Enviando Matemática - Curso Anglo - n3_aulas7a9_Resoluções

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AULAS 7 a 9
1. Note que ∈ IR ⇔ .
Logo, ∈ IR ⇔ � x � e x ≠ 0. (*)
Note que, nessas condições, � 0.
Multiplicando, ambos os membros da desigualdade dada, por , temos:
Das condições, em (*), temos –2 � 4x � 2 e, portanto, 4x � 2.
Como, nas condições de (*), , temos 
Logo, o conjunto solução da inequação proposta é 
Resposta: A
2. O valor mínimo do produto das somas de 2008 números positivos com seus respectivos inversos é:
Sendo a � 0, temos (média aritmética � média geométrica).
Logo, (a igualdade ocorre com a = 1).
Sendo {a1, a2, ..., a2008} um conjunto de 2008 números positivos quaisquer, temos:
Note que a igualdade ocorre com an = 1, (1 � n � 2008).
Logo, o valor mínimo do produto é 22008.
Resposta: E
a
a
a
a
a
a1 1
2
2
2008
2008
20081 1 1 2+



 +



… +



�
a
a
+
1
2�
a
a a
a
+
⋅
1
2
1
�
x IR x∈

* :
–
.
1
2
1
2
� �
π π1 1 4 2+



– .x �1 1 4 1
2+ – x �
4 1 1 4 2x x� π +



–
1 1 4
1 1 4
2
2– ( – ) –
x
x
x� π +




1 1 4
1 1 4 1 1 4
2
2 2– – – –
x
x
x x+



 +



� π
1 1 4 2+ – x
1 1 4 2+ – x
1
2
–1
2
1 1 4 2– – x
x
–1
2
1
2
� �x1 4 2– x
ClasseEm
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
Resoluções
NÍVEL 3
www.cursoanglo.com.br
Treinamento para
Olimpíadas de
Matemática2008
3. Sendo P = (1 + u)(1 + v)(1 + w), temos:
P = (1 + u + v + uv)(1 + w)
P = 1 + u + v + uv + w + uw + vw + uvw
P = 65 + (u + v + w) + (uv + uw + vw) 
De , temos u + v + w � e, portanto, u + v + w � 12.
De , temos uv + uw + vw � e, portanto, uv + uw + vw � 48.
Logo, P � 65 + 12 + 48, isto é, P � 125
A igualdade ocorre com u = v = w = 4.
Resposta: D
4. Na figura, temos AB = 6, AC = 2, BD = 1, CP = e PD = .
Note que CP + PD é mínimo se, e somente se, os pontos C, P e D forem colineares.
Nesse caso, temos, da semelhança de triângulos, e, portanto, v = 4.
Com v = 4, temos 
Resposta: C
1. Sendo u = x(x – 2008), com x ∈ IR, podemos concluir que:
1°- : não existe um valor máximo de u.
2°- : o valor de u é mínimo, para x = 1004.
3°- : o valor mínimo de u é –10042.
Sendo y = 0,2009u, podemos afirmar que o valor de y é máximo se, e somente se, o valor de u for mínimo, pois a
base da potência é 0,2009 e este é um número entre 0 e 1. 
Podemos concluir que:
4°- : y não possui um valor mínimo, pois u não possui um valor máximo.
5°- : como u possui um valor mínimo, y possui um valor máximo.
Resposta: C
CasaEm
v v2 2 2 22 6 1 3 5+ + + =( – ) .
v v
2
6
1
=
–
C
6 – v
v
P
B
D
1
2
A
6
(6 – v)2 + 12√
v2 + 22√
C
6 – v
v
P
B
D
1
2
A
(6 – v)2 + 12√
v2 + 22√
6
( – )6 12 2v +v2 22+
3 26 2
3
( )
uv uw vw
uvw
+ +
3
23� ( )
3 643u v w uvw
+ +
3
3�
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
2. De u + v = 5, temos u = 5 – v.
Sendo p = uv, temos p = –v2 + 5v.
p é máximo ⇔ v = 
Com v = , temos u = e, portanto, uv = .
Resposta: C
3. Sendo u, v e w são variáveis reais, temos:
(u + v + w)2 � 0
u2 + v2 + w2 + 2(uv + uw + vw) � 0
1 + 2(uv + uw + vw) � 0
uv + uw + vw �
Podemos obter a igualdade com u = , v = e w = 0.
Logo, o valor mínimo de uv + uw + vw = .
