Pré-Cálculo - Função 1º Grau

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Funções do 1º Grau 
 
1 
 
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO IESB 
Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília 
Coordenação de Engenharia / Ciência da Computação 
 
 
Pré-Cálculo – Funções do 1º Grau 
 
 
Definição: Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função constante quando a cada 
elemento x	∈ ℝ associa sempre o mesmo elemento c	∈ ℝ. Isto é: 
 f: ℝ→ 	ℝ 
 x → c 
 
 O gráfico da função constante é uma reta y 
 paralela ao eixo dos x passando pelo ponto 
 �0, �	. c 
 A imagem é o conjunto Im f = { c } 
 x 
 
OBS: Uma função constante é uma função de grau 0. 
 
Definição: Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função identidade quando a cada 
elemento x	∈ ℝ associa o próprio x, isto é: 
 f: ℝ→ 	ℝ 
 x → x 
 
 O gráfico da função constante é uma reta y 
 que contém as bissetrizes do 1º e 3º 
 quadrantes. 
 A imagem é o conjunto Im f = ℝ x 
 
 
Definição: Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função linear quando a cada 
elemento x	∈ ℝ associa o elemento ax ∈ ℝ onde a ≠ 0 é um número real dado, 
isto é: 
 f: ℝ→ 	ℝ 
 x → ax, a ≠ 0 
 
 O gráfico da função linear é uma reta y 
 que passa pela origem. 
 
 A imagem é o conjunto Im f = ℝ x 
 
Funções do 1º Grau 
 
2 
 
 
OBS: Se a = 0, teremos a função constante y=0. 
 
 
Exemplo 1: Esboçar o gráfico de y = 2x. 
 
Considerando que dois pontos distintos 
determinam uma reta e no caso da função linear um 
dos pontos é a origem, basta atribuir a x um valor não 
nulo e calcular o correspondente y = 2x. 
x y=2x 
1 2 
 
 
 
 
 2 
 
 
 1 
 
 
 
Exemplo 2: Esboçar o gráfico da função y = -2x. 
 
Considerando que dois pontos distintos 
determinam uma reta e no caso da função linear um 
dos pontos é a origem, basta atribuir a x um valor não 
nulo e calcular o correspondente y = -2x. 
x y = -2x 
1 -2 
 
 
 1 
 
 
 -2 
 
 
 
 
Exercício 1: Esboçar, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções de ℝ em ℝ: 
 
a) y = 2 b) y = √2 
c) y = -3 d) y = 0 
 
 
Exercício 2: Esboçar, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções de ℝ em ℝ: 
 
a) y = x b) y = 3x 
c) y = 2x d) y = 
�
� 
 
 
Exercício 3: Esboçar, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções de ℝ em ℝ: 
 
a) y = -x b) y = -3x 
c) y = -2x d) y = - 
�
� 
 
Funções do 1º Grau 
 
3 
 
 
 
Definição: Uma aplicação de ℝ em ℝ recebe o nome de função afim quando a cada x	∈ ℝ 
estiver associado o elemento (ax + b) ∈ ℝ com a ≠ 0, isto é: 
 f: ℝ→ 	ℝ 
 x → ax + b, a ≠ 0 
 
 
 
OBS: Se b = 0 a função afim y = ax + b se transforma na função linear y = ax; podemos dizer 
que a função linear é uma particular função afim. 
 
 
OBS: O gráfico cartesiano da função f(x) = ax + b (a ≠ 0) é uma reta. 
 y = ax + b 
 
 coeficiente linear 
 coeficiente angular ou declive ou inclinação da reta 
 
 
 
OBS: A forma geral da função afim é 
���	 = ��� − �	 + �. 
 
