Introdução à Mecânica: Grandezas, Unidades e Bibliografia

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Mecânica IMecânica I
Prof. Felipe Hernández
Bibliografias Básica e Complementares
� HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para Engenharia, 12ª 
edição. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.
� BEER, F. P.; Johnston, E. Russell Jr; Eisenberg, Elliot R. � BEER, F. P.; Johnston, E. Russell Jr; Eisenberg, Elliot R. 
Mecânica Vetorial para Engenheiros. Estática. 5ª edição. 
São Paulo: McGraw-Hill, 1991.
� MERIAN, James L. Estática, 4a edição. Rio de Janeiro: 
Livros Técnicos e Científicos, 1997.
Conhecimentos Básicos
� Geometria analítica
� Trigonometria
� Álgebra vetorial
� Cálculo diferencial e integral
Conteúdo das aulas
� Definições
� Unidades e medições
� Grandezas
� Vetores bidimensionais e tridimensionais
Operações vetoriais� Operações vetoriais
DefiniçõesDefinições
Mecânica
A mecânica pode ser definida como o ramo das ciências físicas 
dedicado ao estudo do estado de repouso ou movimento de corpos 
sujeitos à ação de forças.
Estudo
� Mecânica dos sólidos
� Mecânica dos corpos rígidos� Mecânica dos corpos rígidos
� Mecânica dos corpos deformáveis
� Mecânica dos fluídos
Áreas
� Dinâmica (estuda o movimento dos corpos considerando suas causas)
� Cinemática (estuda o movimento dos corpos sem considerar suas 
causas)
� Estática (estuda os corpos em equilíbrio)
Grandezas físicas
Grandezas são as propriedades de um fenômeno, corpo ou 
substância que podem ser expressas quantitativamente. A 
quantidade ou valor é denominada de magnitude ou 
intensidade.
Existem inúmeros tipos de grandezas físicas, cada uma 
associada a um diferente tipo de unidade de medida.associada a um diferente tipo de unidade de medida.
As grandezas podem ser classificadas como:
Escalares: completamente caracterizadas por meio de um número 
(sua magnitude) mais uma referência (sua unidade de medida).
Vetoriais: caracterizadas por meio de um número (sua magnitude) 
mais uma referência (sua unidade de medida), mais uma direção, mais 
um sentido.
Grandezas na Mecânica
Nos estudos da Mecânica quatro grandezas físicas estão presentes:
a) Comprimento: Grandeza essencial para localizar a posição de um ponto no 
espaço. A partir do comprimento é possível descrever com exatidão a dimensão de 
um sistema físico.
b) Tempo: Pode ser definido como o intervalo entre dois eventos consecutivos. 
Medições desse intervalo podem ser realizadas por comparações, como por 
exemplo, eventos repetitivos tal como a rotação da Terra. Na estática a quantidade 
tempo não possui influência significativa na solução dos problemas.
c) Massa: A massa representa uma propriedade da matéria pela qual é possível 
comparar a ação de um corpo com a de outro. De um modo geral pode ser comparar a ação de um corpo com a de outro. De um modo geral pode ser 
interpretada com a resistência que um corpo oferece a mudanças em seu 
movimento de translação. A massa de um corpo representa uma quantidade 
absoluta que independe da posição do corpo e do local no qual o mesmo é 
colocado.
d) Força: Pode ser definida como a ação de um corpo em outro corpo (“puxão” ou 
“empurrão”). Uma força é caracterizada pela sua intensidade, direção e ponto de 
aplicação. Como um corpo não pode exercer uma força em um segundo corpo a 
menos que este ofereça uma resistência, pode-se concluir que uma força nunca 
existe só, ou seja, as forças sempre ocorrem aos pares, e as duas forças possuem 
a mesma magnitude e sentidos contrários.
Unidades e mediçõesUnidades e medições
Existem inúmeros tipos de grandezas físicas, cada qual 
associada a um diferente tipo de unidade de medida.
Sistemas Métricos
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) Giovanni Giorgi (1871 – 1950)
Matemático
Alemão
Engenheiro
Italiano
