Centro de massa de corpos rígidos

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Física 
 
 
 
 
CENTRO DE MASSA DE CORPOS RÍGIDOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Sumário 
 
Introdução .......................................................................................................................................2 
Objetivos ..........................................................................................................................................3 
Conceitos .........................................................................................................................................3 
Definição ..........................................................................................................................................3 
Centro de Massa..............................................................................................................................3 
Propriedades de concentração de massa e simetria ..................................................................4 
Velocidade e aceleração no centro de massa .............................................................................6 
Exercícios .........................................................................................................................................7 
Gabarito ...........................................................................................................................................8 
Resumo ............................................................................................................................................9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
 
Nesta aula, aprenderemos sobre centro de massa de corpos rígidos. 
Compreender esse conceito é muito importante para analisar por exemplo um 
sistema aonde se quer saber aonde está o ponto de equilíbrio. 
Além do cálculo de centro de massa também é possível entender as 
propriedades de simetria e concentração de massa, o cálculo da velocidade do centro 
de massa e aceleração do centro de massa. 
Ao imaginarmos um cilindro sendo lançado, após várias fotos sendo tiradas, 
durante o decorrer da trajetória, a intervalos bem pequenos, do objeto em 
movimento. Esse cilindro descreve uma trajetória parabólica, e comporta-se como se 
toda a massa estivesse concentrada em único ponto e todas as forças que atuam em 
cada partícula do cilindro também estivessem aplicadas nesse ponto. Esse ponto em 
especial é chamado de centro de massa. 
Ele existe também para sistemas formados por corpos separados. O Sistema 
Solar, por exemplo, tem um centro de massa e é em torno desse centro de massa que 
giram os planetas, e não em torno do centro do Sol, embora o centro de massa do 
Sistema Solar esteja bem próximo do centro do Sol. Baseados nesses exemplos, já 
podemos perceber a importância do centro de massa na análise do movimento de um 
sistema de partículas. Outro fato importante que temos que mencionar a respeito do 
centro de massa é que as forças internas não afetam o movimento do centro de massa 
de um sistema. Sendo assim, por exemplo, se durante o movimento um corpo sofrer 
alterações apenas por efeito de forças internas, isso não irá alterar o movimento do 
centro de massa. Para exemplificarmos isso, vamos considerar o centro de massa do 
corpo humano. Quando uma pessoa está com seu corpo esticado, seu centro de 
massa (C) está um pouco abaixo do umbigo, porém se ela levantar os braços ou as 
pernas, ou ainda dobrar o corpo, ou os braços ou as pernas, o centro de massa irá para 
outra posição. 
 
SAIBA MAIS! 
 
 
Um fato interessante é que o centro de massa pode estar fora 
do corpo. Assim sendo, a existência do centro de massa não 
se limita a casos de objetos rígidos. 
 
3 
 
Objetivos 
 
• Compreender a definição de centro de massa e suas propriedades; 
• Desenvolver a habilidade de aplicação das equações de centro de massa; 
• Adquirir capacidade de compreensão e desenvolvimento de exercícios de 
centro de massa. 
 
Conceitos 
 
Neste material, vamos entender que para o cálculo de centro de massa 
utilizamos a média ponderada das coordenadas cartesianas dos pontos materiais e 
que os pesos da média são as respectivas massas de cada ponto relacionado ao 
somatório. Vamos também adquirir um conhecimento sobre as propriedades de 
simetria, ou seja, se um elemento possui um eixo de simetria, o centro de massa 
pertence a esse eixo. E também, o conceito da propriedade de concentração de 
massa, que diz que um sistema pode ser dividido em outros sistemas para obter entre 
os sistemas divididos, as coordenadas do centro de massa do sistema total. 
 
Definição 
 
 A partir das considerações primitivas da segunda Lei de Newton, aprendemos que 
todo corpo acelerado produz uma força, considerando a massa como característica 
intrínseca do corpo. Agora uma pergunta relevante a se fazer é: será que o movimento 
é regido pela massa do corpo, pela localização do centro de massa ou pelas condições 
do sistema como velocidade, aceleração e posição relativa? É respondendo esses 
questionamentos que introduzimos a definição de centro de massa conforme as leis 
da mecânica clássica. 
 
Centro de Massa 
 
Considerando o sistema de coordenadas com os pontos
1P
, 
2P
,... e 
nP
 com 
massas 
1m
, 
2m
, ... e 
nm
, respectivamente, em um plano xy. 
 