 Translação no eixo y 
 Translação no eixo x 
 Constante multiplicativa 
 
 
 
 
Uma reta fica unicamente determinada por dois de seus pontos P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2) 
 
 
1º Caso: x1 = x2 
 y 
 Reta vertical 
 
 Equação da reta: x = x1 
 
 x1=x2 x 
 
 
 
Funções do 1º Grau 
 
4 
 
 
2º Caso: y1 = y2 
 y 
 Reta horizontal 
 y1=y2 
 Equação da reta: y = y1 
 
 x 
 
3º Caso: x1 ≠ x2 e y1 ≠ y2 
 
 y 
 y P 
 B 
 y2 
 
 
 y1 A α C D 
 
 
 
 x1 x2 x x 
 
 
Como m = tg 
12
12
xx
yy
AC
BC
−
−
==α , podemos escrever a equação: 
 
 )( 11 xxmyy −=− ⇒ Equação da Reta 
 
 
 
OBS: - a = 0 ⇒ reta horizontal (equação ⇒ y = n) 
 - a é indeterminado (x1=x2) ⇒ reta vertical (equação ⇒ x = x1 ⇔ função 
 constante) 
 
 
 
 - a > 0 ⇒ a < 0 ⇒ 
 
 
 
 
 
Por semelhança de triângulos, 
temos: 
 
1
1
12
12
yy
xx
yy
xx
DP
DA
CB
CA
−
−
=
−
−
⇔= 
 






−
−
−=−⇔
12
12
11 )(
xx
yy
xxyy 
 
 m 
Funções do 1º Grau 
 
5 
 
 
Exemplo 3: Encontrar a equação da reta determinada por: A (2, 1) e B (0, – 3) 
 
Devemos primeiro determinar o declive da reta 
 
12
12
xx
yy
m
−
−
=⇒ = 2
2
4
20
13
=
−
−
=
−
−−
 
Agora basta escolhermos um dos pontos, por exemplo o ponto A, e 
substituirmos os valores na equação da reta: 
421)2(21)( 11 −=−⇔−=−⇔−=− xyxyxxmyy 
 
y = 2x – 3 ⇒ Equação da reta que passa por A e B. 
 
 
 
Exercício 4: Achar a equação da reta determinada pelos pontos dados. 
 
 a) (2,1) e (4, 5) b) (5/2, 3/2) e (– 1, 3/2) 
 c) (1/2, –1) e (– 1, 1) d) (– 4, 2) e ( –2, –1) 
 e) (2, 0) e (0, 2) f) (0, 3) e (0, – 4) 
 
 
Exercício 5: Determinar a equação da reta com coeficiente angular m passando pelo ponto 
dado. Esboce o gráfico da reta. 
 
 a) (2,1) e m = 0 b) (2, 2) e m = – 1 
 c) (1/2, –1) e m = 2 d) (– 4, 2) e m = 3 
 
 
Exercício 6: Encontrar o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta dada pelas 
equações abaixo. Esboce o gráfico da reta. 
 
 a) x + 5y = 10 b) y = 2 
 c) 6x – 5y = 25 d) 2x + 4y = 20 
 
 
 
Resumo das equações da reta 
 
 -Equação geral: ⇒ ax + by + c = 0 
 - Reta paralela à Ox (reta horizontal) ⇒ y = y1 = cte ou by + c = 0 
 - Reta paralela à Oy (reta vertical) ⇒ x = x1 = cte ou ax + c = 0 
 - Reta que passa pelo ponto P (x1, y1) 
Fazendo (x1, y1) = (2, 1) 
e (x2, y2) = (0, -3) 
Funções do 1º Grau 
 
6 
 
 com declive m ⇒ y – y1 = m (x – x1) 
 - Reta que passa pelos pontos 
 P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2) ⇒ y – y1 = 





−
−
12
12
xx
yy
 (x – x1) 
 - Reta com coeficiente linear n e 
 coeficiente angular m ⇒ y = mx + n 
 
 
 
Exemplo 4: Esboçar o gráfico de y = 2x + 1. 
 
 
 
 
 
Exercício 7: Esboçar os gráficos das funções de ℝ em ℝ: 
 
a) y = 2x - 1 b) y = x + 2 
c) y = 3x + 2 d) y = 
����
� 
e) y = -3x – 4 f) y = - x + 1 
 
 
Retas Paralelas 
 
 
Definição: Duas retas são paralelas se, e somente se, têm o mesmo coeficiente angular 
(m). 
 
 
 
1. y = x 
2. y = 2x 
3. y = 2x + 1 
Funções do 1º Grau 
 
7 
 
Exemplo 5: Determinar a para que as retas ax + 5y + 6 = 0 e 4x + (a+1)y – 5 = 0 sejam 
paralelas. 
 