Sistema CGS (1832, 1874) Sistema MKS (1901, 1935)
Sistemas de unidades de medidas físicas, ou sistemas dimensionais, de tipologia 
LMT (comprimento, massa, tempo), 
Centímetro Grama Segundo Metro k-quilograma Segundo
Sistema Internacional (1960)
Sistema Internacional de Unidades (SI)
Em 1960 a 11ª CGPM*, através de sua Resolução n°12, adotou finalmente o 
nome SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES, com abreviação 
internacional SI para o sistema prático de unidades, e instituiu regras para os 
prefixos, para as unidades derivadas e as unidades suplementares, além de 
outras indicações, estabelecendo
uma regulamentação para as unidades de medidas. 
Unidade SI
Unidades básicas
Grandeza
Unidade SI
Nome Símbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Quantidade de substância mol mol
Temperatura termodinâmica kelvin K
Corrente elétrica ampère A
Intensidade luminosa candela cd
*Conferência Geral de Pesos e Medidas
Sistema Internacional de Unidades (SI)
As unidades de base são rigorosamente definidas por meio de padrões.
Os padrões das medidas físicas são decididos pela CGPM celebrada 
periodicamente na Agência Internacional de Pesos e Medidas.
O metro é a 
distância 
percorrida pela luz 
no vácuo, em uma 
O segundo é a duração de 
9.192.631.770 períodos da radiação 
correspondente à transição entre dois 
níveis hiperfinos do estado 
Grandeza
Unidade SI
Nome Símbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Barra metálica de platina-irídio
no vácuo, em uma 
fração de 
1/299.792.458 de 
um segundo. Big Ben
níveis hiperfinos do estado 
fundamental do átomo de césio 133.
Múltiplos e Submúltiplos do SI
Fator Exponencial Prefixo Símbolo
1.000.000.000.000.000.000.000.000 1024 iota Y
1.000.000.000.000.000.000.000 1021 zetta Z
1.000.000.000.000.000.000 1018 exa E
1.000.000.000.000.000 1015 peta P
1.000.000.000.000 1012 tera T
1.000.000.000 109 giga G
1.000.000 106 mega M1.000.000 10 mega M
1.000 103 quilo k
100 102 hecto h
10 101 deca da
0,1 10-1 deci d
0,01 10-2 centi c
0,001 10-3 mili m
0, 000.001 10-6 micro µ
0, 000.000.001 10-9 nano n
0, 000.000.000.001 10-12 pico p
0, 000.000.000.000.001 10-15 femto f
0, 000.000.000.000.000.001 10-18 atto a
0,000.000.000.000.000.000.001 10-21 zepto z
Medições
Uma unidade de medida 
tem um tamanho 
unitário arbitrariamente 
definido, e é por meio de 
um processo de 
comparação quantitativa 
(medição) com esse 
padrão unitário que 
determina-se a 
Padrão do metro do 
século 18, colocado 
em 36, rue de 
Vaugirard, Paris, para 
uso público.
determina-se a 
magnitude de uma 
grandeza física . Isto é, 
quantas vezes o 
tamanho unitário está 
contido na medida que 
está sendo realizada.
uso público.
Tomado de http://commons.wikimedia.org/wiki/File:M%C3%A8tre-%C3%A9talon_Paris.JPG
Vetores e suas operaçõesVetores e suas operações
Noções de geometria e trigonometria
Triângulo retângulo: Triângulo que possui um ângulo reto (90º) e dois 
Ângulo: região de um plano concebida pelo encontro de duas 
semirretas que possuem uma origem em comum, chamada 
vértice do ângulo. A abertura do ângulo é medida em radianos 
ou graus.
Triângulo retângulo: Triângulo que possui um ângulo reto (90º) e dois 
ângulos agudos (<90º).
�Hipotenusa: do grego hypoteínousa que significa “contrário a”, 
neste caso ao ângulo reto. É o lado mais longo do triângulo 
retângulo.
�Catetos: são os lados (menores) que formam o ângulo reto.
Teorema de Pitágoras: Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento 
da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.
222 bac +=
Noções de geometria e trigonometria
Ângulos, arcos e radianos
Círculo
2
rÁrea pi=
roCompriment pi2=
B
AO
llll
r
α
2
rÁrea pi=
Um ângulo de 1 radiano corresponde ao ângulo central de um arco de 
circunferência de comprimento igual ao raio r. Isto é, αααα = 1 radiano quando llll = r.
o801rad =pio3,57rad1 ≈





