e F2 que atuam sobre a
Exemplo 07
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
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EXEMPLO 08
- Dado o parafuso da figura
indicadas, determinar a força resultante
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
figura submetido as forças abaixo
resultante e sua direção.
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
R: FR = 199,6 N
α= 4,1°
EXEMPLO 09
- Determinar o valor da força
sabendo que o vetor da Força
longo do eixo y, para cima, com
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
força F1 e a inclinação do ângulo θ
Resultante esteja orientado ao
com valor igual a 800 N.
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
R: FR ≈ 275 N
α= 29,1°
VETORES NO ESPAÇO
- Um vetor pode ter uma, duas
dos eixos de coordenadas x, y e
- A quantidade de componentes
está orientado em relação a esses
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
ou três componentes ao longo
z.
componentes depende de como o vetor
esses eixos
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
• O vetor está 
contido no plano 
OBAC.
F

• Decompomos em 
uma componente 
horizontal e outra 
vertical
h FF sen 
y FF cos
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Decompomos em 
uma componente 
horizontal e outra 
y
F

y
• Decompomos em 
componentes 
retangulares
hF




sen sen 
sen 
cossen
cos
y
hy
y
hx
F
FF
F
FF




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VETORES CARTESIANOS
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“Cossenos Diretores de A”
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VETORES CARTESIANOS
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
VETORES CARTESIANOS
• A direção do vetor A é especificada usando-se um VETOR UNITÁRIO que tem a mesma direção 
de A.
• Assim, A define o módulo do vetor A e uA (vetor adimensional) a direção e o sentido do vetor 
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• Vetores Cartesianos Unitários i, j e k.
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
VETORES CARTESIANOS
se um VETOR UNITÁRIO que tem a mesma direção 
(vetor adimensional) a direção e o sentido do vetor A.
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
REPRESENTAÇÃO DOS VETORES CARTESIANOS
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
REPRESENTAÇÃO DOS VETORES CARTESIANOS
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
VETORES CARTESIANOS
se
e se
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então
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
VETORES CARTESIANOS
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então
logo
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES CARTESIANOS
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES CARTESIANOS
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Exemplo 10
- Determinar o valor da Força Resultante
figura abaixo solicitado pelas forças
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Exemplo 10
Resultante e sua direção para o anel da
F1 e F2.
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Expresse a força F1 como vetor
Exemplo 11
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
cartesiano.
Exemplo 11
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
VETOR POSIÇÃO
O vetor posição é definido como um
espaço em relação a outro.
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
VETOR POSIÇÃO
vetor fixo que localiza um ponto do
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
VETOR POSIÇÃO
O vetor posição é orientado de A para B
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
VETOR POSIÇÃO
B no espaço.
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Uma fita está presa aos pontos A e B
direção, medidos de A para B.
Exemplo 12
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
B. Determine seu comprimento e sua
Exemplo 12
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
A cobertura da laje de um prédio
cabos que exercem as forças FAB
gancho A. Determine a intensidade
atua em A.
Exemplo 13
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
prédio da UFRN é suportada por
FAB = 100 N e FAC = 120 N no
intensidade da força resultante que
Exemplo 13
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
©2004 by Pearson Education 1-51