Devemos primeiro determinar os declives de cada uma das retas, isolando o y 
em cada uma das equações: 
ax + 5y +6 = 0 ⇔ 5y = – ax – 6 ⇔ y = 
5
a−
 x – 
5
6
 ∴ m1 = 
5
a−
 
4x + (a+1)y – 5 = 0 ⇔ (a+1)y = –4x + 5 ⇔ y = 
1
4
+
−
a
 x + 
1
5
+a
 ∴ 
 m2 = 
1
4
+
−
a
. Como as retas devem ser paralelas, então por definição, os 
declives devem ser iguais, ie, m1 = m2. Temos, então 
5.4)1(
1
4
5
=+⇔
+
−
=
−
aa
a
a
⇔ a2 + a – 20 = 0 ⇔ a = 4 ou a = – 5 
 
 
 
Retas Perpendiculares 
 
Definição: Duas retas são perpendiculares se formam um ângulo reto (90º). 
 
 
Seja y A y=m1x 
 
 
 1 x 
 O 
 
 
 B 
 y=m2x 
 
 
 
2 = – 2(m1)(m2) ⇔ 1 = – (m1)(m2) ⇔ m1 = 
2
1
m
−
 
 
 
a pode assumir dois valorespara 
que as retas sejam paralelas. 
A (1, m1) e B (1, m2) 
As retas são perpendiculares ⇔ 
( ) ( ) ( )222 ABOBOA =+ 
Mas OA = 21
2
1
1 m+ e OB = 22
21 m+ , 
temos então: 
(1+(m1)
2
) + (1+(m2)
2
) = (m1 – m2)
2 
 
2+(m1)
2
+(m2)
2 
=(m1)
2 
- 2(m1)(m2)+ (m2)
2 
 
Funções do 1º Grau 
 
8 
 
Teorema: Duas retas não verticais são perpendiculares se e somente se seus coeficientes 
angulares estão relacionados pela equação 
 
 
2
1
1
m
m
−
= 
 
 
 
Exemplo 6: Encontrar a equação da reta t que passa por (-3, 2) e é: 
1. paralela à reta r: x + y = 7 
2. perpendicular à reta r: x + y = 7 
 
 
r: y = –x +7 ⇒ mr = –1 
1. t // r ⇒ mr = –1 = mt 
⇒ y – 2 = –1 (x+3) ⇒ y = –x –3 +2 ⇒ y = –x –1 
2. t ⊥ r ⇒ mt = (–1)/(–1) =1 
⇒ y – 2 = 1 (x+3) ⇒ y = x +3 +2 ⇒ y = x + 5 
 
 
Exercício 8: Encontrar a equação da reta que passa pelo ponto dado e é: 
1. paralela à reta dada 
2. perpendicular à reta dada 
 
 a) (2, 1) e 4x – 2y = 3 b) (7/8, 3/4) e 5x + 3y = 0 
 c) (-6,4) e 3x + 4y = 7 d) (2, 5) e x = 4 
 e) (-1,0) e y = –3 
 
 
Pontos de Interseção 
 
 
Definição: Desde que cada ponto de um gráfico é uma solução de equação que determina 
este gráfico, um ponto de interseção de dois gráficos é um ponto que satisfaz a 
ambas as equações. 
 
 
 
OBS: Pontos de Interseção de dois gráficos são encontrados resolvendo as equações, que 
determinam estes gráficos, simultaneamente. 
 
Usando a equação da reta e o 
ponto (-3,2) 
Funções do 1º Grau 
 
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Exemplo 7: Resolver analítica e graficamente o sistema de equações: 
x - y = -3 
2x + 3y = 4 
 
Solução Analítica 
Existem algumas formas analíticas pelas quais podemos resolver um sistema de equações. 
Vamos apresentar duas delas. 
 
1ª Forma: Substituição 
 
Este processo, consiste em substituir o valor de uma das incógnitas , obtido a partir de 
uma das equações, na outra. 
Resolvendo, por exemplo, a primeira equação na incógnita y, temos: 
x – y = -3 ⇔ y = x + 3 
e substituímos y por este valor na segunda equação: 
2x + 3(x + 3) = 4 ⇔ 2x + 3x + 9 = 4 ⇔ 5x = -5 ⇔	x = -1 
que levamos à primeira equação, encontrando 
y = -1 + 3 ⇔ y = 2. 
A solução do sistema é o par ordenado ( -1, 2). 
 