=
=
rr
α
piα
l
l
180
Se α em °
Se α em 
rad
Comprimento do arco de circunferência AB:
Noções de geometria e trigonometria
Paralelogramo e suas propriedades
� As medidas dos lados opostos são iguais, isto é, os lados 
opostos são congruentes (a = c e b = d).
� Os ângulos opostos são congruentes (α = γ e β = δ).
� A soma dos ângulos internos é igual a 360º (α + β + γ + δ).
� Os ângulos α1 e α2 são adjacentes, pois possuem um lado em 
comum. A B
CD
α β
γδ
c
a
bd
comum.
� Os ângulos β e β1 são suplementares, isto é: β + β1 = 180º.
� Os ângulos α e ϕ são complementares, isto é: α + ϕ = 90º.
� Os ângulos α1 e γ2, assim como α2 e γ1 são congruentes.
� A diagonal divide o paralelogramo em dois triângulos 
geometricamente iguais ou congruentes, isto é, têm lados e 
ângulos iguais (ou congruentes).
� Ao serem traçadas, as diagonais se encontram no ponto médio.
a
α1
α2
γ1
γ2
β β1
ϕ
Um ângulo externo (β1) é formado pela extensão de um dos 
lados do ângulo original (β). O ângulo é formado entre o lado 
estendido e o lado oposto.
Ângulos adjacente e suplementares ?
Veja que β1 = α, 
portanto, α e δ são 
suplementares. 
Como ?
Noções de geometria e trigonometria
Teorema: A soma dos ângulos internos de um polígono é dada por:
( )2180)( −= nS o ( )2)( −= nradS pi
Triângulo:
S =180º pois n = 3
Paralelogramo:
S = 360º pois n = 4
CD
A B
Teorema: A soma dos ângulos externos de um polígono é igual a 
360º.
75º
75º
105º
105º
105º
105º
75º
75º
90º
53,13º 36,87º
90º
143,13º
126,87º
Teorema: A medida de 
um ângulo externo no 
vértice de um triângulo é 
igual à soma das 
medidas dos ângulos 
internos nos dois 
vértices opostos do 
triângulo.143,13º = 53,13º + 90º
Noções de geometria e trigonometria
Relações trigonométricas do triângulo retângulo
Seno de um ângulo ϕϕϕϕ
É dado pela razão: hipotenusa
aopostocateto ϕϕ =sen
hipotenusa
aadjacentecateto
cos
ϕϕ =Cosseno de um ângulo ϕϕϕϕÉ dado pela razão:
c
a
sen =α
α
hipotenusa
c
b
=αcos
Tangente de um ângulo ϕϕϕϕ
É dado pela razão entre o seno e o 
cosseno do ângulo ou entre os catetos : adjacentecateto
opostocateto
cos
s
tan ==
ϕ
ϕϕ en
b
a
=αtan
Noções de geometria e trigonometria
Leis trigonométricas para qualquer triângulo
casen =α
cb=αcosα
222 bac +=
Relação fundamental 
da trigonometria:
1cos22 =+ ααsen
Pitágoras
CA lei dos senos é uma relação matemática de 
α β
γ
A B
C
c
a
b
A lei dos senos é uma relação matemática de 
proporção entre os ângulos de um triângulo e os 
lados opostos, expressa como:
βαγ sen
c
sen
b
sen
a
==
A lei dos cossenos é uma generalização do Teorema de Pitágoras e estabelece 
que em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma 
dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois 
lados pelo cosseno do ângulo entre eles.
γcos2222 cbcba −+= αcos2222 cacab −+= βcos2222 babac −+=
Noções de geometria e trigonometria
Exemplos
1- Determine os valores desconhecidos no seguinte triângulo retângulo:
90º
36,87º
bc
α
87,3690
5
sen
c
sen
=
o13,5318087,3690 =∴=++ αα
cmcc 35cos =∴=α
cmbb 435 222 =∴+= cmc 3=∴5 cm cmbb 435 222 =∴+= cmc 3=∴
2- Determine os valores desconhecidos no seguinte triângulo acutângulo:
73º 
A B
C
c
10 cm
46º α
b
cmc
sen
c
sen
5,7
4673
10
≈∴=
o611804673 =∴=++ αα
cmb
sen
b
sen
1,9
6173
10
≈∴=
61cos5,7102
5,710 222
⋅⋅⋅
−+=b
cmb 1,9≈∴
Noções de geometria e trigonometria
Funções seno e cosseno
α
c
a
c
a
sen =α
c
b
=αcos
�As funções seno e cosseno são funções periódicas.
�O valor máximo das funções é 1.
�A função cosseno é a própria função seno desocada em 90º: )90(cos += αα sen
o801rad =pi
o801
pi
o90
2
pi
o270
2
3pi
o360
2pi
α
c
b
Noções de geometria e trigonometria
Círculo trigonométrico
�Segmento de reta de comprimento unitário girando 
sobre o ponto O.
�A projeção do segmento sobre os eixos y e x coincide 
com os valores das funções seno e cosseno 
respectivamente.
1
a
sen =θ
1
cos
b
=θθ
ver em http://www.dma.uem.br/kit/trigonometria/
Noções de geometria e trigonometria
Funções inversas
Função Inversa
Raiz Potência
Exponencial Logaritmo
Multiplicação Divisão
Adição Subtração
Seno e Cosseno ?
A função inversa do sen(θ) é:
( ) θ=− casen 1
( ) θ=caarcsen
θ
( ) ( )[ ] 11 −− ≠ casencasen!!!
Seno e Cosseno ?
2)( xxf =
Conheço x encontro f(x) --> 2)( xxf =
)(xfx =Conheço f(x) encontro x --> 
O resultado da função inversa é o ângulo (º) 
que corresponde ao valor conhecido da 
função. Por exemplo:
( ) θ=caarcsen
( ) ∴=12pisen
( ) radarcsen 21 pi= ( ) o01arccos =
( ) ∴=10cos o
Leia-se: o arco cujo seno é a/c vale θ
ou, θ é o arco cujo seno vale a/c.
Noções de geometria e trigonometria
Funções arco
( ) θ=cbarccos
θ é o arco cujo cosseno é b/c ou, 
θ é o ângulo cujo cosseno é b/c.
A função inversa do cos(θ) é: B
AO
llll
r
α
O resultado da função arco é o ângulo (º) que 
corresponde ao valor conhecido da função. Por 
exemplo: ( ) ∴= 0pisen
( ) 00 =arcsen ( ) o1801arccos =−
( ) ∴−= 1cos pi
θ é o ângulo cujo cosseno é b/c.
rα=l Se α em rad
Se r = 1 o arco e o ângulo 
têm o mesmo valor.
Vetores
Grandeza vetorial: caracterizada por meio de um número (sua magnitude) mais 
uma referência (sua unidade de medida), mais uma direção, mais um sentido.
Vetor : Elemento matemático utilizado para representar uma grandeza 
vetorial.
Representação no texto: Uma letra, que 
representa à grandeza vetorial, com uma seta 
encima, ou a letra em negrito: 

