Enviando Matemática - Curso Anglo - n3_aulas4a6

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SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
www.cursoanglo.com.br
2008
N • Í • V • E • L 3
Treinamento para
Olimpíadas de
Matemática
AULAS 4 a 6
Ângulos (em polígonos e na circunferência)
Proposição 1
Se duas retas são paralelas, cada par de ângulos alternos
e internos são congruentes e reciprocamente.
Proposição 2
A soma das medidas dos três ângulos internos de um triân-
gulo é 180°.
Proposição 3
A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual a soma
das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.
Proposição 4
A soma das medidas dos ângulos agudos de um triângulo
retângulo é 90°.
α + β = 90°
α
β
β = ∠ A + ∠ C
A
B
C
β
∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°
A
B
C
transversal
α
β
paralelas
r
s
Se r//s, então α = β
RelacionadosConceitos
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
Proposição 5
Qualquer ponto da bissetriz de um ângulo é eqüidistante dos
lados do ângulo.
Proposição 6 — Triângulos isósceles
Se dois lados de um triângulo são congruentes, os ângulos opostos a estes
lados são congruentes e reciprocamente.
Proposição 7
Se uma reta é tangente a uma circunferência, então ela é perpen-
dicular ao raio no ponto de tangência.
Proposição 8 — Ângulos na circunferência (inscrito e central)
Proposição 9
Na mesma circunferência ou em circunferências congruentes, arcos congruentes tem cordas congruentes e reci-
procamente.
Proposição 10
A soma dos ângulos internos de um Polígono Convexo de n lados é 180° (n – 2).
Assim uma soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°.
A
B
C
D
Se AB = CD, então AB = CD
A
B
α
 1
 2α = AB
A
B
α
α = AB
A
raio
I
tangente a circunferênciaT
ponto de tangência
AT IT
d
α’
α
d’
bissetriz
α = α’ e d = d’
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Proposição 11
Um quadrilátero cíclico(inscrito) é um quadrilátero com todos os
seus vértices pertencentes à uma mesma circunferência. Os ângu-
los opostos de um quadrilátero cíclico são suplementares. A recí-
proca também é verdadeira
1. (OBM) Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura.
Qual a medida do ângulo x?
a) 39º d) 44º
b) 41º e) 46º
c) 43º
2. (OBM) Na figura, o lado AB
——
do triângulo eqüilátero ABC é paralelo ao lado DG
——
do quadrado DEFG. 
Qual é o valor, em graus, do ângulo x?
a) 80° d) 110°
b) 90° e) 120°
c) 100°
3. (Treinamento OBMEP) Na figura, os dois triângulos ABC e FDE são eqüiláteros. 
Qual é o valor do ângulo x?
a) 30° d) 60°
b) 40° e) 70°
c) 50°
B
75°
A D
65°
G
C
H
E
F
x°
x
G
A
D
B C E
F
x75°
126°30°
ClasseEm
C
B
A D
∠ A + ∠ C = 180°
® Antonio Gutierrez
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4. (Treinamento OBMEP) No triângulo KLM temos KL = KM, KT = KS e ∠LKS = 30°. 
Qual a medida, em graus, do ângulo T SˆM?
a) 10° d) 25°
b) 15° e) 30°
c) 20°
5. (OLIMPÍADA ITALIANA) Na figura abaixo ABCDE representa um pentágono regular e ABP um triângulo eqüilátero.
Qual é a medida do ângulo BCP?
a) 45° d) 66°
b) 54° e) 72°
c) 60°
6. (OLIMPÍADA ITALIANA) Considerando que no círculo da figura abaixo, o ângulo BÂC mede 35° e que CD é um diâ-
metro, podemos afirmar que o ângulo B CˆD mede
a) 35º d) 55º
b) 45º e) 60º
c) 50º
1. (OBM) A figura mostra dois quadrados sobrepostos.
Qual é o valor de x + y em graus?
a) 270 d) 360
b) 300 e) 390
c) 330
x
y
CasaEm
A
B
C
O D
A B
CE
D
P
K
T
Mx
S
L
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2. (OLIMPÍADA AMERICANA) No trapézio ABCD de lados paralelos AB e CD, a diagonal BD e o lado AD tem igual
comprimento.
Se o ângulo D CˆB mede 110° e o ângulo CBˆD mede 30°, então a medida x, em graus, do ângulo ADˆB é
a) 80 d) 110
b) 90 e) 120
c) 100
3. (OLIMPÍADA AUSTRALIANA) Determine, em graus, o valor de S:
S = u + v + w
a) 90 d) 150
b) 90 e) 180
c) 120
4. (Treinamento para Olimpíada Colombiana) ABC é um triângulo. D é um ponto do lado BC tal que BD = 2 e DC = 1.
