Fluxo Bidimensional em Meios Porosos

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Fluxo Bidimensional em 
Meios Porosos 
Prof. Waldyr Lopes de Oliveira Filho 
DEMIN/UFOP 
Percolação em barragens 
Exemplos de fluxo 2D 
Equação Geral de Fluxo 
 Hipóteses: 
 Fluxo bidimensional (plano x-z) 
 Solo homogêneo e isotrópico com 
respeito a k 
Equação Geral de Fluxo 
 Lei de Darcy na forma generalizada 
no plano x-z com carga h(x,z) 
diminuindo na direção de vx e vz 
 
 
 
x
h
kikv xx



z
h
kikv zz



(1) 
(2) 
Equação Geral de Fluxo 
 Derivação da 
equação de fluxo 
 Na figura abaixo, 
mostra-se um 
elemento de solo 
saturado de 
dimensões dx, dy, dz, 
com fluxo 
acontecendo apenas 
no plano x-z: 
Equação Geral de Fluxo 
dydxdz
z
v
vdzdydx
x
v
v zz
x
x 


















dydxvdzdyv zx 
A vazão que entra no elemento será: 
A vazão que sai: 
(3) 
(4) 
Equação Geral de Fluxo 
Pela equação da continuidade: (3)-(4)=0 ou 
0





z
v
x
v zx
0
2
2
2
2






z
h
x
h
 
, ou lembrando (1) e (2) 
A equação acima é conhecida como equação de Laplace e é utilizada para 
descrever muitos fenômenos físicos de grande importância. 
Solução do problema de fluxo 
saturado 
 A solução do problema fluxo é 
representada por uma função do tipo h = 
h (x,z); t não aparece na função, porque 
a hipótese é de regime permanente 
 Os métodos existentes são vários 
 Métodos de solução 
 Solução matemática fechada (analítica) 
 Solução utilizando modelos físicos e analogias 
 Soluções aproximadas (numéricas e gráficas) 
Solução do problema de fluxo 
saturado 
 Solução matemática fechadas (exata) 
 é conhecida. Esse tipo de abordagem exige certo domínio de 
cálculo de variáveis complexas. Ex. solução de 
KozenyMétodo: solução da eq. governadora utilizando 
métodos matemáticos (EDO, EDP, separação de 
variáveis, métodos das características (dif. parcial) 
 Aplicação: calibração e validação de modelos 
numéricos 
 Vantagem: de longe a melhor solução 
 Desvantagem: existem poucas situações de percolação 
com solução analítica conhecida (domínios muito 
simples). 
 Variante: técnicas de mapeamento (“conformal 
mapping”) 
 Consiste em transformar um problema de um domínio 
geométrico onde a solução é buscada em outro domínio 
onde a solução 
Solução do problema de fluxo 
saturado 
 Modelos físicos e analogia 
 O problema de fluxo tem similaridade com 
outros fenômenos físicos (transferência de 
calor, fluxo elétrico, etc). Assim soluções de 
modelos analógicos podem ter utilidade em 
proplemas de fluxo. 
 Modelo hidráulico 
 Características: 
 h é proporcional à escala para escoamentos 
gravitacionais 
 Didático 
 Uso de corantes para linhas de fluxo 
 Piezômetros para definição das equipotenciais 
 Tipos: grandes modelos hidráulicos (1g); 
modelos em centrifuga (Ng) 
 Vantagem: visualização e reprodução em escala 
dos problemas reais 
 Desvantagem: demorados e custosos. 
Solução do problema de fluxo 
saturado 
 Analogia elétrica 
 Tiveram sua importância no passado, mas são úteis no 
ensino. 
 