 kwv
rrr
;;
v ; w ; kencima, ou a letra em negrito: 

v ; w ; k
A magnitude do vetor é representada através do símbolo de módulo
ou pela própria letra sem negrito. A magnitude é sempre ≥ 0. 


 kwv
rrr
;;
v ; w ; k
Representação gráfica: Uma flecha, indicando magnitude, direção e 
sentido:
Direção: definida pelo ângulo
Sentido: indicado pela ponta da flecha
Magnitude: comprimento da flecha (≥ 0)
Vetores
Exemplo: força (F) do homem para subir o carrinho pela rampa
Flecha: representa o vetor (a força)α
Ângulo α: indica a inclinação da rampa
Reta r: representa à rampar
Direção da força: na direção da rampa
Sentido da força: de baixo para cima
Magnitude da força: valor (comprimento da seta)
Ângulo α: indica a inclinação da rampa
que será a linha de ação da força.
llll
F
r
α
l== FF
r
Vetores: operações
Multiplicação e divisão de um vetor por um escalar
u
r
A = 3,5
uuAv rrv 5,3== v
r
Se o comprimento 
de é de 2 cm, o 
comprimento de 
será de 7 cm.
u
r
v
r
E
s
c
a
l
a
r
 
>
 
0
v
r
C = 2,5
uu
C
v
rrv
5,2
11
==
v
r
u
r
Se o comprimento 
de é de 10 cm, o 
comprimento de 
será de 4 cm.
u
r
v
r
B = –1,2
uuBv rrv 2,1−==
u
r
Se o comprimento de é de 2 cm, o comprimento de será de 2,4 cm. 
O sentido de será oposto ao de , isto é, formam um ângulo de 180º.
u
r
v
r
u
r
v
r
E
s
c
a
l
a
r
 
>
 
0
E
s
c
a
l
a
r
 
<
 
0
Vetores: operações
Adição de dois vetores ( e ) vru
r
v
r
u
r
Regra do paralelogramo
v
r
u
r
R
r
vuuvR rrrr
r
+=+=
�Unir os dois vetores pelas suas caudas. Este vértice será 
chamado de origem.
�Construir um paralelogramo aproveitando o comprimento 
dos vetores.
�A diagonal que passa pela origem é o vetor resultante
(soma).
α R
r
Comutativa
u
rRegra do polígono 
(triângulo)
v
r
u
r
R
r
(soma).
�O sentido do vetor resultante é da origem até o outro 
extremo da diagonal.
�Unir a cauda do segundo vetor com a ponta do primeiro.
�Construir um triângulo, com o novo lado iniciando na cauda 
do primeiro vetor e finalizando na ponta do segundo vetor.
�O novo lado criado é o vetor resultante .
�O sentido do vetor resultante é da cauda do primeiro vetor 
para a ponta do segundo vetor.
�A magnitude do vetor resultante é dada pelo comprimento da diagonal do paralelogramo ou pelo 
comprimento do novo lado do triângulo. É calculada empregando as leis do seno ou do cosseno.
�O ângulo que caracteriza a direção do vetor resultante (α) é calculado empregando as leis do seno 
ou do cosseno.
α
R
r
Vetores: operações
Calculando magnitude e ângulo do vetor soma resultante
v
r
u
r
v
r
u
r
R
r
α θ
v
r
u
r
θ θ
θ
γângulo de
ângulo de
uu θ:
r
vv θ:
r
∴−+= γcos2222 uvuvR
uv θθθ −=
θγ −=180 γα sen
R
sen
v
=






