Módulo 4

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Geometria Analítica 
Módulo 4 
Vetores no espaço R²: Produto escalar de 2 vetores no R² 
 Ângulo entre 2 vetores 
 Condição de perpendicularismo. 
 
1. Produto escalar (ou produto interno) de 2 vetores no R² 
 
O produto escalar de dois vetores a e b

é representado por a .b

 é definido por 
cos... baba

 sendo  o ângulo entre os dois vetores. Sendo jYiXa

11  e 
jYiXb

22  o produto escalar pode ser calculado por 2121 ... YYXXba 

. 
2. Observações: 
 O produto escalar de dois vetores é sempre um valor real. 
 O produto escalar de dois vetores perpendiculares é nulo. 
 O ângulo entre dois vetores pode ser calculado por: 
||.||
.cos
ba
ba 

 
Exercício Resolvido - 1 
Dados os vetores u = (5; 12) e v= ( -15; 8). 
a) Calcule o produto escalar destes dois vetores. 
Solução: 
2121 ... YYXXvu 

= 5.(-15) + 12.8 = 21 
 
b) Calcule o ângulo ente os vetores u e v 
Solução: 
||.||
.cos
vu
vu


 
105250)²15(²521
2
1  YXu

 
124208²8²1222
2
2  YXv

 
1200
3021
3040
21
12020
21
124.105
21
||.||
.cos 
vu
vu


 









1200
3021cosang ou 






 
1200
3021cos 1 ou   84,5º 
 
Exercício Resolvido – 2 
Determine o valor de m para os vetores u = (5; m) v = ( -15; 25) sejam 
perpendiculares. 
Solução: 
A para dois vetores sejam perpendiculares é que seu produto escalar seja nulo, 
portanto: 
025.)15.(5... 2121  mYYXXvu

 
-75 + 25m = 0 
25m = 75  m = 3 
 
Exercícios propostos 
1. Dados os vetores u = (5; 10) v = ( -12; 6). 
a) Calcule u . v b) Calcule o ângulo ente os vetores u e v 
 
2. Determine o ângulo entre os vetores j4i2p

 e j3i5q

 . 
 
3. O produto escalar de dois vetores é valor importante para determinarmos 
ângulos entre 2 vetores através da função trigonométrica co-seno. O co-
seno do ângulo entre dois vetores é o produto escalar dos vetores dividido 
pelo produto seus módulos (comprimento dos vetores). Este processo 
também pode ser para usado para determinarmos ângulos entre segmentos 
de reta em duas ou três dimensões 
 
De acordo com texto, com a figura e com expressões apresentada o 
produto escalar dos vetores a e b da figura vale: 
a) 90 
b) 180 
c) 0 
d) -1 
e) 1 
 
4. O produto escalar de dois vetores é valor importante para determinarmos 
ângulos entre 2 vetores através da função trigonométrica co-seno. O co-
seno do ângulo entre dois vetores é o produto escalar dos vetores dividido 
pelo produto seus módulos (comprimento dos vetores). Este processo 
também pode ser para usado para determinarmos ângulos entre segmentos 
de reta em duas ou três dimensões 
 
De acordo com texto, com a figura e com expressões apresentada o ângulo 
entre os vetores a e b da figura vale: 
a) 90 
b) 180 
c) 0 
d) -1 
e) 1 
 
Referência bibliográfica: Bibliografia básica e complementar da disciplina