Percolação Corrente elétrica 
 
Carga hidráulica, h Voltagem, V 
Vazão, q Corrente, i 
Velocidade de fluxo, v Densidade de corrente, j 
Lei de Darcy Lei de Ohm 
Equação de Laplace Equação de Laplace 
Solução do problema de fluxo 
saturado 
 Soluções aproximadas 
 As mais usadas hoje em dia (de longe) 
 Tipos: 
 Métodos numéricos: diferenças finitas, 
MEF, MEC 
 Método gráfico, traçado de rede de fluxo 
Solução do problema de fluxo 
saturado 
 Métodos numéricos 
 Discretização da região de fluxo 
 Solução do problema de fluxo no 
elemento (MEF, nó para MDF, contorno 
para MEC) 
 São mais versáteis e aplicam-se a 
diversas situações (praticamente 
todas) e condições de contorno (meios 
não homogêneos e anisotrópicos), 
qualquer geometria) 
Solução do problema de fluxo 
saturado 
 Métodos gráficos 
 Geral 
 Traçado da rede de fluxo com base nas 
propriedades das linhas de fluxo e linhas 
equipotenciais, observando igualmente as 
condições de contorno. 
 Permitem determinar: vazão e velocidade de 
fluxo, subpressões e gradientes hidráulicos. 
 Destacam-se pela simplicidade de execução e 
boa aproximação; são muito úteis para 
solução de um bom número de problemas de 
percolação. 
Construção e uso de rede de fluxos 
 Fundamentos 
 Solução geral  duas famílias 
de funções representada por 
famílias de curvas ortogonais 
entre si 
 Solução particular  obtida 
usando-se as condições de 
contorno do problema 
0
2
2
2
2






z
h
x
h
Eq. de fluxo 
Construção e uso de rede de fluxos 
A 1ª família da solução geral é a função potencial f(x,z), tal que: 
x
h
kv
x
x




f
z
h
kv
z
z




f
É fácil observar: 
, isto é, a função f(x,z) com aquelas características 
 satisfaz a equação de Laplace (c.q.d.) 02
2
2
2






zx
ff
f(x,z)=-kh(x,z)+C 
Se à função f(x,z) for atribuído um valor constante f1, ela representará 
uma curva ao longo da qual a carga total será constante (h1). Se à 
função f(x,z) forem atribuídos uma série de valores constantes f1, f2, f3, 
 etc., obtém-se uma família de curvas cada uma com uma carga total 
diferente. Essas curvas recebem o nome de equipotenciais. 
Construção e uso de rede de fluxos 
Uma 2ª função da solução geral da eq. de Laplace é a função fluxo 
 y(x,z), definida como segue 
z
h
kv
x
z






y
x
h
kv
z
x




y
Pode-se demonstrar facilmente que também essa função satisfaz 
 a eq. de Laplace. 
Diferenciando a função y(x,z), obtém-se 
dz
z
dx
x
d 






yyy
dzvdxvd xz you 
Se à função y(x,z) for atribuído um valor y1, então dy=0, então 
Construção e uso de rede de fluxos 
x
z
v
v
dx
dz

Ou seja, a tangente em cada ponto da curva representada por y(x,z)=y1 
 especifica a direção da resultante da velocidade de fluxo naquele ponto: 
 a curva, portanto representa uma trajetória de fluxo. 
Se à função y(x,z) atribuirmos uma série de valores constantes y1, y2, y3, 
 etc., uma 2ª família de curvas se constitui, representando cada uma, 
 uma trajetória de fluxo. Essas curvas são conhecidas como linhas de fluxo. 
Construção e uso de rede de fluxos 
O conjunto das linhas de fluxo e das linhas equipotenciais dá-se 
 o nome de rede de fluxo. 
Exemplo de linhas de fluxo: 
Construção e uso de rede de fluxos 
Exemplo de linhas de fluxo: 
Construção e uso de rede de fluxos 
Exemplo de rede de fluxo: 
Construção e uso de rede de fluxos 
Construção e uso de rede de fluxos 
 Propriedades das linhas de fluxo e das linhas 
equipotenciais 
 A vazão por unidade de comprimento entre duas linhas de 
fluxo é constante em qualquer seção que se tome entre 
as linhas. Esse espaço entre as linhas de fluxo se chama 
canal de fluxo. 
 As linhas de fluxo não se cortam dentro da região de uma 
região de fluxo (regime laminar). 
 Idem para as linhas equipotenciais 
 A carga total dos pontos de uma linha de fluxo é dada 
pela soma das parcelas de carga de pressão e carga 
altimétrica. 
 O escoamento segue por caminhos de maior gradiente, 
como conseqüência as equipotenciais e as linhas de fluxo 
são ortogonais entre si (permeabilidade isotrópica).Conceito de canal de fluxo e queda de 
potencial. Cálculo da vazão 
A figura a seguir define alguns dos termos associados à rede de fluxo 
Conceito de canal de fluxo e queda 
de potencial. Cálculo da vazão 
b
N
h
b
h
l
h
i d
L