2ª Forma: Adição 
 
Este processo baseia-se em duas propriedades: 
I. “Num sistema de equações, se multiplicarmos todos os coeficientes de uma 
equação por um número não nulo, o sistema que obtemos é equivalente ao 
anterior.” 
II. “Num sistema de equações, se substituirmos uma das equações, pela sua soma 
com uma outra equação do sistema, o novo sistema é equivalente ao anterior.” 
 
O fundamento do processo da adição, consiste no seguinte: aplicando a primeira 
propriedade, multiplicamos cada equação por números convenientes, de modo que, os 
coeficientes de determinada incógnita sejam opostos e pela segunda propriedade, 
substituímos uma das equações pela soma das duas equações. 
 
Assim, no sistema 
 
x - y = -3 
2x + 3y = 4 
 
Multiplicamos a primeira equação por 3 
3x - 3y = -9 
2x + 3y = 4 
Funções do 1º Grau 
 
10 
 
 
Substituindo a primeira equação pela soma das duas equações, temos: 
5x = -5 ⇔ x = - 1 
2x + 3y = 4 2x + 3y = 4 
 
Substituindo x = -1 na segunda equação, encontramos 
2(-1) + 3y = 4 ⇔ 3y = 4 + 2 ⇔ 3y = 6 ⇔ y = 2 
 
A solução do sistema é o par ordenado ( -1, 2). 
 
Solução Gráfica 
 
O sistema proposto x - y = -3 é equivalente a y = x + 3 
 2x + 3y = 4 y = 
�����
� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. gráfico de 
y = x + 3 
2. gráfico de 
y = (-2x + 4)/3 
3. A solução do sistema são as 
coordenadas do ponto de intersecção 
das retas, portanto ( -1, 2). 
Funções do 1º Grau 
 
11 
 
Exemplo 8: Resolver o sistema de equações: 
 
1
� − � +
1
� + � =
3
4 
 
1
� − � −
1
� + � = −
1
4 
 
 
Fazendo a = 
!
��" e b = 
!
��" temos o sistema a + b = 
�
� 
 a - b = − !� 
Somando as equações obtemos 
2a = 
�
� =	
!
� 			⇔ a = 
!
� 
Substituindo o valor de a na primeira equação, obtemos 
b = 
�
� −
!
� = 	
�
� 			⇔ b = 
!
� 
 
Assim, 
1
� − � = 	
1
4 			#			
1
� + � =
1
2 
 
e 
x – y = 4 
x + y = 2 
 
Somando as equações, temos 
2x = 6 ⇔ x = 3 
Substituindo o valor de x na segunda equação, 
3 + y = 2 ⇔ y = 2 – 3 ⇔	 y = -1 
Logo $ = %�3,−1	&. 
 
 
Exercício 9: Resolver analítica e geometricamente os sistemas de equações: 
 
a) x + y = 5 b) 3x - 2y = -14 
x – y = 1 2x + 3y = 8 
 
c) 2x – 5y = 9 d) 4x + 5y = 2 
7x + 4y = 10 6x + 7y = 4 
 
e) x + 2y = 1 f) 2x + 5y = 0 
2x + 4y = 3 3x – 2y = 0 
 
 
Funções do 1º Grau 
 
12 
 
Sinal da Função Afim 
 
Considerando que � = − '(, zero da função afim ���	 = �� + �, o valor de x para o 
qual ���	 = 0, examinemos, então para que valores ocorre ���	 > 0 ou ���	 < 0. 
Devemos considerar dois casos: 
 
a. 1º caso: � > 0 
 
 _ + 
 x 
−�� 
���	 = �� + � > 0	 ⇔ � > −�� 
���	 = �� + � < 0	 ⇔ � < −�� 
 
b. 2º caso: � < 0 
 
 + _ 
 x 
−�� 
���	 = �� + � > 0	 ⇔ � < −�� 
���	 = �� + � < 0	 ⇔ � > −�� 
 
Exemplo 8: Estudar os sinais da função ���	 = 3� + 7. 
���	 = 0 ⇔ 3� + 7 = 0 ⇔ � = −73 
 
 � = 3 > 0 
 
 ---------- ++++++ 
 
−73 
 
Exemplo 9: Determine os valores de x para 4� − 3 < −5. 
 
