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CURSO DE VETORES 
PROFESSOR CARLOS MIRANDA 
A IDÉIA DE VETOR 
Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as 
vetoriais. As escalares são aquelas que ficam 
completamente definidas por apenas um número real 
(acompanhado de uma unidade adequada). Comprimento, 
área, volume, massa, temperatura, densidade, são exemplos 
de grandezas escalares. Assim, quando dizemos que mesa 
tem 3m de comprimento, que o volume de uma caixa é de 
10m3 ou que a temperatura ambiente é de 30ºC, estamos 
determinando perfeitamente estas grandezas. 
 Existem, no entanto, grandezas que não ficam 
completamente definidas apenas pelo seu módulo, ou seja, 
pelo número com sua unidade correspondente. Falamos das 
grandezas vetoriais, que para serem perfeitamente 
caracterizadas necessitamos conhecer seu módulo (ou 
comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. 
Força, velocidade, aceleração, são exemplos de grandezas 
vetoriais. 
 
O QUE É UM VETOR? 
Para responder a pergunta acima, devemos primeira 
conhecer a noção de direção, sentido e comprimento. 
Tem um Axioma1 que nos diz que por um ponto 
qualquer localizado num plano cartesiano passa infinitas 
retas. Sendo assim, para termos uma direção definida 
precisamos de outro ponto e, com isso descreveremos uma 
única reta e uma só direção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se escolhermos o ponto A para situarmos um novo 
sistema de coordenadas (movimento de Translação), 
veremos que o caminhar para o ponto do B nos dará o que 
chamamos de sentido. Contudo, se fizermos o mesmo 
procedimento em B, caminhando para o ponto A, teremos o 
que denominamos de sentido contrário (oposto). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao posicionar os pontos A e B, surgiu o segmento 
de reta AB. Este, como todo o segmento possui um 
comprimento linear definido. Com isso, temos um ente 
geométrico que possui uma direção, um sentido e um 
comprimento, denominado representante de um vetor. 
Dizemos que duas representantes vetoriais são 
iguais quando possuem a mesma direção, o mesmo sentido e 
o mesmo comprimento e fazem parte de um mesmo Vetor. 
Agora responda: O QUE É UM VETOR? 
 
1 .Axioma significa algo que é digno de confiança. 
 
 
Exercícios 01 
 
A Figura é constituída de nove quadrados congruentes (de 
Mesmo tamanho). Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma 
das seguintes afirmações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) BA OF h) //AC HI o) PN AM 
b) AM PH i) //JO LD p) AC FP 
c) BC OP j) //AJ FG q) IF MF 
d) BL MC  k) AB EG r) AJ AC 
e) DE ED  l) AM BL s) 2AO NP 
f) AO MG m) PE EC t) AM BL 
g) KN FI n) PN NB 
 
 
COMPONENTES VETORIAS 
 Podemos calcular as componentes de um vetor 

w 
a partir das coordenadas das extremidades de um segmento 
orientado que o representa. 
 Se 

w = 

AB , A (x1, y1) e B (x2, y2), então, 

w = (x2-x1, y2-y1) ou 

AB = B – A ou 

w = 







12
12
yy
xx
 . 
 
EX.: Localize os pontos A (-1, 2) e B (3, -4) no plano 
cartesiano e determine as componentes do vetor 

AB . 
 
CALCULO DO MÓDULO (COMPRIMENTO) DE UM 
VETOR OU DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS. 
 
 
 
 
 
 
EX.: Determine um ponto de ordenada 2 cuja distância ao 
ponto A(0, -1) é igual a 5. 
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EX.: Determine o ponto do eixo das abscissas que é 
eqüidistante dos pontos A( 1 , -1) e B( 5, 7 ). 
 
 
EX.: Num paralelogramo ABCD, nessa ordem, tem-se A 
(-3, 5), B(1, 7) e C(5, -1). Determine as coordenadas de D. 
 
 
EX.: Dados A (0, 1), B(-3, 1), C(-2, 5) e D(-3, 4), calcular os 
seguintes vetores: 
a) 

CDAB b) 

 ADBC 3.2 e) 

 BDAC .3 
 
EX.; Determinar o vetor x nas figuras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EX.: O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores 
AB e AD , sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB, 
respectivamente. Completar convenientemente: 
a) ABAD = 
b) DABA = 
c) BCAC = 
d) BCAN  = 
e) MBMD  = 
f) DCBM
2
1
 = 
 
EX.: No triângulo ABC (Figura abaixo), tem-se 
1
2
BM BC e 
1
3
BN BC . Expressar os vetores AM 
e AN em função de AB e AC . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EX.: Dados os vetores u =(1,-1), v = (-3, 4) e w = (8, -6), 
calcular 
a) | u | c) | w | e) | 2 u - w | g) 
|| v
v
 
 
b) | v | d) | u + v | f) | w – 3 u | h) | 
|| u
u
 | 
PRODUTO ESCALAR 
Definição Algébrica 
Chama-se produto escalar de dois vetores ),( 11 yxu

 
e ),( 22 yxv

, e se representa por u . v , ao número real. 
1 2 1 2 1 2u.v x x y y z z   (1) 
 
O produto escalar de u por v também é indicado 
por < u ,. v > e se lê ” u escalar v ”. 
 