Observe que na malha retangular 
 com dimensões a x b, temos 
 gradiente hidráulico i, 
Onde b = l, comprimento ao longo do qual se dá o fluxo, 
 h = diferença de carga total entre duas equipotenciais adjacentes, 
sendo hL a carga total disponível (que provoca o fluxo) 
 e Nd = número de quedas de potencial (não necessariamente um número inteiro). 
Conceito de canal de fluxo e queda 
de potencial. Cálculo da vazão 
Aplicando a lei de Darcy no canal de fluxo, temos 
a
b
Nh
kA
l
h
kq dL 









Para que os outros canais de fluxo transmitam a mesma vazão, 
deveremos ter necessariamente a razão ai/bi = constante, 
Assim a vazão total, q, por unidade de comprimento (perpendicular 
 ao papel) será: 













d
f
Lf
N
N
b
a
hkNqq
Onde Nf = número total de canais 
 de fluxo na rede (não necessaria- 
mente inteiro) 
Finalmente, se a=b => a/b=1, a rede será formada então por quadrados 
 curvilíneos 
Traçado da rede de fluxo 
 Dicas gerais: 
 Inicie com um esboço, em escala, do domínio 
do problema de fluxo, incluindo os limites e 
outras características geométricas 
 Faça um desenho pequeno de modo a poder 
enxergar toda a região de interesse 
 Use papel de boa qualidade, lápis macio, e 
uma boa borracha (você precisará dela muito) 
 Desenhe os contornos no lado reverso da folha 
Traçado da rede de fluxo 
 Procedimento: 
 Estabelecer as condições de contorno, isto significa usualmente 
identificar nos contornos 2 linhas de fluxo limite e 2 
equipotenciais extremas. 
 Esboçar a primeira linha de fluxo adjacente a uma das linhas de 
fluxo limite (no contorno) ou se preferir iniciar com uma linha 
equipotencial adjacente a uma das linhas equipotenciais de 
contorno. 
 Expandir o esboço com mais linhas de fluxo e linhas 
equipotenciais, procurando que a rede seja formada por 
“quadrados” curvilíneos. 
 Repetir o processo até que na rede traçada se observe o princípio 
da ortogonalidade 
 Evite trabalhar com muitas linhas de fluxo, bastam três ou quatro 
para uma razoável estimativa de vazão. 
 Não se preocupe em obter um número inteiro de canais ou 
quedas de potencial; essa situação deve ser vista mais como 
exceção do que como regra. Assim sua rede terá uma região de 
ajuste tanto de linhas equipotenciais quanto de linhas de fluxo. 
Qualidades e erros no traçado da rede 
Qualidades e erros no traçado da rede 
Qualidades e erros no traçado da rede 
Cálculo da pressão 
1ª etapa 
q
qxrefx
N
h
hNhh
disp
h onde , 
2ª etapa 
xexxp hhh ,, 
3ª etapa 
xpwx hu ,
Exemplos 
 Barragem de concreto, análise de fluxo pela fundação 
 Barragem de concreto com cortina impermeável, análise de fluxo 
 pela fundação 
Cálculo do tempo de percolação 
hk
bn
t
t
b
bn
hk
n
ik
v
ou
ikv
n
v
v
t
b
v
p
p
p














2
pnikv
 Assim,
ik vque e que se-Sabe
 . 
Fluxo não confinado 
 Motivação 
 ver exemplo dos dois tipos (confinado e não 
confinado) 
 Conceito 
 caracteriza-se por ter a linha de fluxo limite 
superior à pressão atmosférica (linha freática) 
e cuja posição não é conhecida a priori. 
 Objetivo dos estudos de fluxo 
 os mesmos da situação confinada, mas 
necessitando de um método para 
determinação da freática. 
Fluxo não confinado 
Propriedades da freática: 
 Por definição, 
 
e
w
hzz
u
h 

uma vez que u=0 
 
Além disso ela separa o fluxo saturado do não saturado, 
Este último acontece acima dela, embora seja quase 
sempre pequeno. 
Fluxo não confinado 
 Consequências 
 Para uma rede de 
quadrados, ao longo 
da freática a 
diferença de carga 
total é a própria 
diferença de elevação 
 As equipotenciais 
encontram a freática 
em pontos 
equidistantes 
verticalmente como 
ilustrado na figura 
(h= constante=z) 
Fluxo não confinado 
 Determinação da freática 
 
 Solução teórica de Kozeny (rigorosa) 
 
 Traçado da parábola básica 
 
 Correções de entrada e saída (devido a 
Casagrande)