4� < −5 + 3	 ⇔ 4� < −2 
� < −24 = −
1
2 
$ = -−∞,−12/ 
Funções do 1º Grau 
 
13 
 
Exercício 10: Resolva as seguintes inequações: 
 
a) 2� + 3 < 1 b) −3� + 2 < −1 
c) 4 − � > 2 d) �� + 2 ≥ 5 
e) 2� − �� ≤ −3 f) −4� − 8 ≤ 4 
 
Exemplo 10: Resolva 3� − 2 < −� + 1 ≤ 2� + 4. 
 A 
 
Temos que resolver duas inequações: 3� − 2 < −� + 1 ≤ 2� + 4 
 
 B 
A. – � + 1 ≤ 2� + 4 ⇔ −3� ≤ 3 ⇔ � ≥ −1 
B. 3� − 2 < −� + 1 ⇔ 4� < 3 ⇔ � < �� 
 
O conjunto solução da dupla desigualdade é $ = $4 ∩ $6 
Logo, 
 
$4 -1 
 
$6 �� 
 
$4 ∩ $6 $4 ∩ $6 = 7−1, ��8 
 -1 
�
� 
 
 
Exemplo 11: Resolva a inequação �� + 2	�3� − 2	 > 0. 
 
Fazemos inicialmente o estudo dos sinais das funções ���	 = �� + 2		e 9��	 = �3� − 2	. 
 
 
 -2 2 3: 
 
���	 - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + 
9��	 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + 
���	. 9��	 + + + + + + + + + - - - - - - - - - - + + + + + + + + 
 
 
$ = 	 �−∞,−2	 ∪ -23 ,∞/ 
 
 
Funções do 1º Grau 
 
14 
 
Dentre as inequações produto, são importantes as inequações: <���	=> > 0, 
<���	=> < 0, <���	=> ≥ 0 e <���	=> ≤ 0, onde ? ∈ 	ℕ∗. 
 
Para resolvermos estas inequações, vamos lembrar duas propriedades das potências 
de base real e expoente inteiro: 
 
1º) “Toda potência de base real e expoente ímpar conserva o sinal da base” 
2º) “Toda potência de base real e expoente par é um número real não negativo” 
 
 
Exemplo 12: Resolva a inequação �3� + 2	� > 0. 
 
�3� + 2	 = 0	 ⇔ 3� = −2	 ⟺ � = −23 
 
� = −23 �3� + 2	 - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + 
�3� + 2	� - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + 
 
$ = -−23 ,∞/ 
 
 
Exemplo 13: Resolva a inequação �4� − 12	C > 0. 
 
�4� − 12	 = 0	 ⇔ 4� = 12	 ⟺ � = 3 
 
� = 3 
�4� − 12	 - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + 
�4� − 12	C + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + 
 
 
 $ = �−∞, 3	 ∪ �3,∞	 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 14: Resolva a inequação �2 − �	� < 0. 
 
�2 − �	 = 0	 ⇔ � = 2	 
 
Observe que o número 3 está fora da solução 
pois quando x = 3 o termo (4x – 12) = 0 
Funções do 1º Grau 
 
15 
 
� = 2 
�2 − �	 + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - 
�2 − �	� + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 
 
 $ = ∅ 
 
 
 
Exemplo 15: Resolva a inequação �8 − 2�	� ≤ 0. 
 
�8 − 2�	 = 0	 ⇔ 2� = 8	 ⇔ � = 4 
 
� = 4 
�8 − 2�	 + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - 
�8 − 2�	� + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 
 
 $ = %4& 
 
 
 
 
Exercício 11: Resolva as seguintes inequações: 
 
a) �3� + 3	�5� − 3	 > 0 b) �5� + 2	�2 − �	�4� + 3	 < 0 
c) �5 − 2�	�−3� + 6	 ≤ 0 d) �3 − 6�	�� − 1	�2� + 10	 ≥ 0 
e) �� − 3	� > 0 f) �4 − 5�	C ≥ 0 
g) �2� − 7	F ≤ 0 h) �2� − 9	F < 0 
i) �4� − 8	� < 0 j) �5� + 15	H ≥ 0 
 