 
4 
 
 
Fonte: Autor 
 
Se conhecermos as coordenadas x e y de cada ponto, conseguiremos achar o 
centro de massa de C, aplicando a média ponderada: 
 
1 1 2 2
1 2
1 1 2 2
1 2
. . ... .
...
. . ... .
...
n n
cm
n
n n
cm
n
m x m x m x
x
m m m
m y m y m y
y
m m m
+ + +
=
+ + +
+ + +
=
+ + +
 
 
 
Propriedades de concentração de massa e simetria 
 
Para a propriedade de concentração de massas, considerando um sistema de 
pontos materiais de massas m1, m2, ..., mn e com centro de massa C. Vamos separar 
este sistema em dois outros sistemas: 
• Um de massas m1, m2, ... , de centro de massa C’ e de massa total m’ = m1 + m2 
+... 
• E outro de massas, ..., mn, de centro de massa C” e de massa total m”= ...+ mn. 
 O centro de massa C do sistema todo é obtido a partir dos centros de massa C’ 
e C”, considerando concentradas nesses pontos as massas m’ e m”, respectivamente. 
Sendo assim suas coordenadas: 
 
' ''
' ''
' ''
'. ''.
' ''
'. ''.
' ''
'. ''.
' ''
c c
c
c c
c
c c
c
m x m x
x
m m
m y m y
y
m m
m z m z
z
m m
+
=
+
+
=
+
+
=
+
 
 
 
5 
 
 Se um sistema de pontos materiais admite um elemento de simetria, então o 
centro de massa do sistema pertence a esse elemento. O elemento de simetria pode 
ser um ponto (centro de simetria), um eixo ou um plano. Vamos supor que um ponto 
(O) seja um centro de simetria. Provemos que (O) coincide com o centro de massa. 
Considere o sistema de pontos materiais situados num plano e seja Oxy um sistema 
cartesiano com origem no ponto. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para a solução devemos dividir a figura em dois quadrados, o primeiro de lado 
2a e cujo centro de massa é o ponto (A) de coordenadas (a, a), e o segundo, de lado (a) 
e de centro de massa (B) cujas coordenadas são (2,5 a, 0,5 a).: 
 
 
 
A abscissa do centro de massa da placa toda é dada por: 
 
. .A A B B
cm
A B
m x m x
x
m m
+
=
+
 
 
Vamos determinar as coordenadas do centro de massa da 
placa homogênea de espessura constante, cujas dimensões 
estão indicadasna figura: 
 
. 
 
 
6 
 
Como a placa é homogênea e de espessura constante, temos que as massas 
são proporcionais às respectivas áreas. Sendo AA= (2 a)2= 4 a2 , AB = a2 , xA = a e xB = 2,5 
a, temos que: 
 
4 ². ².2,5
4 ² ²
4 ³ 2,5 ³
5 ²
6,5 ³
5 ²
1,3
cm
cm
cm
cm
a a a a
x
a a
a a
x
a
a
x
a
x a
+
=
+
+
=
=
=
 
 
Analogamente para as coordenadas 
cmy
, temos que 
0,9cmy a=
. Portanto a 
coordenada do centro de massa é 
( )1,3 ;0,9C a a
. 
 
Velocidade e aceleração no centro de massa 
 
Considere um sistema de pontos materiais cujas massas são m1, m2, ..., mn, e 
sejam v1, v2, ..., vn, respectivamente, suas velocidades num certo instante. Neste 
instante, o centro de massa possui velocidade vC dada por uma média ponderada das 
velocidades dos pontos materiais do sistema, sendo os pesos dessa média as 
respectivas massas, ou seja: 
 
1 1 2 2
1 2
. . ... .
...
n n
c
n
m v m v m v
v
m m m
+ + +
=
+ + +
 
 
Portanto, a quantidade de movimento de um sistema de pontos materiais é 
igual à quantidade de movimento do centro de massa, considerando que toda a 
massa do sistema está concentrada nele. 
Considere um sistema de pontos materiais m1, m2, ..., mn, e sejam a1, a2, ..., an, 
respectivamente, suas acelerações num certo instante. Neste instante, o centro de 
massa possui aceleração aC dada por uma média ponderada das acelerações dos 
pontos materiais do sistema, sendo os pesos dessa média as respectivas massas, ou 
seja: 
 
1 1 2 2
1 2
. . ... .a
...
n n
c
n
m a m a m
a
m m m
+ + +
=
+ + +
 
 
 
7 
 
Portanto, o centro de massa se move como se fosse uma partícula de massa 
igual a massa do sistema e sob ação da resultante que atuam no sistema. 
 
EXEMPLO 
 
 
A velocidade do centro de massa é dado por: 
 
1 1 2 2
1 2
. . ... .
...
n n
c
n
m v m v m v
v
m m m
+ + +
=
+ + +
 
 
Substituindo os valores dados pelo enunciado, temos que: 
 
.5 2 .8
2
21
3
7m/s
c
c
c
m m
v
m m
m
v
m
v
+
=
+
=
=
 
 
 
 Portanto a velocidade escalar do centro de massa é 
7m/scv =
. 
 