EX.: Dados os vetores 1) ,5(v e )3 ,2( 

u , calcule o 
produto ..

vu 
Solução 
 
..

vu = -2.(-5) + 3.1 = 13 
 
7.1. Propriedades do Produto Escalar 
Para quaisquer vetores u , v e w e o número real a, 
é fácil verificar que: 
I) u . v v . u 
II)  u. v w u . v u . w   e 
 v u .w u . w v . w   
III)      u v u . v u. v     
IV) u . u 0 se u 0 e u . u = 0, seu u = 0 = (0,0) 
V) u . u = 
2
u 
 
Ex.: Sendo u 4 , v 2 e u.v 3 , calcular 
   3u 2v . u 4v   
 
Solução 
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       
     
2 2
2 2
3u 2v . u 4v 3u . u 4v 2 v . u 4
3u.u 12u .v 2 v .u 8v.v
3 u 14u.v 8 v
3 4 14 3 8 2
48 42 32
38
        
   
  
   
   
 
 
 
7.3. Definição Geométrica de Produto Escalar 
Se u e v são vetores não-nulos e  o ângulo entre 
eles, então 
u. v u v cos (2) 
Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC da 
Figura abaixo, temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2 2
u v u v 2 u v cos    (3) 
 
Por outro lado, de acordo com o exemplo 2 (item 
anterior): 
2 2 2
u v u v 2u.v    (4) 
Comparando as igualdades (3) e (4): 
2 2 2 2
u v 2u . v u v 2 u v cos     
e, daí 
0 0u . v u v cos , 0 180    
 
Conclusão: O produto escalar de dois vetores não-nulos é 
igual ao produto de seus módulos pelo co-seno 
do ângulo por eles formado. 
 
EX.: 
Sendo u 2 , v 3 e 1200 o ângulo entre u e v
,calcular 
a) u . v b) u v c) u v 
 
Solução 
 
a) Pela relação (2), tem-se 
   0
1
u . v u v cos120 2 3 3
2
 
     
 
 
 
b) Vimos que 
2 2
u v u 2u . v v    
Então, 
 
2
2 2u v 2 2 3 3 7      
e, portanto, 
2
u v 7  
c) De forma análoga tem-se 
2 2 2
u v u 2u .v v    
 2 22 2 3 3
19
   

 
e, portanto 
u v 19  
 
Algumas considerações importantes 
0 0u. v 0 cos 0 0 90       (Figura a) 
20) 
0 0u. v 0 cos 0 90 180       (Figura 
b) 
 
30) 
0u. v 0 cos 0 90      (Figura c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta última afirmação estabelece a condição de 
ortogonalidade de dois vetores: 
Dois vetores u e v são ortogonais se, e somente se, 
u. v 0 . 
EX.: Verifique, em cada caso, se os vetores são ortogonais. 
a) 2)- ,3(u e 3)- ,2(

w 
b) 5)- ,4(u e 4) ,5( 

v 
Solução 
a) -2.3+(-3).(-2) = 0 (verdadeiro) 
b) -5.4 + (4).(-5) = 0 ( Falso) 
 
 
 
 
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Exercícios 02 
 
01. Verificar se v e w são paralelos nos casos abaixo 
relacionados. 
a) v ( 4 ; 2) e w ( 12; 6) 
b) v (6 ; 9) e w ( 12 ; 15) 
c) v (-3 ; 4) e w ( 4 ; -3) 
02. Verifica se v e w são ortogonais nos casos abaixo 
relacionados. 
a) v ( 3 ; 2) e w ( -4 ; 6) 
b) v (-1 ; -3) e w ( 3 ; -1) 
c) v ( 5 ; 4) e w ( -2 ; 3) 
 
04. Obter y de modo que os pontos A ( 3, y), B( 0, 4) e C( 
4, 6) sejam vértices de um triângulo retângulo em A. 
 
 
05. Dados A(-2 , 4) e B( 3, -1) vértices consecutivos de um 
quadrado, determine os outros dois vértices. 
 
06. Determinar o ângulo entre v e w nos casos:a) v ( 1, -2) e w ( 10, 5) 
 b) v ( 4, 3 ) e w ( 8, 6 ) 
c) (3;0)v  e (1; 3)w  
 
07. Dado o triângulo de vértices A (0; 2), B( 3 ; 5 ) e C( 
0 ,6), calcular a medida do ângulo interno Â. 
 
08. Calcular a medida dos três ângulos internos do triângulo 
ABC. Sabendo que A( 1, 2), B( 2, 0) e C(0, -1). 
 
Leia o Texto 
Um órgão responsável pela preservação da floresta 
Amazônica solicitou a um engenheiro florestal o 
mapeamento de uma área, que possui uma grande quantidade 
de árvores nobres, em desenvolvimento, para evitar o 
desmatamento ilegal praticado pelos madeireiros da região. 
Para isso, o engenheiro, usando coordenadas cartesianas, 
mapeou uma área no formato de triângulo retângulo de 
vértices A=(2 , 2), B=( 5 , Y ) e C=( 13 , 0 ), com ângulo 
reto no vértice B e todos os pontos no primeiro quadrante. 
 