Exercício 12: Resolva as seguintes inequações: 
 
a) �5� − 10	��3� + 4	� ≥ 0 b) �3 − �	��3� + 3	��� + 4	C < 0 
c) 
����
��� > 0 d) 
����
!�� ≤ 2 
e) 
�C���	I
�J��!	K ≥ 0 f) 
��!
!�� < 3 
g) 
�
�L ≥ 0 h) 
���J
���� ≥ 0 
i) 
����	����	
����	I < 0 j) 
!
��� >
�
��� 
k) 
��J
���F ≤
���
���M 
 
 
 
Observe que não existe nenhum número que elevado ao 
quadrado tenha como resultado um número negativo 
Observe que não existe nenhum número que elevado à 
quarta potência tenha como resultado um número negativo. 
Somente o x = 4 torna a inequação verdadeira. 
Funções do 1º Grau 
 
16 
 
 
Respostas 
 
Exercício 1: 
 
a) vermelho 
b) rosa 
c) verde 
d) azul 
 
 
Exercício 2: 
 
a) vermelho 
b) rosa 
c) verde 
d) azul 
 
 
 
 
Exercício 3: 
 
a) vermelho 
b) rosa 
c) verde 
d) azul 
 
 
Funções do 1º Grau 
 
17 
 
Exercício 4: a) 32 −= xy b) 
2
3
=y 
c) 
3
1
3
4
−−= xy d) 4
2
3
−−= xy 
 e) 2+−= xy f) 0=x 
 
 
Exercício 5: a) 1=y b) 4+−= xy 
c) 22 −= xy d) 143 += xy 
 
 
Exercício 6: a) 2;
5
1
=−= nm b) 2;0 == nm 
c) 5;
5
6
−== nm d) 5;
2
1
=−= nm 
 
Exercício 7: 
 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
 
 
 
Funções do 1º Grau 
 
18 
 
Exercício 8: 
 
 a) paralela: 32 −= xy perpendicular: 2
2
1
+−= xy 
 b) paralela: 
24
53
3
5
+−= xy perpendicular: 
40
9
5
3
+= xy 
 c) paralela: 
2
1
4
3
−−= xy perpendicular: 12
3
4
+= xy 
 d) paralela: 2=x perpendicular: 
 e) paralela: 0=y perpendicular: 1−=x 
 
 
Exercício 9: 
 
 
a) 
 
Solução = %�3, 2	&	 
b) 
 
S = %�−2, 4	& 
c) 
 
S = %�2, −1	& 
d) 
 
 
S = %�3, −2	& 
5=y
Funções do 1º Grau 
 
19 
 
e) 
 
Retas paralelas: m = - ½ 
S = ∅ 
f) 
 
S = %�0, 0	& 
 
 
Exercício 10: 
a) $ = �−∞,−1	 
b) $ = �1, ∞	 
c) $ = �−∞, 2	 
d) $ = <9,∞	 
e) $ = 	 N−∞, !�F O 
f) $ = <−3,∞	 
 
 
Exercício 11: 
a) $ = �−∞,−1	 ∪ N�J , ∞8 b) $ = N−
�
� , −
�
J8 ∪ �2,∞	 
c) $ = 7�J , 2O d) $ = =−∞,−5= ∪ 7
!
� , 1O 
e) $ = 	 �−∞, 3	 ∪ �3,∞	 f) $ = ℝ 
g) $ = PH�Q h) $ = ∅ 
i) $ = �−∞, 2	 j) $ = <−3,∞< 
 
 
Exercício 12: 
a) $ = 7− �� , ∞7	 b) $ = �−∞,−4	 ∪ �−4,−1	 ∪ �3,∞	 
c) $ = �−∞,−2	 ∪ �2,∞	 d) $ = O−∞,− �JO ∪ �1,∞	 
e) $ = N−∞,− !J8 ∪ O−
!
J , 2O f) $ = �−∞,−2	 ∪ �−1,∞	 
g) $ = ℝ∗ h) $ = O−∞, J�O ∪ �2,∞	 
i) $ = �−∞,−2	 ∪ �3,4	 j) $ = �−∞,−3	 ∪ �4,11	 
k) $ = �−∞,−3	 ∪ 7− !MC , −27