= γα sen
R
v
arcsen
γcos222 uvuvR −+=
Lei do cosseno:
Lei do seno:
∴= γα sen
R
v
sen
θcos222 uvuvR ++=
θθγ cos)180cos(cos −=−= θθθθ cos)1(180cos180cos)180(cos −==± sensenm
Identidade






= θα sen
R
v
arcsen
θθθθ sensensensen )1(180coscos180)180( −±=±=±
Identidade
Vetores: operações
Um exemplo: somar 
v
r
u
r
v
r
u
r
R
r
α θ
v
r
u
r
θ θ
θ
γo0;UM5 == uu θ
o40;UM4 == vv θ
uv
rr
+
o40=−= uv θθθ
γα sen
R
sen
v
=
Lei do cosseno:
Lei do seno:
θcos222 uvuvR ++= 





= θα sen
R
v
arcsen
UM46,8≈R o7,17≈α
9≠+≠+ uvuv rr
Vetores: operações
Subtração de dois vetores ( e ) vru
r
v
r
u
r
Regra do paralelogramo
v
r
u
r
−
R
r
vuuvR rrrr
r
−≠−=
� Inverter o sentido do vetor subtraindo.
�Continuar com os passos vistos para a adição de 
vetores.α
Não comutativa
u
r
−
Regra do polígono 
(triângulo)
v
r
u
r
−
R
r
vetores.
� Inverter o sentido do vetor subtraindo.
�Continuar com os passos vistos para a adição de vetores.
α
α
v
r
−
u
r
P
r
u
r
−
v
r
R
r
vuP rr
r
−=
uvR rr
r
−=
PR
rr
≠
Vetores: operações
Calculando magnitude e ângulo do vetor diferença resultante
v
r
u
r
ângulo de
ângulo de
v
r
u
r
−
θθ
v
r
u
r
−
R
r
α
θ
γ
uu θ:
r
vv θ:
r
∴−+= θcos2222 uvuvR
uv θθθ −=
θγ sen
R
sen
v
=