Com base no texto resolva as questões 04 e 05. 
 
08. (MIRANDA) Ao enviar o mapeamento ao referido órgão 
o engenheiro esqueceu-se de completar as coordenadas do 
vértice B. Nessas condições, o vértice B é: 
 
a) (5, 6) b) (5, 4) c) (5, -6) d) (5, 5) e) (5, -4) 
 
09. (MIRANDA) Por ter cometido um erro no mapeamento, 
o engenheiro resolveu substituir os vértices do triângulo 
pelos pontos A= ( 3 , 5) , B= (0 , 2) e C=( 0 , 6).No 
entanto,o ângulo do vértice B passou a ter um valor diferente 
de 90o .Nessas condições, o valor do novo ângulo é: 
 
a)30º b) 60º c) 45º d) 120º e) 150º 
 
COORDENADAS CARTESIANAS NO ESPAÇO 
1. CONCEITO 
Como vivemos num mundo tridimensional, muitos 
problemas práticos são resolvidos com o uso da Geometria 
Analítica Espacial. Estudaremos, neste capítulo, a sua 
linguagem. 
No espaço tridimensional, a posição de um ponto P 
pode ser determinada a partir de um Referencial Cartesiano 
Ortogonal (Sistema de Coordenadas Cartesianas 
Retangulares). 
Um Sistema de Coordenadas Cartesianas 
Retangulares no Espaço Tridimensional formado por três 
escalas numéricas (eixos) perpendiculares entre si, que tem 
a mesma unidade de comprimento e um ponto origem 
comum. Os eixos são chamados, habitualmente, de x, y e z. 
A orientação fixada, como na figura a seguir, é chamada de 
positiva ou dextrógira. Os eixos x, y e z são chamados de 
eixos coordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os três planos que contam os pares de eixos são 
chamados de planos coordenados. O plano xy o que contam 
o eixo x e o eixo y; o plano yz e o que contem o eixo y e o 
eixo z e o plano xz que contem o eixo x e o eixo z. 
A cada ponto P do espaço, associamos uma trinca 
ordenada de números reais (a,b,c). O plano que contem o 
ponto P e e paralelo ao piano yz corta o eixo x em um ponto. 
Como o eixo x e uma escala numérica, este ponto representa 
um numero, a coordenada x do ponto P, chamada de 
abscissa; analogamente, o plano que contam P e e paralelo 
ao plano xz corta o eixo y em um ponto, que representa um 
numero, a coordenada y de P, chamada de ordenada; e o 
plano que contam P e é paralelo ao plano xy corta o eixo z 
em um ponto, que representa um 
numero, a coordenada z de P, 
chamada de cota. 
Nessas condições, a cada 
ponto P do espaço corresponde 
uma única terna ordenada de 
números reais (a,b,c) , que são 
as coordenadas de P referido ao 
sistema fixado. Reciprocamente, 
a cada terna de números reais 
(a,b,c) corresponde um único ponto do espaço. 
NOTAÇÃO: para indicarmos que a, b e c são as 
coordenadas de um ponto P, indicaremos: 
P(a,b,c) ou P = (a,b,c). 
 
Os triedros trirretangulares formados pelos planos xy, 
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yz e xz determinam 8 octantes no espaço. Veja a figura ao 
lado. 
EX.: Seja um paralelepípedo trirretangular, cujas as 
coordenadas dos vértices, em cada caso. 
 
 
 
a) 0 = (0,0,0) (origem) 
 A = (2,0,0) (pertencente ao eixo 
x) 
 B = (0,5,0) (pertencente ao eixo 
y) 
 C = (0,0,4) (pertencente ao eixo 
z) 
 D = (2,5,0) (pertencente ao 
plano xy) 
 E = (0,5,4) (pertencente ao 
plano yz) 
 F = (2,0,4) (pertencente ao 
plano xz) 
 G = (2,5,4) 
 
b) 0 = (0,0,0) (origem) 
 A = (2,0,0) (pertencente ao eixo 
x) 
 B = (0,-5,0) (pertencente ao 
eixo y) 
 C = (0,0,-4) (pertencente ao 
eixo z) 
 D = (2,-5,0) (pertencente ao 
plano xy) 
 E = (0,-5,-4) (pertencente ao 
plano yz) 
 F = (2,0,-4) (pertencente ao 
plano xz) 
 G = (2,-5,-4) 
 