Sabendo que: ∠ACD = 45º e ∠ADB = 60º. A medida, em graus, do ângulo ABˆC é
a) 55 d) 75
b) 60 e) 90
c) 70
5. (Treinamento para Olimpíada Canadense) Na figura abaixo, ∠QAB = ∠QAC = 10°, ∠QBA = 20° e ∠QBC = 100°.
Então, a medida, em graus, do ângulo ACˆQ é
a) 10 d) 25
b) 15 e) 30
c) 20
6. (OBM) Constrói-se o quadrado ABXY sobre o lado AB do heptágono regular ABCDEFG, exteriormente ao heptá-
gono. Determine a medida do ângulo BXˆC, em radianos. (π radianos equivale a 180°)
a) d)
b) e)
c)
π
14
3
28
π3
7
π
3
14
π
 
π
7
20°
100°
10°
10°
Q
A
B
C
v
w
u
A B
CD
x
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SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 6 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
7. (OBM) Se girarmos o pentágono regular, ao lado, de um ângulo de 252°, em torno do seu
centro, no sentido horário, qual figura será obtida?
a) d)
b) e)
c)
8. (OBM) Na figura, quanto vale x? 
a) 6°
b) 12°
c) 18°
d) 20°
e) 24°
9. (OBM) Na figura, a reta PQ toca em N o círculo que passa por L, M e N. A reta LM corta a reta PQ em R. Se LM = LN
e a medida do ângulo PNL, em graus, é α, com α � 60°, quanto mede o ângulo LRP?
a) 3α – 180° d)
b) 180° – 2α e) α
c) 180° – α
10. (OLIMPÍADA AMERICANA) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular. P é um ponto interno a este pentá-
gono de modo que ∠PAE = 48° e ∠PCD = 42°, nestas condições a medida do ângulo CPE, em graus, é
a) 132
b) 148
c) 150
d) 160
e) 168
90
2
° −
α
P QR
M
L
N
α
2x3x
4x
5x
6x
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B
P
E D
C
A
48.0°
42.0°
11. (OLIMPÍADA ARGENTINA) Seja ABC um triângulo tal que AB = AC. Seja ADC um triângulo tal que AC = CD.
Seja AB perpendicular a CD. Nestas condições, sendo x e y medidas, em graus, dos ângulos ADC e ABC res-
pectivamente (figura), podemos afirmar que x + y =
a) 130°
b) 135°
c) 145°
d) 150°
e) 155°
12. (OLIMPÍADA ITALIANA) Um triângulo eqüilátero DEF é construído por pontos (vértices) D, E e F pertencentes aos
lados AB, BC e CA, respectivamente, de um triângulo ABC. Se β e α são medidas, em graus, dos ângulos BDE e
DFA respectivamente, determinados por esta construção conforme figura abaixo, e ∠BAC = 46°, então α – β =
a) 13°
b) 14°
c) 15°
d) 16°
e) 17°
13. (OLIMPÍADA ITALIANA) Dado os ângulos Â, Bˆ,Cˆ e Dˆ , quanto vale a soma Ê + Fˆ?
a) Â + Bˆ + Cˆ + Dˆ 
b)
c) 360° – Â – Bˆ – Cˆ – Dˆ 
d) 360° + Â + Bˆ – Cˆ – Dˆ 
e) nenhuma das alternativas.
ˆ ˆ ˆ ˆA B C D+ + +
2
A
B
C
D
E
F
B
D F
E C
A
46°
α
β
D
B
A C
x
y
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SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 8 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
14. (OLIMPÍADA ITALIANA) ABC é um triângulo retângulo em B, não isósceles e D é o ponto de interseção da circun-
ferência de diâmetro BC com a hipotenusa. Qual das afirmações abaixo é falsa?
a) ∠BFD = 2 ⋅ ∠BAC
b) DF = FA
c) DF divide o ângulo BDA ao “meio”.
d) DF divide o segmento BA ao meio.
e) FD = FB
15. (OLIMPÍADA ITALIANA) Em um triângulo ABC, retângulo em B, traçam-se as bissetrizes internas CE e AD, confor-
me figura abaixo. Sendo F e G projeções ortogonais de E e D sobre a hipotenusa AC, respectivamente, podemos
afirmar que a medida, em graus, do ângulo FBG, é
a) 20° d) 50°
b) 30° e) 16°
c) 45°
16. (OLIMPÍADA CANADENSE) ABCD é um quadrilátero convexo tais que AB = AD = 1, ∠BAD = 80° e ∠BCD = 140°,
então AC = 
a)
b) 1c)
d) 2
e) 3
3
2
1
2 80°
140°
A
1 1
B D
C
B CD
GE
F
A
AB
C
D
F
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