= θγ sen
R
v
arcsen
θcos222 uvuvR −+=
Lei do cosseno:
Lei do seno:
∴= θγ sen
R
v
sen
γα −°=180
Vetores: operações
Adição de dois vetores de igual direção (colineares)
v
r
u
rDo mesmo sentido
�A magnitude do vetor resultante é dada pela soma das 
u
r
v
rR
r
uvR rr
r
+=
Dois vetores são colineares 
se têm a mesma direção.
v
r
u
r
=
De sentidos opostos
�A magnitude do vetor resultante é dada pela soma das 
magnitudes dos vetores originais (soma de escalares).
�A direção e o sentido do vetor resultante são as mesmas 
dos vetores originais.
( )uvR rrr −+=
v
r
u
r v
r
u
r
•
v
r
u
rR
r
�A magnitude do vetor resultante é dada pela diferença das 
magnitudes dos vetores originais (soma de escalares).
�A direção do vetor resultante é a mesma dos vetores 
originais.
�O sentido do vetor resultante é do vetor de maior 
magnitude.
v u
= { ou
Vetores: operações
Adição de n vetores vru
r
Regra do paralelogramo
v
r
1R
r
)()( wuvwuvR rrrrrr
r
++=++=
Associativaw
r
1R
r
R
r
α
�Unir todas as caudas.
�Com 2 vetores quaisquer 
aplicar os passos vistos 
para a adição.
u
r
w
r 1Rα β
para a adição.
�Aplicar novamente os 
passos agora 
considerando o vetor 
resultante e outro vetor 
original.
�Repetir até utilizar os n
vetores originais.Regra do polígono
v
r
u
r
R
r
α
w
r
β
�Unir a seta de um vetor (1) com a cauda de outro (2).
�Unir a cauda de um novo vetor (3) com a seta do vetor 2.
�Prosseguir até utilizar todos os vetores originais, formando 
um polígono.
�O vetor resultante parte da cauda do vetor 1 e termina na seta 
do último vetor n.
Vetores: decomposição
Decomposição de um vetor 
num plano
Um vetor pode ser obtido a partir da 
composição de outros dois.
Em oportunidades é conveniente fazer 
o processo inverso, isto é, decompor
um vetor em outros dois vetores.
Componentes cartesianas
Em oportunidades é conveniente que 
as componentes sejam normais ou 
retangulares (90º) uma à outra.
Aproveita-se um plano cartesiano xy.
F
r
y
r Pela lei do um vetor em outros dois vetores.
Vetor original
Decomposição tipo paralelogramo
R
r
R
r
R
r
R
r
v
r
u
r
w
r
k
r
pr
n
r
O vetor pode ser decomposto em uma 
quantidade infinita de par de vetores, 
chamados de componentes do vetor.
θ
F
r
x
yF
r
xF
r
O
xF
r
representa a projeção de no eixo x.Fr
yF
r
representa a projeção de no eixo y.Fr
yx FFF
rrr
+=
Pela lei do 
paralelogramo:
yx FF
rr
e também podem estar orientados 
no sentido negativos dos eixos.
Vetores coplanares: quando 
localizados em um mesmo plano.
Vetores: componentes cartesianas
θ
F
ry
x
yF
r
xF
r
O
Como saber a magnitude das componentes retangulares do vetor?
yx FFF
rrr
+=
F
θcosFFF xx ==
r
θsenFFF yy ==
r
F
F
F
F
x
x
== r
r
θcos
F
F
F
F
sen
yy
== r
r
θ
yx FF
rr
e também são vetores e representam as componentes cartesianas do vetor .F
r
Quando o ângulo entre 2 vetores é de 90º diz-se que são ortogonais.
Vetores: componentes cartesianas
Notação escalar
F
r
yF
r
F
r
� O módulo dos vetores , e é um escalar.
� Estes módulos ou magnitudes são sempre ≥ 0.
� Magnitudes < 0, apenas significa que o vetor 
correspondente está orientado no sentido 
negativo do eixo cartesiano.
� Com o valor das magnitudes opera-se 
algebricamente.
yx FF
rr
F
r
xF algebricamente.
UM20,5;UM68,448;UM7 ≈≈⇒== yx FFF oθ
UM87,5;UM25,1102;UM6 ≈≈⇒== yx AAA oϕ
Isto é um número, um escalar. 
Uma magnitude, tal como Ax, é sempre ≥ 0.
O valor negativo significa que a componente 
está no eixo negativo:
25,1)cos(6 −≈⋅ ϕ
321
xA
Exemplo:
Vetores colineares são somados algebricamente, dessa forma:
43,325,168,4 =−≈+ xx AF 07,1187,520,5 ≈+≈+ yy AF
Vetores: componentes cartesianas
Dificuldade: vetores de diferentes direções não podem ser somados algebricamente.
Solução: Com a decomposição as componentes colineares podem ser somadas 
algebricamente (soma de escalares).
Cálculo
uv
rr
+
wuv
rrr
++
v
r
r
y
v
r
u
r
w
r β
w
r
xw
r
−
yw
r
xv
r
v
yv
r
O
y
x
β
xu
rO x
u
r
Todas as componentes “Somando” as componentes Resultados
Vetores: componentes cartesianas
Um vetor unitário é um vetor de magnitude 1.
Como qualquer vetor, as componentes retangulares podem ser 
representadas através de um vetor unitário multiplicado por um 
escalar. k * =
� Quando nos eixos cartesianos é chamado de vetor cartesiano unitário ( ).
Vetor cartesiano unitário
u
r
� Quando nos eixos cartesianos é chamado de vetor cartesiano unitário ( ).
� É positivo quando está orientado no sentido positivo dos eixos. 
� Negativo em caso contrário. 
� A indicação da componente cartesiana no gráfico é dada pela magnitude 
(k e m no exemplo) multiplicada pelo vetor unitário cartesiano.
umFx
rr
=
ukFy
rr
=
F
r