Você deve ter notado que um ponto qualquer P 
(x,y,z): 
P  plano xy  z =0 
P  plano yz  x =0 
P  plano xz  y =0 
P  eixo x  y =0 e z = 
0 
P  eixo y  x =0 e z = 
0 
P  eixo z  x =0 e y = 
0 
 
Temos, assim, fixado um Sistema Cartesiano 
Ortogonal ou Referencial Cartesiano Ortogonal, fazendo 
corresponder a cada ponto de E3 uma terna de numero reais 
do IR3 e reciprocamente. 
Fixaremos, agora, uma base conveniente para o 
estudo de vetores no espaço tridimensional, usando 
coordenadas. Habitualmente, a base escolhida é formada por 
três vetores linearmente independentes, chamados de i , j 
e k , de modo que i , j e k sejam unitários e possuam as 
mesmas orientações dos eixos x, y e z, respectivamente. O 
sistema (0, i , j , k ) também chamado de Sistema de 
Coordenadas Cartesianas Ortogonais no Espaço. A base ( i
, j , k ) é dita ortonormal pois seus vetores são unitários e 
ortogonais dois a dois. 
Utilizaremos, neste trabalho, exclusivamente o 
sistema (0, i , j , k ). Considere um ponto P do espaço, de 
coordenadas a, b e c, isto é, seja P = (a,b,c). O vetor 
0P = P - 0 , que tem origem em 0 e extremidade em P, 
pode ser expresso de modo único como combinação linear 
de i , j e k . 
 
Observe a figura ao 
lado. 
O vetor P – 0 = A - 
+ D - A + P - D, mas como 
temos o paralelepípedo 
OABCDEFP, tem-se: D -A 
= B – 0 e P – D = C - 0. 
Além disso, A – 0 = a. i , B 
– 0 – b. j e c. k , assim 
teremos: 
OP = P – 0 = a. i + b. j + c. k , ou seja todo vetor 
aplicado na origem e igual a uma combinação linear de i , 
j e k . Os números a, b e c são chamados de coordenadas 
do vetor P – 0. Os vetores a. i , b. j e c. k , são as 
componentes do vetor 0P nas direções de i , j e k , 
respectivamente. 
P – 0 é chamado de VETOR—POSIÇÃO do ponto P. 
Indicaremos o vetor P - 0 = a. i + b. j + c. k também da 
seguinte forma P - 0 = (a,b,c). 
Assim, dado um ponto do espaço P = (a,b,c), o vetor-
posição de P será o vetor P - 0 = a. i + b. j + c. k = (a,b,c) 
e, reciprocamente, um vetor P - 0 = a. i + b. j + c. k = 
(a,b,c), aplicado na origem, é vetor-posição do ponto P = 
(a,b,c), que se encontra em sua extremidade. 
 
PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE OUTRO 
Sejam os vetores u e v não-nulos e θ o ângulo 
entre eles. Pretendemos decompor um dos vetores, digamos 
v , tal que 
1 2v v v  
sendo 1v // u vi/tu e 2v u . 
A figura abaixo ilustra as duas situações possíveis, 
podendo ser θ um ângulo agudo (Figura a) ou obtuso 
(Figura b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor 1v é chamado projeção ortogonal de v 
sobre u e indicado por 
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1 u
v = proj v (9) 
 
Ora, sendo 1v // u , temos 1v =αu e como 
2 1v v v v αu    é ortogonal a u , vem 
 v αu . u 0  
ou 
v . u αu . u 0  
e 
v.u
α=
u .u
 
Portanto, sendo 1v αu , por (9) conclui-se que 
u
v.u
proj v u
u .u
 
  
 
 (10) 
Interpretação Geométrica do Módulo do Produto 
Escalar 
 
Se em (10) o vetor u u é unitário  u 1 , tem-se 
 uproj v v.u u  pois 
2
u . u u 1  
e, portanto, 
 uproj v v.u u v.u u   
ou 
u
proj v v.u 
Logo, 
o comprimento do vetor projeção de v sobre u , 
sendo u unitário, é igual ao módulo do produto escalar de v 
por u . 
 
Exemplos 
1) Determinar o vetor projeção de  v 2,3,4 sobre 
 u 1, 1,0  . 
 
Solução 
Temos 
     v . u 2 1 3 1 4 0 1      
   
2 2 2 2u . u u 1 1 0 2      
Logo 
 
u
v . u 1 1 1
proj v u 1, 1,0 ,, 0
2 2 2u . u
      
        
    
 
2) Dados os vetores  v 1,3, 5  e  u 4, 2,8  , 
decompor v como 1 2v v v  , sendo v // u e 
2v u . 
 
Solução 
a) Pela figura abaixo e por (10), temos 
1 u
v . u
v = proj v u
u . u
 
  
 
 
Como 
     v . u 1 4 3 2 5 8 42      
e 
 
22 2u . u 4 2 8 84     , vem 
     1
42 1
v = 4, 2,8 4, 2,8 2,1, 4
84 2

       
 
b) Sendo 1 2v v +v , tem-se 
      2 1v v v 1,3, 5 2,1, 4 3,2, 1         
Observamos que 2v u pois 
     2v . u 3 4 2 2 1 8 0     
 
EX.: Dados os vetores  u 3,0,1 e  v = 2,1, 2 , 
determinar 
v
proj u e 
u
proj v . 
 