Exercícios 
 
1. As partículas A e B, de massas 1,5 kg e 1,0 kg, deslocam-se com velocidades vA e vB 
perpendiculares entre si e de módulos vA = 2,0 m/s e vB = 4,0 m/s. Calcule o módulo 
da velocidade do centro de massa do sistema constituído pelas duas partículas. 
2. Um homem de massa m está sentado na popa de um barco em repouso, num lago. 
A massa do barco é M = 3m e seu comprimento é L. O homem levanta-se e anda em 
direção à proa. Desprezando a resistência da água, determine a distância D que o 
bote percorre durante o percurso do homem da popa a proa. 
As partículas A e B, de massas m e 2m, deslocam-se ao longo 
do eixo Ox, com velocidades escalares vA = 5,0 m/s e vB = 8,0 
m/s. Determine a velocidade escalar do centro de massa. 
 
 
8 
 
 
 
3. Qual a distância do centro de massa do sistema Terra-Lua ao centro da Terra? 
Considerando que a massa da Terra é 5,98 x 1024 kg , a massa da Lua é 7,36 x 1022 kg 
e a distância Terra Lua seja 3,82 x 108 m. 
 
 
Gabarito 
 
1. A quantidade de movimento de um sistema de pontos materiais é a 
quantidade de movimento do centro de massa, considerando que toda massa 
do sistema está concentrada nele, ou seja: 
.sistema cQ mv=
. Vamos, inicialmente, 
determinar o módulo da quantidade de movimento do sistema em que: 
sistema A B
Q Q Q= +
. Lembrando que 
.Q mv=
, calculando QA e QB temos 
respectivamente 3 kg.m/s e 4 kg.m/s . 
Lembrando que: 
 
No triângulo destacado na figura ao lado, por Pitágoras temos que 
sistema
Q =
 
5,0 kg.m/s. E, portanto 
2m/scv =
. 
2. Considerando inicialmente o conjunto homem e barco teremos um centro de 
massa 
1,5
4
i
L
x = . Na segunda parte, iremos considerar que o homem tenha 
andando uma distância (L) no barco, enquanto o barco tenha andado uma 
 
9 
 
distância (D) para trás, considerando que agora a posição do centro de massa 
do conjunto está em 2b
L
x D= − , considerando que o problema nos diz que o 
barco está em repouso na situação inicial, pela conservação do centro de 
massa temos que 
4
L
D =
. 
3. Lembrando que: 
1 1 2 2
1 2
. . ... .
...
n n
cm
n
m x m x m x
x
m m m
+ + +
=
+ + +
 
 
 Aplicando os valores dados no enunciado temos que 
64,64.10 mcmx d= 
. 
 
Resumo 
 
Centro de Massa de corpos rígidos 
Para centro de massa analisando as coordenadas em x, ou xy ou xyz , para cada 
coordenada faremos a média ponderada: 
 
1 1 2 2
1 2
1 1 2 2
1 2
1 1 2 2
1 2
. . ... .
...
. . ... .
...
.z .z ... .z
...
n n
cm
n
n n
cm
n
n n
cm
n
m x m x m x
x
m m m
m y m y m y
y
m m m
m m m
z
m m m
+ + +
=
+ + +
+ + +
=
+ + +
+ + +
=
+ + +
 
 
Propriedades de simetria e de concentração de massa 
 Para a propriedade de simetria, se um sistema de pontos materiais admite um 
elemento de simetria, então o centro de massa do sistema pertence a esse elemento. 
O elemento de simetria pode ser um ponto (centro de simetria), um eixo ou um plano. 
Já para a propriedade de concentração de massa devemos lembrar que: 
 
' ''
' ''
' ''
'. ''.
' ''
'. ''.
' ''
'. ''.
' ''
c c
c
c c
c
c c
c
m x m x
x
m m
m y m y
y
m m
m z m z
z
m m
+
=
+
+
=
+
+
=
+
 
 
10 
 
Velocidade e aceleração do centro de massa 
 Na velocidade e aceleração do centro de massa, devemos lembrar que 
respectivamente temos: 
 
1 1 2 2
1 2
. . ... .
...
n n
c
n
m v m v m v
v
m m m
+ + +
=
+ + +
 
1 1 2 2
1 2
. . ... .a
...
n n
c
n
m a m a m
a
m m m
+ + +
=
+ + +
 
 
DICA 
 
 
 
 
 
Para os problemas que envolvem centro de massa, vale 
lembrar que após a interpretação do que realmente o 
problema está pedindo, é só “jogar na fórmula”.