k
u
r
u
Vetores: componentes cartesianas
É comum chamar de e aos vetores unitários dos 
eixos cartesianos x e y, respectivamente.
jrir
Propriedade: 1==== jjii rr
y
xO
jr
i
r
i
r
−
jr−Sinal: “+” se orientado no sentido positivo dos eixos.
“–” se orientado no sentido negativo dos eixos.
Notação de vetor cartesiano
( ) iAFimAF xxx rrrr +==+ ( ) jAFjkAF yyy rrrr +==+
xO im
r
x
Oimmi
rr
−=−
y
O
jk r
y
O
jkkj rr −=−
Observação: ( ) 0>=+ mAF xrr Observação: ( ) 0>=+ kAF y
rr
0Se >+ xx AF
0Se <+ xx AF
0Se >+ yy AF
0Se <+ yy AF
“–” se orientado no sentido negativo dos eixos.
jFiFF yx
rrr
+=Notação de vetor cartesiano:
Vetores: componentes cartesianas
Resumo de notações
Notação escalar
F
ry
yF
r
xx FF =
r
yy FF =
r
A notação escalar 
caracteriza a 
magnitude dos 
vetores e permite 
FF =
Notação de vetor cartesiano
jFiFF yx
rrr
+=
yx FFF
rrr
+=
x
xF
r
O
F
ry
x
jFy
r
iFx
rO
jFiFF yx ˆˆˆ +=
vetores e permite 
realizar operações 
algébricas.
A notação cartesiana 
permite identificar o 
eixo ao qual pertence 
cada componente de 
um vetor.
FF =
Regra do paralelogramo
Vetores: componentes cartesianas
Representação de vetores cartesianos: Exemplos 
jiuv rrrr 32 +=+ jiDA rr
rr
2+−=+ jiac rrrr −−=+ 2d + g = 3i – 3j
y
jr3
y
jr2
y
3i
y
xO i
r
2 xOi
r
1− xO
– 3j
3i
xOi
r
2−
jr−
jwv rrr 5,2−=+
y
xO
jr5,2−
z + k = 1,5i
y
xO
1,5i
Os vetores estudados até aqui são 
também chamados de vetores 
bidimensionais, isto é, que podem 
ser representados em um sistema 
de duas direções, ou espaço 
bidimensional: o plano.
Vetores: trabalho analítico
Resultante de uma soma de vetores
v
r
u
r
uv
rr
+
w
r β
wuv
rrr
++ wuv
rrr
++y
xu
β
( ) ( ) jwuviwuvwuv yyyxxx rrrrr +++++=++
( )ywuv rrr ++
( )xwuv rrr ++
wuv
rrr
++ ∑∑ +=++ yx jiwuv
rrrrr
jCiCwuv yx
rrrrr
+=++
22
yx CCwuvR +=++=
rrr Magnitude
R: Resultante do vetor cartesiano.
R
44 344 21
xC≡ocompriment
∑= yy jjC
rr
∑= xx iiC
rr
C: Soma cartesiana das componentes.
x
y
x
Vetores: trabalho analítico
β
( )ywuv rrr ++
wuv
rrr
++
jCiCwuv yx
rrrrr
+=++
22
yx CCwuvR +=++=
rrr∑= yy jjC
rr R
Ângulo de um vetor cartesiano
y
( )xwuv rrr ++
x
y
C
C
arctan=β∑= xx iiC rr
xCR =βcosA componente no eixo xrelacionada com o cosseno
R
C
R
C
arcsen x
y
arccos==β
x
Vetores: trabalho analítico
Procedimento de análise
F
ry
yF
r
o
r
48;UM7 ==⇒ θFF
o
r
102;UM6 ==⇒ ϕAA
UM20,5;UM68,4 ≈≈ yx FF
UM87,5;UM25,1 ≈−≈ yx AA
?=+ AF
rr
Notação 
escalar


θ
x
xF
r
O yxyx AAFFAF
rrrrrr
+++=+
jiAF ˆ)87,520,5(ˆ)25,168,4( ++−=+
rr
( ) ( ) jAFiAFAF yx rrrrrrrr +++=+
jiAF rr
rr
07,1143,3 +=+
UM59,1107,1143,3 22 ≈+=+ AF
rr
o8,72
43,3
07,11
arctan ≈





=β
yx
θcosFFx =
r
θsenFFy =
r
1. Calcular o valor das componentes.
2. Operar algebricamente.
3. Representar o vetor resultante em forma 
cartesiana.
4. Calcular magnitude e ângulo.
Vetores: trabalho analítico
Interpretação
AF
rr
+
jiAF rr
rr
07,1143,3 +=+
β
jCy
r
R
jCiCAF yx
rrrr
+=+
y
Notação 
vetorial
222 07,1143,3 +=R 