EX.: Determinar o ângulo entre os vetores 
a)  u = 2, 1, 1  e  v = 1, 1, 2  
b)  u = 1, 2,1 e  v = 1,1,0 . 
Definição do Produto Vetorial 
Chama-se produto vetorial de dois vetores 
1 1 1u = x i + y j + z k e 2 2 2v = x i + y j + z k 
tomados nesta ordem, e se representa por u v , ao vetor 
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
y z x z x y
u v = i - j + k
y z x z x y
 (1) 
O produto vetorial de u por v também é indicado 
por u v e lê-se “ u vetorial v 
Observemos que a definição de u v dada em (1) 
pode ser obtida do desenvolvimento segundo o Teorema de 
Laplace substituindo-se a, b e c pelos vetores unitârios i , 
j j e k k, fato que sugere a notação 
 
2 2 2
2 2 2
i j k
u v y y y
y y y
  (2) 
O símbolo à direita de (2) não é um determinante, 
pois a primeira linha contém vetores em vez de escalares. No 
entanto, usaremos esta notação pela facilidade de 
memorização que ela propicia no cálculo do produto 
vetorial. 
 
Exemplo 
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Calcular u v para u = 5i + 4j + 3k e 
v = i + k . 
Solução 
i j k
4 3 5 3 5 4
u v 5 4 3 i j k
0 1 1 1 1 0
1 0 1
     
     4 0 i - 5 - 3 j 0 - 4 k   
= 4i - 2j - 4k 
 
Dispositivo prático para o cálculo de u v 
Dispõe-se os dois vetores em linha, e repete-se pela 
ordem, as duas primeiras colunas. As três componentes de 
u v são dadas pelos três determinantes, conforme está 
indicado a seguir. A vantagem do dispositivo é que não se 
corre o risco de esquecer a troca de sinal do determinante 
intermediário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Levando-se em conta as considerações feitas sobre as 
propriedades dos determinantes, concluímos de imediato 
que: 
1º)  u v u v    ,isto é, os vetores v u e 
u v são opostos (Figura abaixo), pois a troca de 
ordem dos vetores no produto vetorial u v implica 
troca de sinal de todos os determinantes de ordem 2, ou 
seja, troca de sinal de todas as suas componentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por outro lado, como u v u v   conclui-se 
que o produto vetorial não é comutativo (ao contrário 
do produto escalar: u . v v . u . 
Portanto, no produto vetorial a ordem dos fatores é 
importante. 
 
2º) u v 0  se, e somente se, u // v , pois neste caso, 
todos os determinantes de ordem 2 têm suas linhas 
constituídas por elementos proporcionais. 
Estão aí também incluídos os casos particulares: 
I) u u 0  (determinantes de ordem 2 com linhas 
iguais) 
II) u 0 = 0 (determinantes de ordem 2 com uma 
linha de zeros) 
Exemplos de produto vetorial de vetores paralelos: 
a)  u 3u 0  
b)    2u -7u 0  
c)    u v v u 0    
d)    u - v v u 0   
e)    2u +3v 6u 9v 0   
f)  5u 0 0  
Sabemos que um vetor está bem definido quando 
conhecemos sua direção, seu sentido e seu comprimento. A 
seguir passaremos a definir o vetor u v no caso de u e 
v serem não-nulos e não-paralelos. 
 
Características do Vetor u v 
Consideremos os vetores  1 1 1u = x , y , z e 
 2 2 2v = x , y , z . 
a) Direção de u v 
O vetor u v é simultaneainente ortogonal a u e 
v . 
 
Tendo em vista que dois vetores são ortogonais 
quando o produto escalar deles ézero, basta mostrar que 
 u v .u 0  e  u v .v 0  
Temos, então 
  1 1 1 1 1 11 1 1
2 2 2 2 2 2
y z y z x y
u v .u x - y z
y z y z x y
   
1 1 1
1 1 1
2 2 2
x y z
x y y 0
x y y
 
 (primeira e segunda linhas iguais). 
Logo, u v é ortogonal a u e a v . 
De forma análoga, demonstra-se que 
 u v .v 0  . 
Como o vetor v u tem a mesma direção de 
u v (apenas seus sentidos são opostos), também ele é 
ortogonal tanto a u como a v . A Figura abaixo apresenta 
os vetores u v e v u ortogonais ao plano π 
determinado por u e v . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE VETORES 
PROFESSOR CARLOS MIRANDA 
Exemplo 
Dados os vetores u = (3, 1, 2) e v = (- 2, 2, 5) , tem-
se 
i j k
u v = 3 1 2 = (1, -19, 8)
-2 2 5