De (u – v)2 � 0, temos u2 + v2 � 2uv.
Analogamente, temos u2 + w2 � 2uw e v2 + w2 � 2vw.
Somando, membro a membro, resulta 2u2 + 2v2 + 2w2 � 2uv + 2uw + 2vw.
u2 + v2 + w2 � uv + uw + vw 
1 � uv + uw + vw
Podemos obter a igualdade com u = 
Logo, o valor máximo de uv + uw + vw é 1.
Resposta: C
4. Com x � 0 e y � 0, o valor máximo de xy(72 – 3x – 4y) é:
Consideremos os três números positivos 3x, 4y e 72 – 3x – 4y.
Como sua média geométrica é menor ou igual à sua média aritmética, temos:
12xy(72 – 3x – 4y) � 243
xy(72 – 3x – 4y) � 1152
Podemos obter a igualdade com 3x = 4y = 72 – 3x – 4y, isto é, com x = 8, y = 6.
Resposta: D
5. De y = x + k e x2 + y2 + 2x – 1 � 0, temos:
x2 + (x + k)2 + 2x – 1 � 0
x2 + x2 + 2kx + k2 + 2x – 1 � 0
2x2 + 2(k + 1)x + k2 – 1 � 0 (*)
Como essa inequação admite apenas uma solução real, seu discriminante deve ser nulo. Temos:
4(k + 1)2 – 4 ⋅ 2 ⋅ (k2 – 1) = 0
(k + 1)2 – 2(k2 – 1) = 0
k2 – 2k – 3 = 0
k = 3 ou k = –1
( )( )( – – )3 4 72 3 4 243 x y x y �
( )( )( – – )
( – – )
3 4 72 3 4
3 4 72 3 4
3
3 x y x y
x y x y
�
+ +
3
2
3
3
3
3
, .v e w= =
–1
2
– 2
2
2
2
–1
2
25
4
5
2
5
2
–
(– )
5
2 1
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 3 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
Como k é positiva, temos k = 3.
De (*), temos:
2x2 + 8x + 8 � 0
x2 + 4x + 4 � 0
(x + 2)2 � 0 ∴ x = –2
Como y = x + 3, temos y = 1 e, portanto, x2 + y2 = 5.
Resposta: E
6. De y + 1 � |x2 – 2x|, temos y + 1 � 0, ou seja, y � –1.
Como y é um número inteiro, temos y � 0. (1)
De |x – 1| � 2 – y, temos 2 – y � 0, ou seja, y � 2.
Como y é um número inteiro, temos y � 1. (2)
De (1) e (2), temos y = 0 ou y = 1.
1°- : caso: y = 0
Das condições 1 � |x2 – 2x| e |x – 1| � 2, temos x = 0 ou x = 2.
Temos os pares (0, 0) e (2, 0).
2°- : caso : y = 1
Das condições 2 � |x2 – 2x| e |x – 1| � 1, temos x = 1.
Temos o par (1, 1).
Portanto há exatamente 3 pares ordenados (x, y) de números inteiros, nessas condições.
Resposta: C
7. Sejam O = (0; 0), X = (x; 1), Y = (y; 3), Z = (z; 4) e A = (10; 7). 
A expressão do enunciado denota a soma das distâncias OX, XY, YZ e ZA que, pela desigualdade triangular, é
maior ou igual a OA = . Como é possível que ocorra a igualdade (basta tomarmos O, X, Y, Z e
A colineares), o valor mínimo da expressão é .
Resposta: E
8. Considere a figura, com OA1 = 1, A1A2 = 1 e A2A3 = 1.
0 1 A1
1
1
A2 A3
149
10 7 1492 2+ =
1
3
4
7
x y z 10
X
Y
Z
A
0
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 4 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
Consideremos os pontos B1 do segmento OA1
——
, B2 do segmento A1A2
——
e B3 do segmento A1A3
——
, tais que A1B1 = u,
A2B2 = v e A3B3 = u.
Note que B1B2 + B2B3 = 
Note que B1B2 + B2B3 é mínimo, se B1, B2 e B3 são colineares.
Note que as projeções ortogonais de B1B3
——
sobre OA1
——
e sobre A1A2
——
medem, ambas, 1 (uma unidade). 
Assim, podemos concluir que o valor mínimo de 
Resposta: A
u v v u é2 2 2 21 1 2+ + +( – ) ( – ) .
0 1 A1
1A2 A3
u
v
B3
B2
B1 u
1 – u
1 – v
u v v u2 2 2 21 1+ + +( – ) ( – ) .
0 1 A1
1
1A2 A3u
v
B3
B2
B1 u
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2008