=
43,3
07,11
arctanβ
β
iCx
r
Triângulo retângulo (Pitágoras)
Hipotenusa Cateto oposto
Cateto adjacente adjacente cateto
oposto cateto
43,3
07,11
tan ==β
x Notação escalar
Vetores cartesianos tridimensionais
z
Espaço tridimensional é aquele que pode ser definido como tendo três 
dimensões.
Vetor cartesiano tridimensional é aquele vetor que pode ser representado em 
um espaço tridimensional.
z
Vetores cartesianos unitários
y
x
F
r
F
y
x
yθ
xθ
zθ
Ângulos diretores: definem a direção do vetor.
São os ângulos formados com os eixos x, y, e z.
i
r jr
k
r
,i
r
ejr k
r
Vetores cartesianos tridimensionais
z
Regra da mão direita
y
x
F
r
F
� O polegar, perpendicular ao plano xy, aponta na 
direção positiva do eixo z.
� Com a mão em L, os 4 dedos apontam na direção do 
eixo x positivo.
� Fechando a mão, os 4 dedos apontam na direção do 
eixo y positivo.
i
r jr
k
r
Vetores cartesianos tridimensionais
z
Componentes cartesianas: projeções
z
y
x
F
r
F
y
x
F
r
F
iFx
r
jFy
r
xF
yF
Vetores cartesianos tridimensionais
Componentes cartesianas: projeções
z
F
kFz
r
z
y
x
F
r
F
xF
zF
iFx
r
y
x
F
r
F
Vetores cartesianos tridimensionais
kFjFiFF zyx
rrrr
++=
Magnitude
z
F
r
kFz
r
zθ
Componentes
Cartesianas
zyx FFFF
rrrr
++=
Retangulares
Magnitude
222
zyx FFFF ++=
( )FFxx arccos=θ ( )FFyy arccos=θ
( )FFzz arccos=θ
1coscoscos 222 =++ zyx θθθ
y
x
F
iFx
r
jFy
r
F yθ
xθ Ângulos e cossenos diretores 
Soma dos quadrados dos cossenos diretores =1
Vetores cartesianos tridimensionais
Adição: 
Operações com vetores tridimensionais
kFjFiFF zyx
rrrr
++=
kAjAiAA zyx
rrrr
++=
kAFjAFiAFAF
rrrrr )()()( +++++=+Adição: kAFjAFiAFAF zzyyxx
rrrr )()()( +++++=+
Subtração: kAFjAFiAFAF zzyyxx
rrrrr )()()( −+−+−=−
Multiplicação por um escalar c: kcFjcFicFFc zyx
rrrr
++=
∑∑∑ ++=+ zyx kjiAF
rrrrr
Vetores cartesianos tridimensionais
Produto escalar: Definição
Operações com vetores tridimensionais
kFjFiFF zyx
rrrr
++=
kAjAiAA zyx
rrrr
++=
z
F
r
F
y
x
A
r
A
θθcosFAFA =⋅
rr
� O resultado é um escalar.
� Vale 0 para vetores ortogonais (90º).
� Vale 1 para vetores unitários colineares (0º).
� É comutativo
� É distributivo 
� Multiplicação por escalar 
( )AFFA rrrr ⋅=⋅
[ ]( )FCACFAC rrrrrrr ⋅+⋅=+⋅
Propriedades: 
[ ] [ ] [ ]( )aFAFAaFAa rrrrrr ⋅=⋅=⋅
Vetores cartesianos tridimensionais
Produto escalar
( ) ( )kFjFiFkAjAiAFA zyxzyx rrrrrrrr ++⋅++=⋅
z
F
r
F( )+⋅+⋅+⋅= kiFjiFiiFA zyxx rrrrrr
θcosFAFA =⋅
rr
y
x
A
r
A
θ( )+⋅+⋅+⋅+ kjFjjFijFA zyxy rrrrrr
( )kkFjkFikFA zyxz rrrrrr ⋅+⋅+⋅+
zzyyxx FAFAFAFA ++=⋅
rr
1=⋅=⋅=⋅ kkjjii
rrrrrr
0=⋅=⋅=⋅ jkkiji r
rrrrr
Multiplicam-se as componentes correspondentes (do mesmo eixo) e somam-
se os produtos.
Vetores cartesianos tridimensionais
Produto escalar: Aplicações z
y
x
F
r
F
A
θ
zzyyxx FAFAFAFA ++=⋅
rr
( ) ( )[ ]FAFA rr ⋅= arccosθ
θcosFAFA =⋅
rr
� Cálculo do ângulo entre dois vetores ou retas.
x A
r( ) ( )[ ]FAFA⋅= arccosθ
� Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta (r) de qualquer orientação, 
assim como da componente perpendicular.
A
r
F
r
⊥A
||A
⊥F
r
||F
r
u
r
u
r
Sendo a direção da reta r dada pelo vetor 
unitário , então:
uAuAA rr
r
αcos|||| ==
Componentes de A: colinear e perpendicular a r 
u
r
( ) uuAA rrrr ⋅=||
uAAuAA r
r
⋅=== αα coscos||
2
||
2 AAA −=⊥
Projeção escalar de 
A na direção de r Projeção ortogonal de 
F na direção de r
Problemas para avaliação:
(revisar os Problemas Fundamentais do Capítulo 2 que 
Problemas
2.2; .3; 6; 8; 10; 18; 19.
2.36; .37; 38; 40; 42; 45; 50; 57.
2.59; .60; 68; 82.
(revisar os Problemas Fundamentais do Capítulo 2 que 
começam nas páginas 18, 26 e 36)