 
e 
 u v . u = (1, -19, 8) (3, 1, 2) = 3 - 19 + 16 = 0 
 u v . v = (1, -19, 8) (-2, 2, 5) = -2 - 38 + 40 = 0  
b) Sentido de u v 
O sentido de u v poderá ser determinado 
utilizando-se a “regra da mão direita” (Figura abaixo (a)). 
Sendo θ o ângulo entre u e v , suponhamos que u (1º 
vetor) sofra uma rotação de ângulo θ até coincidir com v . 
Se os dedos da mão direita forem dobrados na mesma 
direção da rotação, então o polegar estendido indicará o 
sentido de u v . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Figura (b) mostra que o produto vetorial muda de 
sentido quando a ordem dos vetores é invertida. Observemos 
que só será possível dobrar os dedos na direção de v para 
u se invertermos a posição da mão, quando então o dedo 
polegar estará apontando para baixo. 
Caso tenhamos dúvidas sobre o sentido de u v , 
podemos associar estes dois vetores a uma dupla de vetores 
unitários escolhidos entre i , j e k . Por exemplo, 
associando u v , com i j je tendo em vista que 
 
i j k
i j = 1 0 0 = 0, 0, 1 k
0 1 0
  , o sentido de k 
daria o sentido de u v . Da mesma forma temos 
j k i  e k i j  
Na figura ao lado 
apresentamos um 
dispositivo mnemônico 
para lembrar os seis 
produtos vetoriais possíveis 
com estes três vetores 
unitários que determinam o 
sistema eartesiano. 
Associando estes vetores a 
três pontos distintos de uma circunferência, e adotando o 
sentido anti-horário, o produto vetorial de dois vetores 
sucessivos quaisquer é o vetor seguinte. Assim, neste 
dispositivo temos imediatamente i j k  (sentido anti-
horário) e, conseqüentemente, j i k   (sentido 
horário). 
A tabela de dupla entrada apresenta as seis 
possibilidades com produto vetorial não-nulo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Comprimento de u v 
Se θ é o ângulo entre os vetores u e v não-nulos, 
então 
 
2 2
u v = u v sen θ (3) 
Este resultado será imediato quando se conhece a 
Identidade de Lagrange: 
  
22 2 2
u v = u v - u v  (4) 
Como 
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
y z x z x y
u v = 
y z x z x y
   
     
2 2 2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1= y z - y z + x z - x z + x y - x y (5) 
e 
 
22 2
u v - u v = 
    
22 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2= x + y + z x + y + z - x x + y y z z
 (6) 
a identidade (4) poderá ser verificada desenvolvendo-se os 
membros da direita de (5) e (6) e constatando sua igualdade 
(a cargo do leitor). Tendo em vista que 
u v u v cos θ  
a igualdade (4) pode ser escrita como 
2 2 2 2 2
2u v = u v - u v cos θ 
 
2 2
2= u v 1 cos θ 
2 2
2u v sen θ 
Extraindo as raízes quadradas e notando que 
sen θ 0 (pois 0 00 θ 180  ), obtemos 
u v = u v sen θ . 
 
Interpretação Geométrica do Módulo do Produto 
Vetorial 
Observando que no paralelogramo determinado pelos 
vetores não-nulos u e v (Figura abaixo), a medida da base 
é u e da altura é v sen θ , a área A deste paralelogramo é 
 
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  A = base altura u v sen θ 
ou seja, 
A = u v  (7) 
O resultado dado em (7) poderá ser expresso por: “a 
área do paralelogramo determinadopelos vetores u e v é 
numericamente igual ao comprimento do vetor u v ”. 
Vamos comprovar este resultado por meio de um 
exemplo particular tomando os vetores u = 2i e v 3j . 
Temos, então 
 
i j k
u v = 2 0 0 0,0,6 6k
0 3 0
  
 
e 
u v = 6 
A figura ao lado mostra 
claramente que o paralelogramo 
determinado por u e v tem 6 u.a. 
(unidades de área) e o vetor u v 
tem 6 u.c. (unidades de comprimento). 
Quer dizer, numericamente estas 
medidas são iguais. 
 
 
Para encerrar o estudo do produto vetorial, as 
conclusões finais: 
1) O produto vetorial não é associativo, isto é, em geral 
    u v w u v w     
Basta considerar, por exemplo, 
 i j j k j i      
enquanto que 
 i j j i 0 0     
 
2) Para quaisquer vetores u v w  , e o escalar α , são 
válidas as propriedades 
I)      u v + w u v u w     e 
     u + v w u + w v w    
II)      α u + v αu v u αv    
III)    u . v w u v .w   
As demonstrações destas propriedades, todas ligadas 
à aplicação da definição (1) e de propriedades dos 
determinantes além das citadas no texto, deixamos a cargo 
do leitor como desafio. 
 
Exemplos 
1) Determinar o vetor x , tal que x seja ortogonal ao eixo 
dos y e u x v  , sendo  u 1, 1, - 1 e 
   u 1, 1, - 1 v 2, - 1, 1  v = (2, -1, 1). 
 
Solução 
Como x 0y , ele é da forma  x x, 0, z . 
Então, u x v  equivale a 
 
i j k
1, 1, -1 x 0 z
2 -1 1

 
ou 
   1, 1, -1 z, - x + 2z, - x 
Pela condição de igualdade de dois vetores resulta o 
sistema 
 z = 1
- x + 2z = 1
-x = -1 





 
cuja solução é x = 1 e z = 1. 
Portanto,  x 1, 0, 1 . 
2) Sejamos vetores  u 1, -1, - 4 e  v 3, 2, -2 . 
Determinar um vetor que seja 
a) ortogonal a u e v ; 
b) ortogonal a u e v e unitário; 
c) ortogonal a u e v e tenha módulo 4; 
d) ortogonal a u e v e tenha cota igual a 7. 
 
Solução 
a) Sabe-se que o vetor u v é simultaneamente 
ortogonal a u e v . Como multiplicar um vetor por um 
número real não altera a sua direção, todos os vetores 
do tipo  α u v , α IR , são também ortogonais 
a u e v . Portanto, este problema tem infinitas 
soluções. 
 
i j k
u v 1 -1 -4 10, -10, 5
3 2 -2
  
 
Logo, as infinitas soluções são 
α (10, -10, 5), α IR . 
 
Observação 
Se chamarmos de x = (x, y, z) todos os vetores 
ortogonais a u e v , estas mesmas soluções seriam obtidas 
resolvendo-se o sistema: 
x . u = 0
x . v = 0



 
ou 
x - y -4z = 0
3x + 2y -2z = 0



 
b) A partir de u v (ou de qualquer o ( u v ),   0), 
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obtém-se dois vetores unitários: 
1
u v (10, -10, 5) 2 2 1
u , - , 
15 3 3 3u v
  
    
 
 
e 
2 1
2 2 1
u u - , , -
3 3 3
 
    
 
. 
c) Para obter um vetor de módulo 4 que seja ortogonal a 
u e v , basta multiplicar por 4 um vetor unitário: 
2 2 1 8 8 4
4 , - , , - , 
3 3 3 3 3 3
   
   
   
. 
ou 
 2 2 1 8 8 44 , , - , , -
3 3 3 3 3 3
   
     
   
 
d) Dentre as infinitas soluções 
   α 10, -10, 5 10α, -10α, 5α , deseja-se aquela cuja 
cota é 7. Então, 5α = 7 , ou seja, 
7
α = 
5
. Logo, temos 
a solução    
7
 10, -10, 5 14, -14, 7
5
 . 
3) Seja um triângulo eqüilátero ABC de lado 10. Calcular 
AB × AC . 
 
Solução 
É uma aplicação direta da relação (3): 
AB × AC AB AC sen Â 
Como 
0Â = 60 (Figura abaixo), vem 
 
 
 
 
 
 
 
  
3
AB × AC 10 10 50 3
2
 
   
 
 
Observação 
Este resultado representa a área do paralelogramo 
determinado pelos vetores AB e AC . Logo, a área do 
triângulo da figura é a metade, ou seja, 25 3 . 
 
4) Dados os vetores  u = 1, -1, 1 e  v = 2, -3, 4 , 
calcular 
a) a área do paralelogramo determinado por u e v ; 
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo 
vetor u . 
 
Solução 
a) Sabemos de (7) que a área A é dada por A = u × v 
Como 
 
i j k
u × v 1 -1 1 -1, -2, -1
2 -3 4
 
 
tem-se 
 A = -1, -2, -1 1 + 4 + 1 6 u.a  (unidades de área). 
b) A figura abaixo ilustra outra vez o significado 
geométrico de u × v e indica a altura h que se pretende 
calcular. De 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  A = base altura u . h 
vem 
u × vA
h = 
u u

 
ou seja 
 
6 6
h = 2 u . c
1, -1, 1 3
  (unidades de 
comprimento). 
5) Determinar a distância do ponto P(5, 1, 2) à reta r que 
passa por A (3, 1, 3) e B(4, -1, 1). 
 
Solução 
Seja d a 
distância do 
ponto P à reta 
r (Figura ao 
lado). Os 
vetores AB e 
AP 
determinam um paralelogramo cuja altura relativa à base AB 
é a distância d de P a r. 
Logo, de acordo com o problema anterior, temos 
AB × AP
d = 
AB
 
Como  AB 1, -2, -2 ,  AP 2, 0, -1 e 
 
i j k
AB × AP 1 -2 -2 2, -3, 4
2 0 -1
 
 
vem 
 
 
2, -3, 4 4 9 16 29
d = u.c
31, -2, -2 1 4 4
 
 
 
 
6) Dados os vetores  u 2, 1, -1 e  v 1, -1, a , calcular 
o valor de a para que a área do paralelogramo 
determinado por u e v seja igual a 62 . 
 
Solução 
A área A do paralelogramo é dada por 
A = u × v 
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Deseja-se que 
u × v 62 
Mas 
 
i j k
u × v 2 1 -1 a - 1, -2a, -3
1 -1 a
  
e 
 a - 1, -2a -1, -3 62 
ou 
     
2 2 2
a - 1 -2a - 1 - 3 62   
Elevando ambos os membros ao quadrado e 
ordenando os termos, vem 
2 2a - 2a + 1 + 4a + 4a + 1 + 9 = 62 
25a + 2a - 51 =0 
donde 
a = 3 ou 
17
a = -
5
. 
7) Dados os pontos A(2, 1, 1), B(3, -1, 0) e C(4, 2, -2), 
determinar 
a) a área do triângulo ABC; 
b) a altura do triângulo relativa ao vértice C. 
 
Solução 
a) A figura abaixo mostra que, a partir do triângulo ABC, 
é possível construir um paralelogramo ABDC, cuja 
área é o dobro da área do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
Como o paralelogramo é determinado pelos vetores 
AB e AC , conclui-se que a área A do triângulo é 
1
A AB × AC
2
 
 
Mas 
 AB 1, -2, -1 ,  AC 2, 1, -3 
e 
 
i j k
AB × AC 1 -2 -1 7, 1, 5
2 1 -3
 
 
Logo, 
 
1 1 1 5
A 7, 1, 5 49 1 25 75 3 u.a.
2 2 2 2
       
b) A altura do triângulo indicada na figura é a mesma do 
paralelogramo de base AB. Como a área A do 
paralelogramo é 
  A= base altura = b . h , vem 
 
AB × ACA 75 5 3 5
h = 2 u.c
B 21, -2, -1 6AB
    
ATIVIDADES 
 
1) Seu u 3i j 2k   , v 2i 4 j k   e 
w i k   , determinar 
 
a) u v g)  u v w  
b)    2v 3v h)  u v w  
c)    u w w u   i) u v u w   
d)    u v v u   j)  u v .w 
e)  u v w  k)  i j j  
f)  u v w  l)    u v v u   
 
2) Efetuar 
 
a) i k g)  i . j i 
b)  j 2i h)  j . j k 
c)    3i 2k i)  i j k  
d)  i. j k j)  i j j  
e)    3i . 3j k)  i j j  
f)    3i 3j l)  j k .i 
 
3) Dados os pontos A(2, 1, -1), B(3, 0, 1) e C(2, -1, -3), 
determinar o ponto D tal que AD BC AC  . 
 
4) Determinar o vetor x tal que  x . 1, 4, -3 - 7 e 
   x 4, -2, 1 3, 5, -2  
 
5) Resolver os sistemas 
a) 
 
x j k
x . 4i - 2j + k 10
  


 
b) 
 
 
x 2i - j + 3k 0
x . i + 2j - 2k 12
  




 
 
6) Dados os vetores  u 3, 1, 1 ,  v -4, 1, 3 e 
 w 1, 2, 0 , determinar x de modo que x w e 
x u v  . 
 
 
 
 
7) Levando em conta a figura abaixo, calcular 
 
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a) OF OD d) EC EA 
b) AC FA e)  OA . OC OE 
c) AB AC f) GB AF 
 
8) Com base na abaixo, calcular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) AB AD d) AB CD 
b) BA BC e) BD AC 
c) AB DC f) BD CD 
 
9) Dados os vetores  u = 3, -1, 2 e  v = -2, 2, 1 , 
calcular 
a) a área do paralelogramo determinado por u e v ; 
 
b) a altura do paralelogramo relativaà base definida pelo 
vetor v . 
 
10) Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo 
determinado por  u = m, -3, 1 e  v = 1, - 2, 2 
seja igual a 26 . 
 
11) Sabendo que u 6 , v 4 e 30º o ângulo entre u 
e v , calcular 
 
a) a área do triângulo determinado por u e v ; 
b) a área do paralelogramo determinado por u e  v ; 
c) a área do paralelogramo determinado por u v e 
u v . 
 
12) Calcular a área do paralelogramo determinado pelos 
vetores u e v , sabendo que suas diagonais são 
 u v -1, 3, 4  e  u v 1, -1, 2  . 
 
13) Calcular a distância do ponto P(4, 3, 3) à reta que passa 
por A(1, 2, -1) e B(3, 1, 1). 
 
14) Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao 
lado BC, sendo dados 
a) A(-4, 1, 1), B(1, 0, 1) e C(0,-1, 3) 
b) A(4, 2, 1), B(1, 0, 1) e C(1, 2, 0) 
 
15) Sabendo que os pontos A(4, 0, 0), B(0, 0, 2), C(0, 3, 0) 
e D(4, 3, -2) são coplanares, calcular a área do 
quadrilátero ABCD. 
 
16) Os pontos médios dos lados do triângulo ABC são 
M(0, 1, 3), N(3, -2, 2) e P(1, 0, 2). Determinar a área 
do triângulo ABC.